U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {1, 3, 5, 7, 9} D = {7, 8, 9} E = {4, 5, 6, 7} F = {5} G = { }

1 RESPUESTAS T 1

I. Operaciones con conjuntos.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {1, 3, 5, 7, 9}

D = {7, 8, 9} E = {4, 5, 6, 7} F = {5} G = { }

Efectúa las operaciones.

1. A’ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10} 2. C’ = {2, 4, 6, 8, 10}

3. A U D = {5, 7, 8, 9} 4. E ∩ F = {5}

5. A’ ∩ F = { } 6. B’ U E = {5, 7}

7. (C ∩ E)’ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} 8. (B’ U D)’ = {2, 4, 6, 10}

9. B – E = {4, 8, 10} 10. C – F = {1, 3, 7, 9}

II. Ilumina el área indicada en los diagramas de Venn.

11. (A U B) U C = 12. (A U C) ∩ B = 13. (A ∩ B) U (B ∩ C) = 14. (A – B) U C = A _B C A B _C A B _C A _B C

2

15. (A U B) ∩ C = 16. (A U B) U C =

17. (A U B) ∩ (B U C) = 18. (A ∩ B) U (B ∩ C) =

19. Se entrevistaron a 500 alumnos sobre la reprobación de materias:

- 280 química - 220 física

- 300 matemáticas - 130 química y física

- química y matemáticas - 180 física y matemáticas - 120 las tres

a) ¿Cuántos solamente matemáticas? 10 b) ¿Cuántos dos materias? 180

c) ¿Cuántos solamente una? 80 d) ¿Cuántos ninguna? 120

U = 500 Q F M 40 30 10 10 60 110 120 120 A _B C A B C A _B C A B C

3

TAREA No. 2 DIAGRAMA DE ÁRBOL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Responde las siguientes preguntas con el principio multiplicativo en todos los casos.

1. Con tela de cuatro colores: amarillo, blanco, rojo y verde, se quiere fabricar banderas con franjas verticales de tres colores, ¿cuántas banderas diferentes se pueden elaborar sin repetir colores? Elabora el diagrama de árbol.

2. Con cuatro letras (ABCD), se requiere elaborar códigos de tres letras (ABC, ABD, etc.), ¿cuántos códigos diferentes se pueden formar sin repetir letras? Elabora el diagrama de árbol con todos los resultados.

3. Un semáforo (Verde, Rojo, Amarillo) se ha descompuesto. Cuántas

combinaciones de luces son posibles bajo las siguientes condiciones (Elabora los diagramas de árbol):

 Si solo prende una luz.  Si prenden dos luces.  Si prenden las tres luces.

4. Se lanzan dos dados de seis puntos cada uno, determina el número de

maneras diferentes en que pueden caer simultáneamente ambos dados. Elabora una lista con todos los resultados.

5. Tenemos tres dígitos para formar claves de acceso: 1, 4, 5. Si las claves funcionan con sólo dos dígitos, cuántos códigos diferentes se pueden formar, si los números no se pueden repetir. Ahora calcula con claves de tres dígitos. Elabora los diagramas de árbol con los resultados.

4

6. Volvamos a los dígitos para formar claves de acceso: 1, 4, 5. Si las claves de acceso funcionan con tres dígitos, y además los números se pueden repetir, ¿cuántos códigos diferentes se pueden formar? Elabora el diagrama de árbol.

7. Un médico clasifica a sus pacientes por el tipo de sangre A, B, AB, O, y por su presión: baja, normal, alta. ¿Cuántos tipos de pacientes tiene? Si tuviéramos que clasificarlos por el factor Rh (+) y Rh (–), ¿cuántos pacientes serían? Elabora el diagrama de árbol.

8. ¿Cuántos números de teléfono de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0 – 9?

9. Hay tres rutas obligatorias para llegar desde Aguascalientes hasta la isla

Tortuga en el Golfo de California. Para salir de Aguascalientes hay tres aerolíneas para viajar a Mexicali: Interjet, Mexicana y Aerobús. De Mexicali al puerto Trujillo hay dos opciones: autobús o tren. Del puerto a la isla Tortuga: lancha, canoa, ferri. ¿Cuántos viajes diferentes podemos realizar?

