Simulaci´
on y Control de Sistemas
Continuos por Eventos Discretos
Ernesto Kofman
Tesis presentada para el cumplimiento parcial
de los requisitos para obtener el t´ıtulo de
Doctor en Ingenier´ıa
Director: Sergio Junco
Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura
Universidad Nacional de Rosario
Resumen
En esta Tesis se presentan los fundamentos y la teor´ıa de una nueva forma de aproximaci´on de ecuaciones diferenciales ordinarias aplicada a la integraci´on num´erica y al control digital.
Reemplazando la discretizaci´on del tiempo de los m´etodos cl´asicos por la cuantificaci´on de los estados –un enfoque de aproximaci´on previamente disponi-ble en la literatura– dos nuevos m´etodos num´ericos de integraci´on son obtenidos. Debido a esta t´ecnica de discretizaci´on, los modelos de simulaci´on resultantes son sistemas de eventos discretos en lugar de ser de tiempo discreto como en todos los m´etodos num´ericos cl´asicos. Este hecho conlleva varias ventajas pr´acticas, entre las que se destacan una explotaci´on eficiente de la ralitud y una reducci´on importante del costo computacional en la simulaci´on de Sistemas H´ıbridos.
Desde el punto de vista te´orico, los m´etodos desarrollados pueden ser ana-lizados como sistemas continuos en presencia de perturbaciones acotadas. En base a esto se demuestran propiedades relacionadas a la estabilidad, conver-gencia y cotas de error de global, observ´andose tambi´en aqu´ı algunas nuevas ventajas sobre los enfoques cl´asicos.
La aplicaci´on del nuevo m´etodo de primer orden en la discretizaci´on de controladores continuos junto a un esquema de muestreo asincr´onico permite definir una metodolog´ıa novedosa de control digital donde se evita idealmente la discretizaci´on del tiempo. En consecuencia, esta nueva t´ecnica mejora consi-derablemente la respuesta din´amica en sistemas de control digital reduciendo a la vez los costos computacionales y el tr´afico de informaci´on entre la planta y el controlador.
Agradecimientos
En toda Tesis se debe empezar agradeciendo al director. En este caso, mi agradecimiento va m´as all´a del trabajo en estos ´ultimos cuatro a˜nos. De no ser por Sergio dudo que me hubiera dedicado a la docencia e investigaci´on en la facultad (de hecho probablemente estar´ıa trabajando en la industria ganando un buen sueldo).
Siguiendo con lo acad´emico, en gran parte de lo que aprend´ı en este tiempo (desde detalles t´ecnicos y matem´aticos hasta como usar LATEX) tuvo mucho que ver Marimar Seron, quien adem´as me dio el impulso que necesitaba para elegir finalmente el tema de trabajo.
Tambi´en tengo que agradecerle a Julio Braslavsky por sus comentarios y por la revisi´on de varios puntos que luego formaron parte de este trabajo (princi-palmente los relacionados a control).
En ese sentido, tambi´en le debo mucho a Juan Carlos G´omez quien, entre otras cosas, me ayud´o con una cuidadosa revisi´on de m´as de un art´ıculo de los que ahora respaldan esta Tesis.
Hubo tambi´en un aporte muy grande de ideas por parte de Fran¸cois Ce-llier. Varios de los resultados aqu´ı incluidos son consecuencia de algunas de las charlas que mantuvimos en estos ´ultimos a˜nos. Adem´as, el haberme invitado a participar como coautor de su libro Continuous System Simulation fue uno de los mayores impulsos que recib´ı para continuar con este trabajo.
No quiero tampoco olvidarme de mencionar la important´ısima ayuda de Bernard Zeigler, quien adem´as de revisar y colaborar con la correcci´on de varios de los art´ıculos, me abri´o las puertas de gran parte de la comunidad internacional de simulaci´on para que mi trabajo sea conocido.
Si bien hasta ac´a me refer´ıa al aporte que recib´ı en lo acad´emico, ser´ıa injusto omitir todo lo que quienes nombro me brindaron como personas a trav´es una amistad invalorable.
Yendo a´un m´as hacia el plano personal, nada de este trabajo hubiera sido posible sin el aguante de mis viejos, Julia y Hugo, quienes me dieron –y me siguen dando– todo lo que puede llegar a pretenderse de en cuanto a afecto, consejos, apoyo y –lo mas importante– la libertad de elegir y construir mi propio camino. Y cuando nombro a mi familia no puedo dejar de agradacer a Queca, mi abuela, por sus knishes y masitas, por sus infinitas atenciones, y m´as que nada por su ejemplo.
Gracias tambi´en a mis hermanos, Diego y Marco, y necesitar´ıa un cap´ıtulo v
aparte para agradecerle a M´onica (y al Rami, por supuesto), por sus mates, vi-nos, charlas, y todo lo que me dio y me da con su amistad. No puedo tampoco olvidarme de los amigos que siempre est´an, m´as all´a de alg´un ocasional aleja-miento geogr´afico: Dami´an, Cabeza, Lottar, Dieguito, Mart´ın, Diego, Gast´on, Betty, Momia, Hern´an...
Y por supuesto, mi mayor agradecimiento para Juliana, por darle sentido a todo, por compartir cada momento de nuestras vidas.
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Indice General
1 Introducci´on 1
1.1 Organizaci´on de la Tesis . . . 2
1.2 Contribuciones Originales . . . 5
1.3 Trabajos Relacionados y Relevancia de los Resultados . . . 6
1.4 Publicaciones de Apoyo . . . 8
2 Cuantificaci´on y DEVS 11 2.1 Un Ejemplo Introductorio . . . 12
2.2 Sistemas de Eventos D iscretos y D EVS . . . 14
2.3 Modelos D EVS Acoplados . . . 17
2.4 Simulaci´on de modelos D EVS . . . 19
2.5 Sistemas Cuantificados y D EVS . . . 21
2.6 Ilegitimidad de los Sistemas Cuantificados . . . 24
2.7 DEVS y Simulaci´on de Sistemas Continuos . . . 27
3 Sistemas de Estados Cuantificados 31 3.1 Cuantificaci´on con Hist´eresis . . . 32
3.2 M´etodo de QSS . . . 33
3.3 Trayectorias en QSS . . . 34
3.4 Modelo D EVS de un QSS . . . 37
3.5 Se˜nales de entrada en el m´etodo de QSS . . . 39
3.6 Arranque e Interpolaci´on de Salidas . . . 42
3.7 Cuantificaci´on, Hist´eresis y Errores . . . 43
4 Propiedades Te´oricas de QSS 45 4.1 QSS y Teor´ıa de Perturbaciones . . . 46
4.2 Convergencia del M´etodo de QSS . . . 48
4.3 Propiedades Generales de Estabilidad de QSS . . . 50
4.4 Sistemas LTI Perturbados: Enfoque de Lyapunov . . . 54
4.5 Sistemas LTI Perturbados: Enfoque No Conservador . . . 57
4.6 M´etodo de QSS en Sistemas LTI . . . 63
4.7 Elecci´on del Quantum y la Hist´eresis . . . 65
4.8 Limitaciones del m´etodo de QSS . . . 67 vii
5 QSS de Segundo Orden 69
5.1 M´etodo de QSS2 . . . 69
5.2 Trayectorias en QSS2 . . . 71
5.3 Representaci´on DEVS de QSS2 . . . 74
5.4 Propiedades del M´etodo de QSS2 . . . 77
5.5 QSS vs. QSS2 . . . 83
6 Extensiones de QSS y QSS2 87 6.1 QSS y QSS2 en Sistemas DAE . . . 88
6.2 Simulaci´on D EVS Bloqueorientada de D AEs . . . 94
6.3 QSS y QSS2 en la Simulaci´on de Sistemas H´ıbridos . . . 98
6.4 Bond Graphs Cuantificados . . . 107
6.5 QBG y Singularidades Estructurales . . . 114
7 Control de Estados Cuantificados 119 7.1 Muestreo Asincr´onico . . . 120
7.2 El Esquema QSC . . . 121
7.3 QSC y Perturbaciones . . . 123
7.4 Estabilidad de Sistemas QSC Estacionarios . . . 124
7.5 Algoritmo de Dise˜no de QSC Estacionario . . . 128
7.6 Estabilidad de QSC Generales . . . 132
7.7 Algoritmo General para la Implementaci´on de QSC . . . 134
7.8 Convergencia de QSC . . . 136
8 Sistemas QSC Lineales 143 8.1 QSC en Sistemas LTI . . . 144
8.2 Estabilidad y Error en LTI QSC . . . 144
8.3 Algoritmo para la Implementaci´on de LTI QSC . . . 146
8.4 Ajuste de los Conversores . . . 152
8.5 Reducci´on de los Costos Computacionales en QSC . . . 153
9 Ep´ılogo 155 9.1 Problemas no Resueltos . . . 155
9.2 Problemas Abiertos y Trabajo Futuro . . . 160
9.3 Conclusiones Generales . . . 162
A Lista de Abreviaciones 171
Cap´ıtulo 1
Introducci´
on
El abordaje de la mayor parte de los problemas de ingenier´ıa modernos es casi inconcebible sin la utilizaci´on de t´ecnicas de simulaci´on. Debido a cuestiones de riesgo y costo, la experimentaci´on directa sobre sistemas reales est´a dejando su lugar a la experimentaci´on sobre modelos de simulaci´on (si bien hay excep-ciones). Hoy en d´ıa es muy dif´ıcil encontrar problemas de dise˜no que puedan llevarse a cabo sin la ayuda de una computadora.
