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TALLER DE GEOMETRIA
Material Didáctico para el Estudio de
Geometría
CARLOS MARIO RESTREPO ORTIZ
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS
POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
3
INDICE
1.
Segmentos
………..
4
2.
Ángulos
………...
7
3.
Congruencia de triángulos
………..
9
4.
Desigualdad en triángulos
………..
12
5.
Paralelismo y perpendicularidad
………
14
6.
Cuadriláteros
………..
17
7.
Circunferencia
………
19
8.
Proporcionalidad y semejanza
………..
22
4
TALLER N°1- SEGMENTOS
01 Dados tal que es punto medio de . Demostrar que
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
02 Se tienen los puntos colineales en dicho orden, sean , y los puntos medios de los segmentos respectivamente. Demostrar que:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
03 Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ demostrar que:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
04 Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ demostrar que
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
05 Se tienen los puntos O-A-B colineales en dicho orden tales que ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ determinar el valor del segmento cuya medida ̅̅̅̅ debe cumplir que
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
06 Se tienen los puntos A, B, C, y D colineales en dicho orden. Si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ demostrar que:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
07 Dados los puntos A, B, C y D colineales en dicho orden. Si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ demostrar que:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
5 ̅̅̅̅ hallar la distancia ̅̅̅̅̅ si se cumple ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
09 Dados los puntos , y colineales y en dicho orden tales que es punto medio de y es punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
10 Sean puntos colineales en dicho y orden y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y AB > BC. si , N y P son punto medio de ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ respectivamente.
Demuestre que ̅̅̅̅ .
11 Demuestre que la distancia del punto medio M de un segmento AB a un punto K sobre la prolongación del segmento, es igual a la semisuma de las distancias de los extremos del segmento al punto K.
12 Sean puntos colineales en dicho orden tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Sea el punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que la medida del segmento ̅̅̅̅ es igual a ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⁄
13 Sean con punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que la medida del segmento ̅̅̅̅ es igual a ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⁄ .
14 Dados M - N - O - P puntos colineales y a
1
MP = b
1
NP, demostrar que
OP=aNO bMO b a
15 Sobre un segmento se dan los puntos A-O-B-C tales que 2OC=3BC Demostrar que se cumple AC = 3AB – 2AO
16 Dados A B C D, M y Nson los puntos medios respectivos de AB y CD .
Demostrar que
2
MD MC MN
6 18 Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que:
OB = (4OA+ 3OC)/7
19 En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE. Además AB =BC y CD = DE. También AB + DE = 10. Calcular FG.
7
TALLER N°2- ANGULOS
1 Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos y .
Probar que la bisectriz OC del AOBforma con OX un ángulo
2
; si
OX
exterior al AOB.
2 Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos y . Probar que la bisectriz OC del AOBforma con OX un ángulo ; si OX es interior al AOB.
3 Dados los ángulos adyacentes y consecutivos POQ, QOR y ROS tales que QOR = 4 ROS demostrar que POQ = 5POR – 4 POS
4 Dados los ángulos consecutivos tales que . Demostrar que .
5 Dadas dos semirrectas opuestas OX y OY y 5 semirrectas OA, OB, OC, OD y OE situadas en un mismo semiplano con respecto a la recta XY, si OC es la bisectriz de AOX; OD es bisectriz de AOB y OE bisectriz de BOY. Tal que
DOY
es el doble de DOX y EOC110º. Hallar las medidas de los ángulos A OX
Ð , AOB y BOY.
6 Dados tres ángulos adyacentes y consecutivos AOB, BOC y COD tales que: Demostrar que:
7 Dadas las semirrectas consecutivas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tales que Demostrar que:
8 9 Se tienen tres ángulos consecutivos cuyos lados extremos son semirrectas
opuestas, el primero y el tercero son como dos a tres y sus bisectrices forman un ángulo de 130º, calcular la medida de los ángulos.
10 Desde el punto O sobre la semirrecta XOY se trazan las semirrectas OA y OB en un mismo semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Halle las medidas de los ángulos, sabiendo que la medida del ángulo YOB es igual a la medida del ángulo XOA y que las bisectrices de los ángulos extremos forman un ángulo de 100 grados
11 Cuatro semirrectas consecutivas OX,OY,OZ yOW forman ángulos tales que XOY
ZOY WOX
2 YZOW3XOY. Calcular las medidas de tales ángulos y demostrar que las bisectrices de XOY y ZOW están en línea recta. 12 Se tienen tres ángulos consecutivos cuyos lados extremos son semirrectas opuestas, el primero y el tercero son como dos a tres y sus bisectrices forman un ángulo de 130º, calcular la medida de los ángulos.
