Estadistica I GaonaZambranoReimundo

(1)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

CARRERA INGENIERÍA EN SISTEMAS E INFORMÁTICA

CUADERNO VIRTUAL ESTADÍSTICA I

“Estadística I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos”

2DO NIVEL Equipo de trabajo: Andrea Reimundo Elizabeth Zambrano Christian Gaona DOCENTE:

Ing. Oswaldo Latorre G.

Sangolquí

(2)

Reimundo, Gaona, Zambrano

2 TABLA DE CONTENIDOS

CONCEPTOS BÁSICOS... 5 Estadística: ...5 Población: ...5 Muestra:...5 Rango: ...5 Parámetro: ...5 Estadístico: ...5 Variable: ...5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ... 5

Medidas de tendencia central:...5

Medidas de dispersión: ...6

Medidas de forma: ...6

Medidas de Posición: ...6

Ejercicios: ...7

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES... 10

Permutaciones con repetición ...10

Ejercicios: ...10

Permutaciones sin repetición...12

Ejercicios: ...12

Combinación sin repetición ...13

Ejercicios: ...13

Combinación con repetición ...14

Ejercicios: ...14

PROBABILIDAD ... 15

Espacio muestral (𝑠): ...15

(3)

3

Probabilidad Marginal: ...16 Ejercicios: ...16 Probabilidad Conjunta: ...17 Ejercicios: ...17 Regla de adición: ...19 Ejercicios ...19 Probabilidad Condicional: ...21 Ejercicios: ...21 VARIABLES ALEATORIAS... 23

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria ...23

Ejercicios: ...25

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA... 32

Distribución Binomial ...32 Ejercicios: ...33 Distribución Hipergeométrica ...35 Ejercicios: ...36 Distribución de Poisson ...37 Ejercicios: ...38 Distribución multinomial ...40 Ejercicios: ...40

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ... 42

Ejercicios: ...43

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA ... 45

Distribución Normal ...45

Ejercicios: ...46

Aproximación de distribución normal a distribución binomial...49

Ejercicios: ...49

Intervalos de confianza ...51

(4)

4

Distribución uniforme ...53 Ejercicios: ...54 Distribución Exponencial ...57 Ejercicios: ...58 Regresiones ... 61 Regresión Lineal ...61 Mínimos Cuadrados ...61 Ejercicios: ...64 Regresión polinomial ...71 Ejercicios: ...74

Regresión lineal múltiple ...79

Ejercicios: ...79

Aplicaciones de la regresión lineal (función exponencial) ...82

Ejercicios: ...82

Aplicaciones de la regresión lineal (función potencia) ...83

(5)

5

Estadí stica I

CONCEPTOS BÁSICOS

Estadística:La estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para or-ganizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad y poder inferir ciertas características sobre ellos.

Población: Se denomina población estadística a todo el conjunto de elementos sobre los cuales se va a realizar las observaciones.

Muestra: Es un subconjunto de los elementos de la población. Se toma o se adquiere una muestra cuando es difícil la observación de todos los elementos de la población.

Rango: Es la diferencia entre el mayor y menor valor del conjunto de datos. Parámetro: Son los datos descriptores de la población.

Estadístico: Son los datos descriptores de la muestra.

Variable: Es un conjunto de valores numéricos que adoptan un carácter cuantitativo y pueden ser:

 Variable Discreta: Es aquella que está relacionada con los números enteros, es decir que no hay un número intermedio entre dos consecutivos.

Ejemplo: Número de hijos

 Variable Continua: Es aquella que toma un infinito número de valores y está relacionada con la recta real.

Ejemplo: calificaciones.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Es aquella que utiliza los datos numéricos, obtenidos de la muestra por medio de las medidas descriptivas, resumen la información contenida en la muestra.

Las medidas descriptivas se clasifican en:

Medidas de tendencia central: Son los valores numéricos que se consideran como los más representativos dentro de un conjunto ordenado de datos y son:

 Media Aritmética (𝒙̅): Es el cociente entre la suma de los datos con el número de datos.

𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖_𝑛 si 𝑛: número de datos.

 Moda (𝑴𝒐): Es el valor de la variable que más veces se repite dentro de un conjunto de datos.

(6)

6

 Mediana (𝑴𝒆): Es el valor numérico que divide a los observados ordenados de

menor a mayor en la mitad. Si el número de observados ordenados es impar, la mediana es el valor central, caso contrario si el número es par la mediana es la media aritmética entre los dos valores centrales.

Medidas de dispersión: Sirven para indicar que tan representativas son las medidas de tendencia central y se clasifican en absolutas y relativas.

 Absolutas

 Varianza (𝝈𝟐_{): Es el cociente entre la suma de los cuadrados de la} dife-rencia de la media aritmética con cada uno de os datos y el número de datos. 𝜎2 =∑ (𝑥̅ − 𝑥𝑖) 2 i i=0 𝑛

 Desviación estándar (𝝈): Es el valor positivo de la raíz de la varianza 𝜎 = √𝜎2

 Relativas: Es el coeficiente de variación de Pearson, es el cociente de la desvia-ción y el valor absoluto

𝐶𝑉𝑃 = 𝜎 |𝑥|

Medidas de forma: Se consideran que una distribución es simétrica si su media arit-mética y su moda coinciden, se dice que es asimétrica por la derecha si sus frecuencias descienden lentamente por dicho lado, caso contrario se consideran asimétrica por la iz-quierda. Para determinar a forma de distribución se hace uso del coeficiente de asime-tría de Pearson.  𝐴𝑆 =𝑥̅−𝑀𝑜 𝜎  𝐴𝑆 = 0 𝑆𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜  𝐴𝑆 > 0 𝐷𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎  𝐴𝑆 < 0 𝐼𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎

 Frecuencia (𝒇): Es el número de veces que se repite una variable

 Frecuencia Absoluta (𝒇𝒂): Es el número de veces que se repite una variable dentro de un intervalo.

 Frecuencia Relativa (𝒇𝒓): Es el cociente entre la frecuencia absoluta y la suma de frecuencias se expresa también en porcentaje.

Medidas de Posición: Son aquellos que dividen al conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos y se clasifican en cuartiles, deciles y percen-tiles.

 Cuartiles: Son 3 valores numéricos que dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales.

(7)

7

iguales.

 Percentiles: Son 99 valores numéricos que dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales.

Ejercicios:

Hallar las medidas de tendencia central, medidas de dispersión, medidas de forma y medidas de posición para la variable pesos de mujeres

Valores:

50, 60, 50, 50, 50, 57.

Pesos de mujeres Frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

50 4 4 0.6667  67% 57 1 5 0.1667  16% 60 1 6 0.1667  16% TOTAL 6 𝑥̅ = 52.8333 𝑀𝑜 = 50 𝑀𝑒 = 50 𝜎2 ₌∑ (𝑥̅ − 𝑥𝑖) 2 i i=0 𝑛 = 4(52.833 − 50) 2 _{+ (52.833 − 57)}2_{+ (52.833 − 60)}2 6 = 20.1664 𝜎 = √𝜎2 _{= √20.1664 = 4.4907} 𝐶𝑉𝑃 = 𝜎 |𝑥|= 4.4907 52.8333= 0.08499 > 0 → 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 Hallar las medidas de tendencia central, medidas de dispersión, medidas de forma y medidas de posición para la variable pesos de hombres

Valores:

70, 59, 60, 61, 59, 70, 60

Pesos de hombres Frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

59 2 2 0.2857  28.5%

60 2 4 0.2857  28.5%

61 1 5 0.1428  14.2%

70 2 7 0.2857  28.5%

(8)

8

𝑥̅ = 62.714 𝑀𝑜 = 60, 59, 70 𝑀𝑒 = 60 𝜎2 ₌ ∑ (𝑥̅ − 𝑥𝑖) 2 i i=0 𝑛 = 2(62.714 − 59) 2_{+ 2(62.714 − 60)}2 _{+ (62.714 − 61)}2_{+ (62.714 − 70)}2 7 = 25.2376 𝜎 = √𝜎2 _{= √25.2376 = 5.0237} 𝐶𝑉𝑃 = 𝜎 |𝑥|= 5.0237 62.714= 0.08011 > 0 → 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 Según la asociación de lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas cultura-les han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social. Muchos jó-venes luchan para conseguir el “físico ideal” motivados por modelos artistas o por publicidad comercial.

