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Estática Profesor Herbert Yépez Castillo

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Academic year: 2021

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(1)

Estática 2015-1

Profesor Herbert Yépez Castillo

(2)

Introducción

4.1 Momento de una fuerza – Formulación Escalar 4.2 Producto Cruz

4.3 Momento de una fuerza – Formulación Vectorial 4.4 Principio de momentos

4.5 Momento de una fuerza respecto a un eje 4.6 Momento de un par

4.7 Sistemas Equivalentes

4.8 Reducción de un Sistema de fuerzas

4.9 Reducciones adicionales de un Sist. de fuerzas

(3)
(4)

4.1 Momento de una fuerza – formulación Escalar

Momento de una fuerza puede ser representado

gráficamente de dos formas:

(5)

4.1 Momento de una fuerza – formulación Escalar

Momento de una fuerza respecto a un punto o eje es la tendencia de la fuerza a ocasionar que el cuerpo gire alrededor del mismo punto o eje.

𝑭 𝒙 𝒅 𝒚

(𝑴 𝒐 ) 𝒛

𝒐 𝑥

𝑦 𝑧

𝐹 ∈ 𝑋𝑌 𝑥 𝑑 𝑦 ⊥ 𝐹 𝑥

⟹ (𝑀 𝑜 ) 𝑧 ⊥ 𝑋𝑌

Tendencia a girar el tubo

sobre el eje 𝑧

(6)

4.1 Momento de una fuerza – formulación Escalar

𝑭 𝒛 𝒅 𝒚

(𝑴 𝒐 ) 𝒙

𝒐

𝑥

𝑦 𝑧

𝑭 𝒚 𝒐

𝑥

𝑦 𝑧

𝒅 𝒚

𝐹 ∈ 𝑌𝑍 𝑧 𝑑 𝑦 ⊥ 𝐹 𝑧

⟹ (𝑀 𝑜 ) 𝑥 ⊥ 𝑌𝑍

Tendencia a “girar” el tubo sobre el eje 𝑥

𝐹 ∈ 𝑋𝑌 𝑦 𝑑 𝑦 ∥ 𝐹 𝑦

⟹ ∄(𝑀 𝑜 ) 𝑥,𝑦,𝑧

Ausencia de giro

(7)

4.1 Momento de una fuerza – formulación Escalar

Formulación Escalar

Donde:

𝑑: Distancia perpendicular del eje, que pasa por 𝑶 y va a la línea de acción de la

fuerza

𝐹: Fuerza aplicada

𝑀 𝑜 : Momento respecto a 𝑶

𝑴 𝒐 = 𝑭. 𝒅 [𝑵. 𝒎] [𝒍𝒃. 𝒑𝒊𝒆]

(8)

4.1 Momento de una fuerza – formulación Escalar

Dirección

Pulgar especifica la dirección y sentido del vector momento

Los dedos siguen

primero la trayectoria de la distancia (𝒅) y

posteriormente siguen el sentido de la fecha

𝒅

𝒅

𝑶 𝑴 𝒐

𝑴 𝒐 𝑭

𝑭

𝑶

(9)

4.1 Momento de una fuerza – formulación Escalar

Dirección

Pulgar especifica la dirección y sentido del vector momento

Los dedos siguen

primero la trayectoria de la distancia (𝒅) y

posteriormente siguen el sentido de la fecha

𝑭

𝒅 𝑶

𝒅

𝑴 𝒐

𝑴 𝒐

𝑭

(10)

4.1 Momento de una fuerza – formulación Escalar

Momento resultante de un sistema de fuerzas coplanares

𝑴 𝑹𝒐 = ∑𝑭. 𝒅

𝑧

𝐹 1 , 𝐹 2 𝑦 𝐹 3 ∈ 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑌

𝒅 𝟏

𝑶

𝒅 𝟐 𝒅 𝟑

𝑴 𝒐 𝑭 𝟏

𝑭 𝟐

𝑭 𝟑

𝑋𝑌

(11)
(12)

4.2 Producto Cruz

Formulación vectorial cartesiana

𝑨 × 𝑩 =

𝒊 𝒋 𝒌

𝑨 𝒙 𝑨 𝒚 𝑨 𝒛 𝑩 𝒙 𝑩 𝒚 𝑩 𝒛 𝑨 = (𝑨 𝒙 , 𝑨 𝒚 , 𝑨 𝒛 )

𝑩 = (𝑩 𝒙 , 𝑩 𝒚 , 𝑩 𝒛 )

𝒊 𝒋 𝒌

𝑨 𝒙 𝑨 𝒚 𝑨 𝒛

𝑩 𝒙 𝑩 𝒚 𝑩 𝒛 =

(𝟏) (𝟐)

𝒊 𝒋 𝒌

𝑨 𝒙 𝑨 𝒚 𝑨 𝒛

𝑩 𝒙 𝑩 𝒚 𝑩 𝒛 =

(𝟐) (𝟏)

𝒊 𝒋 𝒌

𝑨 𝒙 𝑨 𝒚 𝑨 𝒛

𝑩 𝒙 𝑩 𝒚 𝑩 𝒛 =

(𝟐) (𝟏)

ojo!