13 Desde el punto O sobre la semirrecta XOY se trazan las semirrectas OA y OB en un mismo semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Halle las medidas de los ángulos, sabiendo que la medida del ángulo YOB es igual a la medida del ángulo XOA y que las bisectrices de los ángulos XOA y AOB es 70º.
14 Indicar el menor de dos ángulos si su suma es 47° y la diferencia de sus complementos es igual a 9°.
15 Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3 a 5. Calcular la medida del ángulo menor.
16 Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que AOB-BOC=40° sean OX y OY bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente. Sea OZ la bisectriz del ángulo XOY. Hallar la medida del ángulo que hacen OZ y OB.
9
TALLER N°3- CONGRUENCIA DE ANGULOS
1. En un triángulo isósceles, se prolongan sus lados congruentes AB Y AC hasta D y E respectivamente tal que BD = CE, luego se trazan DC y EB que se interceptan en P. Demostrar que: ∆BPD = ∆CPE.
2. En el triángulo ABC, se traza la mediana AM (B-M-C) y se toma un punto D sobre ella (A-D-M), probar que si BD = CD entonces el triángulo ABC es isósceles.
3. En un triángulo isósceles obtusángulo de base BC se trazan la mediatrices MD y NE de los lados AB (A, M, B) y AC (A-N- C), respectivamente que se interceptan en I y B-D-E-C. Demostrar que Los triángulos MIB y NIC son congruentes (sugerencia: trace AI).
4. En un triángulo ABC isósceles de base BC se trazan BD y CE tal que AE = AD, con D sobre AC y E sobre AB y se prolongan hasta F y G respectivamente de tal forma que DF = EG. Demostrar que los triángulos BEG y CDF son congruentes.
5. En un triángulo isósceles acutángulo de base BC se trazan la mediatrices MD y NE de los lados AB (A, M, E, B) y AC (A-N-D-C) respectivamente que se interceptan en I. Demostrar que Los triángulos MIE y NID son congruentes. (Sugerencia: trace AI).
6. Dado un triángulo isósceles MOP de base MP, se prolongan MO y PO hasta R y Q respectivamente y se trazan RN y QN, con N punto medio de PM y de forma que los ángulos MNQ y PNR sean congruentes. Demuestre que los triángulos SOQ y TOR son congruentes.
7. Dado un ABC, se traza CD que corta a AB en E y luego se traza DF que corta a EB en G y a CB en H, tales que ED = HB y ACE = HCF, además
EDB = HBD. Demostrar que ABC =CDF
8. Desde el punto medio de uno de los lados de un triángulo se trazan segmentos perpendiculares a los otros lados. Si los segmentos perpendiculares son congruentes, demuestre que el triángulo es isósceles.
10 tales que AE = AF con A-E-B y A-F-C y se trazan BF y CE que se cortan en D. Probar que los triángulos BED y CFD son congruentes y que AD es bisectriz del ángulo A.
10. En un , se traza la altura ̅̅̅̅̅ se prolongan los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ hasta los puntos y respectivamente tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar que el es isósceles
11. ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ se bisecan mutuamente en . Se trazan FC y GC tales que FB = DG, con B-F-A y E-G-D .Demuestre que FC = GC y que F – C – G.
12. En un ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , se toma sobre ̅̅̅̅ de tal forma que su distancia a AC y a AB sea igual. Se traza ̅̅̅̅con AC = AE y sobre ̅̅̅̅ .Probar que
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅, que y que AD es mediatriz de CE
13. En el triángulo ABC, se traza la mediana AM (B-M-C) y se toma un punto D sobre ella (A-D-M), probar que si BD = CD entonces el triángulo ABC es isósceles
14. Se dan A – E – B y C – F – D sobre dos rectas distintas. Se trazan EF y las bisectrices de y que se cortan en G. Probar que si es recto entonces ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
15. Dado un ángulo BAC con AB = AC sobre los lados se toman puntos E y F tales que AE = AF con A-E-B y A-F-C y se trazan BF y CE que se cortan en D. Probar que los triángulos BED y CFD son congruentes y que AD es bisectriz del ángulo A.
16. el triángulo ABC, se traza la mediana AM (B-M-C) y se toma un punto D sobre ella (A-D-M), probar que si BD = CD entonces el triángulo ABC es isósceles.
17. En un , se traza la altura ̅̅̅̅ se prolongan los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ hasta los puntos y respectivamente tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar que el es isósceles.
18. Sea la semirrecta OM interior al XOY de tal forma que la distancia a los lados OX Y OY sea igual. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen A y B con un punto cualquiera C sobre OM. Probar que OAC=OBC y AC=BC.
11 los puntos y respectivamente tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar que el es isósceles
12
TALLER N°4- DESIGUALDAD TRIANGULAR
1. Dado un ABC con AB>AC y AM mediana relativa a BC, desde D perteneciente a AM se trazan BD y DC demostrar que BD >DC
2. Demostrar que en un triángulo cualquiera una altura es menor que la semisuma de los lados adyacentes.
3. Se tiene un triángulo ABC con el lado AB>AC. Desde el vértice C se traza el segmento CD, con D sobre AB y desde el vértice B se traza el segmento BF, con F sobre AC y siendo DB = CF. Demostrar que FB>CD
4. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es menor que su perímetro.
5. En un triángulo ADB isósceles de base AB, DB es mayor que AB; se prolonga AD hasta C. Probar que el triángulo ABC es escaleno.
6. Demostrar que la suma de las distancias de un punto O dentro de un triángulo a sus tres vértices es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro del triángulo.
7. Se tiene el triángulo ABC cualquiera, se traza AE con E sobre BC, se traza BD con D sobre AE, demostrar que
8. Se tiene el triángulo ABD isósceles con , se prolonga AD hasta un punto C. Demostrar que
9. En un triángulo cualquiera ABC, se trazan las bisectrices del <A y <B que se intersectan en el punto D. Si BC > AC, demostrar que DB > AD
10. Se tienen los puntos colineales en dicho orden, desde un punto no colineal con dichos puntos se trazan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ tales que
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Demostrar que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .
13 12. En un isósceles de vértice A, se traza ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ con sobre ̅̅̅̅ tal
que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Demostrar que .
13. Se tienen los puntos F-E-D-C-B colineales en dicho orden, desde un punto exterior A se traza ⃡⃗⃗⃗⃗ , si demostrar que y
14. Se tiene un triángulo ACD, se traza el segmento DB con B sobre AC, si DC=BC demostrar que AC > CD y que AD > BD
15. Se tiene un triángulo ADC con lado , desde un punto B sobre AC se traza CB. demostrar que
16. Se tiene el triángulo ACD con , se traza la altura CH y la mediana CM con A-M-B-H-D tal que . Demostrar .(corregido)
17. Se tiene el triángulo ABC, se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza AD tal que E-D-B demostrar que (correcto)
18. En un triángulo ABC se tiene A-F-C y A-D-B; , demuestre que se cumple . (Correcto)
19. Se tiene el triángulo ACD isósceles con , se prolonga CD hasta un punto B. Demostrar que el triángulo CAB es escaleno. (Correcto)
14
TALLER N°5- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
1. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores B y C, las cuales concurren en un punto I. Por I se traza , estando D y E sobre las prolongaciones de AB y AC respectivamente. Probar que
CE BD DE
2. En un triángulo ABC se traza AD con B-D-C y tal que D equidiste de AB y AC; se traza la mediatriz de AD que corta a AC en G; demuestre que DG es paralelo a AB.
3. Dado un triángulo ABC, trazar las bisectrices BE y CD de los ángulos B y Crespectivamente; con DE BC, se prolonga DE hasta F tal que
BC
EF . Demostrar que: BE y CF son paralelas
4. En un se toman A y B sobre DE y CE respectivamente, tales que: DA=BC y DB = CA, DB y AC se cortan en E. Demuestre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
5. En un los puntos medios de los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ son
respectivamente , se traza la altura ̅̅̅̅. Demostrar que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
6. En el , la bisectriz del ángulo interseca a en , y la mediatriz de interseca a en . Demuestre que .
7. Sobre el lado OX del ángulo XOY se toma un punto A. Desde A se traza la AH perpendicular a OY y la bisectriz del ángulo HAO corta al lado OY en C. En C se levanta una perpendicular que corta a OX en B. Probar que el triángulo ABC es isósceles.
