APUNTES MATEMÁTICA I
MTAN02
INACAP
Ciencias BásicasVicerrectoría de Académica de Pregrado 2014
ÍNDICE
UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ……….….. 4 UNIDAD 2:ÁLGEBRA………...………...76 UNIDAD 3: PROGRESIONES………186
PRESENTACIÓN
Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática, asignatura
lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias
Básicas.
Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas
de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de
clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación
técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño
profesional.
Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de
resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de la
Didáctica de la Matemática.
La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren
metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del
docente un mediador.
El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de
base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.
Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.
Epitafio en la tumba de Diofanto
Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el
a necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos , artísticos o
matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar
la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo
definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al
conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la
experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos
en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros.
Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos
inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones,
plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá
de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en
situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de
solución.
La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras,
aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática
que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias,
como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones
problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las
estrategias matemáticas para su solución.
UNIDAD 1
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS Y ANÁLISIS
DE LA INFORMACIÓN
L
primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años más. De todo esto se deduce su edad.
APRENDIZAJE ESPERADO
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.1
Resuelve situaciones problemáticas medianteestrategias aritmético-algebraica, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.
1.1.1
Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información.1.1.2
Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez.1.1.3
Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema.1.1.4
Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.Introducción
¿Qué significa aprender matemática?
Habitualmente el aprendizaje de las matemáticas se visualiza como una acumulación de pedazos de información (definiciones, propiedades y procedimientos) que se deben dominar a través de la memorización y la mecanización, una colección de conocimientos que esperan ser aplicados en algún contexto.
Esta es la concepción predominante, que sin embargo recibe serios cuestionamientos, ¿cuál es el sentido de aprender matemática por la matemática, sin justificación ni contexto?, ¿es posible acumular conocimientos matemáticos, con la vaga promesa de su utilidad futura? Esta idea de las matemáticas se aleja de la esencia de la disciplina, la creación del conocimiento, que se origina a partir de la necesidad de resolver determinados problemas.
La matemática es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este es solo un aspecto de la matemática a desarrollar, el formalismo en realidad debe ser considerado una meta del trabajo matemático, que tiene su punto de partida en la intuición y la creación.
Desde esta perspectiva, aprender matemática se relacionaría con construir y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculándose con los procesos, tanto de creación, como de formalización del conocimiento matemático. Este enfoque implica que el estudiante debe actuar como un matemático en ciernes, que conjetura, experimenta, descubre, formula, prueba, generaliza, etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento matemático.
Desde esta visión, la resolución de problemas es fundamental en el estudio de la matemática, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una reflexión. ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN La conjetura de Fermat
El teorema de Pitágoras permite asegurar que existen enteros x, y, z, lados de un triángulo rectángulo, que cumplen
2 2 2
x y z
En 1640 Pierre Fermat, generalizó la pregunta y la respondió: Para todos los enteros n2 no es posible encontrar enteros x, y, z, distintos de cero, tal que
n n n
x y z
Fermat dijo haber encontrado una demostración, que no pudo mostrar por el pequeño espacio del margen del libro donde escribía.
El denominado último teorema de Fermat permaneció sin demostración durante más de 350 años, hasta que en 1995, Andrew Wiles, quien dedicó gran parte de su vida a este tema, logró completar una demostración.
Lo realmente importante del “último teorema” no es su demostración, sino que en su búsqueda, se aportó de manera significativa al desarrollo de la aritmética y álgebra moderna.
Problema o ejercicio
La distinción entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los “problemas de aplicación” que aparecen en los libros son en realidad ejercicios, si después de comprender el enunciado del problema y reconocer los datos y la incógnita, el método para resolverlo es alguna de las técnicas o procedimientos vistos con anterioridad, se trataría solo de un ejercicio. Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines, tal como se muestra en la siguiente figura:
a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños? b) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños? ¿Problema o ejercicio? ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN Ejercicio Problema Situaciones rutinarias, idénticas o muy similares a otras que ya fueron resueltas.
Los métodos para resolverlos son conocidos.
Situaciones no rutinarias. No existe un camino inmediato o evidente para su solución. Es necesario explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución.
Admiten más de una estrategia
Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didáctico del texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos.
Solución:
a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaños y contar los adoquines. También es posible reconocer que cada peldaño es una más que el anterior, por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaños es
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma término a término del 1 al 10. Se trataría de un ejercicio.
b) El número de adoquines en 100 peldaños es igual a la suma 1 2 3 100
No tiene sentido práctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la suma término a término. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias que se pueden usar para resolver este problema.
Métodos generales y particulares ¿Cómo resolver problemas?
Algunos dicen que la única manera de aprender a resolver problemas es…resolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es mucho más complejo que eso.
Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de estrategias de resolución de problemas. Por un lado, si un método es demasiado específico y atañe a un contenido en particular, puede no ser transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido en particular. Por otro lado, si un método es muy general, no queda claro cómo aplicarlo en los distintos dominios.
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Esto acarrea la discusión de si es posible aprender a resolver problemas en general o si solo se pueden estudiar los métodos de resolución ligados a contenidos específicos.
Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la habilidad de resolución de problemas. Esto es:
1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de problemas, ya que aunque no garantizan la solución de un problema, si pueden ayudar a atacarlo.
2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplicó. Es necesario revisar el contenido específico.