10. Las placas para automóvil en Querétaro están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son letras y los tres últimos son números. Supongamos que hay 26 letras del alfabeto.

a) ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar?

b) Si la primera letra debe ser Q y el primer número no puede ser cero, ¿cuántas placas diferentes se pueden formar?

5 RESPUESTAS T2 1) 4 x 3 x 2 = 24 2) 4 x 3 x 2 = 24 ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB

3) Una luz: 3 x 1 = 3. Dos luces: 3 x 2 = 6. Tres luces: 3 x 2 x 1 = 6. 4) 6 x 6 = 36. 5) 3 x 2 = 6. 1 4 14 5 15 4 1 41 5 45 5 1 51 4 54 6) 3 x 3 x 3 = 27. 7) 4 x 3 = 12. Si consideramos el factor Rh: 4 x 3 x 2 = 24. 8) 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000 9) 3 x 2 x 3 = 18. 10) a) 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17, 576, 000 b) 1 x 26 x 26 x 9 x 10 x 10 = 608, 400.

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TAREA No. 3

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Calcula:

a) P (6,3) = b) 5! =

c) C (5,4) = d) (7! 3!) / (5! 0!) =

2. Indica si las siguientes frases corresponden a permutación o combinación: a) Seis personas de 8 quedan en el juego de sillas musicales.

b) Premiación de primero, segundo y tercer lugar de nueve alumnos finalistas en un concurso de canto.

c) Elaboración de un coctel mezclando tres licores, agua y refresco. d) Contrato por el que dos personas se obligan recíprocamente a dar una cosa por otra.

3. Escribe una permutación y una combinación con cuatro letras ABCD tomando tres a la vez; arma una tabla para ilustrar la diferencia.

4. De cuántas maneras pueden ordenarse las letras de cada palabra:

a) YA b) TOMAR c) MATE

5. ¿Cuántas combinaciones diferentes de 6 flores se pueden seleccionar de una docena de flores?

6. Una orquesta tocará tres piezas en un festival de ocho que puede tocar. ¿Cuántos programas diferentes pueden interpretar?

7. Hay 720 formas en que tres alumnos pueden terminar primero, segundo y tercero, en un concurso, ¿cuántos alumnos están compitiendo?

8. Hay diez candidatos para cuatro puestos: presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. De cuántas formas pueden cubrirse estos puestos.

9. Se otorgan cinco becas diferentes a los cinco mejores estudiantes de una clase que concluye estudios. ¿De cuántas formas se pueden otorgar las becas? Ahora calcula si se otorgan cinco becas iguales a los cinco mejores estudiantes de una clase que concluye estudios. ¿De cuántas formas se pueden otorgar estas becas?

7

10. En una clase de 30 estudiantes hay 20 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas formas puede seleccionarse un comité de tres hombres y dos mujeres?

RESPUESTAS T3

1. a) P (6,3) = 6 x 5 x 4 = 120 b) 5! = 120 c) C (5,4) = 5 d) (7!3!)/(5!0!) = 252 2. a) combinación b) permutación c) combinación d) permutación.

3. Con cuatro letras ABCD tomando tres:

P (4,3) = 4 x 3 x 2 = 24 C (6,3) = P (4,3) / 3! = 4 ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB

ABC, ABD, ACD, BCD

4. Permutaciones: a) P (2,2) = 2 x 1 = 2 b) P (5,5) 5 x 4 x 3 2 x 1 = 120 c) P (4,4) 4 x 3 x 2 x 1 = 24. 5. C (12,6) = P (12,6) / 6! = 924. 6. No importa el orden: C (8,3) = P (8,3) / 3! = 56. 7. P (x,3) = ? x = 10 alumnos compitiendo: 10 x 9 x 8 = 720 8. P (10,4) = 10 x 9 x 8 x 7 = 5,040.

9. En el primer caso es una permutación, ya que las becas son diferentes; por lo tanto: P (5,5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. En el segundo caso se trata de una combinación, ya que las becas son iguales: C (5,5) = P (5,5) / 5! = 1. 10. El comité de 3 hombres y dos mujeres, no importa el orden: