Ejercicios Tema 1.pdf
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(2) SOLUCIÓN: 1 3 3. 1 3 3 3 3. 2 4. 2 4. 5 2. 5 2. 4 4. 3 2 2. 3 3 8. 1 9 1 10 4. 4 2. 3 3 2 5. 3 3 2 5. 2 5 2 5. 6. 5 3. 5 3. 3. 15. 2. 7 4. 3 3. 1 3. 2 7 4. 1 3. 2 3. 4 4. 2 3. 28 3. 1 10 10 20. 15 2. 2. 6 15 5. 2 3 21 4. 1 20. 3 2 4. 1 29. 10. 1 10. 24. 1 13. 1 31 25. 21. 21 29. 9. 17. 17 13. 7. 31 25. 17. 6 5 9 29 7 13. 17 25. 4. Simplificar:. SOLUCIÓN: 3. 2 1 1 3. 3. 2 1 1 3. 1 3 1 3 1 3 10. 2. 4 2 1 5. 6. 21. 1. 3 10. 21 10. 4 4. 4 4 2 1 5 1 5 1 5 2 14 13. 3 1. 18. 6. 3 3. 10 1 28 13. 9. 3. 18. 10. 20 5. 2. 4 14 26. 18. 36 13. 5. Representar gráficamente los complejos:. 6. Representa gráficamente la suma de los complejos: ;. Página 2.
(3) 7. Representar gráficamente el opuesto y conjugado de los complejos:. 8. Calcular gráficamente la suma de los números complejos: ;. 9. Simplificar:. SOLUCIÓN: Llamemos: 2. 2. 2 1. 3. 2. 2 1. 2 1. 2 2 2. 2 1. 3. 3. 1. 2. 3. 2. 2. 3 1. 1. 2 1. 2. 2 2 2. 6. 1 2. 1. 3. 1. 2. 2. 3. 1 4. 2. 2. 1 2. 4. 2 1. 3. 2. 6. 9. 10. Expresar en forma binómica los siguientes números complejos:. SOLUCIÓN: 3. 1. 2. 3. 2. 2. 6. 5 5 2 2 2. 2. 1 1. 1. 1 1. 1. 1 1. 1 3 1 1. ∙ 3. 1 2 1 1. 1 2. 2 2. 1. 1. 5 1 2 2 2. 2 1. 2 2. 1 2. 2. 2 2. 3 2 2 2. 2. 1. Página 3.
(4) 11. Calcular:. SOLUCIÓN: Hallamos el resto de la división del exponente por 4:. 431. 4 ∙ 132. 3. 12. Calcular la forma binómica de:. SOLUCIÓN: Hallamos el resto de la división por 4 de los exponentes: 1999. 4 ∙ 499. 3. 2000. 4 ∙ 500. 0. 13. Sea. . Calcular. 1. ⟹. .. SOLUCIÓN: 1. 2 1. 1. 10. 5. 5 0. 5 1. 2. 5∙4 2. 2. 5∙4∙3 3∙2∙1. 80. 80. 32. 40. 2. 5 2. 5 3. 2. 5∙4∙3∙2 4∙3∙2∙1. 2 1. 5 4. 2. 10. 40. 80. 5 5. 2 2 80. 2. 2 32. 41. 38. 14. Determinar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: √. √. SOLUCIÓN: 2. | | arg. 0. 2 2 arc tan 0. 2. ≡2. 2. Página 4.
(5) | |. 4. 5. 4. 0 0 arc tan 4. arg | |. 5. 6. 5. 5 5 arc tan 5. arg | |. 6√3. 2√3. ≡ 5√2. 4 6√3. 3. 12. | |. 3√2. 2. arc tan. ≡ 12. ≡ 3√2. 5 4. 2√3. arg. 2 3. 3. 3 arc tan 3. arg. 2. 5√2. 6√3 arc tan 6. | |. 3. ≡4. 6. arg. 3. 4. 4. ≡4. 2 6. 2√3. 15. Expresar de todas las formas posibles los siguientes números complejos:. SOLUCIÓN: 5. 3. 5,3. | |. 2. | |. 3, 2. 1,1. 4. 0, 4. √34. √34. √34. 3 arc tan 5 sen 3. | | arg | | arg. 2. √13. 2 arc tan 3. arg. √13 cos 1. 3. arg. √34 cos 3. 5. √13. √13. sen 1. 1 1 arc tan 1 0. √2. √2. √2. √2 cos. 4. 4 4 arc tan 0. 4 2. 4. 4. 2 cos. 4. 2. sen. 4. sen. 2. Página 5.
(6) 16. Calcular:. SOLUCIÓN: Por desarrollo del binomio de Newton: 1. 3 0. 4. 3 1. 3 2. 4 1. 4 0. 1. 4 1 1. 4. 3 3. 4 12. 48. 64. 4 3. 4 4. 4∙3∙2 3∙2∙1. 1. 4 2 4∙3 2. 1. 4. 3∙2 16 2. 3∙4. 47. 52. 4. 6. 4. 1. 64. 4. 17. Calcular:. SOLUCIÓN: Por desarrollo del binomio de Newton: 5 0. 1 1. 5. 5∙4 2. 5 1. 5∙4∙3 3∙2∙1. 5 3. 5 2 5∙4∙3∙2 4∙3∙2∙1. 5 5. 5 4 1. 5. 10. 10. 5. 4. 4. √2 2. 4. 4. Otra manera es pasando a forma exponencial: | |. 1. √2. arg 4√2. 1. 1 1 arc tan 1 4√2 cos. 5 4. √2. √2. √2. 4√2. √2 2. 4 sen. 5 4. Página 6.
(7) 18. Encontrar la parte real y la parte imaginaria de:. SOLUCIÓN: cos 4. cos 4. sen 4. sen 4. 19. Encontrar la parte real y la parte imaginaria de:. SOLUCIÓN: cos. sen. 3. 1 2. 3. √3 2. 2. √3 2. 20. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma binómica:. SOLUCIÓN: cos 2 3. sen. 2. 2 cos. 2 sen. 2. 3 cos. sen. cos. 3 sen. cos 2 cos. 4. sen. 4. 1. 2 ∙0. 3. 1. sen 2 √2 2. 2. 2. ∙0 1. 1 ∙0. 1. √2 2. Página 7.
(8) cos. sen. 4. cos. 4. sen. 4. √2 2. √2 2. 4. √2 2. √2 2. √2. También: sen. 2. 4. 1. 1. cos. 1. 1. cos. 1. sen. 2. sen. 2. cos 1 2. 1 1. ⟹. √3 2. 1 1. 2 2. sen. 1. 1 2. 2 sen. 1. 1 1 cos. 4. 1 1. √2 2. 1 2 1. sen. 3. 1 2. √3 2. 2. √2. 1. 3. √3 2. 21. Hallar el módulo y el argumento principal de los siguientes números complejos: √ SOLUCIÓN: 2. 2. 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2. 2. 1 4. | | arg. √3. 2. 1 4. arc tan. | |. √3. arg. arc tan 64 cos. 1. 1. √2 4. 1⁄4 1⁄4 2. 1 √3. 1 4. 5 4. √2 4. 2. 2. 6 sen. 64. 22. Hallar el módulo y el argumento principal de los siguientes números complejos:. Página 8.