Método general de Pólya
Pólya (1945) identifica cuatro etapas en la resolución de problemas:
1. Entender el problema 2. Diseñar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Examinar la solución
Un aspecto muy relevante para la resolución de problemas es la posibilidad de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se están realizando, ¿qué estoy haciendo?, ¿me sirve para avanzar en la solución?, ¿qué otra cosa puedo hacer?, ¿es correcta la solución que obtuve? Las siguientes preguntas te ayudarán a monitorear cada una de las etapas, además se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase: ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Estrategias de resolución de problemas
El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para resolver problemas matemáticos:
1. Descomponer el problema en subproblemas.
2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal.
3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN Entender el Problema Diseñar un Plan Ejecutar el Plan Examinar la Solución
¿El problema es similar a otro visto antes? ¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso?
¿Puedo modificar algún método conocido para aplicarlo en este caso?
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Las condiciones permiten determinar la incógnita?
¿Es correcto cada uno de los pasos usados en la solución?
¿El plan permite avanzar en la solución del problema?
Reconocer datos e incógnita. Representar el problema con gráficos, diagramas o dibujos.
Pensar en un problema similar. Simplificar el problema a casos particulares.
Revisar cada paso.
Evaluar el plan propuesto.
¿Se puede comprobar la solución?
¿Se puede obtener el resultado de otra forma? ¿Se puede emplear el método usado en otro problema?
Resolverlo de otra forma para comprobar la solución.
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema. 5. Buscar analogías.
6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un problema aritmético representándolo geométricamente.
7. Búsqueda por ensayo y error. 8. Método algebraico.
9. Método gráfico.
Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras, algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con ejemplos el funcionamiento de estas estrategias.
Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaños.
Problema 2: Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal como se muestra en la siguiente figura:
¿Cuántos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaños?
Se discutió antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la suma 1+2+3+...+100 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Solución:
Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.
Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular.
Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible buscar sumas parciales que sean más simples de calcular. Por ejemplo, descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:
Estrategia 2: Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal.
Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el problema principal. Por ejemplo, ¿de qué otras maneras podemos sumar números del 1 al 10? ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN 55 100 + 55 200 + 55 300 + 55 400 + 55 500 + 55 600 + 55 700 + 55 800 + 55 900 + 55 4500 + 550 = 5050 10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10
a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 veces 11 5 11 55 De la misma forma 1 2 3 98 99 100 50 veces 101 50 101 5050
b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos. 1 2 3 98 99 100 100 99 98 3 2 1 101 101 101 101 101 101 100 veces 101
Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado por 2, esto es
100 101
5050 2
Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema. Transferir el problema de un dominio a otro.
Representar el problema geométricamente como un cálculo de área. Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo
Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6 7 , como la escalera es la mitad, debemos calcular la mitad del área del rectángulo, es decir
6 7 21 2
Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de 100 101 y la cantidad de adoquines de la escalera sería
100 101
5050 2
Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolución de problemas están implícitas, analicemos en general cómo podrían haber sido planteadas:
1. Entender el problema:
¿Cuál es la incógnita? El resultado de la suma ¿Cuáles son los datos? Los números del 1 al 100
¿Cuáles son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del 1
al 100.
Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.
2. Diseñar un plan:
¿El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de
sumar no es práctica en este caso.
¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? En la suma
de números naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La escalera representa la mitad de un rectángulo, por tanto la mitad su área.
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN 6 7
3. Ejecutar el plan:
¿El plan permite avanzar en la solución del problema? Las sumas parciales
cumplen cierta regularidad que hace más fácil calcularlas. Sumar los extremos permite llegar rápidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda de la geometría permite cambiar el problema de una suma a un cálculo de áreas.
4. Examinar la solución:
¿Se puede comprobar la solución? Al resolverlo de más de una forma es posible
comprobar el resultado.
¿Se puede emplear el método en otro problema? En todos los problemas de
sumas sucesivas de números naturales.
En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemáticos es posible ampliar el abanico de métodos de resolución. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de otros métodos, aunque los conocimientos específicos que se aplican en alguno de ellos aún no es expuesto en este texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan.
Problema 3: Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19 conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, ¿cuántas motos y autos hay?
Solución:
Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.
Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de acuerdo al número de conductores y ruedas.
8 motos 16 ruedas + 11 autos + 44 ruedas 19 conductores 60 ruedas ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Estrategia 2: Ensayo y error.
a) Método de conteo: Inicial con cualquier número de motos y autos, por ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son
20 36 56
Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el número de motos y autos hasta coincidir con el total de ruedas.
b) Construir una tabla: Colocar todos los números de motos y autos en una búsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla:
Nº motos Nº autos Nº ruedas
19 0 38 18 1 40 17 2 42 16 3 44 15 4 46 14 5 48 13 6 50 12 7 52 11 8 54 10 9 56 9 10 58 8 11 60
Estrategia 3: Método algebraico.
a) Ecuación lineal: Se establece una incógnita y se plantea una ecuación. Nº de motos: x
Nº de autos: 19 x
Nº de ruedas: 2x4 19
x
Como el número de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresión anterior a 60 se tiene la ecuación
2x4 19 x 60 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓNAl resolver la ecuación se tiene
2 4 19 60 2 76 4 60 76 2 60 76 60 2 16 2 8 x x x x x x x x Por tanto, son 8 motos y 11 autos.
b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incógnitas, plantear y resolver el sistema de ecuaciones.
Nº de motos: x Nº de autos: y Nº de conductores: x y 19 Nº de ruedas: 2x4y60 19 2 4 60 x y x y
Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando ambas ecuaciones se tiene 2x 2 38 2 y x ( ) 2 22 11 4y 60 y y Luego x8
Por tanto son 8 motos y 11 autos.
Estrategia 3: Método gráfico.
Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de intersección entre las rectas es la solución.
