Utilizando este lema, el m´ınimo de una funci´on cuadr´atica cuando la com- ponente xi= r es r2/eiQ−1eTi = r2/(Q−1)i,i. Luego, resulta que
min x∞=r
xTQx = r
2 maxi(Q−1)i,i y la Ecuaci´on (4.32) puede ser reemplazada por
xTQx≥ x
2 ∞ maxi(Q−1)i,i
(4.36) Entonces, siguiendo una idea similar a la del an´alisis en norma 2, la cota obtenida es:
µ∞ = 2bq
bpP ∞· (P A∞∆xmax∞+P B∞∆umax∞)(4.37) donde bq , max 1≤i≤n(Q −1) i,i y bp, max 1≤i≤n(P −1) i,i
4.5
Sistemas LTI Perturbados:
Enfoque No
Conservador
Para obtener un resultado menos conservador es necesario explotar la estructura del sistema. Por esto, deber´a seguirse una idea completamente diferente a la del an´alisis de Lyapunov.
Para aprovechar la estructura, se estudiar´a primero el sistema desacoplado (Lema 4.3 y Corolario 4.1). Luego, los resultados ser´an llevados de vuelta al sistema original en el Teorema 4.3.
Esta forma de trabajar permitir´a utilizar las propiedades geom´etricas del sistema y de las perturbaciones. Como se ver´a m´as adelante, esto resultar´a en una estimaci´on menos conservadora de la cota final.
Lema 4.3. Sistema Escalar Perturbado.
Sea la siguiente ecuaci´on de primer orden con coeficiente complejo:
˙x = a(x + ∆x) + B∆u (4.38)
donde a, x, ∆x∈C, ∆u∈C
k y B∈ C
1×k.
Asumamos tambi´en que Re(a) < 0,|∆x| ≤ ∆xmax y|∆u| ≤ ∆umax.
Sea x(t) una soluci´on de (4.38) desde la condici´on inicial x(t0) = 0. Luego,
para todo t≥ t0 resulta que
|x(t)| ≤ a Re(a) ∆xmax+ Re(a)B ∆umax
Demostraci´on. Sea x = ρ· ejθ con ρ, θ∈
R. Con esto la Ecuaci´on (4.38) queda
˙
ρ· ejθ+ jρ· ejθ· ˙θ = a(ρ · ejθ+ ∆x) + B∆u Luego,
˙
ρ + jρ· ˙θ = a(ρ + ∆x · e−jθ) + B∆u· e−jθ Tomando la parte real de la ´ultima ecuaci´on, resulta que
˙ ρ =Re(a)ρ +Re(a∆x· e −jθ) + Re(B∆u· e −jθ) y ˙
ρ≤Re(a)ρ +|a|∆xmax+|B|∆umax
Entonces, cuando
ρ =|x(t)| =|a|∆xmax+|B|∆umax |Re(a)|
resulta que ˙ρ≤ 0 y |x(t)| no puede superar la cota dada.
Aplicando el Lema 4.3 a cada componente de un sistema desacoplado se obtiene el siguiente corolario:
Corolario 4.1. Sistema Perturbado Desacoplado.
Sea el Sistema (4.23) donde x, ∆x ∈ C
n, A ∈ C n×n, ∆u ∈ C k y B ∈ C
n×k. Sup´ongase tambi´en que A es una matrizdiagonal con
Re(Ai,i) < 0 y
consid´erense las desigualdades (4.26) y (4.27). Sea x(t) una soluci´on de (4.23) desde x(t0) = 0. Luego, para todo t≥ t0 resulta
|x(t)| ≤ |Re(A)
−1A|∆x
max+|Re(A)
−1B|∆u max En base a este corolario, el siguiente teorema puede derivarse: Teorema 4.3. Cota de las Trayectorias Iniciadas en el Origen.