(9) SOLUCIÓN: 3 cos 3 5. 2 3. 4 12. | |. 2 3. sen 3 4 12 5. 3. arg 12 5 12 5. 2 3. 3. 36. 20 12. 16 169. | | arg. 15 5. 48. 63 5 169 13 16⁄169 63⁄169. arc tan. 16 169. 63 169. 5 13. Nota: Para el cálculo de módulo y argumento de un cociente de complejos no es necesario simplificar el cociente poniéndolo en forma binómica, como se ha hecho aquí y en otros ejercicios. Puede resultar práctico aunque no siempre. Otra manera de resolver el problema es expresar en forma polar tanto numerador como denominador, siendo el módulo del cociente, el cociente de los módulos, y el argumento, la diferencia de los argumentos. En ocasiones, esta diferencia de argumentos da un valor fuera del intervalo , por lo que deberemos corregirlo si lo que se busca es el valor principal.. 23. Sea y . Hallar el argumento principal de , el de y el de verifica que el argumento principal de es igual al argumento principal de argumento principal de ?. . ¿Se más el. SOLUCIÓN: 1. ≡ arg. arc tan. ≡ arg 1. arc tan 1. 0 1. 2. 1 1. 3 4. 2. 2. 2. 2 1 1. arc tan. ≡ arg. Tomando para los tres, sus respectivos argumentos principales (en 3 4. 3 4. 3 4. 2 ,. 2. ):. 2. Como vemos la suma de los argumentos principales da el argumento de una de los resultados del producto pero no necesariamente el valor del argumento principal.. Página 9.
(10) 24. Calcular:. SOLUCIÓN: | |. 1. 1. 1. √2. 1 arc tan 1. arg. 2. 1. √2. 4. 2. 32. 32. 25. Hallar:. SOLUCIÓN: | |. 1. 1. 1. √2. 1 arc tan 1. arg. 2. 1. √2 4. 2. 2. 2. 26. Expresar en forma binómica el número complejo:. SOLUCIÓN: 7 3 4. 7 3 4 3 4 3 4. 21. 4 3. 3 28 4. | |. 1. 1. arg. 1 arc tan. √2 1 1. 4. √2 7 3 4. 2 2 √2 cos. 2 √2 3 4. sen. 3 4. 2 √2 2 √2. √2 2. √2 2. 2. 1. Página 10.
(11) 27. Hallar la parte real y la parte imaginaria de:. √ SOLUCIÓN: | |. 1. arg. 1 1 arc tan 1. | |. 1. √3. 1. 1. 2 2 3. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 4. √3. √3 arc tan 1. arg. √2. 2 cos. 5 6. 2. sen. 2. 5 6. 2. √3 2. 1 2. √3. 28. Resolver en forma polar: √ √ SOLUCIÓN: | |. √3. arg. 1. √3. 1. √3 arc tan. 2. 2. 1 √3. 6. | |. 1. √3. 2. arg. √3 arc tan 1. 3. 2. 2 2. 1. 1. Página 11.
(12) 29. Sean y dos números enteros tales que pueden ser expresados como suma de dos cuadrados perfectos. Demostrar que verifica también esta propiedad. Por ejemplo, , ,y .. SOLUCIÓN: Los valores. y. que verifican esta propiedad los podemos relacionar con los cuadrados de los. módulos de números complejos. Sea ,. ,. ,. , tal que. ∈ . Si llamamos. ,. ,. ∈ , De igual forma, | | ,y , resulta que. | | . ∙. El producto de los complejos. es:. ∙ El cuadrado de su módulo es: |. |. ∙. Este resultado corresponde a la suma de los cuadrados de números enteros, ya que: ∈ ,. ∈. Por otro lado, también sabemos que el módulo del producto de complejos lo podemos poner como: |. ∙. |. | || |. |. ⟹. ∙. |. | | | |. ∙. Por tanto: ∙ Es decir, el producto. ∙ , también es suma de dos cuadrados perfectos.. 30. Encontrar todos los números complejos tales que producto de factores cuadráticos con coeficientes reales.. . De aquí, expresar. como. SOLUCIÓN: | | √. arg. 1. 0 0 arc tan 1. 1. Las seis soluciones tienen el mismo módulo: | |. 2. 1. 1. 0,1,2,3,4,5. 1. Se diferencian en el argumento:. Página 12.
(13) 0. arg. 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos. sen. 6. 2 6. 0,1,2,3,4,5 ≡. 1 2. √3 2. 6. ⁄6 ⁄2 5 ⁄6 7 ⁄6 3 ⁄2 11 ⁄6. 0 1 2 3 4 5. sen. 2 5 6 7 6 3 2 11 6. 2 5 sen 6 7 sen 6 3 sen 2 11 sen 6. 1. ⟹. 1. √3 2 √3 2. 1 2 1 2. √3 2. 1 2. 0. Al tratarse de un polinomio de con coeficientes reales, si tiene raíces complejas, son conjugadas dos a dos, por lo que podemos agruparlas obteniendo por cada pareja un factor cuadrático de coeficientes reales que representa ese par de complejos conjugados. 1 2. √3 2. 1 2. √3 2 0. √3 2 √3. ∈. √3 2. √3. 1. 1 1 2. √3 2. 1 2. 1 1. 31. Encontrar todos los. 1. 1 2. 1 2. √3 2. √3. tales que. 1. 1. √3. 1. .. SOLUCIÓN: Vamos a aplicar logaritmos neperianos: 3. ln. ln. ln 3. ⟹. ln 3. ln. Página 13.
(14) ln. | |. ln 3. 0. 3 3 arc tan 0. arg ln. ln|3|. 3 2. 2 2. 2. ln 3. 2. ln|3|. 2 2. 2 2. 2. 2. ln|3|. ln|3|. Tomando el valor principal, una de las soluciones es: ln|3|. 2 Nota: Otra forma de resolverlo. Sea. . | | arg. ⟹. 32. Sea. √. 2. 3. 2. 3. arg 3. 2. 2. ln|3|. |3 |. 2. ⟹. 2. ln|3|. √ . Verificar que si usamos el valor principal:. y. SOLUCIÓN: | |. √3. arg. 1. arc tan. | |. √3. √3. ln. 1. 5 6. ln|2| ln. |. 2. ∙. arg. ln|4|. |. 2. 5 6. 2. 2. √3. 2 ∙. √3. √3 arc tan 1. 4. √3. 1. 1. arg. ∙. 1. √3. 2 3. 2 2. 0. 4. 4. ∙. 4 arc tan 0. ln. ln|2|. 2. 2 3. 2. 2. 4. 2. 2 Página 14.
(15) Usando el valor principal de cada complejo: ln. ln. 5 6. ln|2|. 2 3. ln|2|. 3 2. 2 ln|2|. 3 2. ln|4|. ln|4|. 2. 33. Calcular:. SOLUCIÓN: 3. 3. | |. 3. 3 3 arc tan 3. arg. ⟹. 3√2 4 ln. ln. | |. ln. ln|1|. 34. Sea. 2. 2. 2. y. ln ∙ ln. 0. 1 1 arc tan 0. arg. ln. 3√2. 2. ln. 1. 2. 2. 4. ln. 1. 2. 2. ln 3√2. ln. 2. 2. 2. 2. . Calcular:. SOLUCIÓN: | |. 0. 1 1 arc tan 0. arg. 1. log. ln ln. ln| | ln| |. | |. 2. 2. 1. 1 1 arc tan 1. arg 4. 1. 1. 2 √2. 4. 2. ln √2. 2. 0. √2. 2 2. 4 2. 2. 4 2. 2 2. ln √2 2. 2. Página 15.