8. Se da un y se toma un punto D en el semiplano opuesto a A respecto a BC tal que AB =CD y AC=BD, se trazan AF y DE con C - F - E - B tal que . Demuestre que .
15 10. Se dan A – E – B y C – F – D sobre dos rectas distintas. Se trazan EF y
las bisectrices de y que se cortan en G. Probar que si es recto entonces ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
11. En un ABC se prolongan los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ hasta B’ y C’ tales que
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Probar que .
12. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos colaterales internos son perpendiculares.
13. Se prolonga el cateto CA de un triángulo ABC rectángulo en A, en una longitud AD=AC. Se traza que corta AB en G. Demostrar que .
14. Se da un ángulo XOY y un punto A exterior. Se trazan ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ con H sobre ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ . Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ es perpendicular a HK.
15. Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también bisectriz del ángulo formado por la mediana y la altura que parten del ángulo recto.
16. Encontrar la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si la bisectriz del ángulo recto tiene la misma medida del cateto menor. Encontrar la medida de los ángulos que forma la bisectriz con la hipotenusa.
17. Desde el punto D de la base Ac de un triángulo ABC isósceles, se traza DH perpendicular a BC. Demostrar que el es el doble del .
18. En un triángulo ABC rectángulo en A, con , se traza la altura AH sobre la hipotenusa y se toman dos segmentos HD y HB sobre la hipotenusa tales que HD=HB, se traza CE perpendicular a la prolongación de AD. Demostrar que BC es bisectriz del .
19. Demostrar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles es paralela a la base.
16 20. En un triángulo ABC se trazan las medianas AM y BN, por N se traza una
17
TALLER N°6- CUADRILATEROS
01 Probar que si se une los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares, resulta un rectángulo.
02 En un paralelogramo se unen los vértices y con los puntos medios de y respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos iguales.
03 En un paralelogramo se prolongan en y en
. Probar que .
04 Se considera un paralelogramo tal que . Se unen y con el punto medio de .Demostrar que el es recto.
05 Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un paralelogramo forman un rectángulo.
06 En un cuadrado se toman sobre y sobre con . Demostrar que .
07 En un cuadrado se unen los puntos puntos medios de los lados consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.
08 En un cuadrado y sobre se toma igual a y luego trazamos
perpendicular a con sobre . Demostrar que son iguales o congruentes.
09 En un rombo se traza y . Demostrar que es un rectángulo.
10 Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un trapecio isósceles resulta un rombo.
11 En un trapecio ABCD, de base mayor AB, se tazan las bisectrices de los A
y B que se cortan en un punto F con que está sobre DC. Demostrar que
DCAD BC .
12 En un trapecio con base menor se traza el segmento ̅̅̅̅̅ –
tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ con sobre ̅̅̅̅ .Se prolonga hasta .
Si probar que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
13 Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un trapecio isósceles resulta un rombo.
AD DC
AN BM
18
14 Demostrar que si dos paralelas son cortadas por una transversal las bisectrices de los ángulos interiores forman un rectángulo.
15 Por el punto medio del lado de un triángulo , se traza una recta cualquiera , que corta a en . Se toma un punto tal que y
, probar que es paralela a .
16 Se tiene un triángulo isósceles de base inscrito en una circunferencia
se traza un segmento cualquiera, con sobre el arco y que corta a en demostrar que
17 En un , se toman los puntos medios , y de los lados AB, AC y
BC. Se traza la altura AH y los segmentos XY, YZ y XH . Demostrar que
es un trapecio isósceles.
18 En un rombo se ubican los puntos medios y de los lados y ,
intersecta a y en los puntos y respectivamente. Si , calcule la longitud de
19 En un trapecio la base menor mide , las diagonales son
perpendiculares, y estas miden y .Calcular la longitud de la base mayor
20 es un trapecio, se trazan las diagonales y . La bisectriz del intersecta a en el punto . si BCE=80°, EBD=20°, y
19
TALLER N°7- CIRCUNFERENCIA
01 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que AB=BD
02 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que EG=GB
20
04
Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que BD=GD
05 Se tiene una circunferencia se traza el diámetro , se traza la cuerda la cual se prolonga hasta cortar en el punto tal que
y – – . Demostrar que .