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
No es necesario que la gráfica se haga “a mano”, podemos ocupar un software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )
En la línea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben ingresar las ecuaciones x y 19 y 2x4y60, el punto de intersección es
x y, 8,11
, por tanto hay x8 motos y y11motos.Problemas Propuestos
Resuelve los problemas y después describe la estrategia utilizada, respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Cuáles son los métodos utilizados? ¿Cómo verificaste que la respuesta es correcta?
1. Un piso se diseña colocando mosaicos negros y blancos como se muestra en la siguiente figura:
¿Cuántos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos por lado?
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
2. ¿Cuál es el valor de la suma de números impares 1 3 5 101?
Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relación que hay entre la suma de impares y el área de cuadrados:
3. Colocar los números del 1 al 9 en el “cuadrado mágico”, de modo que la suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:
4. Utiliza el resultado del problema anterior para responder la siguiente pregunta: Dos jugadores A y B seleccionan alternadamente una ficha en cada turno. El primer jugador que logre juntar 3 fichas que sumen 15 es el ganador. ¿Existe una estrategia que permita ganar el juego? ¿Cuál debe ser el número que necesariamente debe ser elegido para tener la posibilidad de ganar?
5. Determine los símbolos que siguen en la secuencia:
…..
6. Una obra contrata a 1 trabajador el primer día, dos el segundo, tres el tercero y así continua contratando un trabajador por día, ¿después de cuántos días se han contratado un total de 465 trabajadores?
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
7. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?
Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema, contando cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuántos cuadrados de lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y súmalos:
8. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, ¿de qué manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua?
9. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o $30.000 en total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. Así el costo del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los $27.000 pagados por el cuarto más los $2.000 que el ayudante tomó son $29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. ¿Qué pasó con los $1.000 faltantes?
10. Coloca en los círculos los números del 1 al 9 sin repetir de modo que la suma sea igual a 20:
11. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm por lado no tienen pintada ninguna cara?
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por métodos, como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemático específico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la matemática para ampliar el ámbito de problemas que se pueden resolver o contar con métodos de resolución más eficientes.
Los Números
La aritmética es la ciencia de los números. La noción de número surgió inicialmente ante la necesidad práctica de contar, ordenar y medir, lo que dio origen a los conceptos de número natural y racional. Pero otros tipos de números, como los irracionales, los números negativos y los complejos, surgen en ámbitos matemáticos, como abstracciones que toman distancia de la idea de cantidad, lo que les valió una larga lucha por su legitimidad como números.
Es necesario entender que los números son esencialmente una abstracción y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a través de modelos concretos. Es lo que ocurre con los números negativos, ¿por qué ( ) ( ) ( )?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los números enteros, así ( ) ( ) ( ) porque la suma de dos deudas es también una deuda. Pero esa interpretación no es aplicable para el caso de la multiplicación, ya que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se desprende al aceptar la regla de signos ( ) ( ) ( ) .
Los números negativos, reciben su nombre por el estatus de negación que tuvieron durante mucho tiempo. La visión de la matemática que predominaba hasta antes del siglo XIX exigía una relación directa con la realidad, que no tenían los números negativos, que venían a reflejar cantidades menores a cero. Sin embargo, los números negativos eran necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos fueran aceptados como números fue necesario que la matemática se convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificación en el mundo real.
Números Naturales
El matemático alemán Leopold Kronecker afirmaba que “Dios creó los números naturales y el resto lo hizo el hombre”, como una clara descripción de lo fundamental de los números naturales.
Para formar el conjunto de los números naturales ℕ se debe adicionar el 0 a los números 1, 2, 3,… que utilizamos para contar.
ℕ = {0,1,2,3, … } De los números naturales se puede decir que:
- Tienen un primer elemento: el 0.
- Todos los números naturales tienen un sucesor: Cada natural n tiene un sucesor n1. El 1 actúa como un generador.
- Es un conjunto que no tiene fin.
En ℕ se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación (·), ¿Qué propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una pregunta de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se construye el resto de la matemática. Su comprensión permite reconocer lo que se puede y no se puede hacer matemáticamente.
Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, se cumple:
Asociatividad: (a b ) c a (b c) (a b c ) a b c( ) Conmutatividad: a b b a a b b a
Elementos neutros: Existe 0 ∈ ℕ, tal que a 0 0 Existe 1 ∈ ℕ, 1 0 , tal que 1a a
Distributividad: a b c ( ) a b a c
La suma y multiplicación son operaciones binarias, la asociatividad expresa que para sumar tres números se debe asociar de dos en dos cada vez. La
conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma o multiplicación, el resultado es el mismo. El 0 es el único número natural que actúa como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicación. La distributividad de la multiplicación sobre la suma es la propiedad que muestra que es posible separar en la suma de productos.
Números Enteros
Si al conjunto de los números naturales adicionamos los números negativos obtenemos el conjunto de los números enteros:
ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }
Los números negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin embargo, el camino para su aceptación como números fue largo. En un mundo en que los números estaban estrechamente relacionados con la magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que 0.
En realidad los números enteros, a diferencia de los naturales, no solo expresan medida, además establecen un sentido respecto de un punto de referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de cantidad, así como tampoco se podría asociar el 0 en grados Celsius con ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De ese modo – 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de congelación.
Decir que un número negativo es el que está a la izquierda del cero no es completamente exacto, lo es solo para la representación clásica de la recta numérica, que sin embargo, no es más que eso, una entre muchas representaciones posibles. Por ejemplo, si tomáramos el modelo de las temperaturas, los negativos no estarían a la izquierda sino por debajo del cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos términos ni justificar sus propiedades con la interpretación gráfica.