Durante el mes de marzo del 2006, en el colegio “UEMES” de la ciudad de Qui-to, después de las vacaciones de verano, se observó con precaución a 27 alum-nos con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes sigalum-nos visibles:

Dieta Severa Miedo a Engordar Hiperactividad Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Uso de Laxantes Miedo a Engordar Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Dieta Severa

Dieta Severa Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Hiperactividad Uso de Laxantes Miedo a Engordar Uso de Laxantes Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes Hiperactividad Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada Hiperactividad Dieta Severa

Signos visibles Frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Dieta severa 9 9 0.3333  33.00%

Miedo a engordar 3 12 0.1111  1.00%

Hiperactividad 4 16 0.1481  14.81%

Uso de laxantes 5 21 0.1851  18.51%

Uso de ropa holgada 6 27 0.2222  22.22%

(9)

9

𝑀𝑜 = 𝐷𝑖𝑒𝑡𝑎 𝑆𝑒𝑣𝑒𝑟𝑎

Interpretación: ya que las variables usadas para este ejercicio no son cuantificables la medida descriptiva que se puede obtener del mismo es únicamente la moda arrojando el dato que la dieta severas es el signo más identificable en los jóvenes del colegio “UEMES” para el desorden alimenticio.

El tratamiento de los niños con desórdenes de la conducta puede ser complejo. El tratamiento se puede proveer en una variedad de escenarios dependiendo de la severidad de los comportamientos. Además del reto que ofrece el trata-miento, se encuentran la falta de cooperación del niño/niña y el miedo y la fal-ta de confianza de los adultos. Para poder diseñar un plan integral de trafal-ta- trata-miento, el siquiatra de niños y adolescentes puede utilizar la información del niño, la familia, los profesores y de otros especialistas médicos para entender las causas del desorden. Para ello, un siquiatra local ha considerado una mues-tra aleatoria de 20 niños, anotando el tiempo necesario que requiere en cada niño para lograr un plan integral del tratamiento, obteniéndose lo siguiente (en horas):

6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9

9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11

Horas Frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

6 1 1 0.0500  5.00% 7 2 3 0.1000  10.00% 8 4 7 0.2000  20.00% 9 7 14 0.3500  35.00% 10 5 19 0.2500  25.00% 11 1 20 0.0500  5.00% TOTAL 20 𝑥̅ = 8.8 𝑀𝑜 = 60, 59, 70 𝑀𝑒 = 60 𝜎2 ₌∑ (𝑥̅ − 𝑥𝑖) 2 i i=0 𝑛 = 1.5366 𝜎 = √𝜎2 _{= √1.5366 = 1.2396} 𝐶𝑉𝑃 = 𝜎 |𝑥|= 1.2396 8.8 = 0.1408 > 0 → 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

(10)

10 COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

Con frecuencia se utiliza la palabra combinación sin considerar o no si es importante el orden de las cosas, así por ejemplo si tenemos como clave de seguridad el número “2357”, es claro suponer que los siguientes números {3527, 7325, 3237}, no representan la clave anterior, a pesar de que están formados por los mismos dígitos. De aquí la im-portancia del orden que deben tener las cifras de dichas claves.

Pero si decimos tengo monedas de 5, 10 y 25 ctvs., el valor total no va a cambiar si de-cimos decir, tengo monedas de 25, 10 y 5 ctvs., he aquí un ejemplo de que no importa el orden. Por lo tanto si el orden tiene una importancia definida es una permutación y si el orden no tiene importancia es una combinación.

Una permutación es una combinación ordenada.

Existen combinaciones y permutaciones con repetición y sin repetición.

Permutaciones con repetición 𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑛𝑃𝑟 = 𝑃_𝑟𝑛 = 𝑛𝑟

Ejercicios:

En la misión Apolo que llevo a hombres hasta la luna, se recurrió a un sistema cuya estructura básica se muestra en la figura. Los cinco componentes tenían que funcionar adecuadamente para que el sistema se hiciera con éxito. Sea que se identifica cada componente como funcional (𝐹) o no funcional (𝑁).

a) ¿Cuantos estados son posibles? 𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑃(2,5) = 2𝑃5 = 25 _{= 32}

Motor Principal

Sistema Propulsión Servicio

Módulo de Servicio

Módulo de Excursión

(11)

11

b) ¿Cuántos estados son posibles en los que no funcione el motor del

mó-dulo lunar?

𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑃(2,4) = 2𝑃4 = 24 = 16

c) Se considera que la misión tiene éxito al menos parcialmente si funcio-na los 3 primeros componentes ¿Cuántos estados representa ufuncio-na mi-sión por lo menos parcialmente exitosa?

𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑃(2,3) = 2𝑃3 = 23 = 8

d) La misión es un éxito total si y solo si funciona los cinco componentes ¿Cuantos estados representa una misión totalmente exitosa?

𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑃(1,5) = 1𝑃5 = 15 _{= 5}

En un grupo de 10 amigos, ¿Cuántas distribuciones de sus fechas de cumplea-ños pueden darse al año?

𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑃(365,10) = 365𝑃10 = 36510

En un hospital se utiliza cinco símbolos para clasificar las historias clínicas de sus pacientes, de manera que las dos primeras son letras y los tres últimos son dígitos. Suponiendo que hay 25 letras. ¿Cuántas historias clínicas podrían ha-cerse si?:

a) No hay restricciones sobre letras y números.

𝑃(25,2) × 𝑃(10,3) = 252× 103 = 600 × 1000 = 600.000

Suponiendo que hay 27 letras distintas, ¿Cuántos conjuntos diferentes de ini-ciales pueden formarse si cada persona tiene un apellido y…:

a) Exactamente dos nombres? 𝑃(27,3) = 273 = 19683 b) No más de dos nombres.

272_{× (1 + 27) = 729 × 28 = 20412} c) No más de tres nombres.

(12)

12

Permutaciones sin repetición

𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑛𝑃𝑟 = 𝑛! (𝑛 − 𝑟)!

Ejercicios:

En una actividad hay 3 niños y 2 niñas. ¿De cuantas maneras?: a) Los niños y las niñas pueden sentarse en una fila.

𝑃₅ = 5! = 120

b) Pueden sentarse en fila si las niñas deben estar juntas y los niños tam-bién

𝑃2× 𝑃3× 𝑃2 = 2! × 3! × 2! = 24

c) Pueden sentarse en fila si solo las niñas se sientan juntas. 𝑃3× 𝑃3 = 3! × 3! = 36

d) Pueden sentarse en fila alternados. 𝑃3× 𝑃2 = 3! × 2! = 12

En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuantos modos se puede hacer si los premios son diferentes.

𝑃(10,3) = 10! (10 − 3)!=

10!

7! = 720

Cuantos números de 6 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1,2,3,4,5,6

𝑃₆ = 6! = 720

Se realizan pruebas con 7 recubrimientos usados en la protección de cables de fibra óptica contra el frio extremo. Las pruebas se efectuaran en orden aleato-rio.

a) ¿En cuántas ordenes puede llevarse a cabo las pruebas? 𝑃₇ = 7! = 5040

(13)

13

Combinación sin repetición

𝐶(𝑛, 𝑟) = 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Ejercicios:

A partir de un grupo de 5 estadísticos y 6 economistas se vas a formar un comi-té de 3 estadísticos y 2 economistas ¿Cuántos diferentes se pueden formar si?

a) No se imponen restricciones. 𝐶(5,3) × 𝐶(6,2) = 5!

3! (5 − 3)!×

6!

2! (6 − 2)!= 10 × 15 = 150

b) 2 estadísticos en particular deben estar en el comité. 𝐶(5,1) × 𝐶(6,2) = 5!

1! (5 − 1)!×

6!

2! (6 − 2)!= 5 × 15 = 75

c) 1 economista en particular no puede estar en el comité. 𝐶(5,3) × 𝐶(5,2) = 5!

3! (5 − 3)!×

5!

2! (5 − 2)!= 10 × 10 = 100

¿Cuántos comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las cuales pueden ocupar todas cualquier puesto?

𝐶(8,1) × 𝐶(7,3) = 8! 1! (8 − 1)!×

7!

3! (7 − 3)!= 8 × 35 = 280

Un grupo escolar consta de 16 alumnos. Es necesario formar simultáneamente 3 equipos con ellos, uno de 5 alumnos para ir a la Cruz Roja, otro de 3 alumnos para visitar el Hospital y el tercero de 2 alumnos para ir al Banco. ¿De cuantas maneras se pueden distribuir?

