Conjuntos, aplicaciones y

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0

Conjuntos, aplicaciones y

n ´umeros

En este cap´ıtulo presentamos los conceptos fundamentales sobre la teor´ıa de con-juntos que nos serán muy útiles en el desarrollo de la asignatura. En primer lu-gar recordamos las operaciones básicas: pertenecia, unión, intersección y diferen-cia. A continuación introducimos el producto cartesiano de 2 o más conjuntos y el conjunto potencia. Después recordamos el concepto de aplicación y sus dife-rentes tipos: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, as´ı como la composición de apli-caciones. Dedicamos una sección a los conjuntos finitos e infinitos, numerables y no numerables, y finalizamos con una sección dedicada a los números reales y sus principales propiedades.

0.1. Teor´ıa de conjuntos

A la hora de estudiar los conjuntos no se pretende elaborar una teor´ıa demasia-do formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiademasia-do, de los objetivos de la asignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otra parte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, al menos una idea intuitiva bastante razonable.

Para avanzar un poco también supondremos conocidos algunos conceptos básicos sobre los conjuntos. No obstante, recordaremos brevemente, y sin entrar en mu-chos detalles, las ideas necesarias para abordar un curso de introducción a la Topolog´ıa de Espacios Métricos.

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20 0.1. Teor´ıa de conjuntos

0.1.1. Operaciones b´asicas

Como siempre, fijaremos una notación básica antes de empezar. La primera opera-ción que se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si un elementoapertenece a un conjuntoAescribiremos

a∈A,

mientras que utilizaremos el s´ımbolo 6∈ para indicar que el objeto a no es un elemento del conjuntoA.

Utilizaremos la notaciónA ⊂ B para indicar que todos los elementos de Ason también elementos de B. Entonces se dirá que A es un subconjunto de B. Si existe algún elemento de B que no está en A, entonces diremos que A es un subconjunto propiodeB, y se representará comoA(B.

Cuando se trabaja en alguna de las áreas de Matemáticas, normalmente se tiene un conjunto de referencia que se suele llamarconjunto universalo conjunto to-tal, y que nosotros denotaremos habitualmente porX. Por ejemplo, en geometr´ıa eucl´ıdea plana este conjunto es el formado por todos los puntos del plano; en otras áreas de las matemáticas, este conjunto puede ser el formado por todos los números reales, o por todas las funciones, etc. En Topolog´ıa de Espacios Métricos será un espacio métrico.

Dado un conjunto cualquieraA⊂X, definimos elcomplementariodeA(enX), y lo denotaremos porAcoX−A, como el conjunto

Ac=X−A={x∈X:x6∈A}.

Es necesario recordar tambi´en el concepto de conjunto vac´ıo, que representare-mos por∅, y que es el conjunto que no tiene ning´un elemento; lo consideraremos

finito y supondremos que est´a contenido en cualquier otro conjunto. Adem´as, satisface las siguientes igualdades:

X−X=Xc=∅ y X−∅=∅c=X.

Dados dos conjuntosAyB, podemos definir tres operaciones elementales entre ellos: la uni´on, la intersecci´on y la diferencia.

Uni´on de conjuntos

Launi´onde los conjuntosAyB es el conjunto formado por los elementos que pertenecen aA, aBo a ambos, y se representa por

A∪B ={x:x∈Aox∈B}.

Los elementos que son comunes a ambos conjuntos no se duplican. Por ejemplo, siA={1,2}yB ={2,3}, entoncesA∪B ={1,2,3}. V´ease la Figura 1.

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0. Conjuntos, aplicaciones y n ´umeros 21 ;; ;; ;; ;; A − B A ∩ B A ∪ B A A A B B B

Figura 1 – Uni ´on, intersecci ´on y diferencia de conjuntos.

Intersecci´on de conjuntos

Laintersecci´onde dos conjuntosAyBes el conjunto formado por los elementos que pertenecen simult´aneamente a los conjuntosAyB, y se representa como

A∩B ={x:x∈Ayx∈B}.

La intersecci´on de dos conjuntos puede ser el conjunto vac´ıo. Por ejemplo, si

A={1,2}yB={3,4}, entoncesA∩B=∅. V´ease la Figura 1.

Diferencia de conjuntos

Ladiferenciade los conjuntosAyB es el conjunto formado por los elementos deAque no pertenecen aB, y se representa como

A−B ={x:x∈Ayx6∈B}.

El conjuntoA−B se llama a veces elcomplementoo elcomplementariodeB

enA. V´ease la Figura 1.

Ejemplos

Ej.0.1. Consideremos los conjuntosAyB(v´ease la Figura 2)definidos como:

A = {x∈_R: (x−1)2<4}, B = {x∈R:|x|>2}.

Observemos queA= (−1,3)y queB = (−∞,−2)∪(2,+∞). Vamos a determinar los conjuntosA∪B,A∩ByA−B(tambi´en gr´aficamente). En primer lugar, anal´ıticamente, los conjuntos se pueden expresar como sigue:

A∪B ={x∈R:x <−2ox >−1}. A∩B ={x∈_R: 2< x <3}= (2,3).

A−B ={x∈_R: (x−1)2<4y|x| ≥2}= (−1,2]. Gr´aficamente, dichos conjuntos est´an representados en la Figura 2.

