Tras la definici´on del m´etodo de QSS en la Secci´on 3.2 las observaciones subsi- guientes estuvieron enfocadas en la implementaci´on de los Sistemas de Estados Cuantificados mediante DEVS. Teniendo en cuenta las consideraciones de las Secciones 3.4 a 3.6, queda claro como debe construirse y simular el modelo DEVS correspondiente a un QSS cualquiera.
Luego, dado un sistema continuo como (3.2) y sabiendo cual es el quantum y la hist´eresis que debe utilizarse en cada variable, la simulaci´on DEVS puede realizarse f´acilmente.
Sin embargo, no se dijo nada sobre el problema clave del m´etodo: la elecci´on de la cuantificaci´on y la hist´eresis a aplicar en cada variable de estado.
En los m´etodos cl´asicos de tiempo discreto, los par´ametros de simulaci´on (paso de integraci´on, tolerancia de error, etc.) se eligen de acuerdo a considera- ciones de estabilidad y precisi´on requerida.
Hasta aqu´ı no se dijo nada sobre estos temas –estabilidad, error, etc.– en relaci´on al m´etodo de QSS.
Dado que la meta es simular el Sistema (3.2), la precisi´on de la simulaci´on estar´a conectada con la similitud entre este sistema y (3.3).
Teniendo en cuenta que la ´unica diferencia entre ambos sistemas es la pre- sencia de funciones de cuantificaci´on, es natural esperar que el error dependa del tama˜no de los intervalos de cuantificaci´on. Sin embargo, esta aseveraci´on requiere un estudio m´as profundo sobre los efectos de la cuantificaci´on.
Todos estos asuntos te´oricos ser´an dejados para el pr´oximo cap´ıtulo. De to- das formas, anticipamos aqu´ı que –bajo ciertas condiciones– habr´a una relaci´on lineal entre el quantum y el error y este hecho brindar´a la regla b´asica para la elecci´on de la cuantificaci´on y la hist´eresis.
Cap´ıtulo 4
Propiedades Te´oricas de
QSS
En el cap´ıtulo previo se afirm´o que el m´etodo de QSS era un m´etodo general para la simulaci´on de ODEs estacionarias. Aunque se demostr´o que el mismo puede aplicarse a ODEs invariantes en el tiempo generales, no se present´o ninguna propiedad que diga que las soluciones de un QSS son similares a las exactas en alg´un sentido.
Las propiedades que se estudian t´ıpicamente en an´alisis num´erico son consis- tencia, convergencia, estabilidad y cotas de error. Estas permiten estimar bajo que condiciones las soluciones aproximadas son en realidad una buena aproxi- maci´on a las trayectorias continuas. Las mismas tambi´en brindan ayuda en la elecci´on de los par´ametros de simulaci´on (paso de integraci´on, tolerancia, etc.) de acuerdo a la precisi´on buscada.
El error local –error en un paso– se obtiene usualmente a partir de una expansi´on en serie de Taylor mientras que el error global –error tras muchos pasos– es s´olo estimado de forma te´orica a partir de condiciones de Lipschitz (ver [17] por ejemplo). La propiedad de convergencia (o sea, la propiedad por la cual el error tiende a cero cuando el paso de integraci´on tiende a cero) es entonces obtenida como el caso l´ımite de la cota de error global.
Dado que todos los m´etodos existentes son de tiempo discreto, sus propieda- des de estabilidad se estudian generalmente en base a la teor´ıa de ecuaciones en diferencias. La clave de este estudio es encontrar la relaci´on entre los autova- lores de la ODE original y las ra´ıces de la ecuaci´on en diferencias (desde luego este procedimiento est´a limitado al an´alisis de sistemas lineales1).
En el caso del m´etodo de QSS esta ´ultima idea es completamente in´util. Ya se mencion´o que los Sistemas de Estados Cuantificados no encajan en la forma de una ecuaci´on en diferencias. Similarmente, el uso de expansiones de Taylor no produce ning´un resultado interesante.
1Existen otras formas de estudiar las propiedades que se aplican tambi´en a sistemas no
lineales. Nos referimos aqu´ı s´olamente a las herramientas habituales del an´alisis num´erico.
Sin embargo, hay una herramienta mucho m´as poderosa que puede ser uti- lizada aqu´ı: la teor´ıa de perturbaciones. En base a esta, ser´a posible no s´olo obtener resultados similares a los cl´asicos sino tambi´en calcular cotas de error pr´acticas y establecer condiciones de estabilidad que incluyan los casos no linea- les.
Haciendo uso de esas condiciones de estabilidad y cota de error, y tras ciertas consideraciones adicionales, se podr´a resolver finalmente el problema que se abri´o al final del cap´ıtulo anterior, esto es, la elecci´on de la cuantificaci´on y el ancho de hist´eresis apropiados.
