Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int."

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Un Apunte de Funciones

"Introducción al Cálculo Dif. e Int."

Las funciones son relaciones, las cuales, lo que hacen es tomar un elemento de un conjunto de partida (dominio) y transformarlo en otra cosa, a esa "cosa" se le llama IMAGEN, usualmente la notación de las funciones es:

y=f(x)

De…niremos algunos conceptos clave:

(1) Dominio: Son TODOS los valores dexque puede tomar la función, las restricciones más usadas son:

Restricciones= 8 < : 2pn _M₍_x₎_; _M₍_x₎ ₀ a M(x); M(x)6= 0 log_a(M(x)); M(x)>0

Básicamente lo que se expresa es lo siguiente: Si la función posee una raíz de indica par, vale decir, raíz cuadrada, cuarta, sexta, etc .. lo que se encuentra dentro de la raíz tiene que ser si o si MAYOR O IGUAL A CERO para que esta raíz tenga sentido.

Si la función es una fracción en donde el denominador posee términos que tienen la variablex, para que la expresión tenga sentido, el DENOMINADOR NO PUEDE SER CERO.

Si nuestra función posee logaritmo en cualquier base, lo que se encuentra al interior del logaritmo TIENE QUE SER MAYOR QUE CERO.

Como estamos trabajando sobre el conjunto de los números reales, si NO HAY NINGUNA DE ESTAS TRES RESTRICCIONES en nuestra función se dice entonces que el dominio es EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES.

Algunos ejemplos para clari…car más este concepto:

(a) Determine el dominio de la función f(x) = 3x2_{+ 2}_x_{+ 1}

Solución: Comof(x)no posee ninguna de las restricciones citadas anteriormente se dice que: Dom(f) =R

(b) Determine el dominio def(x) =p4x+ 1

Solución: Como aquí poseemos una raíz de índice par (raíz cuadrada), lo que está dentro debe ser mayor o igual a cero, es decir:

4x+ 1 0

4x 1

x 1

4

Luego, el dominio de esta función son todos los valores dexque sean mayores o iguales a 1

4;

matemática-mente:

Dom(f) = [1 4;1[

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Solución: En este caso, como tenemos una función racional, el denominador debe de ser distinto de cero, es decir: 2x2 8x ₆= 0 2x(x 4) ₆= 0 2x ₆= 0_{_}x 4₆= 0 x1 6= 0_x26= 4

Luego, concluimos que:

Dom(f) =R f0;4_g

Es decir, la función puede tomar todos los valores dexmenos el cero y el cuatro. (d) Determine el dominio def(x) = log (2x+ 1)

Solución:

En este caso, como la función posee un logaritmo, lo que se encuentre adentro de él debe de ser mayor que cero, es decir: 2x+ 1 > 0 2x > 1 x > 1 2 Luego: Dom(f) =] 1 2;1[

Recorrido de la función: Generalmente para determinar el recorrido de la función se despejax, se analizan las restricciones que posee esa expresión, que son las mismas que se usan para el dominio de la función y se determina un conjunto el cual SON LOS VALORES DEy QUE TOMA LA FUNCIÓN.

Algunos ejemplos:

(a) Determine el recorrido def(x) =x_x+1₁

Solución: Sabemos que y=f(x);luego:

y=x+ 1 x 1 Despejando x: y(x 1) = x+ 1 xy y = x+ 1 xy x = 1 +y x(y 1) = 1 +y x = 1 +y y 1

Ahora, analizamos la expresión y nos damos cuenta que tenemos una fracción y, considerando las restricciones que tenemos al principio se sabe que para que la fracción tenga sentido, el denominador debe ser distinto de cero, luego:

y 1 ₆= 0

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Por lo tanto, esta función posee el recorrido de todos los valores de ymenos el uno, matemáticamente: rec(f) =R f1_g

(b) Determine el recorrido de la función: f(x) =px 1

Despejando x:

y = px 1

y2 = x 1

y2+ 1 = x

Luego, como no posee restricciones podemos pensar que el recorrido es todo el conjunto de los reales, sin embargo, quien es un poco más observador puede notar que cualquier número al cuadrado es siempre positivo y si además a ese número se le está sumando otro número positivo, el resultado es positivo, por ende, los valores que tomay son sólo positivos, luego:

rec(f) =R+

Veremos algunos conceptos importantes que describen a las funciones: (3) Inyectividad: Una función se dice inyectiva si cumple lo siguiente:

f(a) =f(b) =₎ a=b

Lo que quiere decir esto es que cada valor de xdebe tener UNA y SOLO UNA imagen, si tienen el grá…co de una función, para saber si es inyectiva, basta con tirar líneas paralelas al eje X, si esas líneas tocan al gra…co de la función en un solo punto, entoncesf es inyectiva.