06 Considerar un cuarto de circunferencia . Desde los puntos y se trazan las cuerdas iguales ; estas cuerdas se cortan en . Demostrar que el segmento es perpendicular a el segmento
07 Por el punto de contacto de dos circunferencias tangentes exteriores se trazan las cuerdas y a cada una de las circunferencias, siendo
(colineales). Demostrar que las tangentes en y en son paralelas.
SUGERENCIA: Trace la recta tangente a las circunferencias en el punto de contacto
08 En una semicircunferencia de diámetro se traza una cuerda tal que el
21
09 Considerar un cuarto de una circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales AM=BN. Estas cuerdas se cortan en el punto C. demostrar que OCes perpendicular a
10 Dos circunferencias y son secantes en y ; por se trazan los diámetros y . Demostrar que , y están alineados.
11 Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en y y a la mayor en y . Demostrar que = y = .
12 En una se trazan por los extremos de un diámetro dos cuerdas paralelas y . Probar que .
13 En una un diámetro y una cuerda forman un ángulo de 30°; se traza la tangente en el punto que corta al diámetro prolongado en el punto . Demostrar que el es isósceles.
14 En una se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales. AM =
BN. Demostrar que ellas son perpendiculares.
15 En una se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se prolonga a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales ; se trazan y que cortan a la circunferencia en y . Probar que: .
16 En un inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos y que se cortan en y cortan a la circunferencia en y .
Demostrar es isósceles.
17 Dadas ( , ) y (C O r C O r, ,, )tangentes exteriores en A, se traza DB tangente
común a ellas con D sobre la C O r( , ) y B sobre la C O r( , ,, ). Demostrar que . (Sugerencia: trace una tangente común por ).
18 Demostrar que el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero es un tercio de la altura del triángulo.
19 Probar que la suma de las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita.
20 Probar que en una circunferencia un diámetro es mayor que cualquier otra cuerda.
22
TALLER N°8 – PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
01 Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del EAB y forman con estos lados los ángulos BCE y EDB congruentes, A - C - E y A - D - B. Demuestre que: AB. DE = AE. CB
02 En un triángulo ΔABC se toman los puntos P y Q sobre CA y CB
respectivamente, tal que PQ sea paralela a AB. Luego se traza por A una paralela a PB que encuentra a la prolongación de CB en R. Demostrar que CB² = CQ x CR.
03 Si en un ABC rectángulo en A tomamos un punto cualquiera D sobre AC y trazamos DE BC con E sobre BC. Demostrar que AB.CD = BC.ED
04 En el triángulo ABC inscrito en la circunferencia C (o,r) se traza AD bisectriz de ángulo BAC, la prolongación de AD corta la circunferencia en E. Demostrar que AB x EC = AE x BD
05 En un triángulo ABC se traza CD (A-D-B) tal que demostrar que AC es media proporcional entre AB y AD
06 En un ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con E y F sobre AB talque A-E-F-B. Demuestre:
a. EDA ~CGD ~ FBG
b. ED x FG = AE x FB
c. EF es media proporcional de AE y FB
07 Dado un triángulo ABCrectángulo en B, de lado AC 6a y AB3a, se
traza ED BC, Esobre AByDsobre AC, tal que DC AC
3 1
y finalmente se
traza DF AB con Fsobre BC; Hallar:
a) EG(altura del AEDsobre AD)
b) FH (altura del DFC sobre CD)
08 Se tiene un triángulo ABC, en este triángulo se trazan la bisectriz AD del ˂A y el segmento DE paralelo a BA, con E sobre AC. Demostrar que el segmento CA es medio proporcional entre los segmentos CE y la suma de AC más AB.