Sea el Sistema (4.23) donde x, ∆x ∈ R n, A ∈ R n×n, ∆u ∈ R k and B ∈ R
n×k. Sup´ongase que A es una matrizHurwitzdiagonalizable y que los t´erminos
de perturbaci´on satisfacen (4.26) y (4.27). Sea x(t) una soluci´on del sistema comenzando desde x(t0) = 0. Luego, para todo t≥ t0 resulta
|x(t)| ≤ |V | · (|Re(Λ)
−1Λ||V−1|∆x
max+|Re(Λ)
−1V−1B|∆u
max) (4.39)
donde Λ es una matrizdiagonal de autovalores de A y V es una matrizasociada de autovectores, o sea
V−1AV = Λ (4.40)
Demostraci´on. Sea x = V z. De (4.23) sigue que V ˙z = A(V z + ∆x) + B∆u
Luego,
4.5. SISTEMAS LTI PERTURBADOS: ENFOQUE NO CONSERVADOR 59
Teniendo en cuenta las restricciones en |∆x| y |∆u|, se tiene que
|V−1∆x| ≤ |V−1|∆x max y
|V−1B∆u| ≤ |V−1B|∆u max
Dado que Λ es una matriz diagonal con Re(Λi,i) < 0 (ya que A es Hurwitz)
y teniendo en cuenta las ´ultimas desigualdades, el Sistema (4.41) satisface las hip´otesis del Corolario 4.1.
Luego, para todo t≥ t0 se puede asegurar que
|z(t)| ≤ |Re(Λ)
−1Λ||V−1|∆x
max+|Re(Λ)
−1V−1B|∆u max y finalmente se tiene que
|x(t)| = |V z(t)| ≤ |V ||z(t)| ≤ ≤ |V |(|Re(Λ) −1Λ||V−1|∆x max+|Re(Λ) −1V−1B|∆u max) lo que completa la demostraci´on.
El Teorema 4.3 calcula una cota para las trayectorias de un sistema LTI perturbado asumiendo que las trayectorias comienzan en el origen.
Ahora, basado en este ´ultimo resultado, el Teorema 4.4 brinda una estima- ci´on de la cota final por componentes y en t´erminos de la norma p para sistemas LTI perturbados con condiciones iniciales arbitrarias.
Teorema 4.4. Cota Final de Sistemas LTI Perturbados.
El Sistema (4.23), bajo las hip´otesis del Teorema 4.3 es global y finalmente acotado con cota final
µ = |V| · (|Re(Λ)
−1Λ| · |V−1|∆x
max+|Re(Λ)
−1V−1B|∆u
max) (4.42)
Mas a´un, existe un tiempo finito t1 = t1(c , x0) tal que para cada constante
positiva c las soluciones satisfacen |x(t)| ≤ (1 + c)|V | · (|Re(Λ)
−1Λ| · |V−1|∆x
max+|Re(Λ)
−1V−1B|∆u
max)(4.43)
para todo t≥ t1 y para cualquier condici´on inicial x0.
Demostraci´on. Sea x(t) una soluci´on de (4.23) comenzando desde una condici´on inicial arbitraria x(0) = x0, y sea ˜x(t) una soluci´on del sistema nominal
˙˜x = A˜x (4.44)
comenzando desde la misma condici´on inicial.
Sea e(t) = x(t)− ˜x(t). Luego, resulta que e(0) = 0 y e(t) satisface la Ecua- ci´on (4.23), lo que implica que tambi´en satisface las hip´otesis del Teorema 4.3. Luego, |e(t)| ≤ |V | · (|Re(Λ) −1Λ| · |V−1|∆x max+|Re(Λ) −1V−1B|∆u max) (4.45)
Dado que A es Hurwitz, el sistema nominal (4.44) es exponencialmente estable. Luego, para cada constante positiva c existe un tiempo finito t1 tal que para todo t > t1 se tiene |˜x(t)| ≤ c|V | · (|Re(Λ) −1Λ| · |V−1|∆x max+|Re(Λ) −1V−1B|∆u max) (4.46) Luego, para t > t1, x(t) = e(t) + ˜x(t) |x(t)| ≤ |e(t)| + |˜x(t)|
y reemplazando con (4.45) y (4.46) se llega a (4.43), lo que completa la demos- traci´on,
Los resultados, el Teorema 4.4 y la Eq.(4.42), brindan una alternativa a las cotas dadas por (4.35) y (4.37).
Los ejemplos siguientes ilustran las ventajas de este nuevo enfoque. Ejemplo 4.2. Cota Final de un Sistema Stiff Perturbado
Sea el sistema perturbado
˙x(t) = 0 100 −100 −10001 · [x(t) + ∆x(t)] donde los componentes de la perturbaci´on est´an acotados por
|∆x1(t)| ≤ 0.01; |∆x2(t)| ≤ 0.0001
La f´ormula basada en Lyapunov (4.35) se minimiza tomando4
Q =
1 −1.4631
−1.4631 197.568
obteni´endose la cota final µ2 = 20.1861. Similarmente, el m´ınimo de (4.37) se
obtiene para Q = 1 −1.448 −1.448 196.124 lo que da µ∞= 14.45.