La creciente complejidad de los sistemas hechos por el hombre y la necesidad de resultados cada vez m´as precisos y r´apidos estimularon el desarrollo de cientos de nuevas t´ecnicas de simulaci´on en los ´ultimos 40 a˜nos.
Simult´aneamente, la aparici´on de las computadoras modernas y su sorpren-dente evoluci´on brind´o la herramienta necesaria que permite la implementaci´on de los m´etodos de simulaci´on m´as complejos de una manera simple y eficiente.
Debido a esto, la simulaci´on por computadoras constituye una disciplina en s´ı misma. Como toda disciplina, est´a dividida en muchas subdisciplinas que tratan con diferentes problemas espec´ıficos.
Los problemas en ingenier´ıa involucran siempre sistemas f´ısicos. Debido a que la mayor parte de las leyes f´ısicas son descriptas por ecuaciones diferenciales, la simulaci´on en ingenier´ıa se relaciona con la resoluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales. Este tema es tambi´en llamado Simulaci´on de Sistemas Continuos.
Sin embargo, los sistemas modernos de ingenier´ıa muchas veces incluyen dispositivos digitales –controladores digitales, por ejemplo– cuya descripci´on mediante ecuaciones diferenciales no es para nada apropiada. Este hecho agrega m´as complejidad al tema y conduce a la familia de los Sistemas H´ıbridos.
En muchas aplicaciones, las simulaciones deben realizarse en tiempo real. Ejemplos t´ıpicos son los sistemas llamados man–in–the–loop systems (simula-dores de vuelo por ejemplo) y, m´as generalmente, simulaciones que interact´uan con sistemas del mundo real.
Los sistemas de control digital pueden ser considerados parte de esta ´ultima categor´ıa ya que deben interactuar con una planta real. Teniendo en cuenta que las plantas se describen generalmente mediante ecuaciones diferenciales y que consecuentemente la mayor parte de los controladores son dise˜nados para
satisfacer una ley continua, la implementaci´on digital de controladores continuos puede verse como un problema de simulaci´on en tiempo real. Como tal, debe llevarse a cabo a trav´es de diferentes t´ecnicas de discretizaci´on.
El objetivo de esta Tesis es el de desarrollar una familia completamente nueva de m´etodos num´ericos para ecuaciones diferenciales ordinarias –que puedan ser tambi´en aplicados a sistemas h´ıbridos y a sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Algebraicas– y utilizar las mismas ideas para la implementaci´on de controladores digitales.
La principal innovaci´on en los m´etodos num´ericos es el hecho de evitar la discretizaci´on temporal. Todos los m´etodos existentes para ecuaciones diferen-ciales ordinarias se basan en el c´alculo de una soluci´on aproximada en ciertos instantes discretos de tiempo. Aqu´ı en cambio, se reemplaza esta discretizaci´on por la cuantificaci´on de las variables de estado.
En consecuencia, el modelo de simulaci´on resulta de eventos discretos en lugar de ser de tiempo discreto por un lado. Este hecho produce, en algunos casos, una reducci´on importante de los costos computacionales (especialmente en sistemas h´ıbridos).
Por otro lado, esta nueva aproximaci´on conlleva propiedades te´oricas bas-tante fuertes relacionadas con la estabilidad, convergencia y cotas de error.
Ambos tipos de ventajas –pr´acticas y te´oricas– son tambi´en verificadas en la aplicaci´on de control digital mencionada.
1.1
Organizaci´
on de la Tesis
Esta Tesis est´a concebida como un trabajo autocontenido donde cada cap´ıtulo est´a basado en los anteriores aunque esto no siempre coincida con el orden cronol´ogico en el que los temas fueron desarrollados.
Por un lado, se asume que todos los conceptos b´asicos –o sea los concep-tos que se aprenden habitualmente a nivel de grado en Control y en M´etodos Num´ericos– son ya conocidos. Por otro lado, los temas, herramientas y concep-tos nuevos son introducidos solamente para su utilizaci´on en el contexto de esta Tesis.
De esta forma, la Tesis no incluye ni una teor´ıa completa ni una descripci´on del estado del arte sobre DEVS1, teor´ıa de perturbaciones, integraci´on num´ericas y los otros conceptos involucrados.
Muchos resultados te´oricos originales, incluyendo teoremas y demostracio-nes, est´an incluidos en la Tesis. Con el objeto de brindar al lector la posibilidad de saltearlos, la mayor parte de los mismos est´an concentrados en un cap´ıtulo.
En lo que se refiere a notaci´on, las denominaciones cl´asicas de las teor´ıas de control y de DEVS fueron utilizadas simult´aneamente. Por esto, algunos s´ımbolos son redefinidos frecuentemente para su utilizaci´on en los distintos con-textos. De esta forma, el significado de cada s´ımbolo debe verse de acuerdo a la ´ultima definici´on efectuada.
Teniendo en cuenta todos estos principios, la Tesis se organiza como sigue:
1.1. ORGANIZACI ´ON DE LA TESIS 3 Este primer cap´ıtulo introductorio brinda una descripci´on de la Tesis com-pleta, no s´olo enumerando los resultados sino tambi´en intentando relacionarlos con el estado del arte actual.
El segundo cap´ıtulo presenta la semilla de las ideas principales en las que se basa el resto del trabajo. Se introducen all´ı los conceptos originales sobre cuan-tificaci´on y DEVS, comenzando con un ejemplo motivador en la Secci´on 2.1. Luego, las secciones 2.2 a 2.4 desarrollan una teor´ıa ad–hoc sobre DEVS que es luego utilizada en el resto de la Tesis. Tras esto, la Secci´on 2.5 muestra la relaci´on entre el primer ejemplo y DEVS presentando el concepto de
Siste-mas Cuantificados (QS, por Quantized Systems), que fue la primer idea para
aproximar ecuaciones diferenciales con modelos DEVS.
En ese punto se termina pr´acticamente la descripci´on del estado del arte y luego, la Secci´on 2.6 describe el principal problema –llamado ilegitimidad – que exhiben los Sistemas Cuantificados. El descubrimiento de este problema y el ha-ber encontrado la soluci´on fueron probablemente la motivaci´on m´as importante de este trabajo.
El tercer cap´ıtulo comienza describiendo la soluci´on al problema de ilegi-timidad, que consiste en agregar hist´eresis a la cuantificaci´on. Basado en el uso de funciones de cuantificaci´on con hist´eresis –definidas formalmente en la Secci´on 3.1– se presentan entonces en la Secci´on 3.2 los Sistemas de Estados
Cuantificados (QSS, por Quantized State Systems) y el m´etodo de QSS. Este
m´etodo es el primer m´etodo general de eventos discretos para la integraci´on num´erica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs, por Ordinary
Diffe-rential Equations).
En base al estudio de la forma de las trayectorias (Secci´on 3.3), en la Sec-ci´on 3.4 se deduce el modelo DEVS de un QSS. Este modelo muestra a su vez la manera pr´actica de implementar el m´etodo. Tras presentar la simulaci´on de un ejemplo simple –donde se evidencian algunas cualidades tales como la ex-plotaci´on de ralitud– las Secciones 3.5 y 3.6 explican algunos aspectos pr´acticos sobre el uso del m´etodo de QSS. Por ´ultimo, el cap´ıtulo termina concluyendo sobre la necesidad de un an´alisis te´orico m´as profundo.
El Cap´ıtulo 4 est´a dedicado al estudio de las principales propiedades te´oricas de la aproximaci´on. Tras explicar la relaci´on entre el m´etodo de QSS y la teor´ıa de sistemas perturbados, la propiedad de convergencia es demostrada en el teo-rema incluido en la Secci´on 4.2. Luego, se estudian las propiedades generales de estabilidad mediante un enfoque de Lyapunov (Secci´on 4.3). El principal resul-tado en este punto (Teorema 4.2) concluye que –bajo ciertas condiciones– puede asegurarse que las soluciones del QSS aproximado est´an finalmente acotadas.
Pese a la importancia y la generalidad de este resultado de estabilidad, su utilizaci´on pr´actica es bastante complicada y conservadora (principalmente de-bido a la presencia de funciones de Lyapunov). Por esto, el an´alisis se lleva luego al ´area de los sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI por Linear Time
Invariant ), donde se estudian habitualmente las propiedades de los m´etodos num´ericos cl´asicos. Aqu´ı, para evitar resultados conservadores, se presenta una nueva forma de establecer una cota de los efectos de las perturbaciones. Este nuevo resultado es luego comparado con el enfoque cl´asico de Lyapunov
pa-ra sistemas LTI (introducido previamente en la Secci´on 4.4), mostr´andose la conveniencia de utilizar el nuevo enfoque.
En base a este nuevo enfoque, en la Secci´on 4.6 se demuestran no s´olo las propiedades de estabilidad sino tambi´en la cota de error global del m´etodo de QSS en sistemas LTI. Estos resultados te´oricos son entonces aplicados para la elecci´on de la cuantificaci´on e hist´eresis apropiadas de acuerdo a la precisi´on deseada. A pesar de las bondades de las propiedades demostradas, el estudio te´orico tambi´en concluye en que no puede alcanzarse una buena precisi´on sin aumentar significativamente el n´umero de pasos. Por esto, se torna necesario formular una aproximaci´on de orden superior.
El quinto cap´ıtulo presenta entonces los Sistemas de Estados Cuantificados
de Segundo Orden (QSS2) y el m´etodo QSS2 siguiendo un procedimiento simi-lar al utilizado en la presentaci´on del m´etodo QSS. Tras estudiar la forma de las trayectorias en la Secci´on 5.2, se deduce el modelo DEVS correspondiente (Secci´on 5.3) y luego las propiedades te´oricas estudiadas en el Cap´ıtulo 4 son extendidas al nuevo m´etodo. Por ´ultimo, la simulaci´on de algunos ejemplos – que muestra tambi´en varias ventajas pr´acticas– es seguida con una comparaci´on te´orica y emp´ırica entre los dos m´etodos propuestos.
El Cap´ıtulo 6 est´a dedicado a la extensi´on de los m´etodos de QSS y QSS2 para ciertos casos especiales. Las Secciones 6.1 y 6.2 estudian el uso de di-chos m´etodos en Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Algebraicas (DAE, por Differential Algebraic Equation) , brindandose una metodolog´ıa general para el caso de ´ındice 1. Adem´as, se presenta una soluci´on alternativa bloqueorien-tada que permite la simulaci´on directa en diagramas de bloque que contienen lazos algebraicos. Los ejemplos simulados mediante ambas soluciones muestran un ventaja: el m´etodo s´olo debe iterar con la ecuaci´on algebraica impl´ıcita en algunos pasos particulares.
La Secci´on 6.3 muestra el uso de los m´etodos nuevos en la simulaci´on de
Sistemas H´ıbridos. Aqu´ı, el conocimiento de las trayectorias completas en QSS y
QSS2 sumado al comportamiento asincr´onico intr´ınseco de los m´etodos brindan varias ventajas que se evidencian en la simulaci´on de dos ejemplos ilustrativos en los que se incluye un an´alisis comparativo con los m´etodos cl´asicos.
Este cap´ıtulo finaliza presentando la aplicaci´on del m´etodo de QSS en la simulaci´on de Bond Graphs (BG). El esquema resultante –llamado Bond
Grap-hs cuantificados (QBG, por Quantized Bond GrapGrap-hs)– brinda una forma muy
simple de realizar una simulaci´on directa del modelo Bond Graph de un sistema f´ısico. En este caso, la Secci´on 6.5 esboza tambi´en una nueva forma de tratar los sistemas DAEs de ´ındice superior resultantes de modelos BG, en la cual se obtiene un comportamiento conmutado y se evitan los algoritmos iterativos.
El s´eptimo cap´ıtulo presenta el uso del m´etodo de QSS en aplicaciones de control en tiempo real. La aproximaci´on por QSS de un controlador continuo previamente dise˜nado implementada junto a un m´etodo de muestreo asincr´onico definen un esquema nuevo de control digital en el cual te´oricamente se evita la discretizaci´on temporal. Este m´etodo de control asincr´onico se denomina
Control de Estados Cuantificados (QSC, por Quantized State Control) y se
1.2. CONTRIBUCIONES ORIGINALES 5 An´alogamente a los m´etodos de simulaci´on, QSC puede ser analizado como una versi´on perturbada del sistema de control original con el objetivo de deducir sus propiedades te´oricas. Utilizando este hecho, las Secciones 7.4 a 7.7 estudian la estabilidad y cota final de sistemas QSC no lineales, comenzando por el caso particular invariante en el tiempo (TI, por Time Invarying) y luego yendo a los casos generales inestacionarios. En estos casos, basados en los teoremas de estabilidad correspondientes, se desarrollan dos algoritmos pr´acticos de dise˜no cuyo uso es ilustrado mediante ejemplos de simulaci´on. Por ´ultimo, en la Sec-ci´on 7.8 se demuestra la convergencia de las trayectorias del sistema QSC hacia las trayectorias del sistema de control continuo (CCS, por Continuous Control System) cuando la cuantificaci´on tiende a cero.
En el Cap´ıtulo 8, se estudia el caso particular de QSC aplicado a sistemas LTI y se discuten algunos aspectos pr´acticos de la metodolog´ıa. Tras presentar el modelo QSC de un Sistema LTI, la Secci´on 8.2 presenta los resultados de estabilidad y cota final basados en las herramientas de an´alisis no conservativas desarrolladas en el Cap´ıtulo 4. Estos resultados son luego traducidos en reglas de dise˜no pr´acticas que son aplicadas en dos nuevos ejemplos en los cuales tambi´en pueden observarse algunas ventajas con respecto a la utilizaci´on de control digital cl´asico de tiempo discreto. Luego, en las Secciones 8.4 y 8.5 se realizan los comentarios finales sobre problemas de implementaci´on y sobre las ventajas pr´acticas del esquema.
Finalmente, el ´ultimo cap´ıtulo de la Tesis est´a dedicado a la discusi´on de los problemas no resueltos, los temas abiertos, la investigaci´on futura y las conclusiones generales.
1.2
Contribuciones Originales
Desde las ´ultimas p´aginas del segundo cap´ıtulo hasta el final de la Tesis la mayor parte de los resultados son originales.
La principal contribuci´on es el desarrollo de un camino formal novedoso para aproximar ecuaciones diferenciales ordinarias, que no s´olo incluye m´etodos y aplicaciones sino tambi´en una amplia variedad de herramientas de an´alisis.
Los primeros resultados originales fueron el descubrimiento de la ilegitimidad de los Sistemas Cuantificados, el hallazgo de una soluci´on basada en la utiliza-ci´on de hist´eresis y las definiciones de funciones de cuantificaci´on con hist´eresis y Sistemas de Estados Cuantificados.
Todo el trabajo sobre QSS es tambi´en original. All´ı, el estudio de la forma de las trayectorias, la deducci´on de los modelos DEVS, las cuestiones pr´acticas relacionadas con la incorporaci´on de se˜nales de entrada, arranque e interpolaci´on fueron todas desarrolladas como parte de este trabajo.
Otra contribuci´on fue el descubrimiento de la relaci´on entre QSS y los sis-temas perturbados. En base a esto fue posible entonces realizar todo el estudio te´orico de estabilidad y convergencia, convirtiendo as´ı al m´etodo de QSS en una t´ecnica de integraci´on bien establecida.
menos conservador camino para analizar la cota final de sistemas LTI pertur-bados que puede utilizarse no s´olo en el contexto de cuantificaci´on sino tambi´en en problemas m´as generales relacionados con perturbaciones. La utilizaci´on de esta nueva herramienta de an´alisis en el m´etodo de QSS permiti´o establecer una cota pr´actica para el error global.
Otro resultado original es la definici´on del m´etodo de segundo orden QSS2 y todo el trabajo hecho alrededor del mismo: deducci´on de las formas de las tra-yectorias, construcci´on del modelo DEVS y estudio de sus propiedades te´oricas. La extensi´on de los m´etodos para su uso en DAEs, Sistemas H´ıbridos y Bond Graphs, as´ı como todo el an´alisis te´orico y pr´actico realizado en torno a los mismos es tambi´en original.
En lo que respecta a control, la definici´on de QSC es el primer esquema de control asincr´onico que puede verse como la aproximaci´on de un controlador continuo. A excepci´on de la t´ecnica de muestreo asincr´onica, es original todo el estudio sobre QSC (definiciones, propiedades te´oricas y observaciones pr´acticas).
1.3
Trabajos Relacionados y Relevancia de los
Resultados
Entre los trabajos que tienen cierta relaci´on con esta Tesis, hay dos casos dife-rentes que deben distinguirse.
Por un lado, hay trabajos que utilizan una metodolog´ıa similar intentando relacionar DEVS y ecuaciones diferenciales. Por otro lado, hay trabajos que, basados en m´etodos y herramientas diferentes, intentan brindar soluciones a problemas similares.
Con respecto al primer grupo, no hay a´un una importante cantidad de tra-bajos en la literatura.
Las primeras ideas y definiciones se deben a Bernard Zeigler. Tras definir DEVS [68] en los setentas, el concepto de Sistemas Cuantificados tom´o m´as de 20 a˜nos en ser definido formalmente [66]. En el contexto de esta l´ınea pueden encontrarse algunas aplicaciones interesantes en [63].
Siguiendo una meta similar –i.e. relacionar DEVS y ODEs– Norbert Giam-biasi trabaj´o sobre un enfoque propio de representaci´on de trayectorias por eventos definiendo GDEVS [16], que tambi´en fue aplicado a Bond Graphs en [48]. A pesar que la representaci´on de trayectorias seccionalmente lineales en QSS2 mediante eventos fue hecha utilizando algunos conceptos desarrollados all´ı, GDEVS se basa en el conocimiento previo de soluciones de la ODE y no puede verse como un m´etodo general de simulaci´on.
Hay tambi´en cierto trabajo reciente de Jean–Sebastien Balduc [2], pero – aunque la propuesta es bastante interesante – la investigaci´on no lleg´o a´un a resultados que vayan mucho m´as all´a que las ideas originales de Zeigler.
