Teoría descriptiva de conjuntos

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Carlos Ivorra Castillo

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Todas las teor´ıas son leg´ıtimas y ninguna tiene importancia. Lo que importa es lo que se hace con ellas.

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´Indice General

Introducci´on vii

Cap´ıtulo I: La teor´ıa b´asica 1

1.1 Extensionalidad . . . 1

1.2 Los axiomas de T . . . 3

1.3 El ´algebra de los conjuntos . . . 4

1.4 Ordinales . . . 5

1.5 La jerarqu´ıa de L´evy . . . 9

Cap´ıtulo II: La teor´ıa de conjuntos de Kaye-Forster 11 2.1 Los axiomas de KF . . . 11

2.2 Relaciones y funciones . . . 15

2.3 Cardinalidad . . . 18

2.4 Buena ordenaci´on . . . 19

2.5 Infinitud y n´umeros naturales . . . 22

2.6 El axioma de elecci´on . . . 25

Cap´ıtulo III: La teor´ıa de conjuntos de Mac Lane 29 3.1 La teor´ıa b´asica de Mac Lane . . . 29

3.2 El axioma de infinitud . . . 34

3.3 La teor´ıa de Mac Lane . . . 39

3.4 La consistencia de CT+H . . . 44

3.5 Equivalencias de H . . . 53

3.6 Constructibilidad en M . . . 58

Cap´ıtulo IV: La teor´ıa de Kripke-Platek 73 4.1 Los axiomas de KP . . . 73

4.2 Producto cartesiano, relaciones, funciones . . . 75

4.3 Recolecci´on, especificaci´on y reemplazo . . . 76

4.4 Recursi´on en KP . . . 79

4.5 Conjuntos finitos . . . 88

4.6 La teor´ıa KPI . . . 90

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Cap´ıtulo V: La teor´ıa de Mostowski 97

5.1 Subteor´ıas de KP∗_{+Z . . . .} ₉₇

5.2 Los modelosH(κ) . . . 101

5.3 El axioma de los rangos . . . 106

5.4 Modelos de KP . . . 112

5.5 La teor´ıa Z2F2C . . . 120

Cap´ıtulo VI: Los Nuevos Fundamentos de Quine 125 6.1 Los axiomas de NFA . . . 125

6.2 Resultados b´asicos en NFA . . . 127

6.3 El axioma de infinitud . . . 131

6.4 El axioma de elecci´on . . . 142

6.5 Pares ordenados nivelados . . . 143

6.6 Ordinales . . . 148

6.7 Cardinales . . . 157

6.8 Cofinalidad . . . 168

6.9 La exponenciaci´on cardinal . . . 169

6.10 Existencia de ´atomos . . . 174

Cap´ıtulo VII: Extensiones de NFA 177 7.1 Conjuntos cantorianos . . . 179

7.2 El axioma de c´omputo . . . 183

7.3 Subversi´on de la estratificaci´on . . . 185

7.4 El axioma de los conjuntos cantorianos . . . 188

7.5 El modelo Z . . . 191

7.6 La parte (fuertemente) cantoriana de Z . . . 205

7.7 Subversi´on en la especificaci´on . . . 209

Cap´ıtulo VIII: Modelos de NFA 213 8.1 Ultrapotencias . . . 213

8.2 Modelos de Boﬀa . . . 224

8.3 M´as pruebas de consistencia . . . 232

Bibliograf´ıa 237

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Introducci´

on

El plural del t´ıtulo de este libro pretende advertir de que no es un libro de “teor´ıa de conjuntos” en el sentido usual de la palabra, sino sobre “teor´ıas de conjuntos”, es decir, un libro en el que se discuten varias teor´ıas de conjuntos distintas de las m´as habituales: ZFC o NBG.

Es relativamente conocido que la teor´ıa de conjuntos de Zermelo se dife-renciaba de la actual ZFC en que no inclu´ıa el axioma del reemplazo, y en su lugar ten´ıa un axioma más débil: el axioma de especificación, o de selección de subconjuntos. Si llamamos ZC a la teor´ıa de Zermelo con el axioma de elección, resulta que en ella puede desarrollarse una gran parte de la matemática mo-derna (del álgebra, el análisis, la geometr´ıa, etc.) y sin embargo es una teor´ıa much´ısimo más débil que ZFC. Para darse cuenta de la distancia entre ambas teor´ıas basta observar que en ZFC se demuestra fácilmente que el conjuntoVω+ω es un modelo transitivo de ZC, lo que a su vez pone de manifiesto que en ZC no es posible demostrar la existencia del ordinalω+ω, pero, ¿cuántas partes de las matemáticas necesitan tratar con ordinales? Por el contrario, en ZC podemos desarrollar cómodamente (entre otras cosas) toda el análisis en_Rn_{, la geometr´ıa} diferencial, el álgebra y una buena parte de la topolog´ıa, siempre y cuando no tratemos de incidir en sus aspectos más puramente conjuntistas.

Hay teor´ıas de conjuntos que son incluso más débiles que ZC en cuanto a consistencia y que, pese a ello, permiten desarrollar una parte considerable de las matemáticas o, dicho de otro modo, que tienen modelos con una estructura suficientemente rica como para resultar interesantes. Algunas de estas teor´ıas han surgido por razones “filosóficas”, es decir, con la intención de servir como fundamento a la porción de las matemáticas que interesaba especialmente a su creador tratando al mismo tiempo de cumplir con alguna clase de “escrúpulo” de naturaleza más o menos intuicionista. Sin embargo, aqu´ı no pretendemos defender ninguna postura filosófica exótica. Por el contrario, consideramos que el interés de una buena parte de este libro radica en que es útil saber qué axiomas son realmente necesarios para demostrar cada uno de los teoremas básicos de la teor´ıa de conjuntos. Por ejemplo, en el cap´ıtulo I expondremos una mini-teor´ıa de conjuntos T que resulta ser suficiente para definir los ordinales (de von Neumann) y demostrar sus propiedades básicas. Sabiendo esto sabemos que para que podamos hablar de ordinales en un modelo basta con que éste satisfaga los axiomas de T.