Lo que realmente importa en los enteros es que para todo número 𝑎 ∈ ℤ, existe un único número (−𝑎) ∈ ℤ, tal que:
0a a
Se dice que
a es el opuesto o inverso aditivo de a .
Un número entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y sentido, dado por el signo. El número 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo positivo, mientras que el – 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo negativo. Como se ve, ambos números tienen la misma magnitud, pero en sentidos opuestos:
Los números enteros deben cumplir las mismas propiedades que los naturales, además de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numérico de los enteros (ℤ, +,∙) tiene la siguiente estructura:
Asociatividad Conmutatividad Elementos neutros Distributividad Inverso aditivo
Como consecuencia de estas propiedades básicas, se obtiene algunas cosas conocidas, por ejemplo que a 0 0. Además, es posible definir la resta como una suma, esto es:
a b a b
Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer término por el inverso aditivo del segundo.
Por ejemplo, a) 3 5 3
5 b)
2 6 2 6 ARITMÉTICANúmeros Racionales
Más allá de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el proceso de medir, a
b representa a un tipo de número, denominado número
racional.
Estos números están formados por la razón entre dos enteros a y b, con 0
b , que se denotan por:
ℚ = {𝑎
𝑏: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ; 𝑏 ≠ 0}
El uso de la palabra número, que originalmente solo hacía referencia a los números naturales, se justifica en los otros conjuntos numéricos porque siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicación de los naturales. El sistema (ℚ, +,∙), cumple:
Asociatividad Conmutatividad ℚ ℤ ℕ Elementos neutros Distributividad Inverso aditivo Inverso multiplicativo
En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso multiplicativo, esto es
Para todo 𝑎 ∈ ℚ, con 𝑎 ≠ 0, existe un número 𝑎−1 =𝑎1 ∈ ℚ, tal que: 1
1
a a o lo que es lo mismo: a 1 1
a
Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 2 1 1
2 , ya que 1 1 2 2 2 1 2 ARITMÉTICA
Nótese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe
1 1
0 0
.
El inverso multiplicativo de una fracción a
b es b a, en efecto 1 1 a a a b ab b b b a ab
A partir del inverso multiplicativo es posible definir la división, como el producto de un número por el inverso multiplicativo del otro.
Definición: Se dice que a está dividió por b, con b0, cuya notación es a
b o :a b si 1 a a b b
Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0.
Por la frecuencia con que se presenta los errores de la división por cero, nos detendremos un instante en ello.
¿Cuál es la diferencia entre estas expresiones? 0 2,
2 0y
0 0
Se ha dicho que no está definida la división por cero, sin embargo existe una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de multiplicación, esto es
a) 0
2x implica 0 2 x , que tiene como solución a x0, luego 0
0 2
Concluimos que 0 dividido por un número distinto de cero es igual a 0.
b) 2
0x implica 2 0 x , pero todo número multiplicado por 0 es 0, por tanto no existe un número x que cumpla esta condición. Más aún si existiera, al multiplicar tendríamos que 2 0 , un absurdo que contradice las nociones básicas de la aritmética, para evitarlo se dice que 2
0 es indefinido. c) 0
0x implica 0 0 x , en este caso x puede ser cualquier número, todos ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptáramos esto tendríamos que 0 0 1 2 3 ....
0 , es decir que todos los números son iguales entre
sí, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero es indeterminado.
Números Irracionales
Diversos problemas relacionados con geometría dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son inconmensurables, es decir, no admiten representación racional.
Para hacer un análisis particular de estos números, veremos el famoso problema de Pitágoras para encontrar la diagonal del cuadrado unitario. El Problema radica en encontrar la medida de x.
Para ello, utilizamos el teorema de Pitágoras. (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2+ (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2
12+ 12 = 𝑥2 2 = 𝑥2 ⇒ 𝑥 = √2
Y la pregunta que surge, ¿es √2 el numero es un numero racional?, La respuesta a esta pregunta es No. Entonces surge la necesidad de nombrar a este tipo de números de alguna manera. Los llamaremos números irracionales.
Así, los irracionales se denotan por
ℚ∗ = {𝑥 / 𝑥 ∉ ℚ} Ejemplos de números irracionales son
ARITMÉTICA
La demostración que √2 no es un número racional, radica en una contradicción.
Suponemos que √2 es un racional, por lo que
√2 =𝑎 𝑏 (1) Donde 𝑎, 𝑏 son enteros y la fracción 𝑎𝑏 es irreducible. (es decir, 𝑎 y 𝑏 son relativamente primos entre sí).
Ahora elevamos al cuadrado la ecuación (1), obteniendo
2 =𝑎2
𝑏2 ⇒ 2𝑏2= 𝑎2
De esto, se deduce que 𝑎 es par. Así, 𝑎 = 2𝑘, y reemplazando,
2𝑏2= (2𝑘)2 ⇒
2𝑏2= 4𝑘2 ⇒
𝑏2= 2𝑘2
Lo cual nos dice que 𝑏 es par. Si 𝑎 y 𝑏 son pares. Entonces llegamos a una contradicción. Pues, dijimos que a y b eran relativamente primos entre sí. Lo que dice que √2 no es racional.
−√2 , √5 , −√1.7 , 𝜋, 𝑒
No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionales es de nuevo un número irracional, por ejemplo
−√2 + √2 = 0, √2 · √2 = 2. Pero 0 y 2 no son números irracionales.
Números Reales.
