J.M. Corberán, R. Royo (UPV) Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas 1
TRANSMISIÓN DE CALOR
EN RÉGIMEN
ESTACIONARIO
UNIDIMENSIONAL (II).
SUPERFICIES EXTENDIDAS.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV) Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas 2
INDICE:
1. INTRODUCCIÓN.
1.1. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
1.2. CLASIFICACIÓN.
2. ECUACIÓN GENERAL.
3. ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE.
3.1. HIPÓTESIS DE CÁLCULO.
- Aleta muy larga.
- Calor despreciable en el extremo de una aleta.
- Convección en el extremo de la aleta.
3.2. COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
4. ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE. ALETAS ANULARES.
5. EFICIENCIA.
6. EFECTIVIDAD. CONDICIONES DE UTILIZACIÓN DE ALETAS.
7. CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS.
7.1. RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA.
7.2. CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
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INTRODUCCIÓN
OBJETIVO:
AUMENTO DEL CALOR DISIPADO POR
CONVECCIÓN AL AMBIENTE.
T
fluido, h
T
sup, A
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EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
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1.2. CLASIFICACIÓN:
SECCIÓN CONSTANTE
Aletas rectas Sección constante Aguja Sección constante Diapositiva 7Aleta anular de espesor
uniforme Aleta recta de Sección variable
Aguja Sección variable
Aleta anular de espesor variable
SECCIÓN VARIABLE
ECUACIÓN GENERAL
Q
(x+dx)
xdx
A
condQ(x)
dA
convdQ
conv convdQ
dx
x
Q
x
Q
(
)
=
(
+
)
+
)
(
)
)
(
(
T
x
T
dA
x
h
dQ
conv=
⋅
−
∞⋅
convdx
x
dT
x
A
k
x
Q
(
)
=
−
⋅
cond(
)
⋅
(
)
∞−
=
T
x
T
x
)
(
)
(
θ
Balance de energía
Utilización función de diferencia de temperaturas
0
1
1
2 2=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
θ
θ
θ
conv cond cond condA
dx
d
k
h
A
dx
d
A
dx
d
A
dx
d
AGUJAS Y ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE
T
f, h
xL
Q
T
bQ
L
T
bQ
x
w
e
T
f, h
Q
D
A cond A b w e. A conv 2 (. w e x). A cond A b . π D2 4 A conv π D x. . P*x P*xA
conv=P x
0
2
2
2
=
⋅
−
θ
θ
m
x
d
d
))
(
(
)
(
(
)
(
x
=
C
1⋅
e
m⋅x+
C
2⋅
e
−m⋅x=
C
3⋅
sh
m
⋅
L
−
x
+
C
4⋅
ch
m
⋅
L
−
x
θ
cond
A
k
P
h
m
⋅
⋅
=
0
1
1
2 2=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
θ
θ
θ
conv cond cond condA
dx
d
k
h
A
dx
d
A
dx
d
A
dx
d
0 0)
0
(
= =⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
=
x b x b aletax
d
d
k
A
x
d
T
d
k
A
x
Q
Q
θ
CONDICIONES DE CONTORNO:
BT
x
T
(
=
0
)
=
1)
2)
T
(
x
=
L
)
=
??
L
T
BT
FLUIDOT
BL
T
BT
FLUIDOL
T
BT
FLUIDOT(L)
L
T
FLUIDOT(L) T
FLUIDOQ
EXTREMO=0
d d xT ( )L 0Q
COND=Q
CONV . k d d xT( )L h T ( ). L T fluidoT(x=L)=T
conocidaT(x=L)=T
conocida(I): ALETA MUY LARGA
θ
b
θ ( )
x
θ
b
.
e
m x
.
h
k
m
Q
h
k
m
A
h
m
k
A
Q
aleta=
b⋅
⋅
⋅
θ
b=
⋅
b⋅
θ
b⋅
⋅
=
base_sin_aleta⋅
⋅
0
)
(
)
(
x
→
∞
→
T
x
→
∞
→
T
fluidoθ
(II) CALOR DESPRECIABLE EN EL EXTREMO DE LA ALETA
En muchas ocasiones Q
extremoes despreciable frente al disipado
por el resto de la aleta:
0
=
=L xdx
dθ
( )
(
(
(
)
)
)
(
)
th
(
m
L
)
h
k
m
Q
L
m
th
h
k
m
A
h
Q
L
m
ch
x
L
m
ch
x
aleta sin base b b aleta b⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
=
θ
θ
θ
Q
extremo»0Q
cond(III) CONVECCIÓN EN EL EXTREMO DE LA ALETA:
Q
condQ
conv( )
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
sh
(
m
L
)
k
m
h
L
m
ch
x
L
m
sh
k
m
h
x
L
m
ch
x
b⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
=
θ
θ
)
(
∞ =−
⋅
=
⋅
⋅
−
h
T
T
x
d
T
d
A
k
L x b(
)
(
)
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
h
k
m
L
m
th
L
m
th
h
k
m
A
h
Q
aleta b b1
1
θ
(
(
)
)
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
h
k
m
L
m
th
L
m
th
h
k
m
Q
basesinaleta1
(II) y (III)
Evolución temperatura
en agujas disipador:
L=0.02 m. k=100 W/mK
t=0.003 m. h = 25 W/m
2K
(I)
θ
b
COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
Aplicación de agujas en disipador
fluido
T
x
T
(
→
∞
)
→
0
=
=L xdx
dT
)
(
∞ =−
⋅
=
⋅
⋅
−
h
T
T
x
d
T
d
A
k
L x b(I):
(II):
(III):
ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE
Q
(x+dx)
x
dx
A
condQ(x)
dA
convdQ
conv0
1
1
2 2=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
θ
θ
θ
conv cond cond condA
dx
d
k
h
A
dx
d
A
dx
d
A
dx
d
CASO MÁS SIMPLE DE ALETA DE SECCIÓN VARIABLE:
ALETA ANULAR.
e
r
A
cond=
2
⋅
π
⋅
⋅
(
2 2)
2
base convr
r
A
=
⋅
π
⋅
−
0
1
2 2 2=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
θ
θ
n
θ
dr
d
r
dr
d
e
k
h
n
⋅
⋅
=
2
( )
0 2( )
0 1)
(
x
=
C
⋅
I
n
⋅
r
+
C
⋅
K
n
⋅
r
θ
I y K: funciones modificadas de Bessel de primera y segunda especie, orden 0.