𝒊(𝑨 𝒚 . 𝑩 𝒛 − 𝑨 𝒛 . 𝑩 𝒚 )

−𝒋(𝑨 𝒙 . 𝑩 𝒛 − 𝑨 𝒛 . 𝑩 𝒙 )

𝒌(𝑨 𝒙 . 𝑩 𝒚 − 𝑨 𝒚 . 𝑩 𝒙 )

(13)

4.2 Producto Cruz

𝑪 = 𝑨 × 𝑩

El producto cruz de dos vectores define un nuevo vector.

𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟏𝟖𝟎°

Mano derecha

𝑪 = 𝑨 . 𝑩. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑪

𝑩 𝑨

𝜽

Magnitud

Dirección

𝑪

𝑩 𝑨

𝜽

𝝁 𝒄 𝑪 = 𝑨 . 𝑩. 𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝑪 = 𝑨 × 𝑩 = (𝑨 . 𝑩. 𝒔𝒆 𝒏 𝜽) ∙ 𝝁 𝒄

(14)

4.2 Producto Cruz

𝑪 = 𝑨 × 𝑩

𝑪

𝑩 𝑨

𝜽

𝑨 = (𝟏, 𝟎, 𝟎) 𝑩 = (𝟎, 𝟏, 𝟎)

𝒙 = (𝟏, 𝟎, 𝟎) 𝒚 = (𝟎, 𝟏, 𝟎) 𝒛 = (𝟎, 𝟎, 𝟏)

𝑪 = 𝑨 × 𝑩 = (𝟎, 𝟎, 𝟏)

El producto cruz de dos vectores define un nuevo vector.

(15)

4.2 Producto Cruz

Formulación vectorial cartesiana

𝑨 × 𝑩 =

𝒊 𝒋 𝒌

𝑨 𝒙 𝑨 𝒚 𝑨 𝒛 𝑩 𝒙 𝑩 𝒚 𝑩 𝒛

ojo!

= 𝑨 𝒚 . 𝑩 𝒛 − 𝑨 𝒛 . 𝑩 𝒚 𝒊 − 𝑨 𝒙 . 𝑩 𝒛 − 𝑨 𝒛 . 𝑩 𝒙 𝒋 + (𝑨 𝒙 . 𝑩 𝒚 − 𝑨 𝒚 . 𝑩 𝒙 )𝒌

(16)
(17)

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Formulación Vectorial

Donde:

𝑟 : Vector posición desde 𝑶 hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de 𝑭

𝐹 : Fuerza vectorial

𝑀 𝑜 : Momento de una fuerza respecto a un punto 𝑶

𝑴 𝒐 = 𝒓 × 𝑭 [𝑵 ∙ 𝒎] [𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆]

𝑴

𝑭 𝒓

𝜽

(18)

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Magnitud y Dirección

𝑴 𝒐 = 𝒓. 𝑭. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑭(𝒓. 𝒔𝒆𝒏 𝜽) = 𝑭. 𝒅

𝒓 𝑭

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑨

𝑭

𝑨

𝑥

𝑧

𝑶

𝑦

𝜽 𝒓

𝜽

𝟗𝟎°

𝒅

𝑭 𝑥

𝑧

𝑶

𝑨 𝑦

𝒓

𝑴 𝒐

(19)

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Magnitud y Dirección

𝑴 𝒐 = 𝒓. 𝑭. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑭(𝒓. 𝒔𝒆𝒏 𝜽) = 𝑭. 𝒅

𝑦

𝒓 𝑭

𝑥

𝑨 𝑧

𝒓 𝜽

𝑦

𝑭

𝑥

𝑨 𝑧

𝑦

𝒓 𝑭

𝑥

𝑨 𝑧

(20)

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Magnitud y Dirección

𝑴 𝒐 = 𝒓. 𝑭. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑭(𝒓. 𝒔𝒆𝒏 𝜽) = 𝑭. 𝒅

𝑦

𝑴 𝒐

𝑭

𝑥

𝑨 𝑧

𝒅

𝑦

𝒓 𝑭

𝑥

𝑨 𝑧

𝒓 𝜽

𝒅 𝑦

𝒓 𝑭

𝑥

𝑨 𝑧

𝒅

𝒓 𝜽

𝑴 𝒐

𝒅 = 𝒓. 𝒔𝒆𝒏 𝜽

(21)

