Las propiedades de estabilidad de un sistema similar a (7.8) en relaci´on a la estabilidad de (7.6) ya fueron estudiadas. De hecho, el Teorema 4.2 estableci´o
7.4. ESTABILIDAD DE SISTEMAS QSC ESTACIONARIOS 125 condiciones para asegurar la cota final de las trayectorias de la versi´on estacio- naria (7.8) sin los t´erminos de perturbaci´on ∆yp y ∆yc.
Teniendo en cuenta ese resultado, intentaremos extenderlo y utilizarlo en el caso particular de un controlador QSC con una planta estacionaria.
Entonces, bajo las consideraciones mencionadas y considerando que la re- ferencia ur es nula o constante, las ecuaciones del CCS (7.1) y (7.2) pueden reescribirse como: ˙xp(t) = fp(xp(t), up(t)) yp(t) = gp(xp(t)) (7.9) ˙xc(t) = fc(xc(t), uc(t)) yc(t) = gc(xc(t), uc(t)) (7.10) mientras que el controlador QSC puede representarse por
˙xc(t) = fc(qc(t), uc(t))
yc(t) = gc(qc(t), uc(t)) (7.11) Con este nuevo conjunto de ecuaciones se puede entonces establecer el siguiente teorema:
Teorema 7.1. Estabilidad de QSC Estacionario.
Consideremos que el origen del CCS en lazo cerrado (7.9)–(7.10) es un pun- to de equilibrio regionalmente estable. Supongamos que las funciones fp, gp, fc
y gc son continuamente diferenciables y que se conoce una funci´on de Lyapunov
V definida en una regi´on abierta D que contiene al origen. Luego, puede encon- trarse un sistema QSC asociado al CCS original tal que todas las condiciones iniciales en una regi´on arbitraria interior a D son atra´ıdas en tiempo finito a otra regi´on arbitraria contenida en la anterior. Ambas regiones interiores deben estar limitadas por superficies de nivel de V .
Demostraci´on. De las Ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.3) pueden obtenerse las si-
guientes ecuaciones a lazo cerrado del CCS:
˙xp = fp(xp, gc(xc, gp(xp))) ˙xc = fc(xc, gp(xp))
(7.12) La implementaci´on del sistema QSC correspondiente –Ecs.(7.11) y (7.5)– trans- forma (7.12) en:
˙xp= fp(xp, gc(xc+ ∆xc, gp(xp) + ∆yp) + ∆yc) ˙xc= fc(xc+ ∆xc, gp(xp) + ∆yp)
(7.13) donde se est´a utilizando la notaci´on introducida en (7.7a).
Sea: α(x, ∆xc, ∆yp, ∆yc), (7.14) ∂V ∂xp (x)· fp(xp, gc(xc+ ∆xc, gp(xp) + ∆yp) + ∆yc) + ∂V ∂xc (x)· fc(xc+ ∆xc, gp(xp) + ∆yp)
con: ∂V ∂xp (x) = ∂V ∂xp1 · · · ∂V ∂xpn (x) ∂V ∂xc (x) = ∂V ∂xc1 · · · ∂V ∂xck (x)
donde n y k son el orden de la planta y el controlador respectivamente y V (x) =
V (xp, xc) es la funci´on de Lyapunov del sistema a lazo cerrado definido en (7.12). De la Ecuaci´on (7.14) puede verse que:
α(x, 0, 0, 0) = ˙V (x)
(7.12) (7.15)
Sea D1 una regi´on interior de D (D ⊂ R
n+k) limitada por alguna superficie de nivel de V . Sea D2 otra regi´on interior de D1 tambi´en limitada por una superficie de nivel de V . Sea D3 la regi´on interior definida por D3= D1− D2.
Dado que ˙V (x) es definida negativa, es posible encontrar un n´umero positivo
s tal que:
˙
V (x) <−s, ∀x ∈ D3 (7.16)
Sea αM una funci´on definida seg´un:
αM(∆xc, ∆yp, ∆yc), sup x∈D3
(α(x, ∆xc, ∆yp, ∆yc)) (7.17) De (7.15) y (7.16) sigue que:
αM(0, 0, 0) <−s (7.18)
Como la funci´on α es continua, la funci´on αM resulta continua. De esta propie- dad y de (7.18), dado un n´umero arbitrario s1(s > s1> 0), es posible encontrar
una constante positiva ρ tal que la condici´on:
(∆xc, ∆yp, ∆yc) < ρ (7.19)
implique que:
αM(∆xc, ∆yp, ∆yc) <−s1 (7.20) Teniendo en cuenta que las perturbaciones est´an acotadas por los intervalos de cuantificaci´on respectivos, la condici´on dada en (7.19) puede satisfacerse eligiendo una cuantificaci´on adecuada2.