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Por lo demás, la teor´ıa T no da más de s´ı, pero en el cap´ıtulo II exponemos la teor´ıa de Kaye-Forster (KF), cuyos axiomas son por una parte muy restrictivos y hasta cierto punto incómodos de manejar, pero bastan para introducir los conceptos conjuntistas básicos (relaciones, funciones, etc.), as´ı como los números naturales, e incluso demostrar las equivalencias usuales del axioma de elección (el principio de buena ordenación, el lema de Zorn, etc.)

Una teor´ıa similar a KF, pero mucho más manejable, es la teor´ıa de Mac Lane (MAC), que resulta ser equiconsistente con una teor´ıa bastante más potente, la teor´ıa de Mostowski (MOST), aunque todas ellas son mucho más débiles que ZFC. Como muestra de la potencia de MAC señalamos que basta para definir la claseLde los conjuntos constructibles, aunque no por el procedimiento usual, sino mediante la técnica usada por el propio Gödel en su trabajo sobre la consistencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizada.

La teor´ıa MOST puede verse como la conjunción de dos teor´ıas que en cierto sentido son complementarias. Una de ellas es MAC y la otra es la teor´ıa de Kripke-Platek (KP), que es una de las teor´ıas más relevantes tratadas en este libro. En efecto, en diversas ramas de la teor´ıa de conjuntos es frecuente tratar con modelos de ZFC que no son necesariamente bien fundados (por ejemplo, los que se obtienen al formar ultrapotencias o l´ımites inductivos de otros modelos). En dichos modelos se puede definir de forma natural una parte bien fundada, la cual no es necesariamente un modelo de ZFC, pero s´ı resulta ser un modelo de KP (incluso de una extensión algo más fuerte) y, bajo condiciones muy generales, de KPI, que es KP más el axioma de infinitud.

Por ello es especialmente relevante saber qué resultados de ZFC siguen siendo válidos si sólo disponemos de los axiomas de KP o KPI. Y sucede que KP es suficiente para demostrar teoremas muy generales de inducción y recursión transfinita, e incluso para construir la clase de los conjuntos constructibles por el procedimiento usual (mediante iteración del operador de partes definibles).

Por otra parte, la teor´ıa KPI tiene también un gran interés por su relación con la teor´ıa de la recursión y los conjuntos admisibles, lo que a su vez la relaciona con al teor´ıa descriptiva de conjuntos, aunque en este libro no abordaremos estas facetas.

Una razón para estudiar la teor´ıa débil y algo incómoda KF es porque es lo suficientemente débil como para ser consistente (al menos en una variante KFA que admite átomos, es decir, objetos primitivos que no son conjuntos) con un axioma insólito, a saber, la existencia de un conjunto de todos los conjuntos. Al añadir a KF el axioma V ∈ V (es decir, la clase de todos los conjuntos es un conjunto), no obtenemos, contrariamente a lo que podr´ıa esperarse, un diluvio de contradicciones, desde la de Russell hasta la de Cantor pasando por la antinomia de Burali-Forti, sino que obtenemos la llamada teor´ıa de los Nuevos Fundamentos de Quine (en la variante con átomos propuesta por Jensen) NFA.

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ix

incluso de superteor´ıas en algunos casos, pues algunas pruebas de consistencia requieren cardinales grandes.

Debemos confesar nuestro escepticismo sobre cualquier utilidad práctica que pueda atribuirse a NFA. Como el análisis no estándar, debajo de una superficie que permite presentarla (no sin cierta manipulación) como una teor´ıa “natural e intuitiva”, en el fondo esconde un aparato lógico nada intuitivo que, a diferencia de la lógica subyacente a ZFC, no puede relegarse en ningún momento a un segundo plano, lo que la incapacita como teor´ıa apta para el uso cotidiano de matemáticos no especialistas en lógica. Ahora bien, siempre igual que en el caso del análisis no estándar, su planteamiento es sugerente, y es natural que excite la curiosidad de todo aquel interesado por la lógica y la teor´ıa de conjuntos, aunque tras familiarizarse con ella pueda terminar viéndola como un mero divertimento. Como tal la presentamos aqu´ı, sin más pretensiones.

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Cap´ıtulo I

La teor´ıa b´

asica

En este primer cap´ıtulo presentamos una teor´ıa m´ınima T que será común a todas las teor´ıas de conjuntos que vamos a estudiar. Como veremos, pese a su “minimalidad”, no sólo permite demostrar los hechos básicos sobre el álgebra de los conjuntos, sino también las propiedades básicas de los ordinales.

1.1 Extensionalidad

Como es bien sabido, el lenguaje formal de ZFC tiene un único signo primi-tivo no lógico, el relator de pertenencia∈. Esto se traduce en que en ZFC hay dos únicos conceptos primitivos no definidos, sino regulados por los axiomas:

• El concepto de “conjunto”, que es el nombre general de los objetos de los que trata la teor´ıa, de modo que los cuantificadores Vx, Wx se leen informalmente como “para todo conjunto x” y “existe un conjunto x”, respectivamente.

• El concepto de“pertenencia”,que viene expresado por el relator ‘∈’ , de modo que la f´ormula ‘x ∈ y’ se lee informalmente como “el conjunto x

pertenece a (o es un elemento de) el conjunto y”.

La naturaleza conjuntista de los objetos de cualquier modelo posible de ZFC viene determinada por elaxioma de extensionalidad:

V

xy(Vu(u∈x↔u∈y)→x=y).

Esto significa que cada conjunto está un´ıvocamente determinado por su ex-tensión, es decir, por la colección de los conjuntos que le pertenecen y, por consiguiente, podemos identificar a cada conjunto con su extensión.

Sin embargo, en algunas de las teor´ıas que vamos a estudiar conviene admitir la posible existencia de objetos que no sean conjuntos. Para dejar abierta esta posibilidad consideramos el lenguaje formalLa que consta de los signos de L más un relator monádico cto. De este modo, el lenguaje Lapermite hablar de tres conceptos primitivos básicos:

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• El concepto de “objeto”, que es el nombre general que daremos a los objetos de cualquier teor´ıa sobreLa. As´ı, los cuantificadores

V

x, Wxlos leeremos informalmente como “para todo objeto x” y “existe un objeto

x”, respectivamente.