(16) Tomando valores principales: 1 2. log. 2 ln √2. 35. Calcular las raíces sextas de la unidad: √. SOLUCIÓN: | | √. 1. 0 0 arc tan 1. arg. 1 0. Las seis soluciones tienen el mismo módulo: | |. arg. 0. 2 6. 1. 1. 2. 1. Se diferencian en el argumento: 0 1 2 3 4 5. 0,1,2,3,4,5 ≡. 1 cos 0 1 cos. 3 2 1 cos 3 1 cos 4 3 5 1 cos 3 1 cos. 0,1,2,3,4,5. sen 0 sen. 3 2 sen 3. sen 4 3 5 sen 3. 0 ⁄3 2 ⁄3 4 ⁄3 5 ⁄3. 1 1 2. √3 2 1 √3 2 2. 1 1 2. sen. 1 2. √3 2 √3 2. 36. Calcular los valores de: √. SOLUCIÓN:. Página 16.
(17) | |. √. 2. 2 2 2 3 arc tan 2 2 4 0,1,2. arg √2. Las tres soluciones tienen el mismo módulo: | | 3 4. arg. √2 cos. sen. 4. 2. √2. 4. √2. Se diferencian en el argumento:. √2 2. √2 cos. 11 12. sen. 11 12. √2. √2 cos. 19 12. sen. 19 12. √2. √2 2. 1. 1. 1. √3 2√2. 1. 1. √3. 2√2 1. √3. 2√2. 37. Determinar las cuatro raíces de orden. ⁄4 11 ⁄12 19 ⁄12. 0 1 2. 0,1,2 ≡. 3. 2. 1. √3. 1. √3 2 √3. 2 1. 2. 2√2. √3. √3 2. √. de. SOLUCIÓN: 8. 8. 8√3 ≡. | |. 8. 8√3. 8√3 arc tan 8. arg. √. 8√3. 16. arg. 2. 2 4. 2 3. ≡ 16 2. 2. √16. Las cuatros soluciones tienen el mismo módulo: | | 2 3. 16. 0,1,2,3. 2. Se diferencian en el argumento:. 0,1,2,3 ≡. 0 1 2 3. ⁄6 2 ⁄3 7 ⁄6 5 ⁄3. En forma binómica, las cuatro soluciones son: Página 17.
(18) 2. 2 cos. sen. 6. 6. 1 2. √3 2. 2. √3. 2. 2 cos. 2 3. sen. 2 3. 2. 1 2. 2. 2 cos. 7 6. sen. 7 6. 2. √3 2. 2. 2 cos. 5 3. sen. 5 3. 2. √3 2. 1 2. 1. 1 2. √3. √3. √3 2. 1. √3. 38. Determinar todas las soluciones de las dos ecuaciones siguientes:. SOLUCIÓN: a). 16. 0. Se trata de un polinomio de coeficientes reales que posee cuatro ceros. Si el polinomio tiene soluciones complejas, éstas son conjugadas dos a dos: 16 Para. ∈ ,. 0. ⟹. 16. √16. 16: 16 ≡. | |. 0 0 arc tan 16. arg 16. √. 16. 16. 2. arg. 2 4. ≡ 16. 2 2. √16. Las cuatros soluciones tienen el mismo módulo: | | 0. 0. 0,1,2,3. 2. Se diferencian en el argumento: 0 1 2 3. 0,1,2,3 ≡. 0 ⁄2 3 ⁄2. En forma binómica, las cuatro soluciones son: 2. 2 cos 0. sen 0. 2. 2 cos. sen. 2. 2 cos. 2. 2 cos. 2. 2 2. 2. sen 3 2. 2 sen. 3 2. 2. Página 18.
(19) b). 64. 0. Se trata de un polinomio de coeficientes reales que posee cuatro ceros. Si el polinomio tiene soluciones complejas, éstas son conjugadas dos a dos: 64 Para. ∈ ,. 0. ⟹. √ 64. 64. 64: 64 ≡. | |. 64. arg. arc tan. 0. 64. √. 64. 0 64. 2. 2√2. √64. Las cuatros soluciones tienen el mismo módulo: | | 2 4. arg. ≡ 64. 2. 0,1,2,3. 2√2. Se diferencian en el argumento: ⁄4 3 ⁄4 5 ⁄4 7 ⁄4. 0 1 2 3. 0,1,2,3 ≡. En forma binómica, las cuatro soluciones son: 2√2. 2√2 cos. sen. 4. 2√2. 4. √2 2. √2 2. 2. 2. 2√2. 2√2 cos. 3 4. sen. 3 4. 2√2. √2 2. √2 2. 2. 2. 2√2. 2√2 cos. 5 4. sen. 5 4. 2√2. √2 2. √2 2. 2. 2. 2√2. 2√2 cos. 7 4. sen. 7 4. 2√2. √2 2. √2 2. 2. 2. 39. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Operando, tenemos: 1. 1. ⟹. |1. |. 0. ⟹. 1 1. ⟹. 1 1. Página 19.
(20) ≡. 1 1. 1 1. | |. 0. 1 1 arc tan 0. arg. 2. 1. 1 2. 2. ≡1. 2. 1. Las tres soluciones tienen el mismo módulo: | | arg. 1 2 1. 1. √. √. 1 1. 2. 1. Se diferencian en el argumento: 0,1,2 ≡. 3. 0,1,2. ⁄6 5 ⁄6 3 ⁄2. 0 1 2. En forma binómica, las tres soluciones son: 1 1 1. 1 cos. sen. 6 5 cos 6 3 cos 2. 6 5 sen 6 3 sen 2. √3 2. 1 2 √3 2. 1 2. 40. Resolver las siguientes ecuaciones:. SOLUCIÓN: a). 1. 0. Se trata de un polinomio que posee dos ceros. Como el polinomio no es de coeficientes reales, las soluciones complejas no tienen que ser conjugadas dos a dos: Resolviendo para la variable : √5 1. 0 ⟹. 4. 1. 2. 2. 2 √5. 2. √5. 1. √5 2. Página 20.
(21) 1. b). 0. Se trata de un polinomio que posee cuatro ceros. Como el polinomio es de coeficientes reales, si tiene soluciones complejas son conjugadas dos a dos. La ecuación puede convertirse en un polinomio de segundo grado si realizamos el cambio de variable: 1 Resolviendo para la variable. 0;. ⟹. 1. 0. :. 1. 1. 0 ⟹. 1 2. 1 2 1 2. 4. √3 2 √3 2. Cada una de las soluciones de , da lugar a dos valores de , soluciones de Para. .. :. 1 2. 1 2. | | √3 ≡ 2 arg. √3 2. √3⁄2 arc tan 1⁄2 1. Las dos soluciones tienen el mismo módulo: | | 2 3. arg. 1. ≡1 2 3. 2. 2. 1. 0,1. 1. Se diferencian en el argumento:. 2. ⁄3 4 ⁄3. 0 1. 0,1 ≡. 2. En forma binómica, las dos primeras soluciones son: 1. 1 cos. 3 4 1 cos 3. 1 Para. sen. 1 2. 3. sen. 4 3. √3 2 1 2. √3 2. :. 1 2. √3 ≡ 2. | arg. |. 1 2 arc tan. √3 2 √3⁄2 1⁄2. 1 2. ≡1 2 3. 2. Página 21.