4.1
QSS y Teor´ıa de Perturbaciones
Como se mencion´o, las herramientas usuales para el an´alisis de estabilidad num´erica se basan en la teor´ıa de sistemas de tiempo discreto. La idea b´asica es obtener la ecuaci´on en diferencias correspondiente a un m´etodo dado aplicado a una ecuaci´on diferencial y relacionar los autovalores de ambos sistemas.
Esta idea, que es muy ´util en los m´etodos de tiempo discreto, no puede aplicarse a QSS porque el modelo de simulaci´on resultante es un sistema de eventos discretos que no puede representarse mediante ecuaciones en diferencias. Un primer intento por resolver este problema consistir´ıa en buscar una teor´ıa de sistemas de eventos discretos que permita tal tipo de an´alisis de estabilidad. De hecho, existe una teor´ıa matem´atica muy elegante basada en el uso de ´algebra max–plus que permite expresar sistemas de eventos discretos mediante ecuacio-
nes en diferencias en el contexto de dicha ´algebra [1].
Esta teor´ıa llega tambi´en a resultados de estabilidad basados en el estudio de los autovalores y es completamente an´aloga a la teor´ıa de sistemas de tiempo discreto. Sin embargo, la misma puede ser s´olo aplicada a sistemas represen- tables por Redes de Petri y, desafortunadamente, el m´etodo de QSS produce modelos DEVS que no tienen equivalentes en ese formalismo gr´afico.
Un modo diferente de estudiar la din´amica de QSS es utilizando la represen- taci´on (3.2) para la ecuaci´on diferencial original y (3.3) para su aproximaci´on QSS.
Definiendo ∆x(t),q(t)−x(t), esta ´ultima ecuaci´on puede reescribirse como
˙x(t) = f (x(t) + ∆x(t), u(t)) (4.1) y ahora, el modelo de simulaci´on (3.3) puede verse como una versi´on perturbada del sistema original (3.2).
Las funciones de cuantificaci´on con hist´eresis tienen una propiedad funda- mental. Si dos variables qi(t) y xi(t) est´an relacionadas por una funci´on de cuantificaci´on como (3.1), entonces:
Q0< xi(t) < Qr⇒ |qi(t)− xi(t)| ≤ max(∆Q, ε) (4.2) donde ∆Q , max(Qj+1− Qj), 0 ≤ j ≤ r, es el quantum m´aximo (ya se
4.1. QSS Y TEOR´IA DE PERTURBACIONES 47 La propiedad dada por (4.2) implica que cada componente de la perturbaci´on ∆x est´a acotada por los correspondientes ancho de hist´eresis y quantum. Luego, el an´alisis de precisi´on y estabilidad se puede basar en el estudio de los efectos de perturbaciones acotadas.
Como se dijo, el estudio de la estabilidad num´erica se restringe usualmente a los sistemas lineales ya que su estudio en sistemas no lineales es bastante dif´ıcil. Se ver´a que este problema desaparece en el m´etodo de QSS ya que el an´alisis de perturbaciones puede aplicarse f´acilmente a sistemas no lineales. M´as a´un, cuando el m´etodo se utiliza con un sistema lineal ser´a tambi´en posible establecer una cota de error global y el problema de la precisi´on de la aproximaci´on podr´a ser tratado no s´olo localmente.
M´as all´a de estas ventajas, un problema nuevo aparece en el m´etodo de QSS. Veamos el mismo en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 4.1. Oscilaciones en el m´etodo de QSS. Consideremos el sistema de primer orden:
˙x(t) =−x(t) + 9.5 (4.3)
con la condici´on inicial x(0) = 0.
La simulaci´on utilizando el m´etodo de QSS con quantum ∆Q = 1 y ancho de hist´eresis ε = 1 se muestra en la Figura 4.1
x t QSS exacta 0 0 1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 12 14 16 18 20
Figura 4.1: Simulaci´on por QSS de (4.3)
Aunque el sistema (4.3) es asint´oticamente estable, la simulaci´on por QSS termina en un ciclo l´ımite. El punto de equilibrio ¯x = 9.5 no es m´as un punto de equilibrio en el QSS resultante y no puede decirse entonces que el m´etodo conserva la estabilidad.
Sin embargo, la soluci´on del QSS nunca se aleja de la soluci´on exacta y de hecho termina con una oscilaci´on cercana al punto de equilibrio. Teniendo en cuenta que el objetivo era simplemente simular el sistema, este resultado no es malo.
La trayectoria dada por el m´etodo de QSS en este caso se denomina final-
mente acotada (ultimately bounded) [22]. En general, el m´etodo de QSS no puede asegurar estabilidad seg´un la definici´on cl´asica. Por eso, en el contexto de este m´etodo, la palabra estabilidad se referir´a en realidad a la garant´ıa de soluciones finalmente acotadas.