• El concepto de “conjunto”, que viene expresado por el relator ‘cto’, de modo que la fórmula ctoxla leeremos informalmente “xes un conjunto”. La fórmula ‘¬ctox’ la leeremos “xes un átomo”, de modo que todo objeto es, por definición, o bien un conjunto, o bien un átomo.

Por simplicidad adoptaremos el convenio de que las variables may´usculas representan conjuntos, de modo que

V

Xα≡Vx(ctox→α), WXα≡Wx(ctox∧α).

• El concepto de “pertenencia”,que viene expresado por el relator ‘∈’, de modo que la f´ormula ‘x∈y’ la podemos leer como “el objetoxpertenece al objetoy”.

Hemos distinguido entre conjuntos y objetos para restringir la propiedad de extensionalidad a los primeros:

Axioma de extensionalidad VXY(Vu(u∈X↔u∈Y)→X =Y)

En palabras: si dos conjuntos tienen los mismos elementos (ya sean con-juntos o átomos), entonces son iguales o, equivalentemente, todo conjunto está un´ıvocamente determinado por su extensión. Para los átomos podemos intro-ducir el axioma siguiente:

Axioma de los ´atomos Vux(u∈x→ctox)

Equivalentemente, el axioma de los átomos afirma que los átomos no tienen elementos. En particular, todos los átomos tienen los mismos elementos, pero no podemos concluir que todos son iguales entre s´ı, precisamente porque hemos restringido el alcance del axioma de extensionalidad para que sólo sea aplicable a conjuntos.

Podr´ıa pensarse que, en realidad, no era necesario introducir el relator ‘cto’ como signo primitivo, sino que podr´ıamos haber definido ctox≡Wu u∈x, pero esto no ser´ıa una buena idea, ya que en todas las teor´ıas que vamos a considerar nos interesar´a que exista un conjunto vac´ıo, es decir, un conjunto sin elementos que, no obstante, sea un conjunto y no un ´atomo.1

Cabe señalar que el axioma de los átomos sólo tiene un valor teórico, pues en la práctica nunca necesitaremos apelar a él. Simplemente, todos los resultados

1_{Una alternativa viable, equivalente a la que hemos adoptado, habr´ıa sido definir}_La_como

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1.2. Los axiomas de T 3

de interés en las teor´ıas que vamos a considerar, al igual que sus demostraciones, no harán referencia en ningún momento a los posibles elementos de los átomos, as´ı que es irrelevante que los haya o no.

Por ejemplo, al trabajar en una teor´ıa que admita átomos conviene modificar la definición de inclusión para restringirla a conjuntos:

x⊂y≡ctox∧ctoy∧Vu(u∈x→u∈y).

Por otra parte, muchas de las teor´ıas que vamos a considerar sobreLaser´an compatibles con la no existencia de ´atomos, es decir, con el axioma

No hay ´atomos (NA) Vx ctox.

Naturalmente, el axioma NA hace redundante al relator ‘cto’. Para precisar esta idea vamos a llamar T0a la teor´ıa sobreLcuyo ´unico axioma es el axioma

de extensionalidad (de ZFC) y T0A a la teor´ıa sobreLacuyo ´unico axioma es el axioma de extensionalidad d´ebil (restringido a conjuntos).

Es claro entonces que todo modelo M de T0 se convierte en un modelo

de T0A+NA sin m´as que interpretar el relator ‘cto’ como la relaci´on vac´ıa y,

rec´ıprocamente, todo modeloM de T0A+NA se convierte en un modelo de T0

sin m´as que eliminar la interpretaci´on del relator ‘cto’.

Esto se traduce en que una f´ormula deLes un teorema de T0 si y s´olo si es

un teorema de T0A+NA.

1.2 Los axiomas de T

Llamaremos TA a la teor´ıa sobreLacuyos axiomas son los indicados en la tabla siguiente. Si a˜nadimos el axioma de partes tenemos la teor´ıa TPA.

Extensionalidad VXY(Vu(u∈X↔u∈Y)→X =Y)

Vac´ıo WXVu u /∈X

T(A) Par VxyWZVu(u∈Z ↔u=x∨u=y)

Uni´on VXWYVu(u∈Y ↔WV(u∈V ∧V ∈X))

Diferencia VXYWZVu(u∈Z ↔u∈X ∧u /∈Y)

TP(A) Partes VXWYVu(u∈Y ↔u⊂X)

Las teor´ıas T y TP son las teor´ıas sobre Lque resultan de eliminar el rela-tor cto de los axiomas de TA y TPA respectivamente o, equivalentemente, de suprimir la distinción entre mayúsculas y minúsculas en la tabla anterior.

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relator ‘cto’. Por consiguiente, una f´ormula deLes un teorema de T (resp. TP) si y s´olo si lo es de TA+NA (resp. TPA+NA).

Notemos que todos los axiomas de TP son teoremas de ZFC. A pesar de ser una teor´ıa muy b´asica, en T se pueden demostrar resultados no triviales. Veamos algunos teoremas de TA (luego en particular de T):

1.3 El ´

algebra de los conjuntos

El conjunto cuya existencia postula el axioma del conjunto vac´ıo es ´unico por el axioma de extensionalidad, luego podemos definir

∅≡X|Vu u /∈X

y as´ı tenemos que cto∅∧Vu u /∈∅.

Similarmente, el axioma del par, junto con el axioma de extensionalidad, nos permiten definir

{x, y} ≡Z|Vu(u∈Z ↔u=x∨u=y)

y en particular{x} ≡ {x, x}.

Del mismo modo, el axioma de la uni´on y el axioma de extensionalidad hacen

que _S

X ≡Y|Vu(u∈Y ↔WV(V ∈Y ∧u∈V)) sea una descripci´on propia para todo conjuntoX.

Ahora es f´acil probar:

V

XYWZVu(u∈Z↔u∈X ∨u∈Y),

pues basta tomarZ =S{X, Y}, luego, teniendo en cuenta de nuevo el axioma de extensionalidad, podemos definir

X∪Y ≡Z|Vu(u∈Z ↔u∈X∨u∈Y).

El axioma de la diferencia y el axioma de extensionalidad hacen que la descripci´on siguiente sea propia para conjuntos:

X\Y ≡Z|Vu(u∈Z ↔u∈X∧u /∈Y).

Finalmente, tomandoZ = (X∪Y)\((X\Y)∪(Y \X)) se justifica que la descripci´on siguiente es propia para conjuntos:

X∩Y ≡Z|Vu(u∈Z ↔u∈X∧u∈Y).

A partir de aqu´ı se demuestran sin dificultad todas las propiedades elemen-tales del ´algebra de conjuntos.

Para terminar observamos que en TPA la descripci´on siguiente es propia para conjuntos:

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1.4. Ordinales 5

1.4 Ordinales

Como ya hemos anticipado, la teor´ıa b´asica de ordinales puede desarrollarse en TA (y en particular en T). En particular podemos definir en T los n´umeros naturales.

Definici´on 1.1 Diremos que un conjuntoX es

a) transitivosi Vu∈X u⊂X,

b) ∈-conexosiVuv∈X(u∈v∨v∈u∨u=v),

c) bien fundadosi

V

U(U ⊂X ∧U 6=_∅→WV ∈U(V ∩U =_∅))).

Un conjuntoV que cumpla esta definici´on recibe el nombre de elemento minimaldeu.

d) un ordinalsi cumple las tres propiedades anteriores.

Recordemos que la definici´on deu⊂ X supone que ues un conjunto, por lo que la definici´on de conjunto transitivo exige que todos los elementos de X

sean conjuntos.

Llamaremos Ω a la clase de todos los ordinales, es decir,

Ω≡ {α|αes un ordinal}.

Esto ha de entenderse igual que en ZFC, es decir, Ω no pretende nombrar a un objeto de la teor´ıa, sino que simplementex∈Ω es una forma cómoda de abreviar la fórmula ‘xes un ordinal’. Para comodidad del lector reproducimos aqu´ı los resultados básicos de la teor´ıa de ordinales para constatar que, efectivamente, pueden demostrarse en TA:

Teorema 1.2 SiX es un conjunto bien fundado entoncesX /∈X.

Demostraci´on: Si X ∈ X entonces {X} ⊂ X ∧ {X} 6= ∅. Sea u un elemento minimal de {X}. Necesariamente,u=X, peroX ∈X ∩ {X}, con-tradicci´on.

Teorema 1.3 Los elementos de los ordinales son ordinales.

Demostraci´on: SeaY un ordinal y seaX ∈Y. Por transitividadX ⊂Y

y por consiguienteX es conexo y bien fundado. Falta probar que es transitivo, es decir, queVU V(U ∈V ∧V ∈X→U ∈X).

Si U ∈ V ∧ V ∈ X, tenemos V ∈ X ∧ X ∈ Y y, como Y es transitivo,

V ∈ Y, e igualmente U ∈ Y. As´ı pues, {U, V, X} ⊂ Y. Como Y est´a bien fundado se cumplir´a

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peroU ∈V∩{U, V, X}yV ∈X∩{U, V, X}, luego ha de serU∩{U, V, X}=∅. ComoY es conexo ha de serU ∈X ∨X ∈U ∨U =X, pero siX ∈U entonces

X ∈U∩ {U, V, X}=∅, y siX =U entoncesV ∈U∩ {U, V, X}=∅. As´ı pues, se ha de cumplirU ∈X, como quer´ıamos.

Ahora podemos probar:

Teorema 1.4 Todo ordinal est´a bien ordenado por la inclusi´on.

Demostraci´on: SeaY un ordinal. Los axiomas de T no permiten asegurar la existencia del conjunto

{(u, v)∈Y ×Y |u⊂v},

as´ı que lo que vamos a probar es simplemente que

V

X(X ⊂Y ∧X6=_∅→WU ∈XVZ∈X U ⊂Z).

Dado X, basta tomar U ∈X minimal, es decir, tal que U∩X =_∅. As´ı, dado Z ∈ X, se cumple que U, Z ∈ Y, luego U ∈ Z ∨ Z ∈ U ∨ U = Z. No puede serZ ∈U, pues entonces Z ∈ U∩X =_∅. Por lo tanto nos queda

U ∈ Z ∨ U = Z. Por el teorema anterior, Z es un ordinal, luego si U ∈ Z, tendremosU ⊂Z, y trivialmente tambi´en si U =Z, por lo que en cualquiera de los dos casosU ⊂Z.

Teorema 1.5 SiX eY son ordinales yX ⊂Y, entoncesX ∈Y ∨X=Y.

Demostraci´on: SiX 6=Y entonces Y \X 6=_∅. ComoY es un ordinal,

Y \X tiene un elemento minimalU, es decir,U∩(Y \X) =_∅.

Si Z ∈U, entonces Z /∈Y \X y Z ∈Y (puesZ ∈U ∈Y), luegoZ ∈X. Por lo tantoU ⊂X.

Si Z ∈X, entonces tenemosZ, U ∈ Y, luego Z ∈ U ∨ U ∈ Z ∨Z = U. SiU ∈Z, entonces U ∈Z ∈X, luego U ∈X, contradicci´on (U ∈Y \X). Si

Z =U entonces de nuevo U ∈ X, contradicci´on. Por lo tanto Z ∈ U, y as´ı

X ⊂U.

En definitivaX =U ∈Y.

Teorema 1.6 La intersecci´on de dos ordinales es un ordinal.

Demostraci´on: Sean X, Y ordinales. Como X ∩Y ⊂ X, trivialmente

X∩Y es conexo y bien fundado. Falta ver que es transitivo:

SiU ∈X∩Y, entoncesU ∈X ∧U ∈Y,U ⊂X ∧U ⊂Y, luegoU ⊂X∩Y.

Con esto tenemos el resultado que busc´abamos:

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1.4. Ordinales 7

Demostraci´on: X∩Y es un ordinal,X∩Y ⊂X y X∩Y ⊂Y. Por el teorema 1.5 tenemos (X∩Y ∈X ∨X∩Y =X)∧(X∩Y ∈Y ∨X∩Y =Y). De aqu´ı se sigue

(X∩Y ∈X∧X∩Y ∈Y)∨(X∩Y ∈X ∧X∩Y =Y)

∨(X∩Y =X∧X∩Y ∈Y)∨(X∩Y =X ∧X∩Y =Y),

o seaX∩Y ∈X∩Y ∨ Y ∈X ∨ X∈Y ∨ X =Y. El primer caso se descarta por el teorema 1.2.