(22) 1. 1. Las dos soluciones tienen el mismo módulo: | | 2 3. arg. 0,1. 1. Se diferencian en el argumento:. 2 2. ⁄3 2 ⁄3. 0 1. 0,1 ≡. En forma binómica, las otras dos soluciones son:. c). 2. 1. 1 cos. 1. 1 cos. sen. 3 2 3. sen. 1 2 1 2. 3 2 3. √3 2 √3 2. 0. Es un polinomio que posee tres ceros. Como el polinomio es de coeficientes reales, si tiene soluciones complejas son conjugadas dos a dos. Como es de grado impar, al menos una de sus raíces es real. Las otras dos, si son complejas, son conjugadas. Vamos a intentar factorizar el polinomio probando con algunas de las posibles raíces enteras obtenidas de los divisores del término independiente: 2: 2:. Comprobamos que el valor buscado es 2. 1, 2. 1 1 1. 1 2 1 2. Resolviendo para la variable. 1. 1. en. 0 ⟹. 1. 1 2 1 2. 2 2 0 1. 0:. 1 2. 1. 4. √3 2. 1. √3 2. 1 2 1 2. √3 2 √3 2. Las soluciones son: 1 2. √3 2. 1 2. √3 2. 2. Página 22.
(23) 41. Hallar dos números complejos su cociente.. y. tales que su suma sea y que. es una raíz cuadrada de. SOLUCIÓN:. 2. ⟹. 2. 3. ⟹. 4 ⟹. 4. Sustituyendo: 4. 1 3. 4 3. ⟹. 42. Hallar y sus raíces cúbicas, sabiendo que una de sus raíces es:. SOLUCIÓN: 3 cos 4. ⟹. √. 3 sen 4. √2 2. | |. √2 2. ⟹. 1. arg. 3 4. Las otras dos raíces cúbicas tienen el mismo módulo, 1, y sus argumentos desfasados 2 ⁄3.. arg. 43. Hallar los complejos. 3 4. y. 2. 0,1,2 ≡. 3. ⁄4 11 ⁄12 19 ⁄12. 0 1 2. tal que: 3. ln. 2. SOLUCIÓN: 3 ln. 2. ⟹. cos. 2. sen. 2. ⟹. ∙. Sustituyendo: ∙. 1. 3. ⟹. 3 1. 3 1 1. 1. 3 1 2 Página 23.
(24) 44. Resolver en. 3 1 2. 3 1 2. ∙. la siguiente ecuación:. SOLUCIÓN: Recordando que las potencias naturales de la unidad imaginaria se repiten cíclicamente, los valores de únicamente pueden ser números reales, enteros, ∈ ⊂ ⊂ , múltiplos de 4. ;. Sea. ,. ∈. . ∙. ⟹ ln. ln. ∙ ln. ∙ ln|1|. 1. 2. 2. 2. 2. ∈ ∙. 1. Igualando módulos y argumentos: 2. 2 2. 0. 2. ⟹ ⟹. 2. 0 1. 4. ⟹. ∈ 4. ⟹. 4. 4 ,. Nota: Del conjunto de infinitas soluciones, no sirve cualquier elección arbitraria de aquellas que den un múltiplo entero de 4.. 45. Resolver en. ∈. y. . Solo valen. la siguiente ecuación:. SOLUCIÓN: Sea. ;. ,. ∈. . 1. √2. Igualando módulos y argumentos: Página 24.
(25) √2 ⟹ 1. 4. ln √2 2. ⟹. 1. ⟹. 2. 4. ln √2. 1. 4. 2. ∀ ∈. 0:. El valor principal lo obtenemos para. 1. ln √2. 4. 46. Usando valores principales, resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Vamos a aplicar logaritmos neperianos: 1. ln. ln. ln. ln 1. ln. ln 1 ln. ln 1 | |. 1. 1. arg. arc tan. 1 1. | |. 0. 1 1 arc tan 0. arg. ln √2. ln ln. 2. 4. √2. 4. 2. 1. ln √2. ln 1. 2 ln √2 2. ln √2. ln ln. 4. 4. 2. 4. 47. Resolver en. ln 1 ln. ⟹. 1 2. 2. 2. 4. 2 2. 2 ln √2. la siguiente ecuación:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio que posee dos ceros. Como el polinomio no es de coeficientes reales, las soluciones complejas no tienen que ser conjugadas dos a dos:. Página 25.
(26) Resolviendo para la variable : 2. 2. 4. 2. 0 ⟹. | | √3. 4∙. 2. 2. 4. | |. 4 ≡. | |. 4 ≡. 1. √3. 4. 4. 5 4 ≡5 arc tan 3. arg. √5. √5 arc tan. 2 2. arg. 3. 16. √12 2. 2 3. √. 2. 4 3 2. 2. √5. 0,1. Vamos a expresar en forma binómica estos complejos: √5 cos 4 3. tan. 1. 1 cos. tan. sen. 2. 2 1. ⟹ cos. 1. 1. tan. 3 5. 4 3. 1. Recordando las relaciones trigonométricas con el ángulo doble:. sen Nota:. 1. cos 2 2. sen. 1. 1. cos 2. 2. 2. 3 5. 1 5. ⟹ sen. 1 2. √5. está en el cuarto cuadrante. cos. 1. cos 2 2. cos. √5 cos. 2. 1 2 sen. √5 cos cos. 2. √5 cos. sen. 2. √3. 2. 3 5. 4 5. 2. 1. √5. √5. sen. 2. sen cos 2. sen. √5. 2. cos cos 2. 2. 1. cos 2. sen sen 2. 2 4. 2 2. √5. 2. 2 cos. cos sen 2 √5. ⟹ cos. 2 2. sen. √5 1. 2. 2. 1. √5. √5. √5 2. 2 Página 26.
(27) 1. 48. Resolver en. 1. 4. √3. 1. 2. 1. 2. 3 1. la siguiente ecuación:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio que posee cuatro ceros. Como el polinomio no es de coeficientes reales, las soluciones complejas no tienen que ser conjugadas dos a dos. La ecuación puede convertirse en un polinomio de segundo grado si realizamos el cambio de variable: 4. 2. 8. Resolviendo para la variable 4 4. 2. ⟹. 8 16. 4. 0 ⟹ 4. 2. 4∙8. 4. 4. 2. 8. 2. 4∙. √12. 16. 4. 0. 3. | | 4 ≡ arg. | |. √3. | |. 4 ≡. 8. 2. 2 2. √3. 2. 2. 2. √. 4. :. 2 √16. 0;. 3. 4 5. arc tan. ≡5. 4 3. √5. √5 arc tan. 2 2. 4. 2. 4. arg. 2√3. 4 3 2. 2. √5. 0,1. Vamos a expresar en forma binómica estos complejos: √5 cos tan. 4 3. 1. tan. 1 cos. 2. sen. 2 1. ⟹ cos. 1. tan. 1. 3 5. 4 3. 1. Recordando las relaciones trigonométricas con el ángulo doble:. sen. 1. cos 2 2. sen. 1 2. cos 2. 1 2. 3 5. 1 5. ⟹ sen. 1 2. √5 Página 27.
(28) Nota:. está en el primer cuadrante. cos. 1. cos 2 2. 1. cos. √5 cos. 2 sen. 2. √5 cos cos sen. 1. cos 2 √5. 2. 2. 4 5. 2. 1. √5. √5. sen. 2. 3 5. 2. sen sen 2. cos. 2. sen cos 2. cos sen 2. sen. sen. 2. √3 2. 2. √5. 2. √3. 2 2. 2. 2 2. √5 1. 2. √5. 2. 1. √5. √5. 2. 2. 4 4. 2. 2. 2. 2. 2 4. Cada una de las soluciones de , da lugar a dos valores de , soluciones de. Para. √5. 2. cos cos 2. √5 cos. ⟹ cos. .. 2: 2 ≡. |. |. 0. 2 2 arc tan 0. arg. 2 2. 2 Las dos soluciones tienen el mismo módulo: | | arg. 2. 2. ≡2. 2. 0,1. √2. √2. Se diferencian en el argumento:. 2 2. 0,1 ≡. 0 1. ⁄4 5 ⁄4. En forma binómica, las dos primeras soluciones son:. Página 28.
