INGENIERIA
Acta Científica Venezolana, 55: 175-180, 2004
COEFICIENTE DE OPERACION (COP) DEL CICLO DE CARNOT
DE BOMBA DE CALOR ENDORREVERSIBLE
Pedro Quinto-Diez1, José A. Jiménez-Bernal1, Claudia del C. Gutiérrez-Torres1 y Javier Gutiérrez-Ávila2
1
Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Sección de Estudios de Postgrado e Investigación, Unidad Profesional Adolfo López Mateos,
Edificio 5, 3er piso, Col. Lindavista, CP 07738 México D.F. México.
2
Instituto Tecnológico de Acapulco Departamento de Metalmecánica, Laboratorio de Ingeniería Electromecánica. Av. Instituto Tecnológico S/N. C.P 39905 Apdo. Postal 600, Acapulco, Guerrero, México
e-mail: [email protected], [email protected]
Recibido: 01/12/03; Revisado: 31/03/04; Aceptado: 19/10/04
RESUMEN: Se desarrolló el modelo matemático correspondiente al Coeficiente de Operación (COP) del ciclo de Carnot para una bomba de
calor endorreversible, aplicando el criterio de mínima generación de entropía. Este ciclo tiene como características principales ser internamente reversible y externamente irreversible. Las irreversibilidades externas están asociadas a los procesos de transferencia de calor debido a la diferencia de temperaturas entre la fuente térmica y el fluido de trabajo a baja temperatura, y a la diferencia de temperaturas entre el fluido de trabajo y el sumidero térmico a alta temperatura. También son causantes de las irreversibilidades externas los tiempos finitos de duración de los procesos de transferencia de calor y las conductancias térmicas finitas de los equipos de transferencia de calor (evaporador y condensador). Estas causas de irreversibilidades aparecen en el modelo matemático desarrollado y por esto se propone como nuevo modelo de comparación para las bombas de calor, en lugar del modelo clásico de Coeficiente de Operación de Carnot de bomba de calor reversible. Este nuevo modelo marca límites de operación más cercanos a las bombas de calor reales. El modelo obtenido viene a ser una contribución al desarrollo de la termodinámica endorreversible y se puede considerar una generalización, porque cuando se aplican las condiciones de reversibilidades internas y externas, se llega al mismo resultado que el clàsico de Carnot. Palabras
clave: coeficiente de operación, bomba de calor, entropía generada, ciclo de Carnot endorreversible, irreversibilidades.
COEFFICIENT OF PERFORMANCE OF AN ENDOREVERSIBLE CARNOT HEAT PUMP CYCLE
ABSTRACT: A mathematical model for the Operant Coefficient of an endoreversible Carnot cycle performing as a heat pump was
developed using the minimal entropy generation criterion. This cycle is internally reversible and externally irreversible. The external irreversibilities are associated with both the heat transfer processes due to temperature difference between the source of heat and the fluid at low temperature, and the temperature difference between the fluid at high temperature and the sink at high temperature. Likewise, not only the finite time in which the heat transfer processes take place, but also the thermal conductance of the evaporator and condenser, is another source of irreversibilities. The effect of those irreversibilities appears in the new model, which is also proposed as a new comparison parameter for the actual heat pumps instead of the classical Carnot model, as it generates closer values to the actual heat pumps. Besides its contribution to endoreversible thermodinamics, this model may be regarded as a generalization, since results from its application under reversible assumptions resemble those of the classical Carnot model. Key Words: Coefficient of performance, heat pump, entropy generation, endoreversible Carnot cycle, irreversibilities.
INTRODUCCION
Sadi Carnot demostró que cualquier máquina térmica que tiene como objetivo producir trabajo mecánico mediante un ciclo termodinámico, tiene que absorber calor de una fuente térmica de alta temperatura y rechazar calor a un sumidero térmico de baja temperatura. También propuso el ciclo termodinámico de mayor rendimiento para cualquier máquina térmica, operando entre dos niveles de temperaturas. Este ciclo termodinámico se conoce como de “ciclo de Carnot”; está formado por cuatro procesos reversibles (dos isentrópicos y dos isotérmicos); es el ciclo termodinámico ideal de las máquinas térmicas y ha servido durante 150 años para marcar el límite teórico del rendimiento termodinámico.