Esta Tesis puede ser vista en parte como una continuaci´on del trabajo de Zeigler en el tema. Aqu´ı, el problema principal (la ilegitimidad) es se˜nalado y solucionado y el m´etodo QSS resulta entonces el primer algoritmo general
1.3. TRABAJOS RELACIONADOS Y RELEVANCIA DE LOS RESULTADOS7
de integraci´on de ecuaciones diferenciales por eventos discretos. Sin embargo, como ya fue mencionado, la resoluci´on del problema de ilegitimidad fue s´olo el comienzo. El trabajo fue luego extendido hacia una amplia variedad de campos te´oricos y pr´acticos.
A pesar que el problema de simulaci´on de DEVS en tiempo real ha veni-do sienveni-do consideraveni-do desde hace 10 a˜nos [64], no hay precedentes de su uso en control continuo. De todas formas, hab´ıa una idea previa sobre el uso de cuantificaci´on para aproximar controladores continuos utilizando aut´omatas de estados finitos [44]. Sin embargo, debido a que los aut´omatas finitos no son tan generales como DEVS, los modelos resultantes son no deterministas al menos que se utilice una cuantificaci´on muy sofisticada.
En lo que respecta al segundo grupo –los trabajos relacionados que apuntan a los mismos problemas con diferentes herramientas– encontramos aqu´ı toda la literatura sobre integraci´on num´erica y el control digital. Sin embargo, los problemas para los cuales este trabajo intenta brindar mejoras est´an en realidad mucho m´as acotados.
Es imposible de todas formas conocer y mencionar todo lo que se est´a rea-lizando para resolver todos esos problemas. Por esto, los trabajos mencionados aqu´ı son s´olo los que est´an m´as relacionados con los resultados m´as importantes de esta Tesis.
Una de las caracter´ısticas mas salientes de los m´etodos de QSS y QSS2 es la manera en la que estos explotan la ralitud. En este campo se est´an hacien-do muchos esfuerzos para sacar ventajas de este tipo de estructuras. Una de las herramientas m´as eficientes para la integraci´on num´erica de ODEs es Mat-lab, cuyos algoritmos cuentan con rutinas especiales que intentan aprovechar la estructura en cada multiplicaci´on e inversi´on de matrices [58].
Sin embargo, en QSS y QSS2 la explotaci´on de ralitud es simplemente debido al comportamiento intr´ınseco de las metodolog´ıas. Por esto, no es necesario utilizar ninguna rutina especial. M´as a´un, cuando una parte del sistema no realiza cambios (aqu´ı cada integrador act´ua independientemente) esta no utiliza tiempo computacional alguno ni causa ning´un tipo de c´alculo en el resto del modelo de simulaci´on.
Las cotas de error globales de los diferentes m´etodos son generalmente estu-diadas para demostrar la convergencia cuando el paso de integraci´on tiende a cero [17]. Adem´as de estos casos, los m´etodos de paso variable est´an concebidos para mantener este error acotado de acuerdo a la precisi´on requerida. En los m´etodos aqu´ı desarrollados –que no tienen ning´un tipo de regla adaptiva– la cota de error global en sistemas LTI puede ser calculada por una f´ormula cerra-da que vale para cualquier instante de tiempo y para cualquier trayectoria de entrada.
Otra ´area en la que QSS y QSS2 demuestran un muy buen desempe˜no es en la simulaci´on de Sistemas H´ıbridos. Estos casos han sido siempre un problema para los m´etodos cl´asicos de tiempo discreto. Aqu´ı, uno de los aspectos m´as dif´ıciles es la detecci´on de los eventos. De hecho, hay un n´umero importante de publicaciones recientes que intentan obtener soluciones eficientes para este problema [52, 61, 57, 13].
QSS y QSS2 muestran ventajas claras en estos casos. Por un lado, las trayectorias del sistema son exactamente conocidas durante todo el tiempo entre muestras. M´as a´un, estas son seccionalmente lineales o parab´olicas, por lo que encontrar el tiempo exacto en el cual ocurren las discontinuidades es un problema trivial. Por otro lado, los m´etodos son as´ıncronos y aceptan eventos en cualquier instante de tiempo. En consecuencia la implementaci´on es muy simple y no requiere modificar nada para tener en cuenta los eventos en el instante en que ocurren.
En lo que refiere a las aplicaciones en control, QSC se define como un esque-ma de control digital asincr´onico basado en cuantificaci´on y una de sus cualida-des m´as importantes es que toma en cuenta los efectos de cuantificaci´on de los conversores durante el dise˜no.
Los efectos de cuantificaci´on en sistemas de control muestreado fueron es-tudiados durante muchos a˜nos por parte del grupo de Anthony Michel. Hay entonces resultados en sistemas LTI [47, 46, 14], concluyendo sobre cotas fi-nales y errores. Tambi´en hay algunos trabajos con plantas no lineales [19] y controladores multirate [20].
Algunos trabajos tambi´en intentan tratar con la cuantificaci´on en la etapa de dise˜no siguiendo metas diversas. En [11] se estudia el problema de la estabili-zaci´on de una planta lineal de tiempo discreto considerando la cuantificaci´on en la medici´on de los estados. Esta idea es tambi´en extendida a sistemas continuos en [5].
Por ´ultimo, hay algunos resultados que utilizan cuantificaci´on para reducir el monto de informaci´on transmitida entre sensores, controladores y actuadores [12].
En todos estos problemas QSC tambi´en brinda nuevas soluciones. En lo que concierne a efectos de cuantificaci´on, su estimaci´on es acotada por una f´ormula muy simple en sistemas LTI mientras que en los casos no lineales la cota puede establecerse mediante un an´alisis de Lyapunov. Todos estos conceptos pueden adem´as tenerse en cuenta con objetivos de dise˜no.
En el caso de reducci´on de informaci´on, las ventajas son sorprendentes. QSC puede funcionar transmitiendo solamente un ´unico bit en cada muestreo.
1.4
Publicaciones de Apoyo
La mayor parte de los resultados incluidos en esta Tesis ya fueron publicados en revistas y en memorias de conferencias, mientras que el resto est´an a´un en prensa o bajo revisi´on.
Los primeros resultados fueron el descubrimiento de la ilegitimidad de los Sistemas Cuantificados, su resoluci´on con el agregado de hist´eresis y la definici´on de QSS, la deducci´on de las formas de las trayectorias, la construcci´on del modelo DEVS y la demostraci´on de las propiedades generales de estabilidad. Estos resultados fueron publicados en primer lugar en una conferencia local [26] y luego en una revista internacional [38], donde tambi´en fue incluida la propiedad de convergencia (Secciones 2.6 a 4.3 de la Tesis).
1.4. PUBLICACIONES DE APOYO 9 El segundo paso fue la extensi´on de QSS a modelos Bond Graphs y la de-finici´on de los Bond Graphs cuantificados, resultado presentado en una primer versi´on en [25] y luego extendido para su publicaci´on en una conferencia inter-nacional [39] (Secciones 6.4 y 6.5).
La comparaci´on entre el enfoque de QS (Zeigler) y el m´etodo de QSS junto a las reglas para la elecci´on de hist´eresis (Secci´on 4.7) fueron incluidos en un art´ıculo presentado en un congreso internacional [40].
Luego, las propiedades de cota de error de QSS en sistemas LTI (Secci´on 4.6) fueron publicados en las memorias de una conferencia local [27].
Simult´aneamente, los primeros resultados en QSC con plantas estacionarias incluyendo el estudio de estabilidad, algoritmo de dise˜no, convergencia y con-sideraciones pr´acticas fueron presentados con un art´ıculo en dos partes [28, 29] en un congreso local (Secciones 7.1–7.5, 7.8, y 8.4–8.5). Estos resultados est´an tambi´en publicados en una revista internacional [36].
El siguiente paso fue la definici´on del m´etodo de segundo orden QSS2 y el estudio de sus propiedades (Cap´ıtulo 5). Estos resultados fueron publicados en un art´ıculo en una revista internacional [30], en el cual se incluy´o tambi´en el an´alisis de cotas de error en sistemas LTI (Secci´on 4.6).
La estimaci´on no conservadora de cotas finales en sistemas LTI perturbados y su comparaci´on con el an´alisis cl´asico de Lyapunov (Secciones 4.4–4.5) fue presentado en una conferencia local de control [32] y luego enviado a una revista (Automatica) como Technical Note (est´a a´un en revisi´on). La aplicaci´on de estos resultados a QSC en sistemas LTI (Secciones 8.1 y 8.3) fue tambi´en publicada en un congreso de control [34].
Un art´ıculo sobre la aplicaci´on de QSS y QSS2 en DAEs (Secciones 6.1–6.2) fue aceptado para publicaci´on en una revista internacional [33]. La extensi´on de esos m´etodos a Sistemas H´ıbridos (Secci´on 6.3) fue enviada a una revista como art´ıculo completo [31], estando a´un en el proceso de revisi´on. En la misma situaci´on se encuentra el art´ıculo [35] que extiende QSC a plantas inestacionarias (Secciones 7.6–7.7) y estudia sus propiedades en sistemas LTI (Secciones 8.1 y 8.3) .
Por ´ultimo, todos los resultados concernientes con simulaci´on (Cap´ıtulos 2 a 6) se encuentran incluidos en un libro de texto en coautor´ıa [7] el cual se encuentra a´un en preparaci´on.