(29) √2 cos. √2. √2 cos. √2. sen. 4 5 4. 4 5 4. sen. √2 2. √2. √2 2. 1. √2 2. √2. √2 2. 1. 4:. Para. 4≡. |. |. 4. 0 0 arc tan 4. arg. 4 2. 4. 2. Las dos soluciones tienen el mismo módulo: | |. 0,1. 2. Se diferencian en el argumento:. 2 2. arg. ≡4. 2. ⁄2 3 ⁄2. 0 1. 0,1 ≡. En forma binómica, las otras dos soluciones son: 2. 2 cos. sen. 2 3 2 cos 2. 2. sen. ,. 49. Dados los números complejos y expresar en forma binómica:. 2. 2 0 3 2. 2 2 0. ,. y. 2. , obtener su forma trigonométrica. ∙ SOLUCIÓN: 4,0 ≡. 1,1 ≡. ∙. | |. arg. 4√2 4. 0 0 arc tan 4. arg. | |. 4 ∙ √2. 4. 1. 1 1 arc tan 1. 4√2. 4. √2 3 4. ≡ 4 cos. sen. 3 4. sen. ≡ √2 cos. 4√2 cos. 7 4. sen. 7 4. ≡4. 3 ≡ √2 4. 4√2. √2 2. √2 2. 4. Página 29.
(30) 4. 4. √2. √2. 2√2. 2√2 cos. 4. sen. 2√2. 4. √2 2. √2 2. 2. 2. 50. Calcular: √ SOLUCIÓN: Llamando. 1. 1. √3, y. :. El resultado se puede hallar de diversas formas. Una de ellas es desarrollar el numerador mediante el binomio de Newton y encontrar el valor complejo resultante. Sin embargo es algo larga y tediosa. Más sencillo puede resultar el cambio a la forma módulo‐argumental:. 1. 1. √3 ≡. ≡. | |. 1. arg. √3 arc tan 1. | |. 1. 1 1 arc tan 1. arg. 2. √3. 2. 2. 64. √2. √2. √2. ≡2. 3 √2. ≡ √2. 4. 32√2. Aunque no es necesario, salvo que se pida, el resultado en forma trigonométrica y binómica es: 32√2. 32√2 cos. 7 4. sen. 7 4. 32√2. √2 2. √2 2. 32. 2. 51. Hallar: √ SOLUCIÓN:. Página 30.
(31) Normalmente, cuando hayan productos o cocientes suele ser práctico pasar a la forma polar: 2. Llamando. 2√3, y. 8. : ∙. 2. | |. 2√3 ≡. 2. 2√3. 2√3 arc tan 2. arg. ∙. 4. La raíz ‐ésima de un complejo tiene ∈ ,. ∙. 4 2 3. ∙8. 52. Dados los complejos. 32. 22 60. y. 8. 4∙8. ≡. | | arg. 8. 8 4. 32. 32. Las cinco soluciones tienen el mismo módulo: | |. 11. ≡4. afijos distintos:. ∙. arg. ∙. 0,1,2,3,4. √32. 2. Se diferencian en el argumento:. √32. 11 ⁄60 35 ⁄60 59 ⁄60 83 ⁄60 107 ⁄60. 0 1 2 3 4. 0,1,2,3,4 ≡. obtener su suma, producto y cociente expresada en forma polar: √. SOLUCIÓN: Llamando. 3. ,y. 5√2. :. Para la suma o diferencia de complejos pasaremos a la forma binómica: | |. 3. 5√2. | |. 5√2 5 4. 3. 3 cos. 5√2 cos. 5 4. sen. sen. 3 5 4. 1. ∙0. 3. 5√2. √2 2. √2 2. 5. 5. Página 31.
(32) 3. 5. 5. 8. | |. 5 ≡. ∙. 8. 5. √89. 5 arc tan 8. arg. 3 ∙ 5√2. ≡ √89. 15√2. 3. 3. 5√2. 5√2. 53. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Despejando: 3 Llamando. 0. →. 3. →. √ 3. 3. 3 3≡. √ 3. | | arg. 3. 0 0 arc tan 3 3. arg. 54. Dados los complejos. y. 0,1,2,3. √3. Se diferencian en el argumento:. ∙. ,. ⁄4 3 ⁄4 5 ⁄4 7 ⁄4. 0 1 2 3. 0,1,2,3 ≡. calcular. ≡3. √3. Las cuatro soluciones tienen el mismo módulo: | | 2 4. 3. 3. y. ⁄ :. SOLUCIÓN: 4. 1 ≡. | |. 4. arg | | arg. 4 cos 2. 1. ≡ 1 cos 0. 2. sen. sen 0. 4 0. 2 1. 1. ∙1. ∙0. 4. 1. Página 32.
(33) 4. 1. 1. 4 ≡. ∙. | |. 1. 4 4 arc tan 1. arg. 4 ∙1. 4∙1. √17. ≡ √17. 4. 55. Hallar:. SOLUCIÓN: Aplicando las reglas de la potenciación, la expresión anterior la podemos poner como: 4. ∈ ,. 4. 4. 4. Antes de proceder a operar, vamos a intentar simplificar el exponente: 2 1. 2 1. 1. 2 1. 2 1. 1. 1. Ahora, el complejo se expresa como: 4 Aplicando logaritmos neperianos: ln. 4. Llamando. ln. ln. ln 4. : 4. ln. 1. ln 4. ≡. ln 4. ln ln √17. | |. 4. 1. 1 arc tan 4. 2. ln| |. 1 arc tan. arg. ln 1 4. √17. ln √17 ln √17. 1 4. 2. arc tan. 1 4. arc tan. ln √17. 1 2. ≡ √17. arc tan. 1 4. 2. 2. Página 33.
(34) √. √. Valor principal: √. √. 56. Poner en forma binómica:. SOLUCIÓN: 1. Llamando. : 1. √2. 8√2. 2√2. √2. ≡. | |. 1. 1 1 arc tan 1. 4. 7 4. 7 4. arg. 8√2 cos. 2√2 cos 4. 3 4 8. sen. sen 8. √2. 4. 8√2. 3 4 2. ≡ √2. 2√2 2. √2 2. √2 2. √2 2. √2 2. 8. 8. 2. 2. 0. 57. Calcular todos los números complejos cuyo cuadrado coincide con su conjugado.. SOLUCIÓN: Llamemos a dicho complejo. ,y. , a su conjugado. Se ha de cumplir que: ⟹. Desarrollando el binomio del primer miembro y comparando parte imaginaria:. 2. 2. ⟹. 2. ⟹. ó. 1 2 0. Comprobemos las soluciones sustituyendo en la parte real:. Página 34.
(35) 1 2. 3 4. ⟹. 0. √3 2. ⟹. 1. ⟹. 0. ⟹. 0 1. ⟹. 1 2. √3 2. 1 2. √3 2 0 1. ⟹. 58. Hallar el valor principal de: √. SOLUCIÓN: √. Llamando. 1 2. ln. 1 2. | | √3 ≡ 2 arg. 1 2. ln. :. √3 2. arc tan 2 3. ln| |. √3 2. 1. √3⁄2 1⁄2. 2. 2. ln 1. ≡1 2 3. 2. 2 3. 2 3. 2. 2. Valor principal: ln. 2 3. 59. Expresar en forma binómica: √. √. SOLUCIÓN: Llamando. √3. :. √3. 2. 16. ≡. 16 cos. | |. √3. arg. arc tan. 2 3. sen. 2 3. 1. 2. ≡2. 1 √3. 6 16. 1 2. √3 2. 8. 8√3. Página 35.