𝐶(16,5) × 𝐶(11,3) × 𝐶(8,2) = = 16! 5! (16 − 5)!× 11! 3! (11 − 3)!× 8! 2! (8 − 2)! = 4368 × 165 × 28 = 20180160

Se tiene siete números positivos y cinco negativos. ¿De cuantas maneras se pueden multiplicar tres de ellos para que el resultado sea positivo?

𝐶(7,3) + 𝐶(5,2) × 𝐶(7,1) = 7! 3! (7 − 3)!+ 5! 2! (5 − 2)!× 7! 1! (7 − 1)! = 35 + 10 × 7 = 105

(14)

14

Combinación con repetición

𝐶(𝑛, 𝑟) = 𝑛𝐶𝑟 = 𝐶𝑟𝑛 =

(𝑛 + 𝑟 − 1)! 𝑟! (𝑛 − 1)!

Ejercicios:

¿Cuántas fichas tiene el juego de domino? 𝐶(7,2) =(7 + 2 − 1)! 2! (7 − 1)! = (8)! 2! (6)!= 40320 1440 = 28

En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuantas formas se pue-den elegir 4 pasteles?

𝐶(6,4) =(6 + 4 − 1)! 4! (6 − 1)! = (9)! 4! (5)!= 362880 2880 = 126

En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuantas formas se pueden elegir cuatro botellas?

𝐶(5,4) =(5 + 4 − 1)! 4! (5 − 1)! = (8)! 4! (5)!= 40320 2880 = 14

Calcular las combinaciones con repetición de los elementos (a, b, c, d) tomados de dos en dos. 𝐶(4,2) =(4 + 2 − 1)! 2! (4 − 1)! = (5)! 2! (3)!= 120 12 = 10

NOTA: SI dentro del conjunto de n elementos que se tiene para escoger existen grupos de elementos que se repitan, entonces las posibilidades de ocurrencia de cierto evento está dado por Número de posibilidades (𝑛, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, … ) =_{𝑝! 𝑞! 𝑟! 𝑠!}𝑛!

Si 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, … 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒𝑛

Ejercicios:

De cuantas maneras puede dividirse un grupo de 10 personas en: a) Dos grupos de 7 y 3 personas.

10! 7! × 3!=

3628800

(15)

15

b) Tres grupos de 5, 3 ,2 personas.

10! 5! × 3! × 2!=

3628800

1440 = 2520

Si un equipo de futbol participa en 12 juegos en una temporada.

a) ¿Cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

12! 7! × 3! × 2!=

479001600

60480 = 7920

b) ¿Cuántas maneras hay de que además de lo anterior se inicie y termine con derrota?

10! 7! × 3!=

3628800

30240 = 120

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4. ¿Cuántos números de nuevo cifras se pue-den formar?

9!

3! × 4! × 2!=

362880

288 = 1260

En el palo de señales de un barco se pueden izar cuatro banderas rojas, dos azules y cinco verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colo-cación de las once banderas?

11! 4! × 2! × 5!=

39916800

5760 = 6930

PROBABILIDAD

Es la evaluación de la medida que ocurra en dicho evento o experimento

Espacio muestral (𝑠): Es aquel que contiene a todas los posibles resultados que se dan cuando ocurre un evento o fenómeno, el espacio muestral puede ser continuo o discreto.

 Continuo: Es aquel que contiene un infinito número de posibles resultados ya que está relacionado con la recta de los números reales.

 Discreto: Es aquel que contienen un número finito de posibilidades o resulta-dos.

Evento: Es un conjunto que abarca resultados, que posee ciertas características en común, los eventos son:

(16)

16

 Improbable o imposible: Es aquel que no contiene ningún resultado posible de

un experimento.

 Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno anula la ocurrencia del otro.

 Evento complementario: Es aquel que contiene todos los posibles resultados que no constan en él.

Si consideramos el evento A un subconjunto del espacio muestral podemos distinguir las siguientes propiedades.

 Si 𝐴 ⊆ 𝑆  0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

 ∼ 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) propiedad inversa

Probabilidad Marginal: Ocurre cuando tiene o sucede un solo evento, es decir se di-ce de una probabilidad individual, y la probabilidad marginal viene dada

𝑃(𝐴) = #𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 #𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑒𝑛ó𝑚𝑒𝑛𝑜

Ejercicios:

Se lanza un dado cargado, además suponemos que las caras con el número tres y cuatro tienen el doble de probabilidades de ocurrir que cualquiera de las de-más caras. Encontrar la probabilidad de los siguientes sucesos:

𝑝 + 𝑝 + 2𝑝 + 2𝑝 + 𝑝 + 𝑝 = 1 𝑝 =1 8 a) Aparezca el número 4 𝑃(𝑠𝑎𝑙𝑔𝑎 4) = 2 8 b) Aparezca el número 2 𝑃(𝑠𝑎𝑙𝑔𝑎 2) = 1 8 1 2 3 4 5 6 p p 2p 2p p p 𝟏 𝟖 1 8 2 8 2 8 1 8 1 8

(17)

17

De acuerdo con las estadísticas del departamento de tránsito, durante el año de 2012 hubo 12005 accidentes viales, de los cuales 686 se debieron a exceso de velocidad. Si durante el primer mes de este año se reportaron 100 acciden-tes, ¿Cuántos se deben a exceso de velocidad?

𝑃(𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 2012) = 686 12005= 2 35 𝑃(𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 2012) = 2 35= 𝑥 100 ∴ 𝑥 =2 × 100 35 = 6

Se extrae una carta de una baraja común calcular: a) Espacio muestral

Ω = {52 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠}

b) Probabilidad de que sea una carta de corazón rojo 𝑃(𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑟𝑜𝑗𝑜) =13

52 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 13 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑟𝑜𝑗𝑜. c) Probabilidad de que sea un 7

𝑃(7) = 4 52

Se extrae una segunda carta de una baraja común, (tomando en consideración el ejercicio 3) llene la siguiente tabla:

Probabilidad Condición No hace reposición Hace reposición

𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒓𝒐𝒋𝒐 𝟕 𝒕𝒓𝒆𝒃𝒐𝒍⁄ ) 13/52 13/51

𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒓𝒐𝒋𝒐 𝟕 𝒄𝒐𝒓𝒛𝒐𝒏 𝒓𝒐𝒋𝒐 ⁄ ) 13/52 12/51

𝑷(𝟕 𝒄𝒐𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒓𝒐𝒋𝒐 𝟓 𝒕𝒓𝒆𝒃𝒐𝒍⁄ ) 1/52 1/51 Probabilidad Conjunta: Surge cuando 2 o más eventos se desarrollan juntos o en su-cesión y equivalen al producto de sus probabilidades marginales.

Ejercicios:

La propietaria de una computadora nueva, crea una contraseña que consta de dos caracteres. Ella selecciona al azar una letra del alfabeto para el primer ca-rácter y digito (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para el segundo. ¿Cuál es la probabili-dad de que su contraseña sea “K9”?

𝑃(𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠) = 1 27 𝑃(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜) = 1

(18)

18

𝑃(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑒ñ𝑎 𝐾9) = 1 27× 1 10= 1 270

Una profesora de psicología hace un examen sorpresa que consta de 10 reacti-vos verdadero/falso; establece que para aprobar se requieren a las menos siete respuestas correctas. Suponga que un estudiante que no se preparó adoptó la cuestionable estrategia de adivinar cada respuesta.

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Probabilidad 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

a) Calcule la probabilidad de que las primeras 4 respuestas sean correctas y las últimas 3 sean incorrectas.

𝑃(4 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠) = (1 2) 4 = 1 16 𝑃(3 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠) = (1 2) 3 =1 8 𝑃(4𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑦 3 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠) = 1 16× 1 8

Con cierto método de un procedimiento que se llama muestreo de aceptación, se selecciona aleatoriamente y sin reemplazo una muestra de artículos, el lote completo se acepta si cada artículo en la muestra es aprobado. La Niko Electro-nics Company acaba de fabricar 5000 CD, de los cuales el 3% están defectuo-sos. Si se seleccionan al azar 12 de estos CD para probarlos, ¿Cuál es la probabi-lidad de que se acepte el lote completo?

𝑃(𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜) = 97 100 𝑃(𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜) = (97 100) 12 = 0.694

(19)

19

Una gerente de producción de “Telekttonics” afirma que su nuevo proceso de fabricación de reproductores de CD, es mejor porque su tasa de defectos es más baja que el 2%, que la tasa de defectos pasado. Para fundamentar su afir-mación ella fabrica un lote de 5000 reproductores de CD, luego selecciona alea-toriamente 15 de ellos para probarlos, con el resultado de que no hay defecto en los 15 reproductores de CD seleccionados. Con base en el resultado, ¿Hay suficiente evidencia para fundamentar la afirmación de la gerente de que su nuevo proceso es el mejor?

𝑃(𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜) = 98 100 𝑃(𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜) (98 100) 15 = 0.739

SOLUCIÓN: Existe la suficiente evidencia, debido a que la probabilidad sobrepa-sa el 50% de aceptación.

Regla de adición: Surge cuando se quiere obtener la probabilidad de uno u otro evento

𝑃(𝐴𝑜𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵)  Evento mutuamente excluyente

 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 0

 𝑃(𝐴 ∨ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)  No son mutuamente excluyentes

 𝑃(𝐴𝑜𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵)

Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 4 utilice los datos de la siguiente tabla, que resume resultados del hundimiento del “Titanic”.

Hombres Mujeres Niños Niñas Total

Sobrevivientes 332 318 29 27 706

Muertos 1360 104 35 18 1517

Total 1692 422 64 45 2223

Pasajeros del “Titanic”: Si se selecciona al azar a uno de los pasajeros del “Tita-nic”, calcule la probabilidad de que sea una mujer o una niña.

𝑃(𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟) = 422 2223 𝑃(𝑛𝑖ñ𝑎) = 45

(20)

20

𝑃(𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑜 𝑛𝑖ñ𝑎) = 422

2223+ 45

2223= 0.210

Pasajeros del “Titanic”: Si se selecciona al azar a uno de los pasajeros del Tita-nic, calcule la probabilidad de que sea un hombre o una persona que sobrevivió al hundimiento. 𝑃(ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒) = 322 2223𝑃(𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) = 706 2223 𝑃(ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) 322 2223+ 706 2223= 0.462

Pasajeros del “Titanic”: Si se selecciona al azar a uno de los pasajeros del Tita-nic, calcule la probabilidad de que sea un niño o un sobreviviente.

𝑃(𝑛𝑖ñ𝑜) = 64 2223 𝑃(𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) = 706 2223 𝑃(𝑛𝑖ñ𝑜 𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) = 64 2223+ 706 2223= 0.346

Pasajeros del “Titanic”: Si se selecciona al azar a uno de los pasajeros del Tita-nic, calcule la probabilidad de que sea una mujer o alguna persona que no so-brevivió al hundimiento. 𝑃(𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟) = 422 2223 𝑃(𝑚𝑢𝑟𝑖𝑜) =1517 2223 422 2223+ 1517 2223= 0.872

Las empresas que realizan encuestas se interesan en los niveles decrecientes de cooperación de las personas que se contactan para que las encuesten. Un encuestador contacta a 84 individuos de entre 18 y 21 años, y descubre que 73 responden y 11 se rehúsan a hacerlo. Cuando se contacta a 275 personas de entre 22 y 29 años, 255 responden y 20 se. Suponga que se selecciona al azar a 1 de las 359 personas. Calcule la probabilidad de que sea una persona en el rango de edad de 18 a 21 años o alguien que rechaza responder.

𝑃(18 − 21) = 84 359 𝑃(𝑟𝑒ℎ𝑢𝑠𝑎𝑛) = 31 359 𝑃(18 − 21 ó 𝑟𝑒ℎ𝑢𝑠𝑎𝑛) = 84 359+ 31 359= 0.320

(21)

21

Sean los dígitos del 0 al 9, calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

a) Seleccionar al azar un dígito, que resulte 0 o múltiplo de 3 𝑃(𝑠𝑒𝑎 0 ó 𝑠𝑒𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 3) = 1 10+ 3 10= 4 10

b) Seleccionar al azar un dígito, que resulte par o número primo. 𝑃(𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑟 ó 𝑠𝑒𝑎 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 ) = 5 10+ 3 10= 8 10

Probabilidad Condicional: Surge cuando se desea obtener la probabilidad de un evento A y se conoce la ocurrencia de un evento B que tiene relación con el primero

La probabilidad condicional en independencia estadística (eventos independientes) es-tá dada de la manera.

𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 𝑃(𝐴)

/: 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑎 𝐴 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑎 𝐵

Ejercicios:

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extran-jera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. EL 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. EL elegido es un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que se chica?

Suponiendo que el centro escolar tiene 100 alumnos: 𝐼𝑛𝑔𝑙é𝑠 = 90 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑜𝑠 = 27 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 = 63 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑠 = 10 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑜𝑠 =4 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 = 6 𝑃(𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑔𝑙é𝑠⁄ ) =63 90 𝑃(𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑠⁄ ) = 6 10 𝑃(𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎) = 0.9 × 0.7 + 0.1 × 0.6 = 0.69

(22)

22

En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? Gafas Sin Gafas TOTAL

Hombre 15 25 40

Mujer 15 45 60

TOTAL 30 70 100

𝑃(𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑦 sin 𝑔𝑎𝑓𝑎𝑠) = 45 100

b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre?

𝑃(ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 sin 𝑔𝑎𝑓𝑎𝑠⁄ ) =25 70=

5 14

Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan ga-fas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

𝐷𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 1

5 𝑠𝑜𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑦 4

5 𝑠𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 a) Con una persona sin gafas

𝑃(sin 𝑔𝑎𝑓𝑎𝑠) =1 5× 75 100+ 4 5× 400 1000= 0.47 b) Con una mujer con gafas

𝑃(𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑎𝑓𝑎𝑠) =4 5×

600

1000= 0.48

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

Ω = 80 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟í𝑎

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una no-vela? 𝑃(𝐵 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑎 𝐴 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑎⁄ ) =60 80× 59 79 𝑃(𝐵 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑎 𝐴 𝑝𝑜𝑒𝑠í𝑎⁄ ) =20 80× 60 79 𝑃(𝐵 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑗𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑎) =60 80× 59 79+ 20 80× 60 79= 237 316

(23)

23

b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿Cuál es la probabilidad de que el

li-bro seleccionado por A sea de poesía?

𝑃(𝐴 𝑝𝑜𝑒𝑠í𝑎 𝐵 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑎⁄ ) = 20 80× 60 79 60 80× 59 79+ 20 80× 60 79 = 60 237

VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es aquella que obtiene diferentes valores numéricos mediante un proceso de conteo o medición como consecuencia de un fenómeno aleatorio. Esta variable es un valor o magnitud que ocurre con una secuencia indeterminada, por lo que al no conocerse el valor que puede adquirir se lo denomina aleatoria

En otras palabras una variable es aquella regla (función) que asigna un valor numérico a cada resultado del espacio muestral.

Una variable puede ser discreta o continua

 Discreta: es aquella que toma valores limitados y enteros.

 Continua: es aquella que toma valores ilimitados y puede ser entero o fraccio-nario.

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria

Se define a la distribución de probabilidad de una variable aleatoria como el conjunto de todos los posibles resultados numéricos de un experimento a los cuales podemos asignar una ocurrencia o una probabilidad, lo que permite obtener sus gráficos que en-tre los más importantes tenemos.

 Ley de densidad o probabilidad  Función de distribución

Función de densidad o ley de probabilidad 𝒇(𝒙): Es el conjunto de valores de la

varia-ble x y su respectiva probabilidad.

𝑿 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓

(24)

24

Función distribución 𝑭(𝒙): Es la sumatoria de las probabilidades.

𝐹(𝑥) = ∑ 𝑝(𝑖) 𝑛

𝑖=1

𝑿 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓

𝑭(𝒙) p(𝑥₁) p(𝑥₁) + p(𝑥2) … p(𝑥3) …p(𝑥4) …p(𝑥5)

Momento ordenado de orden k

𝛼𝑘 = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖𝑘 𝑛

𝑖=1

Momento central de orden k

µ_𝑘 = ∑ 𝑝_𝑖(𝑥_𝑖− 𝐸(𝑥))2 𝑛

𝑖=1

Valor esperado o esperanza matemática: Es el valor medio ponderado de todos los

resultados que toma la variable aleatoria y se define. 𝐸(𝑥) = ∑𝑛_𝑖=1𝑝_𝑖𝑥_𝑖 𝑥𝑖 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑝_𝑖 = 𝑝𝑟𝑎𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑥_𝑖 Varianza: 𝑉(𝑥) = ∑ [𝑥𝑖− 𝐸(𝑥)]2. 𝑝𝑖 𝑛 𝑖=1 Desviación Estándar: 𝜎 = √𝑉(𝑥)

(25)

25

Asimetría: 𝐴(𝑥) = 𝑈3 [𝐷(𝑥)]3 𝑈3 = ∑ [𝑥𝑖− 𝐸(𝑥)]3. 𝑝𝑖 𝑛 𝑖=1

Moda: Esta dado por el valor de la variable aleatoria que tiene la mayor probabilidad.

Dicho valor se obtiene de la ley de densidad o probabilidad.

Mediana: Este valor está dado por aquella probabilidad que es la primera en igualar o sobrepasar al 0.5 y se obtiene del grafico de la función de distribución.

Ejercicios:

Complete la ley de probabilidad siguiente sabiendo que su esperanza matemá-tica es igual a 1.8. Realizar el grafico de la función de distribución, obtener la varianza, desviación estándar, moda y mediana.

𝒙 0 1 2 3 𝑷(𝒙) 0,2 A b 0,3 𝐸(𝑥) = 1.8 1.8 = 0(2 10) + 1(𝑎) + 2(𝑏) + 3( 3 10) 9 10= 𝑎 + 2𝑏 0.2 + 𝑎 + 𝑏 + 0.9 = 1 ∴ 𝑎 = 0.1 𝑦 𝑏 = 0.4 Función de distribución 𝑿 0 1 2 3 𝒑(𝒙) 0,2 0,1 0,4 0,3 𝑭(𝒙) 0,2 0,3 0,7 1

(26)

26

Gráfico de distribución 0 𝑥 < 0 0.2 0 ≤ 𝑥 < 1 0.3 1 ≤ 𝑥 < 2 0.7 2 ≤ 𝑥 < 3 1 𝑥 ≥ 3 𝐸(𝑥) = 1.8 𝑉(𝑥) = (0 − 1.8)2 0.2 + (1 − 1.8)20.1 + (2 − 1.8)20.4 + (3 − 1.8)2_{0.3 =}162 250 𝑉(𝑥) = 1.16 𝜎 = √1.16 = 1.77 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 2 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 2 0 0,5 1 1,5 0 1 2 3

P(x)

P(x) P(x) 0 0,5 1 0 ₁ 2 ₃ 4

P(x)

(27)

27

Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen al-gún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:

Datos: 𝑛 = 7 𝑟 = 3 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 Función de densidad 𝑿 𝟎 𝟏 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒙 = 𝑿) 2 7 4 7 1 7 Gráfico de densidad Función de distribución 𝑿 𝟎 𝟏 𝟐 𝑭(𝒙) = 𝒑(𝑿) 2 7 6 7 1 0,00 0,20 0,40 0,60 0 1 2

p(x)

(28)

28

Gráfico de distribución 𝐸(𝑥) = ∑𝑛_𝑖=1𝑝_𝑖𝑥_𝑖q 𝐸(𝑥) = (0) (2 7) + (1) ( 4 7) + (2) ( 1 7) = 6 7 V(x) = ∑ [xi− E(x)]2. pi n i=1 𝑉(𝑥) = (0 −6 7) 2 (2 7) + (1 − 6 7) 2 (4 7) + (2 − 6 7) 2 (1 7) = 20 49 𝜎 = √𝑉(𝑥) 𝜎 = √20 49= 0.638

Una variable aleatoria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde 𝐹(𝑥) = 𝑘(9 − 𝑥)

Si 𝑥 = 5,6,7,8 Determine: a) K

b) Encuentre la media y la varianza de x 𝑝(𝑥 = 5) = 𝑘(9 − 5) = 4𝑘 𝑝(𝑥 = 6) = 𝑘(9 − 6) = 3𝑘 𝑝(𝑥 = 7) = 𝑘(9 − 7) = 2𝑘 𝑝(𝑥 = 8) = 𝑘(9 − 8) = 𝑘 Sabemos que 10𝑘 = 1 Entonces 𝑘 = 1 10 0,00 0,50 1,00 1,50 0 1 2

F(x)

(29)

29

Función de densidad 𝑿 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒙 = 𝑿) 4 10 3 10 2 10 1 10 Gráfico de densidad Función de distribución 𝑿 _𝟓 _𝟔 _𝟕 _𝟖 𝑭(𝒙) = 𝒑(𝒙) ₄ 10 7 10 9 10 1 𝐹(𝑥) { 0 𝑠𝑖 𝑥 < 5 4 10 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 7 10 𝑠𝑖 6 ≤ 𝑥 ≤ 7 9 10 𝑠𝑖 8 ≤ 𝑥 ≤ 9 1 𝑠𝑖 𝑧 > 8 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 5 6 7 8

p(x)

(30)

30

Media 𝐸(𝑥) = ∑𝑛_𝑖=1𝑝_𝑖𝑥_𝑖q 𝐸(𝑥) = (5) (4 10) + (6) ( 3 10) + (7) ( 2 10) + (8)( 1 10) = 6 Varianza V(x) = ∑ [xi− E(x)]2. pi n i=1 𝑉(𝑥) = (5 − 6)2(4 10) + (6 − 6) 2₍3 10) + (7 − 6) 2₍2 10) + (8 − 6) 2₍1 10) = 1

Sea X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una máquina de premios que esta puesta en un supermercado. La función de probabilidad para Z está dada por,

𝑓(𝑥) =𝑥 2 _{− 3𝑥} 60 Si 𝑥 = 4,5,6,7 𝑝(𝑥 = 4) =4 2_{− 3(4)} 60 = 4 60 𝑝(𝑥 = 5) =5 2_{− 3(5)} 60 = 10 60 𝑝(𝑥 = 6) =6 2_{− 3(6)} 60 = 18 60 𝑝(𝑥 = 7) =7 2_{− 3(7)} 60 = 28 60 0,00 0,50 1,00 1,50 5 6 7 8

F(X)

(31)

31

Función de densidad 𝑿 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒙 = 𝑿) 4 60 10 60 18 60 28 60 Función de distribución 𝑿 _𝟒 _𝟓 _𝟔 _𝟕 𝑭(𝒙) = 𝒑(𝒙) 4 60 14 60 32 60 1 Media 𝐸(𝑥) = ∑𝑛_𝑖=1𝑝_𝑖𝑥_𝑖q 𝐸(𝑥) = (4) (4 60) + (5) ( 10 60) + (6) ( 18 60) + (7) ( 28 60) = 37 60 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 4 5 6 7

p(x)

p(x) 0,00 0,50 1,00 1,50 4 5 6 7

F(X)

(32)

32

Varianza V(x) = ∑ [xi− E(x)]2. pi n i=1 𝑉(𝑥) (4 −37 60) 2 (4 60) + (5 − 37 60) 2 (10 60) + (6 − 37 60) 2 (18 60) + (7 −37 60) 2 (28 60) = 8.56 Desviación típica 𝜎 = √𝑉(𝑥) 𝜎 = √8.56 = 2.925

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

Distribución Binomial

Esta distribución surge cuando el resultado de un experimento toma únicamente dos valores posibles. Es decir, que dichos resultados son mutuamente excluyentes.

Ejemplo:

Si la pregunta es: ¿Si en una casa hay servicio de internet? La respuesta seria SÍ o NO por lo que el resultado muestra únicamente dos opciones.

Este resultado normalmente se lo denomina éxito o fracaso sin que la palabra éxito implique que se obtenga un resultado favorable.

Características:

El resultado del experimento puede tomar dos valores, los cuales son mutua-mente excluyentes.

A la probabilidad de éxito se le denomina 𝑝 y de fracaso 𝑞 = 1 − 𝑝

Un resultado particular de un experimento es independiente de otro resultado de cualquier experimento.