Cap´ıtulo 2
Cuantificaci´
on y DEVS
La literatura sobre m´etodos num´ericos de integraci´on de ecuaciones diferenciales –ver por ejemplo [54, 18, 17]– muestra una amplia variedad de t´ecnicas.
Los m´etodos pueden ser expl´ıcitos, impl´ıcitos o linealmente impl´ıcitos (de acuerdo a la formula del siguiente paso), de paso fijo o variable, de orden fijo o variable, de uno o m´ultiples pasos, etc.
A pesar de las diferencias, estos m´etodos tienen algo en com´un: todos dis-cretizan el tiempo. En otras palabras, el modelo de simulaci´on resultante (o sea, el sistema implementado por el programa de computaci´on) es siempre un Sistema de Tiempo Discreto. Aqu´ı, la denominaci´on Tiempo Discreto se refie-re a sistemas que cambian de manera sincr´onica solo en algunos determinados instantes de tiempo.
El problema que tiene este tipo de comportamiento en la simulaci´on de sis-temas continuos es la p´erdida del control de la simulaci´on en medio de instantes discretos sucesivos. Por esto, el error puede llegar a crecer a valores inadmisibles y, en algunos casos, puede incluso producir inestabilidad. Es tambi´en posible encontrar cambios en la entrada e incluso cambios estructurales en algunos ins-tantes de tiempo que no coinciden con los mencionados insins-tantes discretos.
Es sabido que el uso de m´etodos con control de paso y f´ormulas impl´ıcitas permiten –en algunos casos– sobrellevar estos problemas. Sin embargo, todas es-tas soluciones implican utilizar algoritmos cuya implementaci´on es relativamente complicada –salvo que se tengan herramientas tales como Dymola u otros pa-quetes de software comercial– y este tipo de soluciones adem´as son totalmente inapropiadas en algunos contextos (Simulaci´on en Tiempo Real por ejemplo).
Teniendo en cuenta esto hechos, es natural intentar buscar soluciones para evitar la discretizaci´on temporal.
Sin embargo, el modelo de simulaci´on debe ser implementable en un dis-positivo digital. Por esto resulta claro que la discretizaci´on es necesaria dado que solamente un n´umero finito de cambios del modelo pueden ser computa-dos en cada intervalo finito de tiempo. Entonces, a primera vista, evitar la discretizaci´on del tiempo parece una tarea imposible.
A pesar de esta observaci´on, en este cap´ıtulo se mostrar´a que hay otras 11
variables que pueden ser discretizadas para evitar la discretizaci´on temporal.
2.1
Un Ejemplo Introductorio
Consideremos el siguiente sistema de primer orden1:
˙x(t) =−x(t) + 10µ(t − 1.76) (2.1a) con la condici´on inicial
x(t0= 0) = 10 (2.1b)
Cualquier intento de simular este sistema mediante Euler o alg´un otro m´etodo cl´asico con un paso h = 0.1 –que es apropiado para la velocidad del sistema– caer´a en el caso en el que la entrada cambia en un instante que no coincide con ning´un instante discreto.
Veamos entonces que pasa con el siguiente Sistema de Tiempo Continuo: ˙x(t) =−floor(x(t)) + 10µ(t − 1.76) (2.2a) o
˙x(t) =−q(t) + 10µ(t − 1.76) (2.2b) donde q(t),floor(x(t)).
Si bien el sistema definido por la Ec.(2.2) es no lineal y no satisface las pro-piedades que se observan habitualmente en la integraci´on de ODEs (condiciones de Lipschitz, continuidad, etc.), el mismo puede ser resuelto muy f´acilmente.
Cuando 0 < t < 1/9 tenemos q(t) = 9 y ˙x(t) =−9. Durante este intervalo
x(t) va desde 10 hasta 9 con una pendiente constante (-9). Luego, durante el
intervalo 1/9 < t < 1/9 + 1/8 tenemos q(t) = 8 y ˙x(t) = −8. Ahora, x(t) va desde 9 hasta 8 (tambi´en con una pendiente constante).
Este an´alisis puede continuar de la misma forma y cuando t = 1.329 resulta que x(t) = 3. Si la entrada no cambiase, en t = 1.829 tendr´ıamos x(t = 1.829) = 2. Sin embargo, en el instante t = 1.76 (cuando x = 2.138) la entrada cambia y entonces la nueva pendiente es ˙x(t) = 8. La derivada luego vuelve a cambiar cuando x(t) = 3, o sea en el instante t = 1.8678 (este tiempo puede calcularse como 1.76 + (3− 2.138)/8).
Los c´alculos contin´uan igual hasta que x(t) = q(t) = 10 y en ese momento la derivada ˙x(t) se hace cero y el sistema no cambia m´as. La Figura 2.1 muestra las trayectorias de x(t) y q(t).
Esta simulaci´on extra˜na fue completada en s´olo 17 pasos y –sin considerar los problemas de redondeo– se obtuvo la soluci´on exacta de (2.2).
Esta soluci´on y la soluci´on del sistema original (2.1) se comparan en la Figura 2.2.
Las soluciones del sistema original y del modificado son claramente similares. Aparentemente si se reemplaza la variable x en el lado derecho de una ecuaci´on
2.1. UN EJEMPLO INTRODUCTORIO 13 x(t) q(t) x, q t 0 0.5 1 1.5 2 2 2.5 3 3 3.5 4 4 4.5 5 5 6 7 8 9 10 11
Figura 2.1: Trayectorias en el sistema (2.2)
x(t) t true modified 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11
Figura 2.2: Trayectorias de estado en los sistemas (2.1) y (2.2)
diferencial de primer orden por floor(x) , se obtiene un m´etodo para integrar dicha ecuaci´on.
Luego, esta idea podr´ıa generalizarse para ser utilizada en sistemas de orden
n reemplazando todas las variables de estado por su parte entera en el lado
derecho de la ecuaci´on.
Sin embargo, es necesario indagar primero sobre la naturaleza discreta del Sistema (2.2) e introducir algunas herramientas para su representaci´on y simu-laci´on.
2.2
Sistemas de Eventos Discretos y DEVS
La simulaci´on de una ecuaci´on diferencial utilizando cualquier m´etodo existente puede expresarse mediante una ecuaci´on en diferencias de la forma:
x(tk+1) = f (x(tk), tk) (2.3) donde la diferencia tk+1−tkpuede ser constante o variable y la funci´on f puede ser expl´ıcita o impl´ıcita. En consecuencia, el programa de simulaci´on tendr´a un c´odigo iterativo que avanza el tiempo de acuerdo al tama˜no del siguiente paso. En virtud de esto se dice que tales m´etodos de simulaci´on producen modelos de simulaci´on de tiempo discreto.
El Sistema (2.2) puede ser visto directamente como un modelo de simulaci´on ya que puede simularse exactamente con s´olo 17 pasos. Sin embargo, el mismo no puede expresarse en la forma de la Ec. (2.3) debido a la manera asincr´onica en que este sistema trata el cambio de entrada en t = 1.76.
Evidentemente, se est´a en frente a un sistema que es discreto en alg´un sentido pero pertenece a una categor´ıa que no encaja en los sistemas de tiempo discreto. Como se ver´a m´as adelante, este sistema extra˜no puede ser representado por un
Sistema de Eventos Discretos.
La frase Eventos Discretos est´a generalmente asociada con algunos forma-lismos muy populares como Aut´omatas de Estado, Redes de Petri, Grafos de Eventos (Event Graphs), Statecharts, etc. Desafortunadamente, ninguno de ellos puede representar esta clase de sistemas extra˜nos en una situaci´on general. Estos lenguajes gr´aficos se limitan a sistemas con un n´umero finito de estados posibles mientras que en este caso se requiere una herramienta m´as general. De todas formas, tal formalismo general existe y se conoce como DEVS (Discrete EVent System specification) .
El formalismo DEVS [68, 65] fue desarrollado por Bernard Zeigler a me-diados de los setentas. El uso de DEVS en relaci´on con sistemas continuos no est´a a´un muy difundido y es pr´acticamente desconocido en las comunidades de m´etodos num´ericos y control. Sin embargo, DEVS es ampliamente utilizado en ciencias de la computaci´on donde ha recibido un muy importante desarrollo en sus aspectos te´oricos y pr´acticos.
DEVS permite representar todos los sistemas cuyo comportamiento entrada salida puede ser descripto por secuencias de eventos sujeto a que el estado tenga un n´umero finito de cambios en cualquier intervalo finito de tiempo.
Un evento es la representaci´on de un cambio instant´aneo en alguna parte de un sistema. El mismo puede caracterizarse por un valor y un instante en el que ocurre. El valor puede ser un n´umero, un vector, una palabra o, en general, un elemento cualquiera de un conjunto determinado.
La trayectoria definida por una secuencia de eventos adopta el valor φ (o
No Evento) para todo valor de tiempo, excepto en los instantes en los que hay
eventos. En estos instantes, la trayectoria toma el valor correspondiente al del evento en cuesti´on. La Figura 2.3 muestra una trayectoria de eventos que toma valores x1 en el tiempo t1, x2 en el tiempo t2, etc.