(36) Llamando. √3. :. ≡. √3. 2. 8. | |. √3. arg. arc tan. 8 cos. 2. 8. 1 1. 2. 8. ≡2. 6. √3. sen. 2. 8√3. 2. 8 0. 2 8. 16. 8. 8√3. 60. Resolver la ecuación: √ SOLUCIÓN:. ≡. √3. √3. ⟹. | |. √3. arg. √3 1. arc tan. 2. √3. 6. 1 √3. 2. 0,1,2,3. √2. Se diferencian en el argumento:. 0,1,2,3 ≡. 4. ≡2. 6. √2. Las cuatro soluciones tienen el mismo módulo: | |. arg. 2. 0 1 2 3. ⁄24 11 ⁄24 23 ⁄24 35 ⁄24. √3. ln. 61. Calcular: √. SOLUCIÓN: Vamos a aplicar logaritmos neperianos: √. ⟹. ln. ln. √. Página 36.
(37) ln. | |. ln. 1 1 arc tan 0. arg ln. √3. 0. √3. 1 2. 2. 2. 2. ln| |. 2 2. 2. 1. √3. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. √3. | |. √. arg. 2. 2. √3. 62. Hallar: √ SOLUCIÓN: 1. | |. ≡. 1. 1 1 arc tan 1. arg. 1. √2. 4. 2. 2. 4. 2. √2. Se diferencian en el argumento:. 0,1,2,3 ≡. 4. ≡ √2. 0,1,2,3. √2. Las cuatro soluciones tienen el mismo módulo: | |. arg. √2. ⁄16 9 ⁄16 17 ⁄16 25 ⁄16. 0 1 2 3. 63. Calcular: √ SOLUCIÓN: Vamos a aplicar logaritmos neperianos: ⟹. √3. ln. | |. √3. arg. arc tan. 1 1 √3. ln. 3. 2 2. 2 ln √3. ln| | 6. 2. 3. 6. 2. 2 ln. ln 2. 6. 2. Página 37.
(38) 3. 2 ln. 3. 2. ln 2. 2. 6. 3 ln 2. 2. 2. 6. 2 ln 2. 3. 2. 6. | | arg. 2 ln 2. 3. 6. 2. El resultado puede simplificarse desarrollándolo: 8. Finalmente: 8. 64. Hallar el lugar geométrico de los complejos , tales que: |. |. ∈. |. SOLUCIÓN: Nos piden definir el conjunto: |. 1. Sea uno de los complejos que verifican la condición, y que puesto en forma binómica lo representamos por: ;. ; |. | |. |. |. |. |. 1. | 1. |. 1 |. ⟹. 1. 1 1. El lugar geométrico de los puntos , del plano que cumplen esta condición es un disco, limitado por la circunferencia de centro el punto 0,1 y de radio 1. ∈ : |. |. 1. ,. ∈. :. 1. 1. 65. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Recordemos la expresión exponencial del coseno: Página 38.
(39) cos. 2. Vamos a operar dicha expresión: cos. 1 2. 2. 1 2. 1. 1. 1. 2. 3. ⟹. Como no hay ningún valor finito que anule el denominador: ⟹. 1. 6. ⟹. 0. ⟹. 6. 1. 0. Llamando: ⟹. 6. 1. Obsérvese que ambas raíces son positivas:. 6. 6. 4. 3 3. 2 ,. 2√2 2√2. 0. 3. 2√2. ⟹. ln 3. 2√2. 0. 2. ⟹. 2. ln 3. 2√2. 3. 2√2. ⟹. ln 3. 2√2. 0. 2. ⟹. 2. ln 3. 2√2. 66. Hallar:. SOLUCIÓN: Vamos a simplificar el radicando:. ≡. 1 1. 1 1. | |. 0. 1 1 arc tan 0. arg. 1. √. Las tres soluciones tienen el mismo módulo: | | arg. 2. 1 1. 2 3. 1 1. 1. 2 1. 1 2. 2. 2. 1. ≡1. 0,1,2. 1. Se diferencian en el argumento: 0,1,2 ≡. 0 1 2. ⁄6 5 ⁄6 3 ⁄2. Página 39.
(40) 67. Calcular: √ SOLUCIÓN: Llamando. 4. 4√3:. 4. ln. 4√3 ≡. ln 4. | |. 4. arg. 4√3 arc tan 4. 4√3. ln| |. 4√3. 3. 8. ≡8. 2. 2. 3. 2. ln 8. 2. 3. Valor principal: ln. ln 8. 3. 68. Hallar:. SOLUCIÓN: 25 4 3. 25 4 3 4 3 4 3. 1 1. 1 1. 1 1. 25 4 4. 1 1. 3 3. 1 25 4 25. 2 1. 2 2. 1. 3. 4. 3. 1. 69. Hallar: √. SOLUCIÓN: Vamos a aplicar logaritmos neperianos:. 2. √3 2. ⟹. ln. 3. 3. ln. 2. √3 2. 3. 3. ln. Página 40.
(41) | |. 2. ln. 3. ln| |. √3⁄2 arc tan ⁄2. arg 3. √3 2. ln. 3. 3. 2. 1. 3. 2. ln. 3. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 3 3. 2. 3. 3. 3. 2. | | arg. 3. 3. 3. 2. Valor principal:. 70. Calcular: √ SOLUCIÓN: 3. 1. 0 0 arc tan 1. 1. √ 729 | |. 1≡. 3√ 1. arg 3. 1. 1. 3 1. 2 6. 2 3. Las seis soluciones tienen el mismo módulo: | |. arg. 2. 3√ 1 ≡1. 0,1,2,3,4,5. 3. Se diferencian en el argumento:. 0,1,2,3,4,5 ≡. 0 1 2 3 4 5. ⁄6 ⁄2 5 ⁄6 7 ⁄6 3 ⁄2 11 ⁄6. 71. Hallar: √. ⁄. SOLUCIÓN: Página 41.
(42) El complejo puede ponerse como: ⁄. √3. √3. ≡. | |. 1. √3. arg. 2. 1. arc tan. 32. ⁄. √3. √3. ≡2. 2. 2 √2. √32. Las cuatro soluciones tienen el mismo módulo: | |. arg. 2. 32. 6. 32. 5 6. √3. 2. 2 √2. Se diferencian en el argumento: 5 ⁄24 17 ⁄24 29 ⁄24 41 ⁄24. 0 1 2 3. 0,1,2,3 ≡. 4. 0,1,2,3. 72. Hallar:. SOLUCIÓN: Vamos a aplicar logaritmos neperianos: ⟹ ln. ln. | | arg. 0. 1 1 arc tan 0 ln. ln. ln. 1 2. 2. 2 2. ln. ln| |. 2. 2. 2. 2. | | arg. 2. ln 1. 2. 2. 0. 0. El resultado tiene infinitas soluciones reales, siendo el valor principal:. Página 42.