(4)

A:

B:

A

∪

B:

A

∩

B:

A-B:

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

(

)

(

) (

( )

(

]

Figura 2 – Uni ´on, intersecci ´on y diferencia de dos conjuntos.

Algunos conjuntos de uso habitual.

Recordemos la notaci´on habitual para referirnos a los conjuntos de n´umeros:

N (números naturales o enteros positivos), Z (números enteros), Q (números

racionales),R(n´umeros reales) yC(n´umeros complejos).

Ejercicios y Problemas

P.0.1 Pruebe queA−B=A∩(X−B).

P.0.2 Estudie cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. En caso de ser verdadera, demu´estrela; y si es falsa, encuentre un contraejemplo.

(a) A⊂ByA⊂C⇒A⊂B∪C. (b) A⊂ByA⊂C⇒A⊂B∩C. (c) A⊂BoA⊂C⇔A⊂B∪C. (d) A⊂ByA⊂C⇔A⊂B∩C. 0.1.2. Otras operaciones El producto cartesiano

Ya hemos visto que la unión (∪), la intersección (∩) y la diferencia son opera-ciones que nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo con-junto. Pero también podemos construir el conjunto formado por todas las parejas de elementos de ambos conjuntos.

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M´as precisamente, dados dos conjuntosAyB, elproducto cartesianoA×Bes el conjunto definido por

A×B ={(x, y) :x∈Aey∈B}.

Dado que la notaci´on(x, y), cuando estamos trabajando en el conjunto Rde los

números reales, indica también el intervalo abierto de extremosxey, es posible también utilizar la notaciónx×ypara indicar el elemento del conjuntoA×B.

El conjunto potencia

¿Y qué ocurre cuando los elementos de un conjuntoAson, a su vez, conjuntos? Bueno, para evitar malentendidos y no caer en contradicciones, en este caso dire-mos queAes unacolecciónde conjuntos o unafamiliade conjuntos. No obstante, como suele ser habitual, también se utiliza el término conjunto de conjuntos. Uti-lizaremos letras caligráficas para referirnos a las familias de conjuntos:A,B, etc. El ejemplo más inmediato es el siguiente. Dado un conjuntoA, el conjunto for-mado por todos los subconjuntos deAse denominaconjunto potenciadeAy se denota por P(A). También se suele decir queP(A)es el conjunto de las partes deA.

Ejemplos

Ej.0.2. SiAes el conjunto de tres elementos{a, b, c}, entonces el conjunto po-tencia de A, P(A), es la colecci´on de (¡todos!) los subconjuntos de A. As´ı pues:

P(A) ={{∅},{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}

Algunas propiedades.

Leyes distributivas:Son dos: (pru´ebelas como ejercicio)

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) y

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C). Leyes de De Morgan:Tambi´en son dos:

A−(B∪C) = (A−B)∩(A−C) y

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P.0.3 Sean X e Y dos conjuntos, A, C ⊂ X y B, D ⊂ Y. Demuestre las siguientes igualdades y contenidos:

(a) A×(B∩D) = (A∩B)×(A∩D). (b) A×(B∪D) = (A∪B)×(A∪D). (c) A×(Y −B) = (A×Y)−(A×B). (d) (A×B)∩(C×D) = (A∩C)×(B∩D).

(e) (A×B)∪(C×D) ⊂(A∪C)×(B∪D). Encuentre un ejemplo que muestre que la inclusi´on puede ser estricta.

(f) (X×Y)−(A×B) = (X×(Y −B))∪((X−A)×Y).

P.0.4 Demuestre las leyes de De Morgan.

P.0.5 Estudie cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Demu´estre-las cuando lo sean y proporcione un contraejemplo en caso contrario.

(a) A⊂CyB ⊂D⇒(A×B)⊂(C×D). (b) (A×B)⊂(C×D)⇒A⊂CyB ⊂D

(c) (A×B)⊂(C×D)⇒A⊂CyB ⊂D, suponiendo queAyBson no vac´ıos.

(d) (A×B)∪(C×D) = (A∪C)×(B∪D).

0.1.3. Familias de conjuntos

Las operaciones unión e intersección que hemos definido para dos conjuntos se pueden extender sin ninguna dificultad a una familia arbitraria de conjuntos. Sea A una familia de conjuntos. Entonces la unión de los elementos de A se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de los conjuntos deAy lo representaremos por

[

A∈A

A={x:x∈Apara alg´unA∈ A}.

De modo similar, laintersecci´onde los elementos deAse define como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los elementos deA, es decir,

\

A∈A

A={x:x∈Apara todoA∈ A}.

Las leyes distributivas y de De Morgan que hemos visto anteriormente pueden extenderse sin excesiva dificultad al caso de familias arbitrarias de conjuntos.

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Proposici´on 0.1.1 (Leyes distributivas). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia

arbitraria de conjuntos yBun conjunto. Entonces: (1) B∪(\ i∈I Ai) = \ i∈I (B∪Ai). (2) B∩([ i∈I Ai) =[ i∈I (B∩Ai).

DEMOSTRACION´ . S´olo demostraremos la propiedad (1), pues la otra se prueba de manera totalmente an´aloga.