Teorema 1.8 Ω es un ordinal y, en particular, est´a bien ordenado por la in-clusi´on.

Demostración: Esto ha de entenderse del modo siguiente: decir que Ω es una clase transitiva es una forma de afirmar que u ∈ v ∈ Ω → u ∈ Ω, lo cual es cierto por el teorema 1.3, decir que Ω es conexa es una forma de afirmar que si u, v ∈ Ω, entonces u ∈ v ∨ v ∈ u ∨ u = v, lo cual es cierto por 1.7. Por último, decir que Ω está bien fundada equivale a afirmar que siX ⊂Ω (es decir, si todos los elementos deX son ordinales) yX6=_∅, entoncesX tiene un elemento minimal.

En efecto, seaY ∈X. SiY ∩X=_∅entoncesY es un elemento minimal de

X. Supongamos ahora que Y ∩X 6=_∅. Como Y es un ordinal eY ∩X ⊂Y,

Y ∩X tiene un elemento minimalU, es decirU ∈Y ∩X∧U ∩Y ∩X =_∅. Como U ∈Y, tambi´en U ⊂Y, de dondeU ∈X ∧U∩X =∅, es decir, U

es un elemento minimal deX.

Más aún, el mismo argumento empleado en 1.4 prueba queVZ∈X U ⊂Z, y es esto lo que hay que entender cuando afirmamos que Ω está bien ordenado por la inclusión.

Ahora es f´acil probar que Ω no puede ser un conjunto, pues si lo fuera ser´ıa un ordinal y se cumplir´ıa que Ω∈Ω, en contra del teorema 1.2.

En lo sucesivo, cuando digamos queαes un ordinal se entender´a queαes un conjunto que es un ordinal (es decir, excluiremos la posibilidadα= Ω). Siαyβ

son ordinales, escribiremosα≤β ≡α⊂β y, en virtud de 1.5,α < β≡α∈β.

Según dec´ıamos, el hecho de que Ω es un ordinal, junto con que está bien ordenado por la relación de pertenencia (como orden estricto), resume todos los resultados que hemos probado hasta ahora.

Introducimos la notaci´on 0≡∅,x0 ₌_x_{∪ {}_x_}_.

Teorema 1.9 Se cumple:

a) 0es el m´ınimo ordinal.

b) Si α es un ordinal, entonces α0 _{tambi´en lo es, y es el m´ınimo ordinal} mayor que α.

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Demostración: a) Es inmediato que∅es un ordinal. Además es el m´ınimo porque el orden es la inclusión.

b) Si α ∈ Ω, es claro que α0 _⊂ _{Ω, luego}_α0 _{es un conjunto conexo y bien} fundado. Falta probar que es transitivo, pero siu∈α0_{, entonces}_u_∈_α_∨_u₌_α_, y en ambos casosu⊂α⊂α0_.

Obviamente α < α0 _{y si} _{α < β} _entonces _α _⊂ _β _{por transitividad, luego}

α0 ₌_α_{∪ {}_α_{} ⊂} _β_{, es decir,} _α0 _≤_β_{. Por consiguiente} _α0 _{es el menor ordinal} mayor queα.

c) Como todo α∈X est´a contenido en Ω, es claro que SX ⊂Ω, luego es un conjunto conexo y bien fundado. Hemos de probar que es transitivo, pero si

β ∈SX, entonces existe un α∈xtal queβ ∈α, luego por la transitividad de

αesβ ⊂α⊂SX. Por consiguiente SX∈Ω.

Teniendo en cuenta que el orden es la inclusi´on, es inmediato queSX es el supremo deX.

Definici´on 1.10 Un ordinalα∈Ω es unordinal sucesorsi existe unβ ∈Ω tal queα=β0_{. Un}_{ordinal l´ımite}_{es un ordinal}_λ_∈_{Ω que no es nulo ni un ordinal} sucesor.

De este modo, todo α∈Ω es igual a 0, o bien es un ordinal sucesor, o bien es un ordinal l´ımite.

Definici´on 1.11 Un conjuntones unn´umero naturalsi cumple:

n∈Ω∧Vα(α∈n0 →α= 0∨Wβ∈α α=β0).

o sea, un número natural es un ordinal tal que ni él ni ninguno de sus antecesores es un ordinal l´ımite. Llamaremosωa la clase de los números naturales, de modo quen∈ω no es más que una abreviatura por “nes un número natural”.

Más adelante tendrá importancia el hecho de que la segunda parte de la definición de número natural (quitando la condiciónn∈Ω) es una fórmula ∆0,

pues puede expresarse en la forma

n= 0∨(Wβ∈n n=β0∧Vα∈nWβ∈α α=β0)

No podemos demostrar queωes un conjunto, pero esto no es necesario para probar los resultados b´asicos. El teorema siguiente se ha de entender en el mismo sentido que 1.8:

Teorema 1.12 ω es un ordinal.

Demostración: Comoω⊂Ω, basta ver que es transitiva. Siu∈v∧v∈ω, entoncesv es un número natural. Por definición tenemos que

V

α(α∈v0→α= 0∨Wβ∈α α=β0),

comou < v, tambi´enu0_⊂_v0 _{en particular}

V

α(α∈u0→α= 0∨Wβ ∈α α=β0),

(19)

1.5. La jerarqu´ıa de L´evy 9

Teorema 1.13 (Axiomas de Peano) Se cumple:

1) 0∈ω,

2) Vn∈ω n0 _∈_ω_, 3) Vn∈ω n0 ₆_{= 0,}

4) Vmn∈ω(m0₌_n0_→_m₌_n_),

5) VY(Y ⊂ω∧0∈Y ∧Vn∈Y n0_∈_Y _→_Y ₌_ω_).

Demostración: 1) es trivial, sin∈ω yα∈n00_{, entonces, o bien}_α_∈_n0 _o bienα=n0_{. En el primer caso} _α_{= 0} _∨ W_β _∈_{α α}₌_β0_{, porque} _n_∈_ω_{. Esto} también se cumple en el segundo caso, tomandoβ=n. Por consiguienten0_∈_ω_. Las propiedades 3) y 4) son trivialmente válidas para ordinales cualesquiera (teniendo en cuenta quen0 _{es el menor ordinal mayor que}_n_{). Veamos 5).}

SiY ⊂ω∧0∈Y ∧Vn∈Y n0 _∈_Y _pero_Y ₆₌_ω_{, entonces}_ω_\_Y _tendr´_{a un} m´ınimo elementon, que será no nulo por hipótesis. Por la definición de número naturaln=m0 _{para cierto}_{m < n}_{, luego}_m_∈_Y _{y, por hip´}_otesis_n₌_m0 _∈_Y_{, lo} cual es una contradicción.

Observemos que no podemos decir que TA o TPA son teor´ıas aritm´eticas, pues no estamos en condiciones de definir la suma y el producto de n´umeros naturales.

1.5 La jerarqu´ıa de L´

evy

La teor´ıa TA es suficiente para demostrar las propiedades básicas de la je-rarqu´ıa de Lévy de las fórmulas del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos (que se adapta fácilmente al caso deLa). Recordemos su definición:

Definici´on 1.14 Una f´ormula deLaes de clase ∆0si todos sus cuantificadores

aparecen acotados en la formaVx∈y oWx∈y.

Una f´ormula deLaes de clase Σn si es de la forma

W

x1Vx2Wx3· · ·xnα,

dondeαes una f´ormula ∆0. Una f´ormula deLaes de clase Πnsi es de la forma

V

x1Wx2Vx3· · ·xnα,

dondeαes de nuevo una f´ormula ∆0.

Más en general, si T es una teor´ıa axiomática sobre La, diremos que una fórmula es ΣT

n o ΠTnsi es equivalente enTa una f´ormula del tipo correspondiente. Diremos que una f´ormula es de tipo ∆T

(20)

Teorema 1.15 SeaT una teor´ıa sobreLaque contenga al menos el axioma de extensionalidad y el axioma del par (en particular, cualquier teor´ıa que extienda a la teor´ıaTA). Entonces

a) Si αyβ son f´ormulasΣT

n entonces tambi´en lo son

W

xα,α∧β, y α∨β.

b) Si αyβ son f´ormulasΠT

n entonces tambi´en lo son

V

xα,α∧β, yα∨β.

c) Si αesΣT_n entonces¬αes ΠT_n y viceversa.

d) Si α es ΣT

n y β es ΠTn entonces α→β es Πn y an´alogamente intercam-biando ΣyΠ.

e) Si αyβ son f´ormulas∆T

n tambi´en lo son

¬α, α∧β, α∨β, α→β, α↔β.

Demostraci´on: a) Por simplicidad supondremosn= 3. El caso general es formalmente id´entico. Tenemos queα↔Wx1

V x2

W

x3 φ, dondeφes ∆0. As´ı W

xα↔Wxx1Vx2Wx3φ↔WwWz∈wWxx1∈z(w= (x, x1)∧Vx2Wx3 φ)

↔WwVx2Wx3Wz∈wWxx1∈z(w= (x, x1)∧φ).

Siβ ↔Wy1Vy2Wy3ψ, dondeψes ∆0y las variablesy1,y2,y3son distintas

dex1,x2,x3, entonces

α∧β ↔Wx1y1 V

x2y2 W

x3y3(φ∧ψ).

Ahora basta aplicar tres veces el caso ya probado y el correspondiente de b), que se sigue del que hemos probado aplicando c). Notemos que c) es inmediato. El caso deα∨β es id´entico.

(21)

Cap´ıtulo II

La teor´ıa de conjuntos de

Kaye-Forster

En este cap´ıtulo estudiamos la teor´ıa que resulta de añadir a TPA una forma muy débil del esquema de especificación, pero que, no obstante, es suficiente para formalizar una parte considerable de la teor´ıa de conjuntos usual.

2.1 Los axiomas de KF

Para introducir el axioma de especificación de KF necesitamos previamente el concepto de estratificación de fórmulas:

Definición 2.1 Una fórmula sin descriptores φ de La está estratificada si es posible asignar un número natural a cada una de sus variables (al que llamare-mos sutipo) de modo que en cada subfórmulax=ylas dos variables tengan el mismo tipo, mientras que en cada subfórmulax∈y el tipo deysea una unidad mayor que el tipo dex.

La teor´ıa de Kaye-Forster con átomos (KFA) es la teor´ıa que resulta de añadir a TPA el esquema axiomático siguiente:

Esquema de especificaci´on (KFA) Para toda f´ormula deLasin descripto-res estratificadaφ(u, x1, . . . , xn) de clase1_∆

0, la f´ormula siguiente es un axioma: V

x1· · ·xnX

W

ZVu(u∈Z ↔u∈X ∧φ(u, x1, . . . , xn)).

La teor´ıa de Kaye-Forster (KF) es la teor´ıa que resulta de añadir a TP el esquema axiomático análogo al anterior pero restringido a fórmulas de L y eliminando el relator ‘cto’, es decir, la distinción entre mayúsculas y minúsculas.

1_{Recordemos que una f´}_{ormula ∆}

0 es una f´ormula cuyos cuantificadores aparecen siempre

acotados, es decir, en la formaVx∈yoWx∈y.

(22)

As´ı, en KFA, el t´ermino

{u∈X |φ(u, x1, . . . , xn)} ≡Z|

V

u(u∈Z↔u∈X ∧φ(u, x1, . . . , xn))

es una descripción propia siempre que X sea un conjunto yφsea una fórmula ∆0estratificada (deLo de La, según si trabajamos en KF o KFA).

De nuevo es inmediato que KF es equivalente a KFA+NA, en el sentido que ya hemos discutido en el cap´ıtulo anterior para las teor´ıas precedentes.

Observemos que en KFA podemos eliminar los axiomas del conjunto vac´ıo y de la diferencia, pues son consecuencia del axioma de especificación. Ante todo observemos que la existencia de un objeto xes un teorema lógico, luego también podemos asegurar la existencia de un conjunto, por ejemploX={x}, y entonces

∅={u∈X |u6=u}.

Similarmente,

X\Y ={u∈X|u /∈Y}.

Ambos usos del axioma de especificaci´on son correctos, pues las f´ormulas

u 6= u y u /∈ Y est´an estratificadas (y obviamente son ∆0, porque no tienen

cuantificadores).