Los resultados de cada experimento se obtienen a partir de dos técnicas de muestro que son:

a) Población infinita sin reemplazo b) Población infinita con reemplazo

La distribución binomial está definida de la siguiente manera: 𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!× 𝑝 𝑟_{× 𝑞}𝑛−𝑟 Dónde: 𝒏 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝒓 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠

(33)

33

𝒑 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜 𝒒 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜. Medidas descriptivas Media, Esperanza: 𝜇 = 𝑛 × 𝑝 Varianza: 𝑉(𝑥) = 𝑛 × 𝑝 × 𝑞 Desviación típica: 𝐷(𝑥) = √𝑉(𝑥) = √𝑥 × 𝑝 × 𝑞 Ejercicios:

Un examen tiene 20 preguntas independientes de selección simple, cada una con 4 opciones de respuesta. Si el estudiante solo adivina las respuestas, de-termine:

a) El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria X, y los parámetros de distribución Distribución binomial 𝑟: # 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛 𝑟: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … , 20 𝑛 = 20 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑝 = 1 4⁄ = 0.25

b) Cuál es la probabilidad de que es estudiante responda correctamente 8 preguntas

𝑃(𝑟 = 8) = 20𝐶8 × 0.258 _{× 0.75}20−8_{= 0.06089 = 𝑓(8)}

c) Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda correctamente por lo menos 2 preguntas

𝑃(𝑟 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑟 < 2) = 1 − 𝑃(𝑟 = 1) − 𝑃(𝑟 = 0) 𝑃(𝑟 = 1) = 20𝐶1 × 0.251× 0.7520−1= 0.02114 𝑃(𝑟 = 0) = 20𝐶0 × 0.250 _{× 0.75}20−0_{= 0.00317} 𝑃(𝑟 ≥ 2) = 1 − 0.02114 − 0.00317 = 0.97569

d) Hallar el número promedio de respuestas correctas del examen y su va-rianza

𝜇 = 𝐸(𝑥) = 20 × 0.25 = 5

𝑉(𝑥) = 𝜎2 = 20 × 0.25 × 0.75 = 3.75 𝜎 = √3.75 = 1.93649

(34)

34

Un producto electrónico contiene 40 circuitos integrados independientes. La probabilidad de que un circuito integrado este defectuoso es de 0.01 el produc-to funciona sino hay circuiproduc-tos integrados defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto funcione?

𝑟: # 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑟: 0, 1, 2, 3, … ,40

𝑛 = 40 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑝 = 0.01

𝑃(𝑟 = 0) = 40𝐶0 × 0.010 _{× 0.99}40 _{= 0.66897}

Un proceso de control de calidad requiere que se tomen muestras de 20 partes cada hora. Típicamente el 1 % de las partes requieren ser reprocesadas. Sea r el número de partes que requieren ser reprocesadas. Se presenta un problema en el proceso si por exceder a su media por más de 3 desviaciones estándar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se presente un problema en el proceso? 𝑟: # 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎𝑠 𝜇 = 𝑛𝑝 = 20 × 0.01 = 0.2 𝑉(𝑥) = 𝑛𝑝𝑞 = 20 × 0.01 × 0.99 = 0.198 = 𝜎2 𝜎 = 0.44497 𝑟 = 0.2 + 3(0.44497) = 1.53491 𝑃(𝑟 > 1.53) = 𝑃(𝑟 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑟 = 1) − 𝑃(𝑟 = 0) 𝑃(𝑟 = 1) = 20𝐶1 × 0.011_{× 0.99}19 _{= 0.1652} 𝑃(𝑟 = 0) = 20𝐶0 × 0.010 _{× 0.99}20 _{= 0.8179} 𝑃(𝑟 > 1.53) = 1 − 0.1652 − 0.8179 = 0.016859

b) Si el porcentaje de partes que requieren ser reprocesadas es 4%, ¿Cuál es la probabilidad de que x exceda en las siguientes 5 horas, donde se toma la muestra?

𝑛 = 1000 𝑝 = 0.04

𝑃(𝑟 > 1) = 1 − 𝑃(𝑟 ≤ 1) = 0.912836

La última novela de un autor he tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 per-sonas? 𝑟: # 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒𝑒𝑟á𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜 𝑟 = 0, 1, 2, 3, 4 𝑛 = 4 𝑝 = 0.8 𝑃(𝑟 = 2) = 4𝐶2 × 0.82_{× 0.2}2 _{= 0.8179 = 0.1536}

(35)

35

b) ¿Y como máximo 2?

𝑟: # 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒𝑒𝑟á𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜 𝑟 = 0, 1, 2, 3, 4 𝑛 = 4 𝑝 = 0.8 𝑃(𝑟 ≤ 2) = 𝑃(𝑟 > 2) = 1 − 𝑃(𝑟 = 3) − 𝑃(𝑟 = 4) 𝑃(𝑟 = 3) = 4𝐶3 × 0.83_{× 0.2}1 _{= 0.4096} 𝑃(𝑟 = 4) = 4𝐶4 × 0.84_{× 0.2}0 _{= 0.4096} 𝑃(𝑟 ≤ 2) = 1 − 0.4096 − 0.4096 = 0.1808 Distribución Hipergeométrica

Surge al seleccionar una muestra sin reposición de una población finita conocida y sin reemplazo. Dicha muestra es una porción relativamente considerable con relación al tamaño de la población, la distribución hipergeométrica determina la probabilidad de ocurrencia de un cierto número de éxitos de una muestra que se obtiene de una pobla-ción que también cuenta con un cierto número de éxitos.

La muestra se obtiene de una población finita si sin reemplazo

El tamaño de la muestra n es mayor al 5% del tamaño de N población 𝑛 >= 5%𝑁

La distribución hipergeométrica está definida por:

𝑃(𝑥) =𝐶(𝑦, 𝑥) × 𝐶(𝑁 − 𝑦, 𝑛 − 𝑥) 𝐶(𝑁, 𝑛) Dónde: 𝑵 = 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒏 = 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝒚 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒙 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎. 𝑵 − 𝒚 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒏 − 𝒙 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎. Medidas descriptivas Media, Esperanza: 𝜇 = 𝑛 × 𝑝 Varianza: 𝑉(𝑥) = 𝑛 × 𝑝 × 𝑞 × (𝑁−𝑛_𝑁−1) Probabilidad: 𝑝 = 𝑦 𝑁⁄ 𝑞 = 1 − 𝑝 Desviación típica: 𝐷(𝑥) = √𝑉(𝑥)

(36)

36

Ejercicios:

Suponga que x tiene una distribución hipergeométrica N=100, n=4, y=20, de-terminar: a) 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶(𝑦,𝑥)×𝐶(𝑁−𝑦,𝑛−𝑥)_{𝐶(𝑁,𝑛)} = 20𝐶1×(100−20)𝐶(4−1) 100𝐶4 = 0.41905 b) 𝑃(𝑥 = 6) = 𝐶(𝑦,𝑥)×𝐶(𝑁−𝑦,𝑛−𝑥)_{𝐶(𝑁,𝑛)} = 20𝐶6×(100−20)𝐶(4−6) 100𝐶4 = 0.0 c) 𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶(𝑦,𝑥)×𝐶(𝑁−𝑦,𝑛−𝑥)_{𝐶(𝑁,𝑛)} = 20𝐶4×(100−20)𝐶(4−4) 100𝐶4 = 0.00124 Del ejercicio anterior encontrar sus medidas descriptivas

𝑝 = 𝑦 𝑁⁄ = 20 100⁄ = 1 5⁄ 𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝 = 4 ×1 5= 4 5 𝑉(𝑥) = 𝑛𝑝𝑞 (𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1) = 4 × 4 5× 1 5× ( 96 99) = 0.62061

Un lote de 75 arandelas contienen 5 en las cuales la variabilidad en el espesor alrededor de la circunferencia es inaceptable. Una muestra de 10 arandelas se selecciona al azar y sin remplazo.

𝑥: # 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁 = 75

𝑛 = 10 𝑦 = 5

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna arandela sea inaceptable en la muestra? 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶(𝑦, 𝑥) × 𝐶(𝑁 − 𝑦, 𝑛 − 𝑥) 𝐶(𝑁, 𝑛) = 5𝐶0 × (75 − 5)𝐶(10 − 0) 75𝐶10 = 0.47857

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una arandela sea inaceptable? 𝑃(𝑥 ≥ 1) = 𝑃(𝑥 < 1) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0) = 1 − 0.47857 = 0.39227 c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 arandelas sea aceptable?

𝑥: # 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁 = 75 𝑛 = 10 𝑦 = 70 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶(𝑦, 𝑥) × 𝐶(𝑁 − 𝑦, 𝑛 − 𝑥) 𝐶(𝑁, 𝑛) = 70𝐶2 × (75 − 70)𝐶(10 − 8) 75𝐶10 = 0.0291 × 10−6

(37)

37

Un estado efectuá una lotería, seleccionando de forma aleatoria 6 números de un grupo de 40, sin remplazo. Un jugador escoge 6 números antes del sorteo. 𝑥: # posibles sorteados

𝑁 = 40 𝑛 = 6 𝑦 = 6

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 números escogidos por el jugador coincidan con los 6 números premiados?

𝑃(𝑥 = 6) = 𝐶(𝑦, 𝑥) × 𝐶(𝑁 − 𝑦, 𝑛 − 𝑥)

𝐶(𝑁, 𝑛) =

6𝐶6 × (40 − 36)𝐶(6 − 6) 40𝐶6

= 2.60527 × 10−7

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los números escogidos por el jugador coincidan con los 5 números premiados?