Para el mismo ejemplo, el enfoque nuevo –el Teorema 4.4 y la Ecua- ci´on (4.42)– dan ˜µ2= 0.0100085 (cota en norma 2) y ˜µ∞= 0.01. La estima es
aproximadamente 2000 veces menos conservadora en norma 2 y 1400 veces en
norma ∞.
M´as a´un, el Teorema 4.4 concluye que, de acuerdo a (4.43), tras un cierto tiempo t1 se tendr´a que
|x1(t)| < (1 + c)0.01; |x2(t)| < (1 + c)0.0003
4El m´ınimo fue obtenido con el Nelder–Mead simplex method (funci´on ’fminsearch’ de
4.5. SISTEMAS LTI PERTURBADOS: ENFOQUE NO CONSERVADOR 61 para cualquier constante positiva c. Si el objetivo fuera conocer sobre la cota de la segunda componente, este resultado es a´un mucho mejor que el obtenido con
(4.42).
Los c´alculos fueron hechos utilizando las matrices de autovalores y autovec- tores obtenidos con la funci´on ‘eig’ de Matlab.
V = 1 −0.01 −0.01 1 ; Λ = −1 0 0 −10000
La raz´on del pobre desempe˜no del an´alisis de Lyapunov es, en parte, debido a la gran diferencia entre los autovalores del sistema (el sistema es r´ıgido o stiff ). En virtud de esto, los autovalores de la matriz P son tambi´en muy diferentes lo que implica que las superficies de nivel de U (x) sean elipses muy achatadas. En consecuencia, el radio ρ que define la bola donde la derivada de la funci´on de Lyapunov es negativa difiere significativamente del radio µ2, que define la bola que contiene todas las superficies de nivel que pasan por la bola de radio ρ (ver Figura 4.2).
µ2
ρ U (x) = c
Figura 4.2: Cota de Lyapunov en Norma 2
Sin embargo, el mal desempe˜no tambi´en se debe a la p´erdida de la estructura del problema al utilizar la funci´on de Lyapunov. De esta forma, el an´alisis no puede obtener ning´un beneficio del hecho que el t´ermino de perturbaci´on act´ua con diferente amplitud en cada direcci´on.
Ejemplo 4.3. Un Sistema Stiff con Perturbaciones de Entrada.
Consideremos ahora el mismo sistema que antes con una perturbaci´on de entrada. ˙x(t) = 0 100 −100 −10001 · x(t) + 1 0 · d(t)
donde |d(t)| ≤ 1.
El m´ınimo de la cota de Lyapunov dado por (4.35) se obtiene con: Q =
1 −2.2822
−2.2822 266.581
resultando en una estimaci´on de µ2= 26.7327.
Similarmente, (4.37) tiene un m´ınimo para Q = 1 −1.7681 −1.7681 195.484 brindando µ∞= 21.593.
Ahora, el uso de (4.42) da ˜µ2 = 1.00015 y ˜µ∞ = 1.0001. Con esto, los
resultados del nuevo enfoque son m´as de 20 veces mejores.
El Teorema 4.4 tambi´en asegura que, de acuerdo a (4.43), tras alg´un tiempo se tendr´a que
|x1(t)| < 1.0001; |x2(t)| < (1 + c)0.01
y la estima de la cota en la segunda componente se torna 2000 veces mejor que la brindada por el an´alisis de Lyapunov.
Las ventajas del nuevo enfoque en sistemas stiff es bastante clara teniendo en cuenta lo que se ilustra en la Figura 4.2.
El ´ultimo ejemplo de esta secci´on ilustrar´a el uso de la nueva metodolog´ıa en un ejemplo muy simple (no stiff) de segundo orden con autovalores complejos en presencia de perturbaciones de entrada. Este no es el caso de la Figura 4.2 y entonces la ventaja del m´etodo aqu´ı es s´olo debido a la conservaci´on de la estructura del problema.
Ejemplo 4.4. Un Sistema No Stiff Perturbado
Sea el sistema ˙x(t) = 0 1 −1 −1 · x(t) + 1 0 · d(t) donde |d(t)| ≤ 1.
Las cotas obtenidas con el an´alisis de Lyapunov son µ2 = 5.1098 y µ∞ = 3.7535 obtenidas con las matrices ´optimas
Q2= 1 −0.0421 −0.0421 1.1177 y Q∞= 1 −0.475 −0.475 1.0703 respectivamente.
Por otro lado, las cotas obtenidas con el enfoque nuevo son ˜µ2 = 3.266 y ˜