(43) 73. Hallar para que: ; SOLUCIÓN: Sea uno de los complejos que verifican las condiciones, y que puesto en forma binómica lo representamos por : 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 4. 2. 1 ⟹. 2. 2. 2. 2. 2. 1 ⟹. 2. 4 2. 0. 1 ⟹. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 1 ⟹. 2. 1. 2. 2. Las soluciones son la intercepción de estas dos circunferencias. Desarrollando ambas expresiones e igualándolas: 2. 4. 2. 4. 4. 2. 4. 2. ⟹. 4. 4. 4. 4. ⟹. Sustituyendo en la primera ecuación: 2. 2. ⟹. 4. 0. 0;. Por tanto, las soluciones son. 2. 4. ⟹. 4. 4. 2. 0; 2;. 0 2. 2. 74. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Operando, tenemos: 1. 2. 0. ⟹. 1. 2;. 2. 2 1. 1. 1. |1. |. 0 2. 1. 1. 2. ⟹ 2 1. 1. ⟹. 2 1. 1. Página 43.
(44) 1. | |. ≡. 1. 1 1 arc tan 1. arg. 1. √. 2. 2. 4. 0,1,2. √2. √2. Se diferencian en el argumento: ⁄12 9 ⁄12 17 ⁄12. 0 1 2. 0,1,2 ≡. 3. ≡ √2. 2. 4. √2. Las tres soluciones tienen el mismo módulo: | | arg. √2. 75. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio de coeficientes reales que posee seis ceros. La ecuación puede convertirse en un polinomio de segundo grado si realizamos el cambio de variable: 28 Resolviendo para la variable 28. 27. 27. 0;. ⟹. 28. 27. : 28. 0 ⟹. 28. 27. 4 ∙ 27. 2. 1 .. Cada una de las soluciones de , da lugar a tres valores de , soluciones de Para. 0. 27: 27 ≡. √. |. |. 27. 0 0 arc tan 27. arg 27. 2. 27. Las tres soluciones tienen el mismo módulo: | | arg. 27. 0. 2 3. 0. ≡ 27. 2. 0,1,2. √27 √27. 3. Se diferencian en el argumento:. 0,1,2 ≡. 0 1 2. 0 2 ⁄3 4 ⁄3. En forma binómica, las tres primeras soluciones son:. Página 44.
(45) 3. 3 cos 0. sen 0. 3. 3. 3 cos. 2 3. sen. 2 3. 3. 1 2. √3 2. 3 2. 3√3 2. 3. 3 cos. 4 3. sen. 4 3. 3. 1 2. √3 2. 3 2. 3√3 2. |. |. 1:. Repitiendo para. 1≡. 1. 0 0 arc tan 1. arg 1. √. 1 2. 1. 0. arg. 0,1,2. √1. Las otras tres soluciones tienen el mismo módulo: | | 0. ≡1. 2. 2 3. 1. Se diferencian en el argumento:. √1. 0,1,2 ≡. 0 1 2. 0 2 ⁄3 4 ⁄3. √3 2. 1 2. En forma binómica, las otras tres soluciones son: 1. 1 cos 0. sen 0. 1. 1. 1 cos. 2 3. sen. 2 3. 1. 1 2. 1. 1 cos. 4 3. sen. 4 3. 1. 1 2. 1 2. √3 2. √3 2 √3 2. Nota: Obsérvese como los ceros complejos son conjugados dos a dos.. 76. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio de coeficientes reales que posee ocho ceros. La ecuación puede convertirse en un polinomio de segundo grado si realizamos el cambio de variable: 1 Resolviendo para la variable. 1. 0;. ⟹. 1. 0. :. 0 ⟹. 1. 1 2. 4. 1 2 1 2. √3 2 √3 2 Página 45.
(46) .. Cada una de las soluciones de , da lugar a cuatro valores de , soluciones de Para. :. 1 2. 1 2. | | √3 ≡ 2 arg. √3 2. √3⁄2 arc tan 1⁄2 1. √. arg. ≡1 2 3. 2. 2. 1. Las cuatro soluciones tienen el mismo módulo: | | 2 3. 1. 2. 0,1,2,3. 1. Se diferencian en el argumento:. 0,1,2,3 ≡. 4. ⁄6 2 ⁄3 7 ⁄6 5 ⁄3. 0 1 2 3. En forma binómica, las cuatro primeras soluciones son: 1. 1 cos. 1 1 1. Para. 6 2 1 cos 3 7 1 cos 6 5 1 cos 3. sen. 1 2 1 2. √3 2. 6. 2 3 7 sen 6 5 sen 3 sen. √3 2 1 2. √3 2 1 2 √3 2. :. 1 2. 1 2. | | √3 ≡ 2 arg. arc tan. √. 1. Las cuatro soluciones tienen el mismo módulo: | |. √3 2 √3⁄2 1⁄2 1. 1 2. ≡1 4 3. 2. 0,1,2,3. 1. Se diferencian en el argumento:. Página 46.
(47) 4 3. arg. 2. 0,1,2,3 ≡. 4. ⁄3 5 ⁄6 4 ⁄3 11 ⁄6. 0 1 2 3. En forma binómica, las otras cuatro soluciones son: 1. 1 cos. 3 5 1 cos 6 4 1 cos 3 11 1 cos 6. 1 1 1. sen. 1 2. 3. √3 2 √3 2 1 2. 5 6 4 sen 3 sen. 11 6. sen. 1 2 √3 2 1 2. √3 2. Nota: Obsérvese como los ceros complejos son conjugados dos a dos.. 77. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio que posee cuatro ceros. Como el polinomio no es de coeficientes reales, las soluciones complejas no tienen que ser conjugadas dos a dos. La ecuación puede convertirse en un polinomio de segundo grado si realizamos el cambio de variable: 3 Resolviendo para la variable. 3. 4. 4. 0;. ⟹. 3. 4. : 3. 0 ⟹. 3 2. 3 2 3 2. 4∙4. 5 2 5 2. 4. .. Cada una de las soluciones de , da lugar a dos valores de , soluciones de Para. 0. : ≡. | arg. |. 0. 1 1 arc tan 0 1. Las dos soluciones tienen el mismo módulo: | |. 1 2. 2 1. 2. ≡1. 0,1. 1. Se diferencian en el argumento: Página 47.
(48) 2. 2. arg. 2. ⁄4 5 ⁄4. 0 1. 0,1 ≡. En forma binómica, las dos primeras soluciones son: 1. 1 cos. 4 5 1 cos 4. 1 Para. sen. √2 2. 4 5 4. sen. √2 2 √2 2. √2 2. 4: 4 ≡. |. |. 0. 4 4 arc tan 0. arg. 4 2. 2. 4. 2. ≡4. 2. Las dos soluciones tienen el mismo módulo: | | arg. 2. 0,1. 2. Se diferencian en el argumento:. 2 2. ⁄4 ⁄ 3 4. 0 1. 0,1 ≡. En forma binómica, las otras dos soluciones son:. 78. Hallar. y. 2. 2 cos. 2. 2 cos. sen. 4 3 4. 2. 4. sen. 3 4. ;. | |. 2. √2 2. √2 2. √2 2. √2 2. √2. √2. √2. √2. para que: √ ;. SOLUCIÓN: 2. 2 3. 3. 3. 7 4. √2 cos. √2 1. 3 3. 3 9. 2. ;. ∈. 2 3 sen. ,9. 6. 7 4. 3 9 √2. 0 ⟹ 3. √2 2 2. 2. √2 2 9. 6 9 1 1. Página 48.