La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, lo denotaremos por ℝ, será el conjunto
ℝ = ℚ ∪ ℚ∗ Una representación geométrica de ℝ es la recta real
-2 -1 0 1 √2 2 52 3 Para la construcción de propiedades en los Reales. Se utilizan ciertas proposiciones que (por ser tan evidentes no se demuestran o asumimos verdaderas) que llamaremos axiomas. Estos axiomas son los siguientes:
i) Asociativo: Para cada 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ,
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧); (𝑥 · 𝑦) · 𝑧 = 𝑥 · (𝑦 · 𝑧)
ii) Conmutativo: Para cada 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥;
𝑥 · 𝑦 = 𝑦 · 𝑥
iii) Elemento Neutro: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥; 𝑥 · 1 = 𝑥 = 1 · 𝑥. ARITMÉTICA Los números irracionales 𝜋 y 𝑒. Se llaman números trascendentales, ya que ellos no son solución de una ecuación algebraica. Es decir, no podemos obtener como solución de la ecuación
𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0= 0
Es por este motivo que adquieren una importancia fundamental en las matemáticas.
El número 𝜋 nace del concepto de circunferencia.
El número 𝑒 nace del concepto de funciones. Donde 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, es la única función cuya derivada es la misma función.
El real 0 es llamado elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado elemento neutro para la multiplicación.
iv) Invertible:
Para cada 𝑥 ∈ ℝ, existe un único número real llamado el inverso aditivo u opuesto de 𝑥 y es denotado por −𝑥, tal que
𝑥 + (−𝑥) = 0.
Para cada número real 𝑥 ≠ 0, existe un único número real llamado el inverso multiplicativo de 𝑥 y denotado por 𝑥−1 ó 1𝑥 , tal que
𝑥 · 𝑥−1 = 𝑥 ·1 𝑥 = 1.
v) Distributiva: Para cada 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ,
𝑥 · (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 · 𝑦 + 𝑥 · 𝑧.
Empleando la propiedad de invertible, se definen las operaciones deresta y división de números reales, en efecto para cada 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ,
𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + (−𝑦); Si 𝑦 ≠ 0, 𝑥 𝑦= 𝑥 · 1 𝑦= 𝑥 · 𝑦−1.
Con esto tenemos todas las propiedades de las operaciones en los números Reales. Ejemplo: a) 7 + 5 = 12 b) 3 − 5 = 3 + (−5) = −2 c) (−2) − (−6) = (−2) + (+6) = 4 d) 3 ∙ 8 = 24 e) (−4) ∙ 5 = −20 f) (−5) ∙ (−6) = 30 g) 7: 4 = 7 ∙14 = 7 ∙ 4−1= 1,75 h) (−3): 5 = −3 ∙15 = −3 ∙ 5−1= 0,6 ARITMÉTICA
Prioridad en las operaciones aritméticas y uso de paréntesis
Los paréntesis son recursos del lenguaje matemático que se utilizan para explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresión matemática. Generalmente, los problemas aritméticos no requieren el uso de paréntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo:
Problema 6: Gabriel piensa un número, le suma 25, divide el resultado entre 2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, ¿qué número pensó?
Solución:
Devolviéndonos en el razonamiento la descripción verbal del problema sería:
Si al final tenía 21 Antes de multiplicar por 3 tenía 7 Antes de restarle 8 tenía 15 Antes de dividir entre 2 tenía 30 Antes de sumar 25 tenía 5.
Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar paréntesis para definir el orden en que se realizarían. Lo que constituye una forma habitual de proceder en aritmética.
Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con paréntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritméticos provoca problemas en el cálculo y en el tránsito hacia el álgebra. Si se cree que los paréntesis o los signos operatorios son solo una convención que exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a cometer errores, que en aritmética parecen solo de forma, pero que son de fondo cuando queremos trabajar en álgebra. Por ejemplo, es habitual que el problema anterior sea escrito de la siguiente forma
21: 3 7 8 15 2 30 25 5
El error está en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para expresar “aquí está el resultado”, es una relación de equivalencia, debe cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para entender ARITMÉTICA
luego como resolver ecuaciones.
Problema 7: Construye los dígitos del 0 al 9 utilizando sólo cuatro veces el número 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritméticas básicas. Considera los siguientes ejemplos:
0 4 4 4 4 4 4 1 4 4 Solución:
Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a mostrar los errores cometidos al no usar los paréntesis.
Supongamos que queremos formar el número 6, sumando dos veces el 4, dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. ¿La respuesta correcta será entonces 4 4: 4 4 ?
Al no tener paréntesis la pregunta es en qué orden se resuelve la expresión aritmética, ¿en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una prioridad que respetar?
Si colocamos esta expresión en la calculadora científica el resultado será 9, significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad.
Prioridad de las operaciones aritméticas
1º Paréntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera.
2º Multiplicación y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicación se realiza en cualquier orden.
3º Sumas y restas: De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden.
Por ejemplo: a) 4 4 : 4 4 4 1 4 9 ARITMÉTICA
b) 5 2 1 6 : 2 1
8 : 2 2
5 2 1 6 : 3 4 2 5 2 1 2 8 5 2 3 8 5 6 8 11 8 3 Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se requiere usar paréntesis. En efecto
4 4 : 4 4
6 Ejercicios y Problemas Propuestos:1. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) 2 6: 2 3 6 2:3 1
b) 6 2 4 4 : 2 7
c) 2 2 2 2 2 2 : 2
d) 1 2 2 1 2 2 2 : 2
2
2. Coloca los paréntesis donde corresponda para que las siguientes expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los paréntesis estrictamente necesarios:
a) 2 5 1 12 b) 6 2 1 4: 2 7
c) 12:3 2 2 1
d) 16: 4 4 16: 4 2 12
3. Un empleado de un taller mecánico se le paga $6000 por hora si trabaja 15 horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, cada hora extra se paga al valor normal más la mitad. ¿Cuántas horas debe trabajar para ganar $135.000 durante una semana?