09 En un ABC isósceles de base AB se traza el segmento ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y
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10 En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre la hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD x EB = DG x FE
11 En un paralelogramo ABCD se trazan BH perpendicular a AD con A-H-D y BI perpendicular a CD con C-I-D. Demostrar que: AB×CI = BC×AH
12 En un paralelogramo ABCD se trazan, la diagonal BD, EF paralela a BC (C -F-D). Demostrar que FE×AB = FD×AD
13 Se tiene un paralelogramo ABCD, con
2 DC
AD ; se traza AM que intercepta a
DB en el punto E, Si M es el punto medio de DC. Probar que: 2DB3EB
14 si en un triángulo rectángulo, la bisectriz del ángulo agudo mayor es igual al mayor de los dos segmentos que ella determina sobre el cateto opuesto, calcular los ángulos que hace dicha bisectriz con ese cateto.
15
Las bisectrices interiores de los ángulos B y C de un triángulo acutángulo ABC, forman un ángulo de 120°. Cuál es el ángulo que forman las alturas que parten de B y C
16
Se da en un triángulo rectángulo BAC, la bisectriz AD del ángulo A y la recta DE perpendicular a BC y limitada por AC. Probar que BD=DE.
17 Demostrar que si dos triángulos rectángulos son semejantes, el producto de sus hipotenusas es igual a la suma de los productos de los catetos
homólogos.
18 Demostrar que la suma de los cuadrados de las tres medianas de un triángulo es igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los tres lados.
19 Se da un circulo de centro O , un diámetro AB y un punto M sobre la
prolongación de AB , se trazan las tangentes MN y NP al círculo, la cuerda NP encuentra al diámetro en C. Demostrar que:
20 Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro O, se traza el diámetros MN perpendicular a BC, luego AM y AN que se encuentran a BC o su prolongación en los puntos P y Q. Demostrar que:
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TALLER N°9 – AREAS
01 Calcular el área del trapecio ABCD en función de “a” si
02 Un cuadrado de lado” L” se encuentra inscrito en una circunferencia, calcular el área por fuera del cuadrado y adentro del círculo, en función de “L”.
03 Un triángulo equilátero se encuentra inscrito en una circunferencia de radio “r” calcular el área que se encuentra por fuera del triángulo y adentro de la circunferencia en función de “r”.
04 Un círculo se encuentra inscrito en cuadrado de lado “L”, calcular el área que se encuentra por fuera del círculo y adentro del cuadrado en función de “L”.
05 Encontrar el valor del área sombreada en la siguiente figura en función del lado (L) del cuadrado.
25
07 El cuadrado tiene lado a, exprese el área sombreada en función de a
08 En el triángulo es equilátero de lado L. se han levantado cuadrados sobre sus lados y posteriormente se han unido mediante segmentos de recta. Calcular el área sombreada, en función de L.
09 Calcular el área sombreada en función del radio de la circunferencia menor “r”
10 En una semicircunferencia de centro O y radio r se inscribe un cuadrado, de modo que uno de sus lados este sobre el diámetro. Hallar el área del cuadrado en función del radio de la circunferencia
11 El área del circulo de centro O es 60 cm2. AB y CD son diámetros perpendiculares. AO y OB son diámetros de las circunferencias pequeñas. OE es bisectriz. Calcular el área de la región rayada.
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12 ¿Cuál es el área de un trapecio cuyos lados son la tercera parte de los de otro trapecio semejante de 324m2 de área?
13 ¿Cuál ha de ser el lado de un hexágono regular para que tenga la misma área que un cuadrado de 2m de lado?
14 Las diagonales de un rombo esta en relación 4 a 5 y su área es de250m2.Determinar las longitudes de cada diagonal.
15 En un círculo cuyo radio es de 10cm, se trazan dos cuerdas paralelas iguales al radio. Hallar el área de la parte del círculo comprendido entre las dos paralelas.
16 La diagonal y el lado de un cuadrado suman 5.8m ¿Cuál es el área del cuadrado?
17 Se da un triángulo rectángulo donde la hipotenusa , el ángulo en mide 30°, se traza la mediana . Por los puntos y se trazan paralelas a y a , que se cortan en . Calcular el área del cuadrilátero .
Respuesta: √
18 Sobre el segmento , se toma un punto tal que . Sobre se construye un triangulo equilátero , sobre se construye un triangulo equilátero , se traza perpendicular a . Calcular el área del
polígono .
Respuesta: √
19 En el triángulo ABC, es una altura. Si , . Hallar el área del triángulo en función de a.
Respuesta: ( √ )
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bases del trapecio miden respectivamente 2 y 6 cm. Hallar el área de la región entre el trapecio y la circunferencia.