Seax∈B∪(∩i∈IAi). Six∈B, entoncesx ∈(B∪Ai)para todoi, por lo que x ∈ ∩_i∈I(B ∪Ai). En otro caso,x ∈ ∩i∈IAi, por lo quex ∈ Ai para todoi.

Entoncesx∈B∪Aipara todoi, por lo que estar´a en su intersecci´on.

Rec´ıprocamente, six∈ ∩_i∈I(B∪Ai)entoncesx∈B∪Aipara todoi; six∈B

entonces tambi´enx ∈B ∪(∩i∈IAi). En otro caso,x ∈ Ai para todoi, es decir, x∈ ∩i∈IAi, y as´ıx∈B∪(∩i∈IAi).

Proposici´on 0.1.2(Leyes de De Morgan). SeaA = {Ai : i ∈ I}una familia

arbitraria de subconjuntos de un conjunto dadoX. Entonces: (1) X−([ i∈I Ai) = \ i∈I (X−Ai). (2) X−(\ i∈I Ai) =[ i∈I (X−Ai).

DEMOSTRACION´ . Probaremos s´olo el apartado (1), pues el (2) es totalmente an´alogo.

Six ∈ X−(∪i∈IAi)entoncesx 6∈ Ai para todo i, de modo quex ∈ X−Ai

para todoi, luegox ∈ ∩_i∈I(X−Ai). Rec´ıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(X−Ai)

entoncesx 6∈ Ai para todoi, por lo quex 6∈ ∪i∈IAi; entonces debe estar en su

complementario.

Para finalizar esta secci´on enunciamos el siguiente resultado acerca de la diferen-cia de conjuntos.

Proposici´on 0.1.3. SeanA yB dos subconjuntos deX. Entonces se verifica lo siguiente:

(1) A−(A−B) =A∩B. (2) A−(A∩B) =A−B.

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26 0.2. Aplicaciones

DEMOSTRACION´ . La prueba es bastante sencilla y basta repetir las ideas expues-tas en las demostraciones anteriores. Demostremos, por ejemplo, el apartado (1). Six ∈ A−(A−B) entonces x ∈ A y x 6∈ A−B. Esta segunda condici´on implica quex∈B. Entoncesx∈A∩B. Rec´ıprocamente, six∈A∩Bentonces

x∈Ayx∈B, que implicax∈Ayx6∈A−B. Y as´ıx∈A−(A−B).

0.2. Aplicaciones

En esta sección nos proponemos recordar otro concepto igual de importante que el de conjunto: el concepto de aplicación o función.Grosso modo, una aplicación entre dos conjuntosAyBes una regla que asigna a cada elemento del conjunto

Aotro elemento del conjuntoB.

x

X

Y

f (x) = y f

Figura 3 – Aplicaci ´on entre dos conjuntosXeY.

Definición 0.2.1. SeanX eY dos conjuntos. Unaaplicación(también se le lla-mafunción) f entreXeY es una correspondencia o regla de asignación entre ellos tal que a cada puntox de un subconjunto deX (dicho subconjunto puede coincidir conX), se le asocia un único puntoydeY, denominadoimagendexy denotado porf(x). La denotaremos por

f :X −→Y o X −→f Y

Xse llama elorigende f eY se llamarecorridoorangodef. El subconjunto deXen el que est´a definidaf se denominadominioy se denota por Dom(f); el subconjunto de Y formado por todas las im´agenes de elementos del dominio se denominaconjunto imageny se denota por Im(f).

Una funci´onf :X −→ Y puede ser considerada como un subconjunto del pro-ducto cartesiano X ×Y con la propiedad de que cada elemento de X aparece como la primera coordenada de, a lo sumo, un par ordenado. Podemos concebirf

como el conjuntoΓ(f)definido por

Γ(f) ={(x, y)∈X×Y :x∈Dom(f), y =f(x)}

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Definición 0.2.2. Sea f : X −→ Y una función y seaA ⊂ X. El conjunto imagendeAporf, que denotaremos porf(A), es el subconjunto deY formado por todas las imágenes de los elementos deA, es decir:

f(A) ={y∈Y :y =f(x)para alg´unx∈A}.

La aplicaci´onf restringida al subconjuntoAse denomina larestricci´ondef a

Ay se denota porf|A.

Ejemplos

Ej.0.3. Sean las aplicacionesf :R −→ R, yg :R −→ R+, dondeR+ denota

los números reales no negativos definidas comof(x) = x4 yg(x) = x4. Es fácil ver que dichas aplicaciones son distintas, ya que aunque están definidas de la misma manera y tienen el mismo origen, sin embargo el recorrido de ambas funciones es distinto.

Definici´on 0.2.3. Seaf :X−→Y una funci´on y seaB ⊂Y. Laimagen inversa deB porf, que denotaremos porf−1(B), es el subconjunto deX formado por todos los elementos cuya imagen pertenece aB, es decir:

f−1(B) ={x∈X:f(x)∈B}.

Si B es un conjunto unipuntual, por ejemplo B = {y}, usaremos la notaci´on

f−1(y)para referirnos af−1({y}).

También es importante tener en cuenta quef−1(B)no es más que una notación, y el s´ımbolof−1no indica que exista una aplicación entreY yXque sea inversa def.

