Valores asintóticos de funciones meromorfas enteras

(1)

meromorfas enteras

Alicia Cant´on, David Drasin, Ana Granados

Universidad Polit´ecnica de Madrid

(2)

Teorema (C., Drasin, Granados)

Dado un conjunto anal´ıtico A ⊂C_{∪ {∞}} _{y un n´}_{umero 0}_≤_ρ_{≤ ∞}_existe

una funci´on meromorfa f, definida en C_{de orden de crecimiento} _ρ _{tal que}

(3)

una funci´on meromorfa f, definida en C_{de orden de crecimiento} _ρ _{tal que}

(4)

una funci´on meromorfa f, definida en C_de_{orden de crecimiento} _ρ _{tal que}

(5)

Dado unconjunto anal´ıtico A ⊂C_{∪ {∞}} _{y un n´}_{umero 0}_≤_ρ_{≤ ∞}_existe

(6)

Dado unconjunto anal´ıtico A ⊂C_{∪ {∞}} _{y un n´}_{umero 0}_≤_ρ_{≤ ∞}_existe

el conjunto de valores asint´oticosdef es precisamente A.

Diremos que una funci´on holomorfa o meromorfa definida enC_{, es una}

(7)

Sea f :C_→C_{∪ {∞}} _{una funci´on meromorfa. El punto}_a _{es un}_valor

asint´otico paraf si existe una curva continua γ tal que l´ım

z→∞

z∈γ

f(z) =a∈C_{∪ {∞}}

a f

γ

(8)

z→∞

z∈γ

f(z) =a∈C_{∪ {∞}}

a f

γ

(9)

z→∞

z∈γ

f(z) =a∈C_{∪ {∞}}

a f

γ

(10)

Valores asint´oticos

Si f entera y holomorfa entonces∞ ∈As₍_f_{) (Teorema de Liouville)}

Ejemplos

f(z) =anzn+· · ·+a0 un polinomio, As(f) ={∞}.

f(z) =ez,As₍_f_{) =}_{₀_,_∞}_.

f(z) = sinz,As₍_f_{) =}_{∞}_.

f(z) =

Z z

0

(11)

Orden de crecimiento

Parece que mayor ]As₍_f_{) cuanto m´}_{as crece la funci´on en}_∞_{. Sea}

Mf(r) = m´ax |z|≤r|f(z)|

Mf(r)% ∞cuandor % ∞.

Ejemplos

f(z) =anzn+· · ·+a0 un polinomio, Mf(r)∼rn f(z) =ez_,_M

f(r) =er f(z) = sinz,Mf(r)∼er f(z) =

Z z

0

e−wN|dw|,Mf(r)∼er

(12)

Ejemplos

Z z

0

N/2

Orden de crecimiento ρ

(13)

Ejemplos

Z z

0

N/2

ρ= l´ım

r→∞ sup

log logMf(r)

(14)

Ejemplos

f(z) =anzn+· · ·+a0 un polinomio, Mf(r)∼rn,ρ= 0. f(z) =ez_,_M

f(r) =er,ρ= 1. f(z) = sinz,Mf(r)∼er,ρ= 1. f(z) =

Z z

0

N/2

,ρ=N/2.

(15)

Teorema (Ahlfors)

Si f es holomorfa y entera de ordenρ entonces,

(16)

Teorema (Ahlfors)

]As₍_f₎_≤₂_ρ_{+ 1}_.

(17)

Teorema (Ahlfors)

]As₍_f₎_≤₂_ρ_{+ 1}_.

Consecuencia_{: Si} _f _{es de orden finito,} As₍_f_{) es finito.}

Preguntas

¿Qu´e pasa si f meromorfa?

(18)

(19)

Una funci´on f es meromorfa sif =f1/f2, conf1,f2 holomorfas. Los polos de f corresponden a los ceros de f₂, y forman un conjunto aislado.