4. ¿Cuáles son todos los divisores de 126? Usa descomposición factores primos.
5. Se debe llenar una bidón de 72 litros, ¿qué medidas puede tener el jarro que lo llena de forma exacta?
6. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas donde se abrió es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro?
7. ¿Cuáles son las últimas tres cifras de 123456789
5 ?
8. ¿Cuál es la última cifra de 587 7 ?
Ayuda: Comienza con casos más simples y descubre la regularidad
9. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja? 10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?
Razón
El concepto de razón está relacionado con la acción de comparar, una actividad que realizamos constantemente, que también puede ser abordada a través de una diferencia. ¿Cuándo usar una razón? ¿Cuándo comparar a través de una diferencia? Es necesario contrastar estas dos maneras de comparar y reconocer cual es la utilidad de las razones matemáticas.
Problema 8: Suponga que en una fábrica, un día en particular, la máquina A produce 48 artículos, mientras que la máquina B, que es más antigua y lenta, solo fabrica 32, ¿De qué manera podemos comparar la producción de estas dos máquinas?
Está claro que la producción de la máquina A es mayor que la máquina B. Lo que queremos precisar son las formas en que se puede expresar y
cuantificar la comparación entre estas cantidades.
ARITMÉTICA
La teoría de las razones y proporciones son descritas por primera vez en el libro V de los Elementos de Euclides (siglo III a.C), aunque ya estaba en el pensamiento pitagórico del siglo V a.C, cuyo principio fundamental “Todo es número”, implicaba que todas las cosas se podían explicar con números (enteros positivos) y sus razones, lo que posteriormente fue contrariado por el descubrimiento de los inconmensurables, desatando la primera crisis en la historia de las matemáticas.
Los griegos nunca expresaron las razones como fracciones - no disponían de ellas- ni calcularon su cociente. Para ellos una razón solo era una forma de comparar dos magnitudes.
1. Comparación absoluta: señalar en cuántos artículos una máquina supera a la otra.
A – B = 48 – 32 = 16
La máquina A produce 16 artículos más que B.
2. Comparación relativa: señalar el número de veces o la porción que representa la producción de una máquina respecto de la otra. 48 3 1 5 32 2 , A B
La producción de la máquina A es 1,5 veces la producción de la máquina B.
En este caso, utilizamos una fracción para representar la comparación relativa o “razón” entre las producciones de A y B. Sin embargo no es la única manera de expresar una razón. Se dice que la razón entre la producción de A y la de B es de “3 es a 2”, que se escribe:
3
2 o 3 : 2 Razón, una comparación relativa
En el ejemplo anterior la razón entre la producción de la máquina A y la máquina B, era de 3:2 en un día en que A produjo 48 y B 32 artículos. Si la razón entre A y B fuera siempre la misma, la razón 3:2 nos permite saber que por cada 3 artículos que fabrica A la máquina B fabrica 2, independiente de los totales involucrados.
Definición: Una razón es una comparación relativa entre dos cantidades de igual o distinta medida.
Peras con peras y peras con manzanas
Problema 9: Compare las cantidades involucradas en los siguientes enunciados:
a) En una empresa trabajan 60 hombres y 25 mujeres.
RAZONES
En la escuela pitagórica, tanto el número como las magnitudes pertenecían a la categoría de cantidades. Sin embargo, eran entidades separadas. El número correspondía a colecciones de unidades indivisibles, permitían contar, mientras que las magnitudes surgen de la abstracción de cosas que se pueden medir.
Los griegos no disponían de un sistema métrico como el nuestro, para medir debían comparar las magnitudes mediante sus razones.
b) Un auto recorre 12 km en 9 minutos.
Hay una diferencia entre estas dos situaciones.
a) Podemos hacer tanto comparaciones absolutas como relativas:
H M 60 25 35 60 12 2 4 25 5 ,
H M
Hay 35 hombres más que mujeres. Por cada 12 hombres hay 5 mujeres
Los hombres equivalen a 2,4 veces las mujeres.
b) Aquí no podemos hacer comparaciones absolutas, no se puede restar kilómetros con minutos, son magnitudes de medida distinta. Pero si podemos comparar de manera relativa, a través de la razón
12 4 1 3 9 3 , D T
Por cada 4 km que avanza el auto transcurren 3 minutos. El auto recorre 1 3, km por minuto.
En definitiva, se observa que las razones pueden ser entre cantidades de igual o distinta medida, en cambio las comparaciones absolutas solo pueden ser entre cantidades de igual medida.
Una forma coloquial de explicarlo es: ¿se pueden comparar peras con manzanas?... De forma absoluta no, pero si a través de una razón.
Aplicación
La cadena de una bicicleta gira alrededor del plato de una rueda dentada (comúnmente llamado volante, el que está conectado a los pedales) y el piñón conectado a la masa trasera (que hace girar la rueda trasera). Al cambiar de velocidades, la cadena se mueve a un plato o piñón diferente, tal como muestra la figura siguiente:
RAZONES
Euclides (300-265 A.C.) en la definición 3, del libro sexto “Los Elementos”, definió la
Razón Áurea de la siguiente
forma:
“Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón, cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”
Así se obtiene la proporción: 𝐴𝐶
𝐴𝐵= 𝐴𝐵 𝐵𝐶 Llamando 𝜑 a la razón 𝐴𝐵𝐵𝐶 (razón áurea), obtenemos la ecuación:
1 + 𝜑−1= 𝜑
o bien:
𝜑 + 1 = 𝜑2,
ecuación cuadrática cuya solución positiva es:
𝜑 =1 + √5 2
Un número irracional muy especial.