Proposici´on 0.2.4. Seaf :X −→Y una aplicaci´on y consideremos los subcon-juntosA⊂XyB⊂Y. Entonces se satisfacen:

(1) A⊂f−1(f(A)). (2) f(f−1(B))⊂B.

DEMOSTRACION´ . La demostraci´on de ambas propiedades es inmediata y se le propone como ejercicio.

Las inclusiones que aparecen en la proposici´on anterior no son, en general, igual-dades. Pueden encontrarse ejemplos de funciones donde las inclusiones son propias.

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Ejemplos

Ej.0.4. A continuaci´on mostramos dos ejemplos de funciones f en los que las inclusiones de la Proposici´on 0.2.4 son estrictas.

(1) Consideremosf :R −→ R,f(x) = x2, y el conjuntoA = [1, √

2]. Entoncesf(A) = [1,2]y por tanto

f−1(f(A)) = [−√2,−1]∪[1,√2] A.

(2) Consideremosf :R−→R,f(x) = senx, y el conjuntoB = [−2,2].

Entoncesf−1([−2,2]) =Rpero

f(f−1(B)) = [−1,1]!B.

Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones en relaci´on con las inclu-siones, las uniones, las intersecciones y las diferencias. Las demostraciones se le proponen, de nuevo, como ejercicio.

Proposici´on 0.2.5. Seaf :X→Y y seanBi ⊂Y parai= 1,2. Entonces:

(a) B1 ⊂B2⇒f−1(B1)⊂f−1(B2). (b) f−1(B1∪B2) =f−1(B1)∪f−1(B2). (c) f−1₍_B

1∩B2) =f−1(B1)∩f−1(B2). (d) f−1(B1−B2) =f−1(B1)−f−1(B2).

Proposici´on 0.2.6. Seaf :X→Y y seanAi ⊂Xparai= 1,2. Entonces:

(a) A1 ⊂A2 ⇒f(A1)⊂f(A2). (b) f(A1∪A2) =f(A1)∪f(A2). (c) f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2). (d) f(A1−A2)⊃f(A1)−f(A2).

La generalización de los apartados (b) y (c) de la Proposición 0.2.5 a un número arbitrario de subconjuntos deY se enuncia a continuación. Haga, como ejercicio la demostración.

Proposici´on 0.2.7. Sea{B_i ⊂ Y : i ∈ I} una familia de subconjuntos deY. Entonces se verifica: (1) f−1([ i∈I Bi) =[ i∈I f−1(Bi).

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(2) f−1(\ i∈I Bi) = \ i∈I f−1(Bi).

A continuación se generalizan los apartados (b) y (c) de la Proposición 0.2.6 a un número arbitrario de subconjuntos deX. La demostración, como en el caso anterior, se deja como ejercicio.

Proposici´on 0.2.8. Sea{Ai ⊂ X : i ∈ I}una familia de subconjuntos de X.

Entonces se verifica: (1) f([ i∈I Ai) =[ i∈I f(Ai). (2) f(\ i∈I Ai)⊂\ i∈I f(Ai). 0.2.1. Tipos de aplicaciones

Definición 0.2.9. Una aplicaciónf :X →Y se dice que esinyectiva(o uno-a-uno) si para cada par de puntos distintos deX, sus imágenes porfson distintas. Se dice que essobreyectiva(o quef aplicaX sobreY) si cada elemento deY

es la imagen por la funci´onf de alg´un elemento deX. Sif es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se dice que esbiyectiva(o se llama unacorrespondencia uno-a-uno).

Cuando f es biyectiva entonces existe una aplicaci´on de Y en X, denominada inversadef, que se representa porf−1 :Y −→ X, definida comof−1(y) =x, dondexes el ´unico elemento deXtal quef(x) =y.

P.0.6 Conteste las siguientes preguntas, justificando las respuestas. (a) ¿Cu´al de las siguientes funcionesf :R−→Res inyectiva?

f(x) =x3, f(x) =x2, f(x) = tan(x).

(b) ¿Cu´al de las siguientes funcionesf :R−→Res sobreyectiva? f(x) =x3, f(x) =x2, f(x) = tan(x).

(c) ¿Cu´al de las siguientes funcionesf :R−→Res biyectiva? f(x) =x4, f(x) =x7, f(x) = cos(x).

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f(x) =x2 _f₍_x_{) =}_x3

f(x) = cos(x) f(x) = tan(x)

Figura 4 – Gr ´aficas de algunas funciones.

Proposici´on 0.2.10. Seaf : X −→ Y una aplicaci´on y consideremos los sub-conjuntosA⊂XyB ⊂Y. Entonces se satisface:

(1) Sif es inyectiva entoncesA=f−1(f(A)). (2) Sif es sobreyectiva entoncesf(f−1(B)) =B.

DEMOSTRACION´ . La demostraci´on de ambas propiedades es inmediata y se le propone como ejercicio.

Para completar las propiedades indicadas en la Proposici´on 0.2.6, presentamos el siguiente resultado.

Proposici´on 0.2.11. Seaf : X → Y una aplicaci´on inyectiva y seanAi ⊂ X

parai= 1,2. Entonces:

(a) f(A1∩A2) =f(A1)∩f(A2). (b) f(A1−A2) =f(A1)−f(A2).