2.2. SISTEMAS DE EVENTOS DISCRETOS Y DEVS 15 t x3 x1 x2 x4 t1 t2 t3 t4 t5
Figura 2.3: Trayectoria de eventos
Un modelo DEVS procesa una trayectoria de eventos de entrada y, seg´un esta trayectoria y sus propias condiciones iniciales, produce una trayectoria de eventos de salida. Este comportamiento entrada/salida se representa en la Fi-gura 2.4.
DEVS
Figura 2.4: Comportamiento Entrada/Salida de un modelo DEVS El comportamiento de un modelo DEVS se expresa luego mediante una forma que es muy com´un en la teor´ıa de aut´omatas.
Un modelo DEVS at´omico queda entonces definido por la siguiente
estruc-tura:
M = (X, Y, S, δint, δext, λ, ta)
donde:
• X es el conjunto de valores de eventos de entrada, es decir el conjunto de
todos los valores que un evento de entrada puede adoptar.
• Y es el conjunto de valores de eventos de salida. • S es el conjunto de valores de estado.
• δint, δext, λ y ta son funciones que definen la din´amica del sistema. Cada posible estado s (s∈ S) tiene asociado un Avance de Tiempo calculado por la Funci´on de Avance de Tiempo (Time Advance Function) ta(s) (ta(s) :
S → R +
0) . El Avance de Tiempo es un n´umero real no negativo que indica cuanto tiempo el sistema permanecer´a en un estado determinado en ausencia de eventos de entrada.
Luego, si el estado toma el valor s1 en el tiempo t1, tras ta(s1) unidades de tiempo (o sea, en tiempo ta(s1) + t1) el sistema realiza una transici´on interna yendo a un nuevo estado s2. El nuevo estado se calcula como s2= δint(s1). La funci´on δint (δint : S → S) se llama Funci´on de Transici´on Interna (Internal
Transition Function) .
Cuando el estado va de s1 a s2 se produce tambi´en un evento de salida con valor y1= λ(s1). La funci´on λ (λ : S→ Y ) se llama Funci´on de Salida (Output
Function). As´ı, las funciones ta, δint y λ definen el comportamiento aut´onomo de un modelo DEVS.
Cuando llega un evento de entrada el estado cambia instant´aneamente. El nuevo valor del estado depende no s´olo del valor del evento de entrada sino tambi´en del valor anterior de estado y del tiempo transcurrido desde la ´ultima transici´on. Si el sistema llega al estado s3en el instante t3y luego llega un evento de entrada en el instante t3+ e con un valor x1, el nuevo estado se calcula como
s4 = δext(s3, e, x1) (notar que ta(s3) > e). En este caso se dice que el sistema realiza una transici´on externa. La funci´on δext(δext: S×R
+
0 ×X → S) se llama
Funci´on de Transici´on Externa (External Transition Function) . Durante una
transici´on externa no se produce ning´un evento de salida. Ejemplo 2.1. Modelo DEVS de una funci´on escalar est´atica.
Consideremos un sistema que recibe una trayectoria seccionalmente constan-te u(t) representada por una secuencia de eventos con sus valores consecutivos. La salida es otra secuencia de eventos que representa la funci´on y(t) = f (u(t)) donde f (u) es una funci´on real conocida.
Un modelo DEVS que corresponde a este comportamiento es el dado por la siguiente estructura:
M1= (X, Y, S, δint, δext, λ, ta), donde
X = Y =R
S =R×R
+ 0
δint(s) = δint(u, σ) = (u,∞)
δext(s, e, x) = δext((u, σ), e, x) = (x, 0)
λ(s) = λ(u, σ) = f (u) ta(s) = ta(u, σ) = σ
Notar que el estado est´a compuesto por dos n´umeros reales. El primero (u) contiene el ´ultimo valor de entrada y el segundo (σ) guarda el avance de tiempo. En la mayor parte de los modelos DEVS se utiliza esta variable σ igual al tiempo de avance como parte del estado para simplificar el modelado.
Este modelo DEVS tiene un comportamiento est´atico dado que solamente
realiza algo cuando llega un evento. Se mencion´o anteriormente que durante las transiciones externas no se producen eventos de salida. Sin embargo, en este
2.3. MODELOS DEVS ACOPLADOS 17 ejemplo se utiliz´o un truco para producir el evento en tal instante: cuando llega un evento de entrada el avance de tiempo se pone en cero. Luego, la transici´on interna ocurre inmediatamente produciendo el evento de salida.
2.3
Modelos DEVS Acoplados
Como ya fue mencionado, DEVS es un formalismo muy general y puede describir sistemas muy complejos. Sin embargo, la representaci´on de un sistema complejo basado solamente en funciones de transici´on y de avance de tiempo es demasiado dif´ıcil. La raz´on es que todas las situaciones posibles en el sistema deben ser pensadas y descriptas por dichas funciones.
Afortunadamente, los sistemas complejos pueden en general pensarse como el acoplamiento de sistemas m´as simples. Mediante el acoplamiento, los eventos de salida de algunos subsistemas se convierten en eventos de entrada de otros subsistemas. La teor´ıa garantiza que el acoplamiento de modelos DEVS defi-ne un nuevo modelo DEVS (o sea, DEVS es cerrado frente al acoplamiento) y los sistemas complejos pueden ser representados por DEVS de una manera jer´arquica [65].
Hay b´asicamente dos formas diferentes de acoplar modelos DEVS. La prime-ra es la m´as general y utiliza funciones de traducci´on ente los subsistemas. La
segunda en cambio se basa en la utilizaci´on de puertos de entrada y salida. Esta ´
ultima es la que ser´a utilizada en esta Tesis dado que es m´as simple y adecuada para la simulaci´on de sistemas continuos.
El uso de puertos requiere agregar un nuevo n´umero, palabra o s´ımbolo a los eventos de entrada y salida que represente el puerto por el cual el evento entra o sale. El siguiente ejemplo –que es una modificaci´on del Ejemplo 2.1– ilustra esta idea.
Ejemplo 2.2. Modelo DEVS de una funci´on est´atica
Consideremos el sistema del Ejemplo 2.1, pero supongamos ahora que el mismo recibe n entradas seccionalmente constantes, u1(t), . . . , un(t) y que la
salida y(t) se calcula entonces como y = f (u1, . . . , un).
Luego, un modelo DEVS at´omico con puertos que representa este comporta-miento es el dado por la siguiente estructura:
M2= (X, Y, S, δint, δext, λ, ta), donde
X = Y =R×N S =R n× R + 0 δint(s) = δint(u1, . . . , un, σ) = (u1, . . . , un,∞)
δext(s, e, x) = δext((u1, . . . , un, σ), e, (xv, p)) = (˜u1, . . . , ˜un, 0)
λ(s) = λ(u1, . . . , un, σ) = (f (u1, . . . , un), 1) ta(s) = ta(u1, . . . , un, σ) = σ donde ˜ ui= xv if i = p ui otherwise
Como puede verse, los eventos de entrada y salida de este ´ultimo ejemplo contienen un n´umero natural que indica el puerto correspondiente.
Una vez introducidos los puertos, el acoplamiento entre distintos subsiste-mas puede indicarse enumerando directamente las conexiones que lo componen. Una conexi´on interna involucra un puerto de entrada y uno de salida
corres-pondientes a diferentes modelos. En el contexto de acoplamiento jer´arquico hay tambi´en conexiones desde los puertos de salida de los subsistemas hacia los puer-tos de salida del sistema acoplado –se llaman conexiones externas de salida– y conexiones desde los puertos de entrada del sistema acoplado hacia los puertos de entrada de los subsistemas (conexiones externas de entrada)
Ma
Mb
N
Figura 2.5: Modelo DEVS acoplado
La Figura 2.5 muestra un modelo DEVS acoplado N resultado del acopla-miento de los modelos Ma y Mb. All´ı, el puerto de salida 2 de Ma se conecta al puerto de entrada 1 de Mb. Esta conexi´on puede representarse por el par ordenado [(Ma, 2), (Mb, 1)]. Otras conexiones son entonces [(Mb, 1), (Ma, 1)], [(N, 1), (Ma, 1)], [(Mb, 1), (N, 2)], etc. De acuerdo a la propiedad de clausura, el modelo N puede ser utilizado tambi´en como si fuera un modelo at´omico y acoplado con otros modelos at´omicos o acoplados.
La teor´ıa de DEVS utiliza una estructura formal para representar modelos DEVS acoplados mediante puertos. Esta estructura incluye los subsistemas, las conexiones, los conjuntos de entrada y salida del sistema acoplado y una funci´on de desempate para tratar la presencia de eventos simult´aneos. Las conexiones est´an divididas en tres conjuntos: uno compuesto por las conexiones entre subsistemas (conexiones internas), otro con las conexiones desde el sistema acoplado hacia los subsistemas (conexiones externas de entrada) y el ´ultimo con las conexiones desde los subsistemas hacia el sistema acoplado (conexiones externas de salida).
El uso de la funci´on de desempate puede evitarse con la utilizaci´on de
Parallel-DEVS , que es una extensi´on del formalismo DEVS que permite tra-tar con eventos simult´aneos.
for-2.4. SIMULACI ´ON DE MODELOS DEVS 19 malismo Parallel–DEVS– no ser´an desarrollados aqu´ı ya que no son necesarios para utilizar DEVS como herramienta para la simulaci´on de sistemas continuos. De todas formas, la teor´ıa completa de DEVS puede encontrarse en la segunda edici´on del libro de Zeigler [65].
