e igual al ancho de hist´eresis.
Teniendo en cuenta que la diferencia entre la nueva aproximaci´on y el m´etodo de QSS es el uso de cuantificadores de primer orden en lugar de funciones de cuantificaci´on con hist´eresis, el m´etodo de QSS2 puede definirse como sigue: Definici´on 5.2. M´etodo de QSS2.
Dado un sistema de ecuaciones de estados estacionario (3.2), el m´etodo de QSS2 lo aproxima por un sistema como (3.3) donde los componentes de q(t) y x(t) est´an relacionados componente a componente por funciones de cuantifica- ci´on de primer orden.
El sistema resultante (3.3) se denominar´a Sistema de Estados Cuantificados
de Segundo Orden (QSS2). La Figura 5.2 muestra el Diagrama de Bloques
correspondiente. q u x1 xn f1 fn q1 qn .. . F.O.Q. F.O.Q.
Figura 5.2: Diagrama de Bloques de un QSS2
Como antes, los componentes de q(t) se llamar´an variables cuantificadas. En QSS fue necesario agregar hist´eresis para asegurar que las trayectorias de las variables cuantificadas sean seccionalmente constantes y evitar la ilegitimi- dad. En la definici´on de QSS2 la hist´eresis parece no existir. Sin embargo, est´a presente de manera impl´ıcita en la definici´on de la funci´on de cuantificaci´on de primer orden. All´ı, el s´ımbolo de valor absoluto en la Ecuaci´on (5.1) expresa el comportamiento hister´etico.
5.2
Trayectorias en QSS2
Resulta casi obvio que las salidas de una funci´on de cuantificaci´on de primer orden tengan trayectorias seccionalmente lineales. De hecho, esta fue definida para obtener tales trayectorias y entonces es l´ogico esperar que las variables
cuantificadas de un QSS2 sean seccionalmente lineales (m´as adelante se demos- trar´a esto formalmente).
En QSS no s´olo las variables cuantificadas sino tambi´en las derivadas de las variables de estado eran seccionalmente constantes. Por eso, se pod´ıa afir- mar que las variables de estado ten´ıan trayectorias seccionalmente lineales y, utilizando estas caracter´ısticas, se pudo construir el modelo DEVS.
Sin embargo, en QSS2 no encontramos toda esta suerte de trayectorias par- ticulares. Aunque las variables cuantificadas y las entradas sean seccionalmente lineales esto no implicar´a necesariamente que las derivadas de las variables de estado tengan tal forma. El motivo de esto es que una funci´on no lineal aplicada a una trayectoria seccionalmente lineal no da como resultado otra trayectoria seccionalmente lineal.
El ´unico caso en el que puede decirse que las derivadas de las variables de estado son seccionalmente lineales es en los sistemas LTI y luego, en ese caso, las variables de estado tendr´an trayectorias seccionalmente parab´olicas.
Los siguientes teoremas demuestran estos hechos. Teorema 5.1. Trayectorias Cuantificadas en QSS2
Dado el QSS2 definido en (3.3) con f continua y acotada en cualquier do- minio acotado y siendo u(t) acotada, las trayectorias de q(t) son seccionalmente lineales mientras permanecen en una regi´on acotada.
Demostraci´on. Sup´ongase que qi(t) y xi(t) denotan la trayectoria de la i-´esima componente de q(t) y x(t) respectivamente. Dado que xi(t) y qi(t) est´an relacio- nadas por una funci´on de cuantificaci´on de primer orden, la ´ultima trayectoria puede escribirse como
qi(t) =
xi(t) si t = t0∨ |q(t−)− x(t−)| = ∆q
qi(tj) + mj(t− tj) en otro caso
(5.4) con la secuencia t0, . . . , tj, . . . definida de acuerdo a
tj+1= min(t|t > tj∧ |xi(tj) + mj(t− tj)− xi(t)| = ∆qi) (5.5) y donde, de acuerdo a (5.2), se tiene que
m0= 0, mj= ˙xi(t−j) j = 1, . . . , k, . . . (5.6)
Aunque la Ecuaci´on (5.4) implica que qi(t) est´a formada por secciones de rectas, para asegurar que es seccionalmente lineal debe asegurarse antes que la secuencia t0, . . . , tj, . . . , no contiene un n´umero infinito de componentes en un intervalo finito de tiempo.
Dado que se asumi´o que q(t) est´a acotada en un cierto intervalo de tiempo [t0, tf], y teniendo en cuenta las hip´otesis formulada sobre f y el hecho que u(t), resulta
5.2. TRAYECTORIAS EN QSS2 73 De (5.6) tenemos que
|mj| ≤ |fi(q(t), u(t))| ≤ Fi (5.8)
Luego, la pendiente resulta siempre acotada por una constante Fi. De (5.5) sigue que ∆qi = |xi(tj) + mj(tj+1− tj)− xi(tj+1)| ≤ |xi(tj+1)− xi(tj)| tj+1− tj (tj+1− tj) +|mj|(tj+1− tj) ≤ |mj+1|(tj+1− tj) +|mj|(tj+1− tj) ≤ 2Fi(tj+1− tj) Y finalmente, tj+1− tj ≥ ∆qi 2Fi
Esta ´ultima desigualdad implica que la secuencia t0, . . . , tj, . . . , tiene un m´ınimo tiempo entre componentes sucesivos y luego es imposible tener un n´umero in- finito de componentes en un intervalo finito de tiempo. En consecuencia, las trayectorias de q(t) son seccionalmente lineales.
Teorema 5.2. Trayectoria de las Derivadas de Estado en QSS2.
En un QSS2 asociado a un sistema LTI con trayectorias de entrada seccio- nalmente lineales y acotadas las derivadas de las variables de estado son sec- cionalmente lineales mientras las variables cuantificadas permanecen una regi´on acotada.
Demostraci´on. En sistemas LTI se tiene que f = Ax + Bu y luego, las hip´otesis sobre continuidad y acotaci´on de f formuladas en el Teorema 5.1 se satisfacen. Teniendo en cuenta tambi´en que lo asumido all´ı sobre las trayectorias cuantifi- cadas y de entrada se cumple tambi´en resulta que el teorema mencionado vale y luego, las variables cuantificadas tienen trayectorias seccionalmente lineales.
Un sistema LTI puede expresarse por la Eq.(4.47) (p´agina 63) y su QSS2 asociado toma la forma de (4.48).
Dado que q(t) y u(t) son seccionalmente lineales, queda claro que las trayec- torias de ˙x(t) ser´an tambi´en seccionalmente lineales
Un corolario de este teorema es que en el caso de un QSS2 asociado a un sistema LTI las trayectorias de las variables de estado son seccionalmente pa- rab´olicas como ya fue mencionado.
Las trayectorias seccionalmente lineales y constantes de QSS permitieron encontrar la representaci´on DEVS. De manera similar, las trayectorias seccio- nalmente lineales y parab´olicas permitir´an construir un modelo DEVS que re- presente exactamente el comportamiento de un QSS2 asociado a un sistema LTI.
Sin embargo, teniendo en cuenta que las formas de las trayectorias no se conservan en sistemas no lineales, s´olo ser´a posible simular exactamente las aproximaciones QSS2 de sistemas LTI.
De todas formas, como se ver´a en la pr´oxima secci´on, el m´etodo de QSS2 puede tambi´en aplicarse en sistemas no lineales generales pero en ese caso los resultados de simulaci´on no coincidir´an exactamente con las soluciones de (3.3).