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0.2.2. Composici´on de aplicaciones

Para construir nuevas aplicaciones a partir de otras dadas, podemos restringir los conjuntos origen o modificar los rangos de las mismas, como ya hemos visto. Otro mecanismo para formar nuevas aplicaciones es componerlas.

x X Y g g ( f (x ) ) = g ( y ) = z Z f (x) = y f

Figura 5 – Composici ´on entre dos aplicaciones.

Definición 0.2.12. Sean las funciones f : X −→ Y yg : Y −→ Z. Se define lacomposicióng◦f de f yg como la aplicacióng◦f : X −→ Z dada por

(g◦f)(x) =g(f(x)).

Ejemplos

Ej.0.5. La composici´ong◦f de las aplicaciones siguientes

f :R−→R, f(x) = 3x3+ 7, g:R−→R, g(x) = 4x2.

es la funci´on(g◦f)(x) = 4(3x3+ 7)2.

Proposici´on 0.2.13. Seanf :X →Y yg:Y →Z. Se verifica lo siguiente: (a) SiC⊂Z, entonces(g◦f)−1(C) =f−1(g−1(C)).

(b) Sif ygson inyectivas, entoncesg◦f es inyectiva. (c) Sig◦f es inyectiva, entoncesf es inyectiva.

(d) Sif ygson sobreyectivas, entoncesg◦f es sobreyectiva. (e) Sig◦f es sobreyectiva, entoncesges sobreyectiva.

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32 0.3. Conjuntos finitos y numerables

0.3. Conjuntos finitos y numerables

En esta ´ultima parte del cap´ıtulo vamos a introducir algunos tipos destacados de conjuntos: finitos, infinitos, numerables y no numerables.

0.3.1. Conjuntos finitos

Dediquemos unas palabras a los conjuntos m´as sencillos: los finitos.

Definici´on 0.3.1. Un conjuntoXse dice que esfinitosi existe un n´umero natural

ny una aplicaci´on biyectiva entreX y el conjunto {1, . . . , n}. El n´umeronse llama elcardinaldeX. SiX =∅entonces su cardinal es 0.

Algunas propiedades relativas a los conjuntos finitos son las siguientes.

Proposici´on 0.3.2. (1) SiXes finito, entonces no existe una aplicaci´on biyec-tiva entreXy un subconjunto propio deX.

(2) El cardinal de un conjunto finitoXest´a un´ıvocamente determinado por el conjuntoX.

(3) SiAes un subconjunto de un conjunto finitoX, entoncesAes finito. SiAes un subconjunto propio, entonces el cardinal deAes menor que el cardinal deX.

DEMOSTRACION´ . La demostraci´on de estas propiedades no es nada trivial, en contra de lo que pudiera pensarse a primera vista. Las claves son las dos propieda-des siguientes, que enunciamos sin demostraci´on:

(a) Sea n un entero positivo. Sean X un conjunto y x0 un elemento de X. Entonces existe una aplicaci´on biyectivafentre el conjuntoXy el conjunto

{1, . . . , n+ 1} si, y s´olo si, existe una aplicaci´on biyectiva del conjunto

X− {x₀}con{1, . . . , n}.

(b) SeaX un conjunto y supongamos quef : X → {1, . . . , n}es una apli-cación biyectiva para algúnn ∈ _N. Sea A un subconjunto propio de X. Entonces no existe biyección alguna g : A → {1, . . . n}, y si B 6= ∅

entonces existe una aplicaci´on biyectivah : A → {1, . . . , m} para alg´un

m < n.

Ejemplos

Ej.0.6. El conjunto N de los números naturales no es finito ya que la función f :N→N− {1}, definida porf(n) = n+ 1, es una biyección entreNy

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un subconjunto propio de s´ı mismo, lo que contradice el apartado (1) de la Proposici´on 0.3.2.

Proposici´on 0.3.3. SiXes un conjunto no vac´ıo, son equivalentes: (1) Xes finito.

(2) Existe un n´umero naturalny una aplicaci´on f : {1, . . . , n} −→ X so-breyectiva.

(3) Existe un n´umero naturalny una aplicaci´onf :X −→ {1, . . . , n} inyec-tiva.

DEMOSTRACION´ . Se le propone como ejercicio.

Proposici´on 0.3.4. Las uniones finitas y los productos cartesianos finitos de con-juntos finitos son finitos.

DEMOSTRACION´ . Lo veremos sólo para el caso de dos conjuntos. La demostra-ción en el caso general es análoga y se realiza por inducdemostra-ción en el número de conjuntos.

Demostraremos primero que siXeY son conjuntos finitos, tambi´en lo esX∪Y. SiXoY es vac´ıo no hay nada que probar. En caso contrario, existir´an biyecciones

f :{1, . . . , m} →Xyg:{1, . . . , n} →Y para determinadosmyn. Definimos entonces una funci´onh :{1, . . . , m+n} → X∪Y de la formah(i) = f(i)si

i= 1,2, . . . , myh(i) =g(i−m)sii=m+ 1, . . . , m+n. Es f´acil ver queh

es sobreyectiva, de lo que se deduce queX∪Y es finito.