Hipótesis:
convección despreciable en el extremo.
–Distribución de temperaturas:
Potencia calorífica:
( )
(
( )
)
(
(
)
)
( ) (
(
) (
)
)
1 0 1 0 1 0 1 0 e b e b e e br
n
I
r
n
K
r
n
K
r
n
I
r
n
I
r
n
K
r
n
K
r
n
I
r
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
θ
θ
(
) (
)
(
) (
)
(
)
0(
)
1(
) (
0)
1 1 1 1 12
e b e b b e e b b b aletar
n
I
r
n
K
r
n
K
r
n
I
r
n
I
r
n
K
r
n
I
r
n
K
h
n
k
e
r
h
Q
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
π
θ
Efficiency of extended surfaces, Gardner, K.A.
(ASME Thermal Engineering Proceedings, 1945)
Hipótesis:
• Transmisión de calor unidimensional.
•Coeficiente de convección uniforme.
•Temperatura de la base uniforme.
•Flujo de calor despreciable en extremo.
0
1
1
2 2=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
θ
θ
θ
conv cond cond condA
dx
d
k
h
A
dx
d
A
dx
d
A
dx
d
(
)
[
1
2
2
]
[
(
2
1
)
]
0
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=
⋅
⋅
−
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
+
⋅
θ
α
θ
⋅α
α
θ
n
p
m
x
m
x
x
c
p
dx
d
x
x
m
dx
d
pEFICIENCIA
Resultados tabulados a través del parámetro
eficiencia:
(Ojo, llamada efectividad en el libro A.F. Mills)
base a temperatur aleta aleta
Q
Q
_ _=
η
(
)
fluido base media fluido conv b A conv b conv aletaT
T
T
T
A
dA
A
h
Q
conv−
−
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∫
θ
θ
θ
η
0Aplicación práctica fundamental a efectos de cálculo:
A
conv=A
aletaQ
aleta
=
η
⋅
A
aleta
⋅
h
⋅
θ
b
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA:
b
b
aleta
A
h
Q
θ
ε
⋅
⋅
=
base aletaA
A
=
η
ε
Evaluación de la conveniencia de utilización de aletas
Se justifica la
utilización de aletas,
si
εε
aletamayor que 2
Para aletas de sección constante y convección despreciable
en el extremo:
(
m
L
)
th
h
k
m
⋅
⋅
⋅
=
ε
(
)
th
(
m
L
)
h
k
m
L
P
A
L
m
th
h
k
m
A
A
b aleta b⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
η
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA DE SECCIÓN
CONSTANTE CONSIDERANDO CONVECCIÓN EN EL
EXTREMO.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75m*L
Efectividad
m*k/h=2.5 m*k/h=5 m*k/h=10 m*k/h=15 m*k/h=20Empleo de aletas justificado:
Sección constante:
•
•
k alta:
k alta:
materiales conductividad elevada
•
•
t bajo:
t bajo:
espesor aletas pequeño
•
•
h bajo:
h bajo:
en entornos con convección débil
1
>>
⋅
h
k
m
:
1
2
>>
⋅
⋅
=
⋅
h
t
k
h
k
m
(recomendable
superior a 10)
libre area aletas aleteada erficie
Q
Q
Q
sup _=
+
_ b aletas total b aletas aleteada erficieA
h
A
A
h
Q
sup _=
η
⋅
⋅
⋅
θ
+
(
−
)
⋅
⋅
θ
total aletasA
A
=
β
β
η
β
η
pond=
⋅
+
1
−
pond b total b total aleteada erficieA
h
A
h
Q
sup _=
⋅
⋅
θ
⋅
(
β
⋅
η
+
1
−
β
)
=
⋅
⋅
θ
⋅
η
Se define el parámetro geométrico:
T
eA
libreA
paredA
aletasA
RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA EN
PARALELO:
h
A
h
A
R
aletas libre T⋅
⋅
+
⋅
=
η
1
pond total total aletas total libre total Th
A
A
A
A
A
h
A
R
η
η
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
1
)
(
1
2 11
1
1
R
R
R
T=
+
h
A
R
aletas⋅
⋅
=
η
1
2h
A
R
libre⋅
=
1
1T
bT
bR
T ∞T
T
∞T e
∑
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
=
i i pared pond e total
i pared i e i
A
h
A
k
e
A
h
T
T
Q
η
1
1
∑
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
+ j i pond e total j j i i e iA
h
k
L
r
r
h
L
r
T
T
Q
η
π
π
1
2
ln
2
1
1Muros
Muros
multicapa
multicapa
Cilindros
Cilindros
T
iT
eEn cada caso el calor se calcula referido a un área característica,
que suele ser la interior o la exterior de la superficie global:
)
(
_ref i e A refU
T
T
A
Q
=
⋅
⋅
−
_
(
)
e
i
ref
ref
A
T
T
A
Q
U
−
⋅
=
J.M. Corberán, R. Royo (UPV) Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas 28
CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
Diapositiva 29