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Principio de transmisibilidad

𝑴 𝒐 = 𝒓 𝑨 × 𝑭 𝑴 𝒐 = 𝒓 𝑩 × 𝑭 𝑴 𝒐 = 𝒓 𝑪 × 𝑭 𝑴 𝒐 = 𝒓 𝑫 × 𝑭

𝒓

𝑨

𝑭 𝑴 𝒐 𝑨

𝑪 𝑫

𝒓

𝑩

𝑩 𝒓

𝑪

𝒓

𝑫

Línea de acción

𝑦 𝑥

𝑧

𝑶

Iguales

(22)

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Formulación vectorial cartesiana

𝑴 𝒐 = 𝒓 𝑨 × 𝑭 =

𝒊 𝒋 𝒌

𝒓 𝒙 𝒓 𝒚 𝒓 𝒛 𝑭 𝒙 𝑭 𝒚 𝑭 𝒛

ojo!

𝑴 𝒐 = 𝒓 𝒚 . 𝑭 𝒛 − 𝒓 𝒛 . 𝑭 𝒚 𝒊 − 𝒓 𝒙 . 𝑭 𝒛 − 𝒓 𝒛 . 𝑭 𝒙 𝒋 + (𝒓 𝒙 . 𝑭 𝒚 − 𝒓 𝒚 . 𝑭 𝒙 )𝒌

= ( 𝒓 𝒚 . 𝑭 𝒛 − 𝒓 𝒛 . 𝑭 𝒚 𝒓 ; 𝒛 . 𝑭 𝒙 − 𝒓 𝒙 . 𝑭 𝒛 𝒓 ; 𝒙 . 𝑭 𝒚 − 𝒓 𝒚 . 𝑭 𝒙 ) 𝒓 𝑨

𝑦 𝑥

𝑧

𝑶

𝑴 𝒐

𝑭

𝑨

𝑴 𝒐 = (𝑴 𝒐 𝒙 , 𝑴 𝒐 𝒚 , 𝑴 𝒐 𝒛 )

(23)

𝑭

𝒓

𝑨

𝑦 𝑥

𝑧

𝑶

𝑨

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Formulación vectorial cartesiana

𝑴 𝒐 = 𝒓 𝑨 × 𝑭 = 𝒊 𝒋 𝒌 𝒓 𝒙 𝒓 𝒚 𝒓 𝒛 𝑭 𝒙 𝑭 𝒚 𝑭 𝒛

𝑭

𝒛

𝑭

𝒙

𝑭

𝒚

𝑴 𝒐 𝒙

𝒓

𝑨

𝑭

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑨

𝑭 𝒛 y 𝑭 𝒚 y 𝑭 𝒙

𝒓 𝒚 𝒓 𝒛

𝑴 𝒐

𝒓

𝒚

𝒓

𝒙

𝒓

𝒛

(24)

4.3 Momento de una fuerza – formulación Vectorial

Momento resultante de un sistema de fuerzas

𝒓 𝟑

𝑴 𝑹𝒐

𝑴 𝑹𝒐 = ∑(𝒓 × 𝑭 )

𝑥

𝑧

𝑶

𝑭 𝟏

𝑭 𝟑 𝑭 𝟐

𝑦

𝒓 𝟐

𝒓 𝟏 𝑴 𝟏

𝑴 𝟑 𝑴 𝟐

𝑥

𝑧

𝑶 𝑦 𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

(25)
(26)

4.4 Principio de momentos

Teorema de Varignon (matemático francés)

𝑴 𝑹𝒐 = 𝒓 × 𝑭 𝟏 + 𝒓 × 𝑭 𝟐

𝒓

𝑧

𝑥

𝑶

𝑭 𝟏 𝑭 𝟐

𝑦 𝑭 𝑹

𝑴 𝑹𝒐 = 𝒓 × (𝑭 𝟏 + 𝑭 𝟐 )

𝑴 𝑹𝒐 = 𝒓 × 𝑭 𝑹

(27)
(28)

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑴 𝒐

𝑭

4.5 Momento de una fuerza con respecto a un Eje

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑴 𝒐 𝑴

𝒛

𝑴

𝒚

𝑴

𝒙

𝑭

(29)

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑴 𝒐

𝒅 𝒚 𝑭

𝒅 𝒙

4.5 Momento de una fuerza con respecto a un Eje

𝑴 𝒚

Por razones prácticas, puede ser necesario

determinar la

componente 𝑴 𝒚 .