Veamos ahora que el producto cartesiano de dos conjuntos finitosXeY también es finito. Dadox∈X, el conjunto{x} ×Y es finito, pues tiene el mismo cardinal queY. PeroX×Y es la unión de estos conjuntos, por lo queX×Y es una unión finita de conjuntos finitos, y por tanto finito.

0.3.2. Conjuntos numerables

Definici´on 0.3.5. Todo conjuntoX que no sea finito se dice que es infinito. Si

Xes un conjunto infinito que est´a en correspondencia biyectiva conN, entonces

se dice que es infinito numerable. En otro caso X se dice que es infinito no numerable. Diremos queXesnumerablesi es finito o infinito numerable.

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34 0.3. Conjuntos finitos y numerables

Ejemplos

Ej.0.7. Todo subconjuntoA⊂_Nde los n´umeros naturales es numerable. Supon-gamos queAes infinito. Vamos a construir una aplicaci´on biyectivaf entre

AyN.f(1)ser´a el menor elemento deAy, entonces llamaremos A1 =A− {f(1)};

f(2)ser´a el menor elemento deA1y ahora llamaremos

A2=A1− {f(2)}=A− {f(1), f(2)};

y as´ı sucesivamente. En general, sea f(m) el menor elemento de Am−1 y denotemos Am = Am−1 − {f(m)}. Como A no es finito, el proceso anterior no acaba y para cada m ∈ _N existef(m) > f(i), parai < m. Es f´acil ver quef es una aplicaci´on biyectiva (observemos quef(m) ≥m

para todom).

La siguiente propiedad es análoga a la Proposición 0.3.3, pero en términos de los conjuntos numerables.

Proposici´on 0.3.6. SiXes un conjunto no vac´ıo, entonces son equivalentes: (1) Xes numerable.

(2) Existe una aplicaci´on sobreyectivaf :N→X.

(3) Existe una aplicaci´on inyectivag:X→_N.

Hagamos un inciso aqu´ı para referirnos a las aplicaciones f : N → X. Este

tipo de aplicaciones se denominansucesionesy habitualmente se denotan como

(xn)∞_n₌₁ o{xn}n∞=1, dondexn=f(n). No debemos confundir una sucesi´on con

su conjunto imagen.

Proposici´on 0.3.7. SiAes un subconjunto de un conjunto numerableX, entonces

Aes tambi´en numerable.

DEMOSTRACION´ . ComoX es numerable, existe una aplicaci´on f : N −→ X

sobreyectiva. Definimos una aplicaci´ong : X −→ Apor la condici´ong|A = 1,

de modo queh=g◦f :N−→Aes una aplicaci´on sobreyectiva, lo que implica

queAes numerable.

Lema 0.3.8. El producto finito de copias deNes un conjunto numerable.

DEMOSTRACION´ . Lo demostraremos para el productoN×N; el caso general se

hace por inducci´on en el n´umero de copias.

(17)

(1,1) (1,2) (1,3) . . . (2,1) (2,2) (2,3) . . . (3,1) (3,2) (3,3) . . . .. . ... ... . ..

Es fácil ver que la aplicaciónf :N−→N×N, representada por el gráfico

ante-rior, es una aplicaci´on sobreyectiva. Expl´ıcitamente, la funci´onf anterior puede definirse como sigue. Si ponemosf(k) = (m(k), n(k)), entonces

m(k) = k−r(r−1) 2 n(k) = r+ 1−m

donderes el ´unico n´umero natural tal que

r(r−1) 2 < k≤

(r+ 1)r

2 .

Los conjuntos numerables satisfacen las siguientes propiedades.

Proposici´on 0.3.9. (1) La uni´on numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable.

(2) El producto finito de conjuntos numerables es un conjunto numerable. DEMOSTRACION´ . (1) Sea{X_i}_i∈Iuna familia numerable de conjuntos

numera-bles y supongamos, sin p´erdida de generalidad, que cada conjuntoXies no vac´ıo.

Como cada Xi es numerable, para cada i existe una aplicaci´on fi : N → Xi

sobreyectiva. PeroI tambi´en es numerable, por lo que es posible encontrar otra aplicaci´on sobreyectivag:N→I. Ahora definimos

h:N×N→X = [ i∈I Xi mediante la ecuaci´on h(k, m) =f_g₍_k₎(m).

Es f´acil ver quehes sobreyectiva. ComoN×Nes numerable, podemos encontrar

una aplicaci´on sobreyectiva deNenX, lo que concluye la demostraci´on.

(2) Supongamos X e Y dos conjuntos numerables no vac´ıos. Elegimos apli-caciones sobreyectivas f : N → X y g : N → Y. Entonces, la aplicaci´on h : N×N → X×Y definida mediante la ecuaci´onh(n, m) = (f(n), g(m))

es sobreyectiva y, por tanto,X×Y es numerable.

La demostración en el caso general se realiza por inducción en el número de fac-tores del producto.