𝑃(𝑥 = 5) = 𝐶(𝑦, 𝑥) × 𝐶(𝑁 − 𝑦, 𝑛 − 𝑥)

𝐶(𝑁, 𝑛) =

6𝐶5 × (40 − 36)𝐶(6 − 5) 40𝐶6

= 5,31474 × 10−5

c) ¿Cuál es el número promedio de aciertos? 𝑝 = 𝑦 𝑁 = 6 40⁄ ⁄ 𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝 = 6 × 6 40= 9 10 Distribución de Poisson

Es una distribución de probabilidad que se aplica a las variables aleatorias discretas. Divide la frecuencia relativa de la ocurrencia de un evento, que está dado en función de la unidad de tiempo, espacio o volumen.

Esta distribución permite describir el comportamiento de las probabilidades en fenó-menos tales como:

Número de accidentes por semana en una carretera, escuela o empresa Número de clientes que ingresan por hora a una tienda, banco, etc.

Número de fallos o imperfecciones por cm2_{en las carpas de carrocerías de los} automóviles nuevos.

Número de bacterias por cada ml. de agua en un estanque o reservatorio de un distrito.

Esta distribución es el producto o resultado de las siguientes hipótesis:

Los eventos ocurren uno a la vez, es decir, que la probabilidad que dos o más eventos ocurran juntos en nula.

(38)

38

La probabilidad de ocurrencia de un evento de interés es constante para inter-valos diferentes en algún lugar de tiempo, espacio o volumen.

El numero promedio o esperado de eventos es constante en cualquier lapso de tiempo, espacio o volumen.

La ocurrencia de un evento de interés es independiente de cualquier ocurren-cia en cualquier lapso de tiempo, espacio o volumen.

Con estas características este tipo de distribución se define de la siguiente manera:

𝑃(𝑥) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! Dónde: 𝒑(𝒙) = 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜, 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝝀 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜, 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝓮 ∶ 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝒙: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛. Ejercicios:

La concentración de partículas en una suspensión es 2 por ml. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 ml. Sea X el número de partículas que son retiradas. Determine

a) 𝑝(𝑥 = 5) 𝑃(𝑥) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−2× 25 5! = 0.0360 b) 𝑝(𝑥 ≤ 2) 𝑃(0) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−2× 20 0! = 0.1353 𝑃(1) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−2× 21 1! = 0.2706 𝑃(2) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−2× 22 2! = 0.2706 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) = 0.6765 c) 𝑝(𝑥 > 1) 𝑃(0) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−2_{× 2}0 0! = 0.1353 𝑃(1) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−2× 21 1! = 0.2706

(39)

39

𝑃(𝑥 > 1) = 1 − 𝑝(0) − 𝑝(1) = 0.4059

Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. De-termine a) 𝑃(𝑥 = 3) 𝑃(𝑥) =ℯ−𝜆×𝜆𝑥 𝑥! = ℯ−3×33 3! = 0.224 b) 𝑃(𝑥 ≤ 2) 𝑃(0) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−3× 30 0! = 0.0498 𝑃(1) =ℯ−𝜆×𝜆𝑥 𝑥! = ℯ−3_×31 1! = 0.1493 𝑃(2) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−3× 32 2! = 0.2240 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) = 0.4231 c) 𝑃(1 < 𝑥 < 4) 𝑃(2) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−3_{× 3}2 2! = 0.224 𝑃(3) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−3_{× 3}3 3! = 0.224 𝑃(1 < 𝑥 < 4) = 𝑝(2) + 𝑝(3) = 0.448 d) 𝐸(𝑥) = 𝜆 = 3 𝑉(𝑥) = 𝜆 = 3

La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabili-dad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos

n = 85 𝑝 = 0.02 𝑥 = 4 𝜆 = 1.7 𝑃(4) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−1.7× 1.74 4! = 0.0636

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba

𝜆 = 6

(40)

40

a) cuatro cheques sin fondo en un día dado,

𝑃(𝑥 = 4) = ℯ

−𝜆_{× 𝜆}𝑥

𝑥! =

ℯ−6× 64

4! = 0.1339

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos 𝑃(10) =ℯ −𝜆_{× 𝜆}𝑥 𝑥! = ℯ−6× 610 10! = 0.1049 Distribución multinomial

Si los sucesos A1, A2, A3, … , Ak ocurren con una probabilidad p1, p2, p3, … , pk enton-ces la probabilidad de que uno de ellos ocurra un número determinado de veenton-ces [ni] es-tá definido por: 𝑃(A1, m1; A2, m2; A3, m3; … ; Ak , mk) = n! n1! n2! n3! … nk! × p1m1× p2m2× p3m3× … × pkmk 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3+ ⋯ +𝑛𝑘 = 𝒏 𝑝₁+ 𝑝₂+ 𝑝₃+ ⋯ +𝑝_𝑘 = 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝟏 Ejercicios:

Supóngase que el 23% de las personas que asisten a cierto partido de “base-ball” viven a menos de 10 millas del estadio, el 59% de ellas viven a entre 10 y 50 millas del estadio, y el 18% vive a más de 50 millas. Se seleccionan al azar 20 personas entre los asistentes al partido (que son miles). Calcular la probabilidad de que siete de los seleccionados vivan a menos de 10 millas, ocho vivan entre 10 y 50 millas, y cinco vivan a más de 50 millas del estadio.

n = 20 Número de personas seleccionadas

k = 3 Cantidad de grupos de clasificación de las personas y₁ Personas que viven a menos de 10 millas del estadio y2 Personas que viven a entre 10 y 50 millas del estadio y₃ Personas que viven a más de 50 millas del estadio p₁ = 0.23

p₂ = 0.59 p₃ = 0.18

Definiendo N1, N2, N3 el vector correspondiente a las frecuencias, se pide calcular:

P(N₁ = 7, N₂ = 8, N₃= 5) = ( 20!

7! × 8! × 5!) × 0.23

(41)

41

P(N1 = 7, N2 = 8, N3= 5) = 0.0094

En una fiesta, el 20% de los asistentes son españoles, el 30% franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean españoles y 2 italianos?

𝑥1 = 2 𝑥2 = 0 𝑥3 = 2 𝑥₄ = 0 𝑝₁ = 0.2 𝑝₂ = 0.3 𝑝₃ = 0.4 𝑝₄ = 0.1 𝑃(𝑥1 = 2, 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = 0) = ( 4! 2! × 0! × 2! × 0!) × 0.2 2_{× 0.3}0_{× 0.4}2_{× 0.1}0 𝑃(𝑥1 = 2, 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = 0) = 0.0384

Si se extrae una muestra aleatoria de 20 sujetos. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 estén en contra, 10 sean indiferentes y 5 a favor de la donación de órga-nos?

𝑥: Actitud hacia la donación de órganos 𝑥1 = 5 En contra 𝑥2 = 10 Indiferente 𝑥3 = 5 A favor 𝑝1 = 0.15 𝑝2 = 0.40 𝑝3 = 0.45 𝑃(𝑥1 = 5, 𝑥2 = 10, 𝑥3 = 5) = ( 20! 5! ∗ 10! ∗ 5!) ∗ 0.15 5_{∗ 0.40}10_{∗ 0.45}5 𝑃(𝑥1 = 5, 𝑥2 = 10, 𝑥3 = 5) = 0.041

De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8: 4: 4. En-cuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes.

𝑛 = 8

a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco 𝑥1 = 5 Rojos

𝑥₂ = 2 Negros 𝑥₃ = 1 Blanco 𝑝₁ = 0.50 𝑝₂ = 0.25

(42)

42

𝑝3 = 0.25 𝑃(𝑥1 = 5, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 1) = ( 8! 5! × 2! × 1!) × 0.50 5_{× 0.25}2_{× 0.25}1 𝑃(𝑥₁ = 5, 𝑥₂ = 2, 𝑥₃ = 1) = 0.082

b) 3 sean rojos y 2 sean negros 𝑥1 = 3 Rojos 𝑥₂ = 2 Negros 𝑥3 = 3 Blanco 𝑝1 = 0.50 𝑝2 = 0.25 𝑝₃ = 0.25 𝑃(𝑥1 = 3, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3) = ( 8! 3! × 2! × 3!) × 0.50 3_{× 0.25}2_{× 0.25}3 𝑃(𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = 2, 𝑥₃ = 3) = 0.06836

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable aleatoria continua, es una función porque asigna a cada posible resultado de un experimento un valor real por lo tanto, x∈[a,b]⊂R.