Debido a que 𝑴 𝒚 tiende a destornillar a la

tubería

(30)

4.5 Momento de una fuerza con respecto a un Eje

Análisis Escalar

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑴 𝒐

𝑭 𝑴 𝒚

𝒅 𝒚

𝒅 𝒙

En general, si la línea de acción de una fuerza es perpendicular a

cualquier eje específico 𝒂 − 𝒂, entonces

𝑴 𝒂 = 𝑭. 𝒅 𝒂

(31)

4.5 Momento de una fuerza con respecto a un Eje

Análisis Escalar

𝒂

𝑥

𝑧

𝑶

𝑴 𝒐

𝑭 𝑴 𝒚

𝒅 𝒚

𝒅 𝒙

En este caso el eje

especifico 𝒂 − 𝒂 es el eje 𝒚

Entonces:

𝑴 𝒂 = 𝑴 𝒚 = 𝑭. 𝒅 𝒙

𝒂 𝑦

𝟗𝟎°

(32)

4.5 Momento de una fuerza con respecto a un Eje

Análisis Escalar

𝑴 𝒚 = 𝟎

𝑥

𝑧

𝑶

𝑭

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑭

𝑦

se cortan!!

Eje especifico – L. de acción

𝑴 𝒚 = 𝟎

son paralelos!!

Eje especifico – L. de acción

(33)

4.5 Momento de una fuerza con respecto a un Eje

Análisis Vectorial

𝒂

𝒂

𝑦

𝑥

𝑧

𝑶

𝑭 𝒓

𝑴 𝒐

𝜽

𝑴 𝒂 = 𝑴 𝒐 ∙ 𝝁 𝒂

𝑴 𝒂

𝑴 𝒂 = 𝑴 𝒐 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽

𝝁 𝒂

𝑴 𝒂 = 𝑴 𝒂 ∙ 𝝁 𝒂

𝑴 𝒂 = (𝑴 𝒐 ∙ 𝝁 𝒂 ) ∙ 𝝁 𝒂

𝑴 𝒂 = ((𝒓 × 𝑭 ) ∙ 𝝁 𝒂 ) ∙ 𝝁 𝒂

Vector

Vector

Escalar

(34)
(35)

4 5 𝐹 2

3 5 𝐹 2

𝐹 3 𝑠𝑒𝑛30

𝐹 3 𝑐𝑜𝑠30

𝐹 2 = 500 𝑙𝑏 𝐹 1 = 375 𝑙𝑏

𝐹 3 = 160 𝑙𝑏 𝑀 𝐴 =

𝑀 𝐴 = −11.19 𝐾𝑖𝑝. 𝑓𝑡

−(19)𝐹 3 cos 30° + (0.5)𝐹 3 sin 30°

− 14 4

5 𝐹 2 + (0) 3 5 𝐹 2

− 8 𝐹 1

(36)

Rpta.: El momento máximo y mínimo respecto al punto A se obtiene con una dirección

igual a 75.964° y 165.964°, respectivamente.

(37)

A.

Rpta.: El momento de la fuerza respecto al punto A es

(-5.392; 13.088; 11.348) N.m

(38)

Rpta.: La coordenada del punto P es (1; 1; 3)m

y la distancia perpendicular de O a la línea de

acción de la fuerza F es 1.149 m.

(39)

Sobre una de las caras del cubo de lado a actúa una fuerza P. Determinar:

a) El momento vectorial que genera la fuerza P respecto al vértice A.

b) El momento vectorial que genera la fuerza P respecto a la arista AB c) El momento escalar que genera la fuerza P respecto a la diagonal AG y d) La distancia perpendicular entre AG y FC.

x

P z

y

Rpta.:

a) b)

c) d)

𝑎𝑃

2 (1,1,1) 𝑎𝑃

2 (0,1,0)

− 𝑎𝑃 6 𝑎

6

(40)

Rpta.: El momento de la fuerza respecto al eje x es (-80; 0; 0) N.m y respecto al eje

Una fuerza F=(-40; 20; 10) N actúa en el punto A. Determinar los momentos

de esta fuerza con respecto a los ejes x y a.

(41)

Rpta.: El momento 𝑴

𝑨𝑩

generado por la fuerza F es (-47.954; -23.977; 0) N.m .

La barra está sostenida por dos argollas situadas en A y B. Determinar el

momento 𝑴 𝑨𝑩 producido por F=(-600; 200; -300) N, que tiende a girar la

barra con respecto al eje AB.

(42)

Rpta.: El momento 𝑴

𝑶𝑨

generado por la fuerza F es (0; 0; 35.35) N.m .

Referencias

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