(18)

36 0.4. Los n ´umeros reales

Ejemplos

Ej.0.8. El conjuntoQde los n´umeros racionales es numerable. Observemos que

el conjuntoZde los n´umeros enteros es numerable, ya que es la uni´on de

tres conjuntos numerables:Z=N∪(−N)∪{0}. PeroQse puede considerar

incluido enZ×Z, que es numerable, y por tanto es tambi´en numerable. Ej.0.9. El intervalo[0,1]⊂Rno es numerable. Por tanto,Rtampoco es

numer-able. En efecto, supongamos que[0,1]es numerable y consideremos una enumeraci´on del mismo: {x₁, x2, . . . ,}, es decir, supongamos que existe una funci´on sobreyectivaf : N −→ [0,1], xn = f(n). Expresemos cada

n´umeroxnen notaci´on decimal:

x1 = 00a11a12· · ·a1n· · · x2 = 00a21a22· · ·a2n· · ·

· · ·

Podemos suponer que cadaxntiene infinitos decimales; en efecto, en caso

contrario podemos considerar la expresi´on alternativa consistente en una sucesi´on infinita de 9. Por ejemplo, 1/2 = 005 se puede escribir como

00499999· · ·.

Definimos el n´umeroy = 00b1b2· · ·bn· · · mediantebi 6=aiiybi 6= 0. Es

claro quey 6=xipara todoi, por lo quey6∈[0,1], lo cual es absurdo.

P.0.7 Demuestre que el conjunto de los n´umeros irracionales no es numerable.

P.0.8 SeaXωel conjunto formado por todas las aplicaciones deNen{0,1}, es

decir:

Xω ={f :N−→ {0,1}:f es una aplicaci´on}.

Siguiendo las mismas ideas del EjemploEj.0.9., demuestre que el conjunto

Xωno es numerable.

0.4. Los n ´umeros reales

Para finalizar este cap´ıtulo, recordemos algunas de las principales propiedades de los n´umeros reales.

(19)

En el conjuntoRde losn úmeros realespodemos definir dos operaciones binarias +y·, llamadassumaymultiplicación, respectivamente, y una relación de orden

<sobreR, tales que se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades algebraicas

(1) (x+y) +z=x+ (y+z),

(x·y)·z=x·(y·z) para todox, y, zenR.

(2) x+y=y+x,

x·y=y·x para todox, yenR.

(3) Existe un ´unico elemento deRllamadocero, representado por0, de forma

quex+ 0 =xpara todox∈_R.

Existe un ´unico elemento deRllamadouno, distinto de0 y representado

por1, tal quex·1 =xpara todox∈_R.

(4) Para cadax∈_Rexiste un ´unicoy∈_Rtal quex+y= 0.

Para cadax∈_Rdistinto de0existe un ´unicoy∈_Rtal quex·y= 1. (5) x·(y+z) = (x·y) + (x·z)para todox, y, z∈_R.

Una propiedad mixta algebraica y de orden (6) Six > y, entoncesx+z > y+z.

Six > yyz >0, entoncesx·z > y·z.

Otras propiedades

(7) La relaci´on de orden<verifica la propiedad del supremo. (8) Six < y, existe un elementoztal quex < zyz < y.

La “propiedad del supremo” se puede definir también para un conjunto orde-nado arbitrario. En primer lugar, necesitamos algunas definiciones preliminares. Supongamos queX es un conjunto ordenado por la relación<y seaAun sub-conjunto de X. Decimos que un elementobes el máximode A sib ∈ A y si

x≤bpara todox∈A. Es fácil ver que un conjunto tiene, a lo sumo, un máximo. El subconjunto Ade X está acotado superiormentesi existe un elemento bde

X tal quex ≤bpara todox ∈A; el elementobse denomina unacota superior para A. Si el conjunto de todas las cotas superiores de A tiene un m´ınimo, ese elemento se denomina elextremo superior o supremo de A. Se representa por

supAy puede pertenecer o no aA. Si pertenece, es el m´aximo deA. Ahora ya podemos definir la propiedad del supremo.

(20)

38 0.4. Los n ´umeros reales

Definici´on 0.4.1. Un conjunto ordenadoA se dice que tiene la propiedad del supremosi todo subconjunto no vac´ıoA deX que est´e acotado superiormente tiene supremo.

An´alogamente se pueden definir los conceptos de m´ınimo, conjunto acotado infe-riormente, extremo inferior o ´ınfimo y la propiedad del ´ınfimo.

Un n´umero real espositivosix > 0, ynegativosix < 0. Los reales positivos se denotar´an porR+. Las propiedades (1)-(5) implican queRes uncuerpo; y la

propiedad (6) nos permite decir que es uncuerpo ordenado.

Por otro lado, las propiedades (7) y (8) implican s´olo a la relaci´on de orden; por satisfacer estas propiedades, se dice queRes uncontinuo lineal.

Otra propiedad interesante de los n´umeros reales es la propiedad arquimediana, de la que presentamos dos versiones.

Proposición 0.4.2 (Propiedad arquimediana, v.1). Para cualquier número real positivo >0, existe un número naturalntal quen >1.

Proposición 0.4.3(Propiedad arquimediana, v.2). Para cualquier par de número realesx < y, existe un número racionalqtal quex < q < y.

P.0.9 Demuestre que A tiene la propiedad del supremo si, y s´olo si, tiene la propiedad del ´ınfimo.