(49) 1. 6 9. ;. ∈. ,9. 0 ⟹. 6. 9. 2. Sustituyendo 1 en 2 : 3. 2. 6 ⟹. 3. 2. 6;. 2. 3 ⟹. 6 3. Sustituyendo en 2 : 2. 6 3. 6. 9. ⟹ 15. ⟹. 5. 3. 9. 0. 3. 2. 6. 5∈ √ 9∉. ⟹. ⟹. ⟹. 5 5 ⟹. 9. 45. 0. 8. 79. Hallar las coordenadas del punto obtenido al girar ⁄ alrededor del origen el afijo de . SOLUCIÓN: Sea. un número complejo cualquiera que podemos expresar en forma módulo argumental como: | |. Sea. otro complejo de módulo 1 y argumento 1. El producto un ángulo :. ∙. ;. arg. 1;. arg. :. | |. es otro complejo con el mismo módulo de | | pero girado con relación a él | |. ∙. 2. ∙| |. | |. ≡. | || | √5. 2. 1 1 arc tan 2. arg. | |. ≡ √5. El giro se obtiene con: 1 ∙. 1 cos √5. sen. 2 2. 2 1. 2. Página 49.
(50) 80. Hallar y de forma que su suma sea cociente sea imaginario puro.. ; la parte de real de uno de ellos sea ; y su. SOLUCIÓN: Sea. y. :. 2.. Hagamos 2. 3. 2. 2. 2. ⟹. 3 → 2. 1. Por otro lado: 2. 2. 2. 2. Para ser imaginario puro: 2. 0. ;. 0 ⟹ 2. 0 ⟹. 2. Sustituyendo: 2. 2. ⟹. 2. 2. 2. 0 ⟹. 2 2. 1. √3. ⟹. 2. 1. √3. 1. √3. 1. √3. ⟹. 2. 1. √3. 1. √3. 2. 1. √3 ;. 1. 1. √3. 2. 1. √3 ;. 1. 1. √3. 4∙. 2. 81. Hallar el argumento del número complejo que tenga como módulo la unidad: √. SOLUCIÓN: Vamos a aplicar logaritmos neperianos: √. 1. ln. ln 1. ⟹ | | arg. ln. 9 4. 1 1 arc tan 1. ln √2 ln 1. 1. √2 2. 4. 2. 9 4 ln √2. ln √2 ln. 4. 2. Página 50.
(51) 9 4. ln. 9 ln √2 4. ln. 9 4. ln √2 ln. 2. 4. ln √2. ln √2. Como buscamos la solución que haga | |. ln √2 9 4 4. ln √2. 2. 4 2. 1, y dado que:. 1. ln| |. ⟹. ln. 9 ln √2 4. 4. ∙. Igualando las dos expresiones, tenemos: ⟹. 0. ⟹. 2. ln √2. 0. ⟹. 1. Finalmente, el argumento del complejo es: 9 4 4. ln √2. 2. 9 4 4. ln √2. 2. 9 4. ln √2. 82. Hallar el valor de los números reales , , para que siendo suma sea y su cociente, imaginario puro.. ,. , su. SOLUCIÓN: 1. 1. 1. 1. 1 1. 1. 6. 1. ⟹. 1. ⟹. 1 → 6. 1. 0 ⟹. 2. ⟹. 1. 2. Nos queda resolver un sistema de ecuaciones no lineales: 6 2 ⟹. ⟹. ,. 6. 0. 2. ⟹. 6. 4∙2. 2. 2. 6. ⟹. 6. 2. 0 ⟹. 3. √7 ⟹. 6. 3. √7. 3. √7. 3. √7 ⟹. 6. 3. √7. 3. √7. Las soluciones son: 2. 3 1. √7 3. √7. 2. 3 1. √7 3. √7. Página 51.
(52) 83. Dados. y. , obtener su suma: ;. √. 3∙2∙. 6 cos. √. SOLUCIÓN: 3. 3 | |. √2. √2. √2 arg. 2. 84. Hallar. y ⁄. de. cos 3. sen 3. arc tan 2. cos. 6. 4096. √2 √2. 6. 2. √2. 2. 2. 2. 4096. 4 sen 4102. es. , sabiendo que el valor principal de es √. sen. ⁄. , y una de las soluciones. √ .. SOLUCIÓN: Sea. y. : ∙. ln. ln. ∙. ∙ ln. 3 2. ln ln. 0 ⟶ 3 2. ⟹. 0. 1. √2. | | √2. √2. √2 arc tan. √2 √2 √2. 5 4. ⟹. 2 ⟶. 2 2. √2. 4. ⟹ 2. 5 4. 0. Obtenemos los argumentos resolviendo el sistema de ecuaciones lineales: Página 52.
(53) 3 2 5 2. 2 ⟹ 2. Para los módulos, resolveremos el sistema de ecuaciones no lineales: 1. 2 1 2. ⟹. 4 En forma binómica, tenemos: 2. 2 cos 2. 1 2. 1 cos 2. sen 2. 2. sen. 2. 1 2. 2. 85. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio de coeficientes reales que posee dos ceros. Si el polinomio tiene soluciones complejas, éstas son conjugadas dos a dos: Resolviendo para la variable :. 1. 0 ⟹. 1. 1 2. 1 2 1 2. 4∙1. √3 2 √3 2. 86. Calcular la raíces de:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio de coeficientes reales que posee dos ceros. Si el polinomio tiene soluciones complejas, éstas son conjugadas dos a dos: Resolviendo para la variable : 6. 25. 0 ⟹. 6. 6 2. 4 ∙ 25. 3. 4. 3. 4 Página 53.
(54) 87. Calcular la raíces de:. SOLUCIÓN: Se trata de un polinomio de coeficientes reales que posee dos ceros. Si el polinomio tiene soluciones complejas, éstas son conjugadas dos a dos: Resolviendo para la variable : 2. 5. 88. Dado el complejo. 2. 2 2. 4∙5. ¿para qué valores de. y , es. 0 ⟹. 1. 2. 1. 2. imagimario puro?:. SOLUCIÓN: 1. 1. 2 | |. ∙. 2. 2. Para que. 0,. sea imaginario puro, 0 ⟹. 0;. 2. 0. 1 4. 0 ⟹ 1 ⟹ 4. 1 2. ⟹. 0:. ⟹. 1. 2. 1 4. 1 2 0. ⟹. 0 ⟹. 1 4 0. 1 2. Hay infinitas soluciones tales que verifiquen: ∃. ∈ ,. 0: ∀ ∈. ,. 0,. 1 , 2. 1 2. 1 4. Página 54.
(55) 89. Calcular los valores de. y. para que se cumpla la igualdad:. SOLUCIÓN: 1. ⟹ ln 1 1. 1. 1. | |. ln 2. ⟹. 2. 2. 2 ln 2. ⟹. 2. 2. 2. 2. 2. 2. ⟹ ln 2. ⟹. 2. 2. ln 2. 2. 2 ln 2. 2. 1. 2. 2. ln 2. 2. 2. 1. 2. 2. arg. ln 2. 2. 2. 0. ln| |. ln 1. 1. 2 arc tan 0. ln 2. ⟹. 1 1. 1. 2. 1. ln 1. 1. 2. 2. ln 2. 2. 2. 90. Resolver la ecuación:. SOLUCIÓN: Operando, tenemos: 1. 2. 1. 0. 2. ⟹. 0. 1. |1. ⟹. 2 1. 2. |. 0. 0. 2. ⟹. 2 1 1. 1 2. 1. ⟹. 1. 2 1. 1 z ⟹. 2. 0. 0 2 1. 1 Página 55.
(56) 1. √. | |. ≡. 1. 1 1 arc tan 1. arg. 1. 3 4. 2. √2. Las soluciones de √ tienen el mismo módulo: √. arg √. √2. 3 4. 2. ≡ √2. 0,1. √2. √2. Se diferencian en el argumento:. 0,1 ≡. 2. 2. 0 1. 3 ⁄8 11 ⁄8. Las soluciones de la ecuación son: 0 √2 √2. Página 56.
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