As´ı pues, los axiomas de KF(A) se pueden reducir a los siguientes:

Extensionalidad VXY(Vu(u∈X↔u∈Y)→X =Y)

Par VxyWZ(x∈Z ∧y∈Z)

Uni´on VXWYVU ∈XVv∈U v∈Y

Partes VXWYVu(u⊂X →u∈Y)

∆e

0-especificaci´on V

XWYVu(u∈Y ↔u∈X ∧φ(u)) (∗)

(∗) para toda f´ormulaφ(con posibles par´ametros) de clase ∆0 y estratificada.

Notemos que hemos simplificado los axiomas del par, de la unión y de partes con respecto a los de T o los de ZFC, pues las versiones fuertes se recuperan a partir del esquema de especificación. Por ejemplo, en el caso del axioma del par, dado el conjunto Z cuya existencia afirma la versión débil del axioma, podemos construir

{x, y}={u∈Z |u=x∨u=y},

y con la uni´on se razona de forma similar.

El inter´es de restringir de este modo el esquema de especificaci´on es que KFA es consistente con el axioma

V ∈V ≡WXVu u∈X,

(23)

2.1. Los axiomas de KF 13

que estudiaremos m´as adelante,2 _{mientras que a la teor´ıa KFA +} _V _∈ _V _la

llamaremos NFA.

Notemos que al admitir un conjunto universalV toda f´ormula es equivalente a una f´ormula ∆0, pues todas las variables cuantificadas se pueden acotar porV.

Sin embargo, la teor´ıa de Mac Lane (MAC), a la que pretendemos llegar, tiene como axioma el esquema de ∆0-especificaci´on (sin exigir estratificaci´on), de

modo que el inter´es de KF es que los resultados que probemos en su seno son a la vez teoremas de NF y teoremas de MAC.

As´ı pues, la condición de estratificación es una restricción suficiente para evitar que en KFA pueda justificarse cualquiera de los argumentos que en ZFC prueban que la clase de todos los conjuntos no es un conjunto. Por ejemplo, uno de estos argumentos consiste en que siV fuera un conjunto, también lo ser´ıa la clase

R={x|x /∈x}={x∈V |x /∈x},

lo cual da lugar a la famosa paradoja de Russell. Sin embargo, este razonamiento no es v´alido en KFA, ya que la f´ormula que define aR no es estratificable, por lo que no podemos asegurar queR sea un conjunto.

Obviamente, si una f´ormula φ (tal vez con descriptores) es equivalente en KF(A) a otra f´ormulaφ0_{sin descriptores estratificada y de clase ∆}

0, el axioma de

especificaci´on paraφ0 _{implica la f´}_{ormula an´}_{aloga para}_φ_{, de modo que podemos} usarφpara especificar subconjuntos de un conjunto dado.

A la hora de reconocer si una fórmula con descriptores es equivalente a una fórmula (sin descriptores) estratificada, conviene generalizar la definición de fórmula estratificada como sigue:

Definición 2.2 Una expresión deLaestáestratificadasi es posible asignar un número natural a cada uno de sus términos (variables o descripciones) al que llamaremos su tipo, de modo que en toda subf´ormula t1 =t2 ambos términos

tengan el mismo tipo, en toda subf´ormula t1∈t2 el tipo det2 sea una unidad

mayor que el det1, y el tipo de cada descripci´onx|αsea el mismo que el de la

variablex.

Es obvio que una fórmula sin descriptores está estratificada en este sentido si y sólo si lo está en el definido previamente.

Teorema 2.3 Toda fórmula estratificada es equivalente a una fórmula estrati-ficada sin descriptores con las mismas variables libres y éstas tienen los mismos tipos en ambas fórmulas.

2_{Veremos que la consistencia de NFA es equivalente a la de la teor´ıa de Mac Lane, que es}

(24)

Demostraci´on: Adoptaremos el convenio de que las descripciones impro-pias nombran el conjunto vac´ıo.

Supongamos que una fórmulaφcontienendescripciones como subtérminos (si una misma descripción aparece varias veces podemos contarla una sola vez). Es claro que si sumamos n al tipo de cada subtérmino de φ obtenemos una nueva asignación de tipos que justifica que φ está estratificada y ahora todos los tipos son mayores o iguales quen.

Si n = 0 el teorema es obvio. En caso contrario seleccionamos una des-cripción x|α contenida en φ. Podemos suponer que la variable x no aparece en φmás que en los términosx|α, pues en caso contrario podemos sustituirla por otra (dentro de dichos términos) y obtenemos una fórmula equivalente (y estratificada). Entonces

φ↔

1 W

x(α∧φ0)∨(¬

1 W

xα∧Wx(ctox∧Vu u /∈x∧φ0)),

donde φ0 _{es la f´}_{ormula que resulta de sustituir la descripci´}_on_x_|_α_{por la} varia-ble x. Puesto que la asignación de tipos que justifica queφ está estratificada asigna el mismo tipo ax|αy ax, es claro que la fórmulaφ0 _{también est´}_a estra-tificada (con la misma asignación de tipos), y lo mismo vale para el miembro derecho de la equivalencia anterior, donde la variableues cualquier variable que no aparezca enφ, a la que asignamos como tipo una unidad menos que ax.

De este modo, la fórmula del miembro derecho tienen−1 descriptores y está estratificada con una asignación de tipos en la que el tipo de cada término es

≥n−1. Repitiendo este razonamiento, tras un n´umero finito de pasos llegamos a una f´ormula equivalente sin descriptores.

Este teorema hace que comprobar que una fórmula es equivalente a una fórmula estratificada sin descriptores sea relativamente fácil, como lo es com-probar que una fórmula es ∆0. Sin embargo, comprobar ambas cosas a la vez

requerir´a a menudo mostrar equivalencias expl´ıcitas.

Por ejemplo, es evidente que el t´ermino

{x, y} ≡Z|Vu(u

0∈Z1 ↔u0 =x0∨u0 =y0)

está estratificado con una estratificación que le asigna tipo 1. Más en general, si en la identidad anterior sustituimosxeypor dos términos cualesquierat1yt2, vemos que si ambos admiten estratificaciones que les asignen un mismo tipon, entonces el término{t1, t2}admite una estratificación que le asigna tipon+ 1.