2.4
Simulaci´
on de modelos DEVS
Una de las caracter´ısticas m´as salientes de DEVS es que modelos muy complejos pueden simularse de una manera muy simple y eficiente.
En los ´ultimos a˜nos se han desarrollado muchas herramientas de software de-dicadas a la simulaci´on de modelos DEVS. Algunas de esas herramientas cuentan con librer´ıas, interfaces gr´aficas y muchas otras facilidades para el usuario. Mu-chas son tambi´en gratuitas, y entre las m´as populares se encuentran DEVS-Java [67] y DEVSim++ [24].
Cabe mencionar aqu´ı tambi´en una herramienta surgida del contexto de este trabajo y que, adem´as de ser un entorno de prop´osito general de simulaci´on DEVS, implementa las principales ideas que se ver´an en esta Tesis. Esta he-rramienta se llama PowerDEVS [50] y fue desarrollada por Esteban Pagliero y Marcelo Lapadula como Proyecto Final de Ingenier´ıa en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura de la UNR.
M´as all´a de estas herramientas, los modelos DEVS pueden tambi´en simularse mediante un programa ad–hoc muy sencillo escrito en cualquier lenguaje. De hecho, la simulaci´on de un modelo DEVS no es mucho m´as complicada que la simulaci´on de un modelo de Tiempo Discreto. El ´unico problema es que hay modelos que est´an compuestos por muchos subsistemas y la programaci´on ad–hoc puede transformarse en una tarea muy tediosa.
La idea b´asica para la simulaci´on de un modelo DEVS acoplado puede des-cribirse por los siguientes pasos:
1. Buscar el modelo at´omico d∗ que, de acuerdo a su tiempo de avance y tiempo transcurrido, sea el pr´oximo en realizar una transici´on interna. 2. Sea tn el tiempo de la transici´on mencionada. Avanzar entonces el tiempo
de la simulaci´on t hasta t = tn y ejecutar la funci´on de transici´on interna de d∗
3. Propagar el evento de salida producido por d∗ hacia todos los modelos at´omicos conectados a ´el ejecutando las transiciones externas correspon-dientes. Luego, volver al paso 1
Una de las formas m´as simples de implementar estos pasos es escribiendo un programa con una estructura jer´arquica equivalente a la estructura jer´arquica del modelo a simular. De hecho, este es el m´etodo desarrollado en [65] donde una rutina llamada DEVS–simulator se asocia a cada modelo DEVS at´omico y otra rutina llamada DEVS–coordinator se relaciona a cada modelo DEVS acoplado.
atomic1 atomic2 atomic3 coupled1 coupled2 simulator1 simulator2 simulator3 coordinator1 coordinator2 root− coordinator
Figura 2.6: Modelo jer´arquico y esquema de simulaci´on
En la cima de la estructura jer´arquica se coloca una rutina, llamada
DEVS-root-coordinator que se encarga de avanzar el tiempo global de la simulaci´on. La Figura 2.6 ilustra esta idea sobre un modelo DEVS acoplado.
Los simuladores y coordinadores de capas consecutivas se comunican a trav´es de mensajes. Los coordinadores env´ıan mensajes a sus hijos para que ejecuten las funciones de transici´on. Cuando un simulador ejecuta una transici´on, calcula su pr´oximo estado y –cuando la transici´on es interna– env´ıa el valor de salida a su coordinador padre. En todos los casos, el estado del simulador coincidir´a con el estado de su modelo DEVS at´omico asociado.
Cuando un coordinador ejecuta una transici´on, env´ıa mensajes a algunos de sus hijos para que ejecuten sus funciones de transici´on correspondientes. Cuando un evento de salida producido por uno de sus hijos debe ser propagado fuera del modelo acoplado, el coordinador env´ıa un mensaje a su propio coordinador padre con el valor de salida correspondiente.
Cada simulador o coordinador tiene una variable local tn que indica el tiempo en el que ocurrir´a su pr´oxima transici´on interna. En los simuladores, esa va-riable se calcula utilizando la funci´on de avance de tiempo del modelo at´omico correspondiente. En los coordinadores, la misma se calcula como el m´ınimo tn de sus hijos. Luego, el tn del coordinador que est´a por encima de todos es el tiempo en el cual ocurrir´a el pr´oximo evento considerando el sistema completo. As´ı, el root–coordinator s´olo debe tener en cuenta este tiempo, avanzar el tiem-po global t hasta este valor y luego enviar un mensaje a su hijo para que realice la siguiente transici´on (y luego el root–coordinator repite este ciclo hasta el fin de la simulaci´on).
Los detalles y los pseudo–c´odigos asociados a los simuladores, coordinadores y coordinadores ra´ız est´an incluidos en el Ap´endice B.
Una de las propiedades m´as interesantes mostradas por este tipo de simu-laci´on es la independencia entre los simuladores asociados a modelos at´omicos diferentes. De esta forma, cuando un modelo at´omico tiene su avance de tiempo muy grande (o infinito), ´este no afecta para nada al resto de los modelos y la simulaci´on no gasta ning´un c´alculo con el mismo. Se ver´a m´as adelante que este hecho resultar´a en una ventaja important´ısima para la simulaci´on de sistemas
2.5. SISTEMAS CUANTIFICADOS Y DEVS 21
ralos.
Hay adem´as muchas otras posibilidades para implementar la simulaci´on de modelos DEVS. El principal problema con la metodolog´ıa descripta es que, debido a la estructura jer´arquica, puede haber un importante tr´afico de mensajes entre las capas m´as altas y las m´as bajas. Todos estos mensajes y su tiempo computacional correspondiente pueden evitarse con el uso de una estructura de simulaci´on plana. La forma de transformar una simulaci´on jer´arquica en una plana es muy simple en el contexto de DEVS y agrega mucha eficiencia [23]. De hecho, la mayor parte de las herramientas de software mencionadas implementan la simulaci´on en base a un c´odigo plano.
2.5
Sistemas Cuantificados y DEVS
En los Ejemplos 2.1 y 2.2 se mostr´o que las trayectorias seccionalmente constante pueden ser representadas mediante secuencias de eventos. Esta idea simple constituye la base del uso de DEVS en la simulaci´on de sistemas continuos.
En esos ejemplos, tambi´en se mostr´o que un modelo DEVS puede repre-sentar el comportamiento de una funci´on est´atica con trayectoria de entrada seccionalmente constante. El ´unico problema es que en la mayor parte de los sistemas continuos las trayectorias no son as´ı. Sin embargo, se podr´ıan modifi-car los sistemas para obtener tal clase de trayectorias. De hecho, esto es lo que se hizo con el Sistema (2.1) utilizando la funci´on “floor” para convertirlo en el Sistema (2.2).
Volviendo a ese primer ejemplo, el Sistema (2.2) puede dividirse de la si-guiente forma: ˙x(t) = dx(t) (2.4a) q(t) = floor(x(t)) (2.4b) y dx(t) =−q(t) + u(t) (2.5) donde u(t) = 10µ(t− 1.76).
El sistema puede entonces representarse mediante el Diagrama de Bloques de la Figura 2.7.
Como se mencion´o antes, el Subsistema (2.5) –que es simplemente una fun-ci´on est´atica– puede representarse mediante el modelo DEVS M2del Ejemplo 2.2 (p´agina 17).
El Subsistema (2.4) es una ecuaci´on din´amica que tiene una trayectoria de entrada seccionalmente constante dx(t) y una trayectoria de salida tambi´en sec-cionalmente constante q(t). El mismo puede representarse exactamente utili-zando el modelo DEVS que sigue:
q(t)
u(t) dx(t) x(t)
Figura 2.7: Diagrama de Bloques de (2.4)-(2.5)
M3= (X, Y, S, δint, δext, λ, ta), donde
X = Y =R×N S =R 2× Z×R + δint(s) = δint(x, dx, q, σ) = (x + σ· dx, dx, q + sgn(dx), 1 |dx| ) δext(s, e, x) = δext(x, dx, q, σ, e, xv, p) = (x + e· dx, xv, q, ˜σ) λ(s) = λ(x, dx, q, σ) = (q + sgn(dx), 1) ta(s) = ta(x, dx, q, σ) = σ donde ˜ σ = q + 1− (x + e · dx) xv if xv> 0 q− (x + e · dx) xv if xv< 0 ∞ otherwise
El Subsistema (2.4) –que corresponde al integrador con el bloque escalera en el Diagrama de Bloques de la Figura 2.7– es lo que Zeigler llam´o Integrador
Cuantificado (Quantized Integrator [66, 65]. Aqu´ı, la funci´on “floor” cumple el rol de una funci´on de cuantificaci´on. Una funci´on de cuantificaci´on mapea
todos los n´umeros reales en un conjunto discreto de valores.
Un cuantificador es un sistema que vincula su entrada y su salida mediante una funci´on de cuantificaci´on. Luego, el bloque escalera viene a ser un caso particular de un cuantificador. Aunque el modelo DEVS M3 representa un Integrador Cuantificado en particular, el modelo DEVS correspondiente a uno general –o sea, con un cuantificador cualquiera– no es muy distinto.