Ejemplo

f(z) = anz

n₊_{· · ·}₊_a

0

bmzm+· · ·+b0

racional,]As₍_f_{) = 1.}

f(z) = sinz

(20)

Para el orden de crecimiento hay que tener en cuenta los polos. La

caracter´ıstica de Nevanlinna _{se define como}

Tf(r) =

1 2π

Z 2π

0

log+|f(reiθ)|dθ+

Z r

0

n(t)

t dt

(21)

Tf(r) =

1 2π

Z 2π

0

log+|f(reiθ)|dθ+

Z r

0

n(t)

t dt

donde n(t) =]{polos en D(0,t)}.Tf(r)% ∞ cuandor % ∞.

Orden de crecimiento:

ρ= l´ım

r→∞sup

logTf(r)

(22)

Tf(r) =

1 2π

Z 2π

0

log+|f(reiθ)|dθ+

Z r

0

n(t)

t dt

ρ= l´ım

r→∞sup

logTf(r)

logr

(23)

Tf(r) =

1 2π

Z 2π

0

log+|f(reiθ)|dθ+

Z r

0

n(t)

t dt

ρ= l´ım

r→∞sup

logTf(r)

logr

Si f es holomorfa, Tf(r)≤logMf(r)≤3Tf(2r).

Si f racional,ρ= 0 y sif(z) = tanz o f(z) = sinz

(24)

Teorema (Valiron)

Existen funciones meromorfas con ρ finito (o cero) con]As₍_f_{) =}_∞

(25)

Teorema (Valiron)

(incluso con la cardinalidad del continuo).

Teorema (Valiron)

(26)

Teorema (Valiron)

Si f entera meromorfa, tal que Tf(r) =O(log2r), entonces ]As(f) = 1.

Teorema (Eremenko)

Para cualquier 0≤ρ≤ ∞existe una funci´on meromorfa y entera f de

(27)

Teorema (Valiron)

Si f entera meromorfa, tal que Tf(r) =O(log2r), entonces ]As(f) = 1.

Teorema (Eremenko)

Para cualquier 0≤ρ≤ ∞existe una funci´on meromorfa y entera f de

orden ρ tal que As₍_f_{) =}C_{∪ {∞}}_.

Más aún, para cualquier función creciente ψ(r)% ∞ (r → ∞) existef

(28)

Salvo la condici´on de Valiron, no hay restricci´on en el crecimiento de f

(29)

para tener As₍_f_{) grande. ¿Se puede decir algo m´}_{as de c´}_{omo es} As₍_f_)?

Teorema (Mazurkiewicz)

f meromorfa y entera, entonces As₍_f₎_⊂C_{∪ {∞}} _{es un}_conjunto

(30)

anal´ıtico (en el sentido de Suslin).

(31)

anal´ıtico (en el sentido de Suslin).

Los conjuntos anal´ıticos fueron introducidos por Suslin al observar que la imagen continua de un conjunto de Borel no es Borel.

(32)

(33)

Los conjuntos anal´ıticos generalizan los conjuntos de Borel. Todo conjunto de Borel es anal´ıtico. Los conjuntos de Borel se caracterizan por ser los ´unicos conjuntos anal´ıticos cuyo complementario tambi´en es anal´ıtico.

En un espacio m´etrico completo y separable, los conjuntos anal´ıticos tambi´en se pueden definir como

la imagen continua de NN _{(o equivalentemente, la imagen continua}

(34)

Los conjuntos anal´ıticos generalizan los conjuntos de Borel. Todo conjunto de Borel es anal´ıtico. Los conjuntos de Borel se caracterizan por ser los ´unicos conjuntos anal´ıticos cuyo complementario tambi´en es anal´ıtico.

En un espacio m´etrico completo y separable, los conjuntos anal´ıticos tambi´en se pueden definir como

la imagen continua de NN _{(o equivalentemente, la imagen continua}

de los irracionales en el intervalo unidad).

el n´ucleo de la operaci´on de Suslin, i.e.A anal´ıtico sii

A=[ NN

\

k

Sn1...nk

(35)

Caso holomorfo y cualquier orden

Teorema (Heins)

Dado un conjunto anal´ıtico Atal que∞ ∈ A existe una funci´on holomorfa

y entera tal que

(36)

Teorema (Heins)

y entera tal que

As₍_f_{) =}_A_.

(37)

Teorema (Heins)

y entera tal que

As₍_f_{) =}_A_.

Si Aes infinito, el orden de crecimiento def es infinito (por el teorema de Ahlfors).