Unos ejemplos:

(a) Demuestre quef(x) =x_x+1₁ es inyectiva En efecto si f(a) = a_a+1₁ y f(b) =b_b+1₁;entonces: a+ 1 a 1 = b+ 1 b 1 (a+ 1) (b 1) = (a 1) (b+ 1) ab/ a+b 1/ = ab/+a b 1/ 2a = 2b a = b Luego, se demuestra q es inyectiva.

(b) Demuestre quef(x) =x2 no es inyectiva f(a) =a2 _y _f₍_b_{) =}_b2_;_luego:

a2=b2 Despejando a:

a = pb2

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Luego:

a=b_{_}a= b Por esa razón es que esta función no es inyectiva.

(4) Sobreyectividad: Una función es sobreyectiva si enf :A_!B,rec(f) =B;es decir, si el recorrido de la función es igual al conjunto de llegada(B)entonces es sobreyectiva.

Ejemplo:

(a) Sea f :R!R+_;_f₍_x_{) =}p_x:_{Demuestre que}_f _{es sobreyectiva}

Para ello haremos el mismo procedimiento para calcular el recorrido de la función, es decir: y = px

y2 = x Luego como y2 _{es un número positivo siempre, se concluye que:}

rec(f) =R+

Podemos ver que el conjunto de llegada de esta función es R+_; _{como es igual al recorrido de la función,}

entonces es sobreyectiva.

(b) Sea f :R f1_{g !}R f2_g; f(x) =2_xx+1₁ Analice si es sobreyectiva Usando el mismo procedimiento:

y = 2x+ 1 x 1 y(x 1) = 2x+ 1 xy y = 2x+ 1 xy 2x = y+ 1 x(y 2) = y+ 1 x = y+ 1 y 2

Luego la restriccion que posee es que el denominador no puede ser cero, es decir: y 2 ₆= 0

y ₆= 2

Luego:

rec(f) =R f2_g

Como el recorrido es igual al conjunto de llegada, se dice que esta función es sobreyectiva.

(5) Biyectividad y existencia de la inversa: Si la función cumple con las condiciones de ser inyectiva y sobreyectiva entonces es biyectiva, cuando una función es biyectiva SE DICE QUE TIENE INVERSA

En el ejemplo anterior : f :R f1_{g !}R f2_g; f(x) = 2_xx+1₁ probaremos que es biyectiva, como ya probamos anteriormente que era sobreyectiva basta con probar que es inyectiva, para ello debe cumplirse que:

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En efecto: 2a+ 1 a 1 = 2b+ 1 b 1 (2a+ 1) (b 1) = (a 1) (2b+ 1) 2ab/ 2a+b 1/ = 2ab/+a 2b 1/ 3b = 3a b = a =₎ a=b

Como es inyectiva y sobreyectiva entonces conluimos que es biyectiva, y por lo tanto, tiene inversa.

Cálculo de la inversa: Despejamos laxy "cambiamos" y por x;del análisis de la sobreyectividad se tenia:

x= y+ 1

y 2

Luego:

f 1(x) = x+ 1

x 2

(6) Algebra de funciones: Las funciones se pueden sumar, restar. multiplicar o dividir, lo cual es facil realizar, la complicación más grande para los estudiantes en general es el concepto de la composición de funciones a lo cual de daremos el énfasis:

Para componer funciones citaremos ejemplos para que se entienda: (a) Seanf(x) = x_x+2₁ yg(x) =x2_{+ 1}_Hallar ₍_{f og}_{) (}_x₎ _y₍_gof_{) (}_x₎

Para hallar(f og) (x)hacemos lo siguiente:

(f og) (x) =f(g(x))

Sabemos queg(x) =x2+ 1;reemplazando:

(f og) (x) =f x2+ 1 Evaluando: (f og) (x) = x 2_{+ 1 + 2} (x2_{+ 1)} ₁ = x 2_{+ 3} x2

Ahora hallaremos (gof) (x);Se tiene:

(gof) (x) =g(f(x))

Sabemos quef(x) = x+2

x 1;reemplazando:

(gof) (x) =g x+ 2 x 1

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Evaluando: (gof) (x) = x+ 2 x 1 2 + 1 = x 2_{+ 4}_x_{+ 4} x2 ₂_x_{+ 1}+ 1 = x 2_{+ 4}_x_{+ 4 +} _x2 ₂_x_{+ 1} x2 ₂_x_{+ 1} = 2x 2 ₂_x_{+ 5} x2 ₂_x_{+ 1}