El sistema completo (2.2) es llamado Sistema Cuantificado (Quantized
Sys-tem) y puede ser representado exactamente por el modelo DEVS resultante del
acoplamiento de los modelos at´omicos M2 y M3.
Esta fue, en t´erminos generales, la idea esbozada por Zeigler para aproximar y simular sistemas continuos utilizando DEVS.
Como puede verse, una representaci´on en modelo DEVS de un Integrador
2.5. SISTEMAS CUANTIFICADOS Y DEVS 23 y cuando las trayectorias que reciba el mismo sean seccionalmente constantes. Por otro lado, est´a tambi´en claro que el modelo DEVS de cualquier funci´on est´atica puede ser obtenido (con la misma restricci´on sobre las trayectorias de entrada).
Teniendo tambi´en en cuenta que DEVS es cerrado frente al acoplamiento, es natural pensar que un modelo DEVS acoplado representando un Sistema Cuantificado general puede ser obtenido f´acilmente.
En este caso, un sistema general (estacionario) debe ser considerado: ˙ x1 = f1(x1, x2,· · · , xn, u1,· · · , um) ˙ x2 = f2(x1, x2,· · · , xn, u1,· · · , um) .. . ˙ xn = fn(x1, x2,· · · , xn, u1,· · · , um) (2.6)
Esta ´ultima ecuaci´on puede ser transformada en: ˙ x1 = f1(q1, q2,· · · , qn, u1,· · · , um) ˙ x2 = f2(q1, q2,· · · , qn, u1,· · · , um) .. . ˙ xn = fn(q1, q2,· · · , qn, u1,· · · , um) (2.7)
donde cada qi(t) est´a relacionada con xi(t) mediante alguna funci´on de cuanti-ficaci´on.
Si se considera que las funciones de entrada uj(t) son seccionalmente cons-tantes, cada t´ermino en el lado derecho de (2.7) puede adoptar valores s´olo en un conjunto finito.
Las variables qi ser´an llamadas entonces variables cuantificadas. Este sis-tema puede representarse mediante el Diagrama de Bloques de la Figure 2.8, donde fueron definidos q y u como los vectores formados con las variables cuan-tificadas y de entrada respectivamente.
Cada subsistema en la Figura 2.8 puede ser representado exactamente por un modelo DEVS ya que estos est´an compuestos por una funci´on est´atica y un integrador cuantificado. Estos modelos pueden ser entonces acoplados (como muestra dicho Diagrama de Bloques) y, de acuerdo a la propiedad de clausura frente a acoplamiento, el sistema completo definir´a un modelo DEVS.
Por esto, cuando un sistema se modifica con el agregado de cuantificadores a la salida de los integradores, el modelo resultante puede ser exactamente representado y simulado por un modelo DEVS.
Esta idea es la formalizaci´on de la primera aproximaci´on a un m´etodo de integraci´on por eventos discretos. Con este m´etodo, ignorando los errores de redondeo, el Sistema (2.7) puede ser simulado de manera exacta. Teniendo en cuenta que este nuevo sistema parece ser una aproximaci´on del sistema original (2.6), podr´ıa pensarse que finalmente se obtuvo un m´etodo num´erico que evita la discretizaci´on del tiempo.
Sin embargo, como se ver´a en la siguiente secci´on, esta idea no funciona en casos generales.
q u x1 xn f1 fn q1 qn .. .
Figura 2.8: Representaci´on en Diagrama de Bloques de (2.7)
2.6
Ilegitimidad de los Sistemas Cuantificados
Un modelo D EVS se dice leg´ıtimo cuando no puede realizar un n´umero infinito de transiciones en un intervalo finito de tiempo [65].
La legitimidad es la propiedad que asegura que un modelo DEVS pueda ser simulado. De otra forma –cuando un n´umero infinito de transiciones pueden ocurrir en un intervalo de tiempo finito– el sistema puede ser s´olo simulado hasta que tal intervalo es alcanzado. En tal caso se dice que el modelo DEVS es ileg´ıtimo.
La teor´ıa de DEVS distingue dos casos de ilegitimidad. El primero ocurre cuando hay un n´umero infinito de transiciones en el mismo instante de tiempo (o sea, un bucle entre diferentes estados con avance de tiempo igual a cero). Esta clase de ilegitimidad es tambi´en com´un en otros formalismos de eventos discretos (Grafos de Eventos Temporizados, por ejemplo).
El segundo caso ocurre cuando el sistema pasa a trav´es de una secuencia infinita de estados en los cuales el avance de tiempo va decreciendo. En tal caso, si la sumatoria de la serie definida por los avances de tiempo sucesivos converge a un n´umero finito se tendr´a tambi´en un n´umero infinito de eventos en un intervalo de tiempo finito. Estos casos son tambi´en llamado sistemas de Zen´on en referencia a la paradoja de Zen´on sobre Aquiles y la Tortuga.
Puede verificarse f´acilmente que los modelos at´omicos DEVS M2 y M3 son leg´ıtimos pero, desafortunadamente, la legitimidad es una propiedad que no es cerrada frente al acoplamiento. En consecuencia, el acoplamiento de modelos leg´ıtimos puede resultar en un modelo acoplado ileg´ıtimo.
Este hecho abre la posibilidad de que un modelo DEVS como el mostrado en la Fig.2.8 resulte ileg´ıtimo. De hecho, esto es lo que ocurre en la mayor parte de los casos con los sistemas cuantificados.
2.6. ILEGITIMIDAD DE LOS SISTEMAS CUANTIFICADOS 25 Sin embargo, la ilegitimidad de los Sistemas Cuantificados no es un proble-ma de DEVS sino que est´a relacionado a las soluciones de (2.7). De hecho, las trayectorias qi(t) no son necesariamente seccionalmente constantes pese a que pueden adoptar valores s´olo en un conjunto finito de n´umeros. A veces estas pueden experimentar un n´umero infinito de cambios en un intervalo finito de tiempo, lo que produce un n´umero infinito de eventos en el modelo DEVS correspondiente.
Este problema puede observarse tomando u(t) = 10.5µ(t− 1.76) en el Sis-tema (2.5)–(2.4). Las trayectorias hasta t = 1.76 son exactamente las mismas mostradas en la Figura 2.1. Cuando se aplica el escal´on, la trayectoria comien-za a crecer algo m´as r´apido que antes y cuando finalmente x(t) = q(t) = 10 la trayectoria contin´ua creciendo con una pendiente ˙x(t) = 0.5. Luego, tras 2 unidades de tiempo se tiene que x(t) = q(t) = 11 e inmediatamente la pendiente se torna negativa ( ˙x(t) =−0.5). Luego, x(t) comienza a decrecer, q(t) vuelve a valer 10 y la derivada se torna nuevamente positiva obteni´endose un comporta-miento c´ıclico. El problema es que el ciclo tiene per´ıodo igual a cero y hay un n´umero infinito de cambios en q(t) en el mismo instante de tiempo.
Este comportamiento an´omalo puede tambi´en ser observado en el modelo DEVS resultante. Cuando el modelo DEVS correspondiente al integrador realiza una transici´on interna tambi´en produce un evento de salida que representa el cambio en q(t). Este evento es propagado por la realimentaci´on interna –ver Figura 2.7– y produce una nueva transici´on externa en el integrador que cambia el avance de tiempo a cero. Luego, el integrador realiza otra transici´on interna y el ciclo continua por siempre.
Este caso pertenece al primer tipo de ilegitimidad mencionada. Aqu´ı, el sistema puede ser solamente simulado hasta que se alcance la condici´on x(t) = 10.
Podr´ıa conjeturarse que la condici´on de ilegitimidad s´olo se alcanza cuando el sistema se aproxima al punto de equilibrio. Si ese fuera el caso, la condici´on de ilegitimidad podr´ıa ser detectada finalizando la simulaci´on en ese instante. Sin embargo, tal conjetura es v´alida s´olo en sistemas de primer orden.
En sistemas de orden superior este tipo de comportamiento puede observarse tambi´en lejos de los puntos de equilibrio. M´as a´un, en tales sistemas pueden encontrarse tambi´en ilegitimidades del tipo de Zen´on, como se muestra en el siguiente contraejemplo:
Ejemplo 2.3. Aquiles y la Tortuga.
Sea el sistema de segundo orden:
˙
x1 = −0.5 · x1+ 1.5· x2 ˙
x2 = −x1 (2.8)
Si aplicamos la funci´on de cuantificaci´on (Figura 2.9): qi= 2· floor(
xi− 1
2 ) + 1 (2.9)
en ambas variables, el espacio de estados queda dividido como se muestra en la Fig.2.10.
1 1 -1 -1 3 -3 3 -3 xi qi
Figura 2.9: Funci´on de cuantificaci´on impar
1 1 -1 -1 3 -3 3 -3 x1 x2
Figura 2.10: Divisi´on del espacio de estados
Luego, el Sistema Cuantificado resultante es:
˙
x1 = −0.5 · q1+ 1.5· q2 ˙
x2 = −q1 (2.10)
Analicemos entonces la soluci´on de (2.10) desde la condici´on inicial x1= 0,
x2= 2.
La derivada del vector de estados de (2.10) en un punto queda definida por el lado derecho de dicha ecuaci´on, utilizando (2.9). Esta es igual a la derivada del