(38)

Caso meromorfo y cualquier orden

Teorema

una funci´on meromorfa y entera, f, de orden de crecimiento ρ tal que

(39)

Teorema

As₍_f_{) =}_A_.

meromorfa y entera tal que

(40)

Teorema

As₍_f_{) =}_A_.

meromorfa y entera tal que

Tf(r) =O(ψ(r) log2r) y As(f) =A.

(41)

Hay dos ingredientes fundamentales en la prueba:

(42)

Si f holomorfa y entera,

(43)

logf = log|f|+i_arg(_f₎

(44)

(45)

Si f no tiene ceros =⇒ log|f|es arm´onica.

Si f s´ı tiene ceros =⇒ log|f|es subarm´onica. Sean{aj} ceros def:

f(z) = Πj

1− z

aj

(46)

Si f no tiene ceros =⇒ log|f|es arm´onica.

Si f s´ı tiene ceros =⇒ log|f|es subarm´onica. Sean{aj} ceros def:

f(z) = Πj

1− z

aj

g(z), g(z)6= 0,z ∈C

y por tanto,

log|f(z)|=X

j log

1− z

aj

(47)

Tenemos:

log|f(z)|=X

j log

1− z

aj

+ log|g(z)|

que reescribimos como

log|f(z)|=

Z C log

1−z

ζ

dµ(ζ) + log|g(z)|

con

log|g(z)|arm´onica ydµ(ζ) =P

(48)

Teorema de representaci´on de Riesz

En general, si U es subarm´onica en C_{, y} _K _⊂C_{relativamente compacto:}

U(z) =

Z K log

1−z

ζ

dµ(ζ) +V(z) con

V(z) arm´onica en el interior deK,

ydµ(ζ) = ∆U dxdy, la densidad de masa de Riesz_de_U _{que mide lo}

(49)

Estrategia

Se construye una funci´on subarm´onica U con las propiedades

(50)

Estrategia

deseadas (e.g. TU(r) controlada)

Se aproxima la masa de Riesz deU, mediante masas puntuales, que

(51)

Estrategia

corresponden a la masa de Riesz de una funci´on subarm´onica del tipo log|f|con f holomorfa enC_.

Si los centros de la masa bien elegidos, log|f|aproxima bien aU y las propiedades de U se reflejan en log|f|, e.g. Tf(r) controlada

(52)

Estrategia

corresponden a la masa de Riesz de una funci´on subarm´onica del tipo log|f|con f holomorfa enC_.

Si los centros de la masa bien elegidos, log|f|aproxima bien aU y las propiedades de U se reflejan en log|f|, e.g. Tf(r) controlada

(Yulmukhametov, Liubarskii, Malinnikova,..)

(53)

Tenemos que A=S

NN

T

kSn1...nk con,

Sn1...nk conjuntos cerrados (no vac´ıos),

(54)

Tenemos que A=S

NN

T

kSn1...nk con,

Sn1...nk+1 ⊂Sn1...nk,

y los podemos elegir

diam₍_S_n1_..._n

(55)

Tenemos que A=S

NN

T

kSn1...nk con,

Sn1...nk+1 ⊂Sn1...nk,

y los podemos elegir

diam₍_S_n1_..._n

k)≤δk para una sucesi´on dada δk &0.

Para n1. . .nk elegimosan1...nk ∈Sn1...nk.

Cada a∈A se escribe como a=T

kSn1...nk y por tanto hay una sucesi´on {an1...nk}tal que

(56)

Identificaci´on deAcon los irracionales de [0,1]

A una sucesi´on finita n1, . . . ,nk se asocia una sucesi´on finitaξ1, . . . , ξN de

0’s y 1’s (y finalmente, asociaremos esta a una rama (finita) de un ´arbol di´adico) de la manera siguiente:

N

X

j=1

ξj

2j = k

X

j=1 1 2n1+···+nj

(57)

N

X

j=1

ξj

2j = k

X

j=1 1 2n1+···+nj

con N=n1+· · ·+nk.

Ejemplo

1,3,1←→ 1

2+

1 24 +

1

(58)

N

X

j=1

ξj

2j = k

X

j=1 1 2n1+···+nj

con N=n1+· · ·+nk.