P.0.10 Calcule los siguientes conjuntos: (a) T n∈_N(−n1, 1 n) (b) S n∈Z(n−1, n+ 1) (c) S n∈N(−n, n) (d) T n∈_N(−n, n)

P.0.11 Calcule la diferenciaA−Ben cada caso: (a) A= [0,1] (b) A= (−1,1]

B = (−1,0) B = [−1,1].

P.0.12 Dados los conjuntosA,ByC, exprese cada uno de los siguientes con-juntos en t´erminos deA,ByC, utilizando los s´ımbolos∪,∩y−:

D={x:x∈Ay(x∈Box∈C)},

E={x: (x∈Ayx∈B)ox∈C},

F ={x:x∈Ay(x∈B ⇒x∈C)}.

P.0.13 Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se pueden poner en correspon-dencia biyectiva. Pruebe lo siguiente:

(21)

(1) Ry el intervalo(−1,1)tienen el mismo cardinal.

(2) Dos intervalos abiertos acotados tienen el mismo cardinal. (3) Rtiene el mismo cardinal que cualquier intervalo(a, b).

P.0.14 SeaRel conjunto de los n´umeros reales. Determine si cada uno de los

siguientes subconjuntos deR×R es igual al producto cartesiano de dos

subconjuntos deR. (a) {(x, y) :xes un entero}. (b) {(x, y) : 0< y ≤1}. (c) {(x, y) :y > x}. (d) {(x, y) :xno es un entero eyes un entero}. (e) {(x, y) :x2+y2<1}.

P.0.15 Seaf :R→Rla funci´onf(x) =x3−x. Restringiendo adecuadamente

el dominio y el rango def, obtenga a partir def una funci´on biyectivag. Dibuje las gr´aficas degyg−1(hay diferentes elecciones posibles parag).

P.0.16 Represente gr´aficamente los siguientes subconjuntos deR2: A={(x, y) :x∈[n, n+ 1], y ∈[n, n+ 1]para alg´unn∈_Z} B ={(x, y) : 0≤x−y≤1} C={(x, y) : 1< x2+y2≤4} D={(x, y) : 1< x2 ≤4} E ={(x, y) : (x+ 2)2+ (y−1)2 <16; x≤y} F ={(x, y) :|xy|>1} ∪ {(0,0)}

P.0.17 Considere las funciones f, g : R −→ Rdadas por f(x) = 2x+ 1y g(x) =x2−2. Determine expl´ıcitamente las funciones compuestasf◦gy

g◦f.

P.0.18 Sea el intervaloA= [−1,1]y considere las funcionesf, g, h:A−→A

definidas porf(x) = senx,g(x) = sen(πx)yh(x) = sen(πx/2). Estudie si estas funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

P.0.19 Considere la funci´onf :R−→Rdefinida porf(x) =x2. Calcule:

(a) f−1₍₂₅₎

(b) f−1({x:x≥0})

(c) f−1({x: 4≤x≤25}) P.0.20 Calcule los siguientes conjuntos:

(a) T n∈_N[0,n1] (b) T n∈N(0, 1 n]

(22)

40 0.4. Los n ´umeros reales (c) T n∈N[0, 1 n) (d) T n∈N[n,+∞)

P.0.21 ¿Son ciertas o falsas las siguientes igualdades? Razone la respuesta.

∞ [ n=1 0,1− 1 n = [0,1] ∞ \ n=1 a− 1 n, b+ 1 n = [a, b]

P.0.22 SeaAun conjunto cualquiera y, para todox∈A, seaGxun subconjunto

deAtal quex∈Gx ⊂A. Demuestre queA=∪x∈AGx.

P.0.23 Considere las familias de conjuntos An = {x : xes m´ultiplo den}, n∈_N, yBm = [m, m+ 1],m∈Z. Determine los siguientes conjuntos:

(a) A3∩A5 (b) S

i∈P Ai, dondeP denota el conjunto de los n´umeros primos.

(c) B3∩B4 (d) S

m∈ZBm

(e) A5∩(Sm≥7Bm)

P.0.24 Para toda aplicaci´onf : X −→ Y se define la aplicaci´on asociada fˆ

entre los conjuntos potenciafˆ:P(X)−→ P(Y)como sigue:

ˆ

f(A) ={y∈Y :y=f(x)para alg´unx∈A}.

Demuestre que sifes inyectiva entoncesfˆtambi´en lo es.

P.0.25 Seanf, g:R−→Rlas funciones definidas como:

f(x) =

2x−5 si x >2

x2−2|x| si x≤2 y g(x) = 3x+ 1.

Encuentre: (a)(g◦f)(1), (b)(f ◦g)(2), (c)(f ◦f)(3). ¿Puede determinar expl´ıcitamente las funciones compuestasf◦gyg◦f?

P.0.26 Seag : X −→ X una función constanteg(x) = x0 para todox ∈ X. Demuestre que para cualquier funciónf :X −→ Xla composicióng◦f

es constante e igual ax0. ¿Qu´e puede decirse def ◦g?

P.0.27 Demuestre que una aplicaci´on f : X −→ Y es biyectiva si, y s´olo si,

f(Ac) = [f(A)]cpara todoA⊂X.

P.0.28 Demuestre que todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.