El ciclo de Carnot también se ha usado para marcar los límites de la operación de los sistemas de refrigeración y de bomba de calor, cuando se recorre en sentido inverso (contrario al recorrido de las manecillas del reloj), porque resulta ser el de mayor coeficiente de operación (COP). En el ciclo de bomba de calor se extrae calor de la fuente de calor de baja temperatura, y se desecha en el sumidero de alta temperatura, que normalmente se encuentra a mayor temperatura que la del medio ambiente, ríos, lagos o mares. El propósito de la bomba de calor es proporcionar calor a alta temperatura.
ideales, porque para poder realizarlos se requerirían superficies de intercambio de calor infinitas, debido a que las diferencias de temperaturas entre el fluido de trabajo y el sumidero o la fuente de calor deben tender a cero.
Esta situación indica que los ciclos de Carnot marcan límites imposibles de alcanzar, porque los procesos de las máquinas térmicas, así como de los sistemas de refrigeración y de bomba de calor reales, ocurren en tiempos finitos, del orden de milisegundos, generando en consecuencia irreversibilidades.
Para tratar de mejorar el estudio teórico de las máquinas térmicas, durante los últimos 30 años, se ha desarrollado la “termodinámica endorreversible” o “termodinámica de tiempo finito (TTF)” 4, que a diferencia de la termodinámica clásica, toma en cuenta las irreversibilidades externas, lo que representa un avance importante en el estudio de los procesos reales. Como resultado de la aplicación de la termodinámica endorreversible, se ha obtenido el rendimiento termodinámico del ciclo de Carnot endorreversible1. Este resultado es importante porque establece un nuevo límite del rendimiento de las máquinas térmicas, más acorde con la realidad.
Para ampliar el campo de la termodinámica endorreversible, también se ha aplicado a la obtención del coeficiente de operación del ciclo de Carnot endorreversible de refrigeración (COPER)
2
, y para completar desde esta perspectiva el estudio del ciclo de Carnot inverso, en este trabajo se presenta el proceso de obtención del coeficiente de operación del ciclo de Carnot endorreversible de bomba de calor (COPEBC), que
representa de manera mas adecuada los límites del comportamiento de las bombas de calor reales, al tomar en cuenta las irreversibilidades externas.
Para obtener el coeficiente de operación del ciclo de Carnot endorreversible de bomba de calor, se ha aplicado el criterio de mínima generación de entropía a las irreversibilidades externas que se generan por la transferencia de calor 3.
Bomba de calor
La operación inversa de una máquina térmica, de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, provoca el paso de calor de una fuente térmica de baja temperatura (TB), hacia un sumidero de alta temperatura
(TA), mediante el suministro de trabajo mecánico (W). El
ciclo termodinámico que cumple con esta función, puede ser de Refrigeración o de Bomba de Calor. Es de refrigeración cuando tiene como propósito crear un medio de baja temperatura o enfriar una sustancia, al extraer calor de la fuente de baja temperatura, y es de bomba de calor, cuando tiene como propósito aprovechar el calor que se suministra al sumidero de alta temperatura5.
El interés de este trabajo es tratar el ciclo de bomba de calor, y obtener su Coeficiente de Operación (COP), que se define como la relación entre el calor que se suministra al sumidero de alta temperatura (QA) y el
trabajo mecánico (W) que se suministra para lograr el paso de calor de la fuente de baja temperatura al sumidero de alta temperatura:
W
Q
COP
BC=
A (1)Para aplicar este concepto al ciclo de Carnot de bomba de calor endorreversible, antes se describe el ciclo de Carnot de bomba de calor reversible, como se muestra a continuación.
Ciclo de Carnot de bomba de calor reversible
Este ciclo se representa en los ejes T-s, por los puntos 1´, 2´, 3´, 4´ de la figura 1. Para este ciclo, la máquina térmica que se asocia es la mostrada en la figura 2a, en donde la transferencia de calor de la fuente de baja temperatura, hacia el fluido de trabajo, ocurre a la misma temperatura, TB, y de la transferencia de calor del fluido
de trabajo hacia el sumidero de alta temperatura, se hace a la misma temperatura, TA.
En estas condiciones de transferencia de calor reversible, el coeficiente de operación del ciclo de Carnot reversible (COPBC), está dado por la bien conocida
expresión: A B BC
T
/
T
1
1
COP
=
−
(2)Ciclo de Carnot de bomba de calor endorreversible El ciclo de Carnot correspondiente a la bomba de calor endorreversible (COPBCE), se muestra en la figura 1, por
los puntos 1, 2, 3 y 4. La máquina térmica que corresponde a este ciclo se muestra en la figura 2b.
En esta bomba de calor, la transferencia de calor a baja temperatura se produce por la diferencia de temperaturas (TB - TFB), que se presenta entre la fuente
térmica de baja temperatura, TB, y el fluido de trabajo a
baja temperatura, TFB. La transferencia de calor a alta
temperatura se debe a la diferencia de temperaturas (TFA-TA), entre el fluido de trabajo a alta temperatura, TFA,
y el sumidero de alta temperatura, TA.
En la bomba de calor endorreversible se cumple la siguiente condición:
T
FA>
T
A,
T
B>
T
FB.Figura 1. Diagrama T-s para un ciclo de Carnot endorreversible de Bomba de Calor.
Optimización del COPBCE del ciclo de carnot de bomba
de calor endorreversible
Para optimizar el COP del ciclo de Carnot de bomba de calor endorreversible, COPBCE, se aplica el criterio de
mínima generación de entropía (Sgen), que se produce
como consecuencia de las irreversibilidades externas, y para esto se hacen las siguientes consideraciones:
1. El ciclo es internamente reversible y externamente irreversible1.
2. Se desprecia el tiempo en el que se desarrollan los procesos isentrópicos.
3. Las conductancias térmicas son finitas.
4. El tiempo de realización del ciclo es finito, e igual a , donde: (τ) es el tiempo total del ciclo, (t B A
t
t
+
=
τ
A) es el tiempo de duración del proceso de
transferencia de calor en el condensador, (tB) es el
tiempo de duración del proceso de transferencia de calor en el evaporador.
Con estas consideraciones, se hacen los siguientes cálculos:
a) Calor suministrado por la fuente de calor de baja temperatura (QB), hacia el fluido de trabajo:
Q
B=
Q
Bt
B=
(
UA
)
Bt
B(
T
B−
T
FB)
(4)•
a) b)
Figura 2. a) Máquina térmica de bomba de calor totalmente reversible. b) Máquina térmica de bomba de calor endorreversible.
b) Calor suministrado por el fluido de trabajo a alta temperatura (QA), hacia el sumidero de alta
temperatura:
Q
A=
Q
At
A=
(
UA
)
At
A(
T
FA−
T
A)
(5)•
donde
(
Q
A)
es el flujo de calor suministrado, (UA)•
A
es la conductancia térmica en el condensador. c) Conservación de la energía:
W
+
Q
B=
Q
A (6)d) Relación entre cantidades de calor y temperaturas del fluido de trabajo:
y sustituyendo el resultado en la ecuación (6), la ecuación de la conservación de energía queda como:
( )
FA FB AT
T
1
Q
W
=
−
(8) Al sustituir la ecuación (8) en la ecuación (1), se obtiene:( )
1 FA FB A BCET
T
1
W
Q
COP
−−
=
=
(9) En este ciclo, la entropía solo es generada por irreversibilidades externas y se calcula por:
[
]
B FA FB A A B B A A genT
T
T
T
1
Q
T
Q
T
Q
T
Q
S
=
−
∫δ
=
−
=
−
(10)De las ecuaciones (9) y (10) se observa que el COPBCE
y la entropía generada son funciones de la relación de temperaturas extremas del fluido de trabajo (TFB/TFA).
Para minimizar la entropía generada, y en consecuencia, optimizar el COPBCE, se debe obtener la expresión de
TFB/TFA que cumpla con esta condición. A partir de la
ecuación (5) y realizando las manipulaciones algebraicas, se obtiene que:
A A A B A 2 A A A FA FB
T
T
)
T
)
UA
(
)
UA
(
)
UA
(
1
(
CT
)
UA
(
)
1
CT
)
UA
((
T
T
T
−
−
−
−
−
=
∗ ∗ ∗ (11) En donde:1
/
C
=
Q
A/
τ
, yT
∗=
T
FA−
T
Adonde (C) es la carga de calefacción.
Derivando la ecuación (11) con respecto a , e igualando a 0; el resultado que se obtiene es el siguiente: * T
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
+
=
∗ 1/2 B A A A)
UA
(
)
UA
(
1
)
UA
(
C
1
T
T
(12)De las dos soluciones de la ecuación (12), se desprecia la de signo negativo (-), ya que el parámetro T* debe ser necesariamente positivo. Al sustituir este resultado en la ecuación (12), se tiene que:
2 2 / 1 B A A A B FA FB
)
UA
(
)
UA
(
1
)
UA
(
C
1
T
T
T
T
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
(13)La ecuación (13) representa la relación entre TFA y TFB,
para la que se cumple la condición de mínima generación de entropía. Al sustituir la ecuación (12) en la ecuación (3), esta queda como:
2 2 / 1 B A A A B BCE
)
UA
(
)
UA
(
1
)
UA
(
C
1
T
T
1
1
COP
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
(14) Sustituyendo el término 1/C en la ecuación (14), queda como: 2 2 / 1 B A A B A FA A B BCE)
UA
(
)
UA
(
1
t
t
1
T
T
T
T
1
1
COP
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
−
=
(15) Las ecuaciones (14) y (15) corresponden al coeficiente de operación del ciclo de Carnot de bomba de calor endorreversible, obtenido aplicando el criterio de mínima generación de entropía, y es función del flujo de calor suministrado al sumidero de alta temperatura y de las conductancias térmicas del evaporador y del condensador, con lo que involucra características de construcción del equipo. De la misma ecuación (15) se observa que cuando los procesos tienden hacia el modelo cuasiestático, la diferencia de temperaturas (TFA–TA) tiende a cero y en consecuencia se vuelve haciael modelo reversible clásico, expresado por la ecuación (2).
CONCLUSIONES
Se ha presentado el desarrollo de un nuevo modelo de evaluación del comportamiento de operación del ciclo de Carnot de bomba de calor, basado en la termodinámica endorreversible y en el criterio de mínima generación de entropía. Este modelo se propone como el nuevo parámetro de comparación del comportamiento de las bombas de calor reales, sustituyendo así al de Carnot reversible, que está basado en la termodinámica clásica y que no considera ningún tipo de irreversibilidad.
El modelo de COPBCE, expresado por la ecuación (15)
se puede considerar como una generalización del ciclo de Carnot de bomba de calor, porque cuando se aplican las condiciones de procesos cuasiestáticos, se simplifica y se llega al correspondiente modelo reversible, COPc, expresado por la ecuación (2).
El valor del COPBCE siempre es menor que el COPBC,
de calor, y entonces cumple adecuadamente como criterio de límite a alcanzar por las bombas de calor reales. Para continuar avanzando en este campo de estudio, se propone que este nuevo modelo de
coeficiente de operación de bombas de calor se aplique a resultados experimentales para que se evalúe su utilidad de manera práctica.
REFERENCIAS
1. Curzon, F. and Ahlborn, B. Efficiency of a Carnot engine at maximum power output. Am. J. Physics 43: 22-24, 1975. 2. Jiménez-Bernal, J. A. Desarrollo de modelos
endorreversibles para maquinas térmicas de potencia y de refrigeración, Tesis de Maestría, SEPI-ESIME IPN, México, 2000.
3. Quinto, P., Gutiérrez, T. C. C. y Jiménez, B. J. A. Coeficiente de operación (COP) del ciclo de Carnot de refrigeración endorreversible, CIDIM’99 Santiago de Chile, 1999.
4. Quinto-Diez, P., Jiménez-Bernal, J. A., Sánchez-Silva,
F. y Carvajal-Mariscal, I. Coeficiente de operación del
ciclo de Carnot endorreversible, usando el criterio de mínima generación de entropía, Inf. Tecnol. Rev. Int.13: 139-144, 2002.
5. Rogers, G. and Mayhew, Y. Engineering Thermodynamics, Longman Scientific and Technical,
London, 1994.