Ejemplo

1,3,1←→ 1

2+

1 24 +

1

25 ←→1,0,0,1,1

(59)

(60)

Supongamos que 0∈ A, y que a 0 le asociamos cualquier sucesi´on finita de 0’s. La asociaci´on entre puntos del conjunto anal´ıtico y expansiones binarias, se puede reescribir como

0

(61)

0

a2

a1

(62)

0 0 0 0 a3 a2 a2

a2,1

a1

a1,2

a1,1

(63)

Con esta asociación, la distancia entre puntos adyacentes (en el árbol) de generaciones consecutivas no decrece con la generación.

0

0 a2

a1

a1 a1,1

Segunda generaci´on:

|a1−a1,1| ≤δ1 porquea1,a1,1 ∈S1

(64)

0

0 a2

a1

a1 a1,1

|a1−a1,1| ≤δ1 porquea1,a1,1 ∈S1

|a₂| ≤diam(A) ya que 0,a₁∈ A

Tercera:

|a1,1−a1,1,1| ≤δ2 porque a1,1,a1,1,1∈S1,1

|a2−a2,1| ≤δ1 porquea2,a2,1 ∈S2 y

|a1−a1,2| ≤δ1 porquea1,a1,2 ∈S1

(65)

0

0 a2

a1

a1 a1,1

|a1−a1,1| ≤δ1 porquea1,a1,1 ∈S1

|a₂| ≤diam(A) ya que 0,a₁∈ A

Tercera:

|a1,1−a1,1,1| ≤δ2 porque a1,1,a1,1,1∈S1,1

|a2−a2,1| ≤δ1 porquea2,a2,1 ∈S2 y

|a1−a1,2| ≤δ1 porquea1,a1,2 ∈S1

|a3| ≤diam(A) porque 0,a3 ∈A

(66)

Casoρ= 0

Sea A un conjunto anal´ıtico que contiene 0 y∞. Supongamos que

A:=A \ {∞} ⊂D(0,1) (i.e. diam(A)≤2).

(67)

Casoρ= 0

A:=A \ {∞} ⊂D(0,1) (i.e. diam(A)≤2).

Sea ψ una funci´on creciente cualquiera (caso ρ= 0).

1. Se construye una funci´onδ-subarm´onica U para la que TU(r)

est´a controlada en t´erminos deψyAs₍_U_{) =}_{−∞_,_∞}_{en las ramas de}

(68)

Casoρ= 0

A:=A \ {∞} ⊂D(0,1) (i.e. diam(A)≤2).

dos ´arboles di´adicos.

2. Se aproxima la masa de Riesz de U mediante masas puntuales, que

(69)

Casoρ= 0

A:=A \ {∞} ⊂D(0,1) (i.e. diam(A)≤2).

dos ´arboles di´adicos.

2. Se aproxima la masa de Riesz de U mediante masas puntuales, que

formar´an la masa de Riesz de log|g|, con g meromorfa y entera.

3. La aproximación log|g|deU será buena fuera de un conjunto pequeño

E (conjunto excepcional), y enE, log|g|ser´a grande (o peque˜no) si U

(70)

4. Tg(r) est´a controlada in t´erminos de ψ yAs(g) ={0,∞}con curvas

(71)

asintóticas, las ramas de dos árboles diádicos.

5. Se modificag mediante translaciones cuasiconformes cerca de las

ramas del árbol diádico que son curvas asintóticas para{0}. Estas

translaciones cuasiconformes, llevan 0 a a∈Aen la rama asociada al

(72)

valor asint´otico a∈A.

6. Con la modificaci´on anterior se obtiene F = Φ◦g. La funci´on F es

cuasirregular (cuasimeromorfa) con dilataci´onσF y

(73)

valor asint´otico a∈A.

6. Con la modificaci´on anterior se obtiene F = Φ◦g. La funci´on F es

cuasirregular (cuasimeromorfa) con dilataci´onσF y

As₍_F_{) =}_A_{∪ {∞}}₌_A_.

7. Se resuelve la ecuaci´on de Beltrami∂φ=σF∂φ para encontrar otra