La relación de engranaje de una determinada velocidad, indica el número de revoluciones o vueltas que rota la rueda trasera por cada vuelta de los pedales. Una forma de expresar la relación entre el número de dientes del plato y del piñón es a través del cociente:
Número de dientes del plato
Relación de Engranaje
Número de dientes del piñón
Por ejemplo, si la cadena corre sobre un plato con 52 dientes y un piñón con 26 dientes, entonces la relación de engranaje es de 52:26 ó equivalentemente 2:1, lo que significa que la rueda trasera realiza dos vueltas por cada vuelta que dan los pedales. Si la misma cadena, se mueve sobre un piñón de 13 dientes y el mismo plato, entonces la relación de engranaje cambia a 52:13 ó equivalentemente a 4:1, en este caso la rueda trasera dará 4 vueltas por cada vuelta de los pedales.
Ejercicios Resueltos
1. Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar:
a) la razón del total de ventas al inventario promedio. b) la razón de la utilidad a la venta total.
Solución: a) 6 000 . 30 000 . 180 promedio inventario total venta La razón es de 6 es a 1. b) 5 1 000 . 180 000 . 36 ventas utilidad , la razón es de 1 es a 5. RAZONES
2. El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. por minuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5 mm/min. Hállese la razón de las velocidades de corte.
Solución:
Sean a y h las velocidades de corte del acero y del hierro, respectivamente. Se forma la razón:
6 4 0 4 13 5, , 9 a h , luego la razón es de 4 es a 9. Ejercicios propuestos
1. La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que la mayor hace 80. ¿Cuál es la razón de sus velocidades?
2. Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300 km./h. Hállese la razón de sus velocidades.
3. Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios, en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15 ohmios. ¿Cuál es la razón de las dos resistencias?
4. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia?
5. Un índice de confianza de inversión se define como la razón entre el tiempo en meses, hasta el primer retorno de la inversión y el monto en dólares asignado a ella. (IC=t/mi). Si en una instancia (IC= 0,50) y t se triplica, mi se aumenta al doble. ¿Cuál es la nueva razón?
6. En una empresa trabajan 84 personas. Si hay 21 mujeres. ¿Cuál es la razón inversa entre el número de mujeres y de hombres?
7. Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En qué razón están sus volúmenes?
8. Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10 m y 20 m. ¿En qué razón están sus áreas?
Proporción
Problema 10: Dos ruedas que engranan tienen velocidades que están a razón de 2:3. Si la rueda menor gira a 72 revoluciones por minuto, ¿a cuánto gira la rueda mayor?
Supongamos que las velocidades sean m y M, para la rueda menor y mayor, respectivamente. Cualquier valor que asuman las velocidades de las ruedas deberá estar a razón de 2:3, esto es
2 3
m M
Si m72, tendremos una igualdad entre dos razones con el término M desconocido
72 2 3
M
Multiplicando por los inversos respectivos se obtiene una igualdad entre “los productos cruzados”, lo que nos permite luego despejar la incógnita M
72 3
72 3 2 108
2
M M M
La rueda mayor gira a 108 revoluciones por minuto.
Definición: Una proporción es una igualdad entre dos razones, se denota 𝑎
𝑏
=
𝑐𝑑 o 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑
En general, resulta más conveniente trabajar con las fracciones, ya que permiten escribir la proporción de varias maneras y plantear “la igualdad de producto cruzado” como recurso para despejar cualquier término desconocido en una proporción.
Dada una proporción a c
b d , se pueden formar proporciones equivalentes
cambiando la disposición de los cuatro términos, siempre que se mantenga el producto cruzado a d b c .
a c d c b d b a a d b c a b d b c d c a
Ejemplo: La misma proporción 72 2 3
M planteada en el problema 3 se
podría escribir como
3 722
M
Lo que puede resultar más simple de resolver 3 72 108 2
M
Ejercicios resueltos
1. En una fábrica de muebles se producen diariamente sillas y sillones en una razón de 5:4. Si el número de sillones es 8. ¿Cuál es el número de sillas?
Solución:
Sean a: número de sillas, b: número de sillones (b=8), luego la razón es: 4 5 b a
Reemplazando los datos se tiene
4 5 8 a 5 8 10 4 a a
Por tanto hay 10 sillas y el número total de sillas y sillones es:
a + b = 8 +10 = 18
2. En una fábrica de zapatos las líneas de producción de dos modelos diferentes, en determinados momentos del día, habrán producido 33 y 40 zapatos cada una, ¿cuántos zapatos más tienen que producir, para que la producción de estas líneas esté en la razón 2:3?
PROPORCIONES Usualmente a la expresión: 𝑎 𝑏= 𝑐 𝑑 ⇔ 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 Se le llama la Propiedad Fundamental de las Proporciones.
Solución:
Sea x la cantidad de zapatos que restan por producir, para que las razones de producción de las líneas de trabajo sea de 2:3. Luego de producir x zapatos más, las líneas de trabajo habrán producido en total: 33 + x y 40 + x respectivamente, entonces: 33 2 40 3 x x Luego 3 33 2 40 99 3 80 4 19 ( x) ( x) x x x
Por lo tanto, después de producir 19 zapatos más la producción de ambas líneas de trabajo, estará en la razón de 2:3.
Ejercicios propuestos
1. Hallar el término desconocido en las siguientes proporciones: a) 5 , 3 x = 3 6 b) 24: 0,4= x: 0,04 c) 4 3 :6=1: x e) x 2 , 0 = 9 , 0 3 , 0 g) 24 6 16 x x f) a x x b a c c b
2. Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga 72 dientes, ¿cuántos tendrá la más pequeña?
3. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa 30 kg.?
4. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál será la resistencia de un alambre de 750 m?
5. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm3
y el pino blanco pesa 0,4 3
/ dm
kg . Suponiendo que un modelo hecho en madera de pino pese 2,25
kg. ¿Cuánto pesará una pieza que se funda con hierro fundido?
6. Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 36 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña?
7. La fuerza de un motor de gas aumenta con el área del émbolo. Suponiendo que un motor con una superficie de émbolo de 54 cm2
desarrolla 25,5 Hp. ¿Cuántos Hp desarrollará un motor con un émbolo cuya superficie sea de 45,15 cm2?
8. La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si la velocidad del avión de 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad del avión?
9. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana?
10. Al leer la revista Estrategia, se ve un gráfico de barras que indica las compras de refrigeradores durante el mes de junio y julio de este año por cada centímetro cuadrado se venden 800 refrigeradores. Si para junio se tiene 1 por 9,6 cm. y en julio por 5,5 cm., en dicho gráfico. ¿Cuál es la venta real de refrigeradores en estos meses?
11. En una empresa, la razón entre los ingresos de 2 profesionales del área administrativa es de 10:12, el profesional de mayor ingreso declara una renta anual de 16,8 millones de pesos. ¿Cuál es el monto que declara el profesional de menores ingresos?
12. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos a un estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)?
Propiedades de Proporciones Dada una proporción a c
b d , siempre es posible:
Componer la proporción a b a c b d
c d c d
Descomponer la proporción a b a c b d
c d c d
Componer y descomponer proporciones son técnicas útiles, en casos en que en un problema de proporciones no estén dados los tres términos conocidos, sino que la razón entre ellos y la suma o la resta de sus valores.
PROPORCIONES
Justificación de la propiedad de componer una proporción: Si se suma 1 a ambos lados de la igualdad a c b d se tiene: 1 1 a b c d
Sumando los términos queda
a c b d
c d
De forma análoga, la propiedad de descomponer una proporción se obtiene restando 1 a cada fracción de la proporción.
Ejemplo: Los pesos de dos piezas metálicas están en la razón de 3:5, si en total pesan 600 gramos, ¿cuánto pesa cada pieza?
Sean x e y el peso de ambas piezas, se sabe que 3
5
x
y con x y 600
Componiendo la proporción y reemplazando por el valor de la suma se tiene 3 5 600 8 600 5 375 5 5 8 x y y y y
Reemplazando y375 en la suma x y 600 se obtiene 375 600 225
x x
Ejercicios resueltos
1. En una mezcla la razón entre arena de cemento debe ser 7:4. Si se sabe que la diferencia entre estas cantidades es de 36 mt3, ¿cuántos metros cúbicos de arena y cemento se utilizarán en la mezcla?
Solución:
Sean a y b las cantidades de arena y cemento, respectivamente, entonces 7
4
a
b con a b = 36.
Al descomponer y reemplazar se tiene 7 4 36 3 84
7 7 a b a a a Como b = a 36, obtenemos que b = 48.
Se necesitan 84 mt3 de arena y 48 mt3 de cemento.
2. El área de dos zonas de seguridad de un colegio están en la razón 3:7. Si ambas zonas tienen una superficie de 110 mt2, determine el área de cada una de las zonas de seguridad.
Solución:
Sean c y d las áreas de cada zona, con 3 7
c
d y c d 110.
Al componer y reemplazar se obtiene
3 7 110 10 110 7 77 7 7 10 c d d d d Como 𝑐 + 𝑑 = 110, entonces 𝑐 = 110 − 𝑑 = 110 − 77 = 23 Las áreas de cada zona de seguridad es 77 y 23 mt2.
Ejercicios propuestos
1. Componga o descomponga las siguientes proporciones para determinar el valor de a y b: a) 7 5 a b con a b 180 b) 9 5 a b con a b 48
2. Al dividir un alambre de 198 cm. en dos segmentos que estén en la razón de 4:7, ¿cuánto mide cada pedazo de alambre?
3. El precio de dos autos están en la razón de 5:3, si uno cuesta $750.000 más que el otro, ¿cuál es el precio de cada uno?
4. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo se necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque?
5. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg.
6. Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5, entre 120 obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección.
Variables proporcionales
Problema 11: Considera las siguientes situaciones.
¿Son proporcionales las cantidades involucradas en cada situación?
Hasta aquí hemos visto que una proporción es una igualdad entre dos razones, una definición que acota la proporcionalidad al ámbito aritmético. Pero, ¿qué significa que dos variables sean proporcionales?...
En las dos situaciones propuestas en el problema, cuando una variable aumenta la otra también aumenta, ¿es suficiente este comportamiento para establecer proporcionalidad? ¿Qué se requiere para que dos variables sean proporcionales?
Analicemos el comportamiento de las variables, comenzando por sus variaciones o diferencias. En los dos casos ocurre que, mientras la variable x aumenta a una diferencia constante, la variable y también aumenta con diferencia constante. PROPORCIONALIDAD Situación 1 Nº de ladrillos Peso (Kg) 5 6 10 12 15 18 20 24 25 30 Situación 2 Consumo (KWH) Factura ($) Monto 2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276 Situación 1 x Nº de ladrillos y Peso (Kg) 5 6 10 12 15 18 20 24 25 30 +5 +5 +5 +5 +6 +6 +6 +6 +2 +2 +2 +2 +136 +136 +136 +136 Situación 2 Consumo (KWH) Monto Factura ($) 2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276