Ejemplo:

 Peso: estatura de un grupo de personas 𝑃∈[6; 2001]⊂ℝ

𝐸𝑠∈[40; 190]⊂ℝ Ca∈ [0; 20]⊂ℝ

Una variable aleatoria 𝑥 es continua si existe una función ℝ en ℝ 𝑓: R→R Llamada función de densidad o ley de probabilidad

𝐴 = [𝑎, 𝑏] 𝑃(𝑥 ⊆ 𝐴) = ∫ 𝑓(𝑥)𝛿𝑥 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝛿𝑥 = 𝑃 < 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑏 𝑎 Propiedades de la función de densidad Propiedad de 𝑓(𝑥)

 𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ  ∫_−∞∞ 𝑓(𝑥)𝛿𝑥 = 1

Se tiene las siguientes equivalencias:

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) ≈ 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) ≈ 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏) ≈ 𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) 𝑃(𝑥 = 𝑎) ≈ 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎) ≈ 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = 0

(43)

43

Función Distribución 𝒇(𝒙)

La función de distribución para una variable aleatoria continua, que tiene una función de densidad o ley de probabilidad 𝑓(𝑥) esta dada por:

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑥 −∞ 𝛿𝑡 Medidas descriptivas 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝛿𝑥 ∞ −∞ 𝑉(𝑥) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝛿𝑥 − ∞ −∞ ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝛿𝑥 ∞ −∞ 𝐷(𝑥) = √𝑉(𝑥) Ejercicios:

Supongamos que el tiempo de funcionamiento de un dispositivo electrónico (en horas) puede modelarse por una variable aleatoria X continua con función densidad. 𝑓(𝑥) = {𝑘𝑒− 𝑥 2 0 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 Hallar: a) K ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 +∞ −∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = +∞ −∞ ∫ 𝑘𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = +∞ −∞ 𝑘 [−2𝑒−𝑥2] = 𝑘 (−2 lim 𝑥→∞𝑒 −𝑥 2 + 2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘𝑥2 = 1 +∞ −∞ ∴ 𝑘 =1 2 b) F(x) 𝐹(𝑥) = { 0 1 − 𝑒−𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑠𝑖 𝑥 > 0

c) La probabilidad de que el dispositivo dure más de dos horas 𝑃[𝑥 > 2] = 1 − 𝐹(2) = 1 − {1 − 𝑒−2/2} = 0.368

(44)

44

Sea X una variable aleatoria con F(x)

𝐹(𝑥) { 0 𝑥2 1 𝑥 < 0 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑥 ≥ 1

a) Representar gráficamente 𝐹(𝑥). ¿De que tipo es la variable aleatoria?

b) f(x) 𝑓(𝑥) = { 0 2𝑥 0 𝑥 < 0 0 < 𝑥 ≤ 1 𝑥 ≥ 1 c) Calcular 𝑝(0.5 ≤ 𝑥 ≤ 0.7) 𝑃[0.5 ≤ 𝑋 ≤ 0.7] = 𝐹(0.7) − 𝐹(0.5) = (0.7)2− (0.5)2 = 0.24 Dada la función de densidad de una variable aleatoria x. Calcular 𝐹(𝑥) y 𝐸(𝑥)

1₈𝑥 +1 8 𝑥 ≤ 2 𝑓(𝑥)= 3 − 𝑥 2 < 𝑥 ≤ 3 0 resto 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥(1₈𝑥 +1 8 2 0 )𝑑𝑥 + ∫ 𝑥(3 − 𝑥 2 0 )𝑑𝑥 = 1.75 0 𝑥 < 0 𝐹(𝑥) = 𝑥2 16+ 𝑥 8 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 −𝑥2 2 + 3𝑥 − 7 2 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 1 𝑥 ≥ 3

(45)

45 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA

Distribución Normal Forma: 𝑓(𝑥) = 1 𝜎 × √2𝜋𝑒 −(𝑥−𝑢)2 2𝜎2 Donde:  𝝈 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙  𝒖 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙  𝒆 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 2,7181 …  𝝅 = 3,14159 …  𝒙 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 Integrando: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥₂ 𝑥1 Cambio de variable: 𝑧 =𝑥 − 𝑢 𝜎 𝑓(𝑧) = 1 √2𝜋∫ 𝑒 −𝑧2 2 𝑑𝑧 𝑧₂ 𝑧1 Gráfica:

(46)

46

Ejercicios:

La resistencia a la tracción de un papel se modela con una distribución normal con una media de 35 lb x pulgada2_{y una desviación estándar de 2 lb x pulgada}2 𝑥: 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 [𝑙𝑏 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎⁄ 2]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 40 lb x pulgada2_? 𝑥 < 40 𝑥1 = 40 + 0.25 = 40.25 𝑧₁ =40.25 − 35 2 = 2.625 𝑝(𝑧 < 2.625) = 0.5 + 𝑝(0 < 𝑧 < 2.625) = 0.4957 + 0.5 = 0.9957 b) Si las especificaciones requieren que la resistencia supere las 30 lb.

¿Cuál es la proporción de muestras que se desecharían? 𝑥 < 30

𝑥1 = 30 + 0.25 = 30.25 𝑧₁ =30.25 − 35

2 = −2.375

𝑝(𝑧 < −2.375) = 0.5 − 𝑝(0 < 𝑧 < 2.375) = 0.5 − 0.4913 = 0.0087 c) ¿Cuál es el valor de la resistencia que es superado por el 10% de las

muestras? 𝑝(𝑋 > 𝑥) = 0.1 𝑝(𝑍 < 𝑧) = 0.9

(47)

47

1.285 =𝑥 + 0.25 − 35

2

𝑥 = 37.32 𝑙𝑏 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎_⁄ 2

El volumen de llenado automático que realiza una máquina con bebidas de ga-seosa tiene una distribución normal con una media de 12.4 onzas de fluido y una desviación estándar de 0.1 onzas de fluido.

𝑥: volumen de llenado[onzas]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen de llenado sea inferior a 12 onzas de fluido? 𝑥 < 12 𝑥₁ = 12 + 0.25 = 12.25 𝑧1 = 12.25 − 12.4 0.1 = −1.5 𝑝(𝑧 < −1.5) = 0.5 − 𝑝(0 < 𝑧 < 1.5) = 0.5 − 0.4332 = 0.0668

b) Si se desechan los envases con un volumen inferior a 12.1 o superior a 12.6 onzas de fluido, cual es la proporción de envases desechados. 𝑥 < 12.1 ∨ 𝑥 > 12.6 𝑥₁ = 12.1 𝑥₂ = 12.6 𝑧₁ =12.1 − 12.4 0.1 = −3 𝑧2 = 12.6 − 12.4 0.1 = 2 𝑝(𝑧1 < −3) = 0.5 − 𝑝(0 < 𝑧 < 3) = 0.5 − 0.4987 = 0.0013 𝑝(𝑧2 > 2) = 0.5 − 𝑝(0 < 𝑧 < 2) = 0.5 − 0.47472 = 0.0228 𝑝(𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿) = 𝑝(𝑧2 > 2) + 𝑝(𝑧1 < −3) = 0.0241

c) Determinar las especificaciones de volumen que son simétricos alrede-dor de la media e incluyen al 99% de los envases.

(48)

48

𝑝(𝑍 < 𝑧1) = 0.005 0.99 ÷ 2 = 0.4952.575 𝑧1 = 2.575 𝑥1 = (2.575 × 0.1) + 12.4 = 12.6575  𝑥2 = −12.6575 ∴ 𝐿𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑛 12.6575 𝑦 − 12.6575 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑠 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑙 0.5 El tiempo de vida de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con una media de 7000 horas y una desviación de 600 ho-ras.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5000 horas? 𝑥 < 5000

𝑧1 =

5000.25 − 7000

600 = −3.33

𝑝(𝑧 < −3.33) = 0.5 − 𝑝(0 < 𝑧 < 3.33) = 0.5 − 0.49957 = 0.00043 b) ¿Cuál es el tiempo de vida en horas, del 95% del láser lo excede?

𝑝(𝑋 > 𝑥) = 0.95  0.45 𝑝(𝑍 < 𝑧) = 1.645

𝑥1 = (1.645 × 600) + 7000 = 7987

En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20082. Suponga que la distribución de los costos anua-les se rigen por una distribución normal y la desviación estándar era de $4500. El 95% de los estudiantes de la universidad privada paga menos de ¿Qué canti-dad?