2Por ejemplo, considerando la misma cuantificaci´on uniforme en todas las variables cuan-
tificadas, la condici´on mencionada puede alcanzarse tomando: ∆q <√ ρ
k + m + p
donde ∆q es el quantum (igual al ancho de hist´eresis), k es el orden del controlador (o sea, la dimensi´on de ∆xc), p es el n´umero de variables de salida de la planta (dimensi´on de ∆yp) y
7.4. ESTABILIDAD DE SISTEMAS QSC ESTACIONARIOS 127 Sea φ(t) una soluci´on de la Ecuaci´on (7.13) para la condici´on inicial φ(t = 0) = x0 ∈ D3. Supongamos que la cuantificaci´on fue tomada de forma tal que se satisface la condici´on dada por (7.19). De (7.13) y (7.14) sigue que:
α(φ, ∆xc, ∆yp, ∆yc) = ∂V ∂xp (φ)· ˙φp+ ∂V ∂xc (φ)· ˙φc= = ∂V ∂x(φ)· ˙φ
Usando (7.17) y (7.20) en la ´ultima ecuaci´on, tenemos,
∂V
∂x(φ)· ˙φ < −s1 (7.21)
Esta condici´on se cumplir´a al menos durante cierto tiempo mientras φ(t) perma- nezca en D3(esto queda garantizado por la continuidad de φ(t)). Tras integrar ambos lados de la Desigualdad (7.21), resulta
t 0 ∂V ∂x(φ)· ˙φ · dt < t 0 −s1· dt V (φ(t))− V (φ(0)) < −s1· t V (φ(t)) < V (x0)− s1· t
Esto implica que V evaluada a lo largo de la soluci´on est´a acotada por una funci´on estrictamente decreciente mientras la soluci´on permanece en D3. D ado que el valor V (x0) es menor que el valor que toma V en la frontera de D1, est´a claro que la trayectoria nunca puede dejar D1.
Sea V1 el valor que V toma en la frontera de la regi´on D2. Luego, puede verse f´acilmente que la trayectoria alcanzar´a la regi´on D2 en un tiempo finito
t1con:
t1,
V (x0)− V1
s1 (7.22)
lo que completa la demostraci´on.
Corolario 7.1. Estabilidad Semiglobal de QSC.
Cuando la derivada de la funci´on de Lyapunov es definida negativa en to- do el espacio de estados, la implementaci´on de QSC puede asegurar cota final semiglobal de las soluciones.
La demostraci´on es inmediata. Para alcanzar la estabilidad semiglobal basta con agrandar la regi´on D1indefinidamente. Desafortunadamente, esto tambi´en implica agrandar la regi´on de no–saturaci´on y luego, la estabilizaci´on global no puede asegurarse en casos generales.
La Ecuaci´on (7.19) da la m´axima perturbaci´on permitida para asegurar el cumplimiento de la meta propuesta (o sea, regi´on de atracci´on D1 y cota final dentro de D2). Dado que la m´axima perturbaci´on en cada variable est´a dada por el quantum correspondiente, esta ecuaci´on puede utilizarse para elegir el
quantum en las diferentes variables de estado del controlador y en los conversores completando as´ı el dise˜no del QSC.
Es importante notar que D1 es tambi´en la estima de la regi´on de atracci´on del CCS utilizando la funci´on de Lyapunov V . Luego, puede encontrarse una implementaci´on QSC que conserva la regi´on de atracci´on estimada.
La presencia de cuantificaci´on igualmente destruye la estabilidad asint´otica aunque a´un puede asegurarse la existencia de una cota final par las soluciones. M´as a´un, la regi´on final D2 puede ser elegida arbitrariamente. Sin embargo, si esta es tomada demasiado peque˜na el quantum resultar´a demasiado peque˜no y el costo computacional se incrementar´a por encima de lo que se puede imple- mentar de manera pr´actica ya que, al igual que en QSS, la tasa de eventos en el controlador ser´a aproximadamente proporcional a la inversa del quantum.