Sin embargo, para asegurar que{t1, t2}es de clase ∆0necesitamos hip´otesis

y comprobaciones adicionales. Concretamente, supongamos que t1 y t2 son t´erminos tales que las f´ormulasu=t1 yu=t2(dondeues una variable que no

aparezca en ellos) sean equivalentes a fórmulas sin descriptores, estratificadas, de clase ∆0y de modo que ambas admitan estratificaciones que asignen a la variable uun mismo tipo n, entonces la fórmula x={t1, t2}es también equivalente a

(25)

2.2. Relaciones y funciones 15

En efecto,

x={t1, t2} ↔ctox∧ V

u

n∈nx+1(un=tn1∨un=tn2)

∧Wu

n∈nx+1 un =tn1∧

W u

n∈nx+1 un=tn2,

y al sustituir las fórmulas u = t1, u = t2 por las fórmulas equivalentes sin descriptores obtenemos claramente una fórmula ∆0 estratificada y en la quex

tiene tipon+ 1.

2.2 Relaciones y funciones

Producto cartesiano Notemos que en TA se puede definir el concepto de par ordenado de la forma habitual:

(x, y)≡ {{x},{x, y}},

y se demuestra que

V

xyuv((x, y) = (u, v)↔x=u∧y=v).

De la propia definición de par ordenado se sigue inmediatamente que el término (x, y) admite una estratificación que asigna a las dos variables el mismo tipony al par ordenado el tipon+ 2. Más aún, aplicando dos veces la última observación del apartado anterior obtenemos que la fórmulau= (x, y) es equi-valente a una fórmula de clase ∆0 y estratificada de modo que el tipo de ues

dos unidades mayor que el dexey.

Six∈X ∧y∈Y, entonces (x, y)∈PP(X∪Y), luego la clase

A={u∈PP(X∪Y)|Wx∈XWy∈Y u= (x, y)}

es un conjunto en KFA, ya que la fórmulau= (x, y) es equivalente a una fórmula sin descriptores de clase ∆0 y está estratificada, lo cual implica claramente que

lo mismo vale para la f´ormula completa, y es claro queAcontiene exactamente a los pares ordenados con primera componente en X y segunda componente enY.

Por consiguiente, en KFA la descripci´on siguiente es propia para conjuntos:

X×Y ≡Z|Vu(u∈Z ↔Wxy(x∈X ∧y∈Y ∧u= (x, y))).

Usaremos la notaci´on

{(x, y)∈X×Y |φ(x, y, x1, . . . , xn)}

≡ {u∈X×Y |Wx∈XWy∈Y(u= (x, y)∧φ(x, y, x1, . . . , xn)}. Observemos que la condici´on para que sea una descripci´on propia es queX eY

sean conjuntos y que la f´ormulaφsea de clase ∆0 y admita una estratificaci´on

(26)

Relaciones A partir de aqu´ı ya es f´acil definir todos los conceptos b´asicos relacionados con relaciones y demostrar sus propiedades elementales.

Observemos que la f´ormula

R⊂X×Y ↔ctoX ∧ctoY ∧ctoR∧Vu∈RWx∈XWy∈Y u= (x, y)

es (equivalente a una f´ormula sin descriptores) de clase ∆0 y admite una

estra-tificaci´on en la que las variables X, Y tienen el mismo tipo arbitrario n y R

tiene tipon+ 2.

Conviene observar que

x R y↔Wu∈R u= (x, y)

es una f´ormula ∆0 y admite una estratificaci´on en la quexey tienen el mismo

tiponyRtiene tipon+ 3.

Por otra parte, si (x, y) ∈ R, entonces x, y ∈ {x, y} ∈ (x, y) ∈ R, luego

x, y∈S SR. Esto hace que las definiciones de dominio y rango:

DR≡ {x|Wy (x, y)∈R}, RR≡ {y|Wx(x, y)∈R}

sean descripciones propias para conjuntos, pues3

DR={x∈S SR|Wy∈S SR x R y},

y an´alogamente conRR. Similarmente podemos definir

R−1_{≡ {}₍_{x, y}₎_|₍_{y, x}₎_∈_R_}_,

y la descripci´on es propia porque

R−1₌_{₍_{x, y}₎_∈S S_R_×S S_R_|_{y R x}_}_.

A su vez la composici´on

R◦S ≡ {(x, z)|Wy((x, y)∈R∧(y, z)∈S)}

est´a bien definida porque

R◦S={(x, z)∈S SR×S SS|Wy∈S SR(x R y∧y R z)}.

SiRes una relaci´on de equivalencia en un conjuntoA(omitimos la definici´on obvia), para cada objetoa∈Apodemos definir su clase de equivalencia

[a]R≡ {x∈A|x R a}.

3_{Notemos que} S S_R_{puede considerarse como par´}_{ametro, es decir, que el esquema de}

especificaci´on nos asegura la existencia del conjunto

{x∈X|Wy∈x1

W

u∈x2 u= (x, y)}

para todo conjuntoXy todos los objetosx1yx2, y particularizamos esto aX=x1=S SR,

(27)

2.2. Relaciones y funciones 17

Similarmente, el conjunto cociente

A/R={[a]|a∈A}

est´a bien definido, pues

A/R={x∈PA|Wa∈AVu∈A(u∈x↔u R a)}.

Las propiedades b´asicas de las relaciones de equivalencia (esencialmente que

A/Res una partici´on deA) se demuestran sin dificultad.

Funciones Observemos que la f´ormula

F:X−→Y ≡F⊂X×Y ∧Vx∈XWy ∈YWu∈F u= (x, y)

∧x∈XVyy0∈Y(Wuv∈F(u= (x, y)∧v= (x, y0)→y=y0).

es equivalente a una f´ormula ∆0sin descriptores y que admite una estratificaci´on

en la que las variablesX eY tienen el mismo tiponyF tiene tipon+ 2.

Lo mismo vale para las f´ormulas ‘F : X −→ Y inyectiva’, ‘F : X −→ Y

suprayectiva’ o ‘F :X −→Y biyectiva’, cuyas definiciones obvias omitimos.

Esto implica a su vez que la clase

YX ≡ {F |F :X −→Y},

es un conjunto, ya que puede especificarse como subconjunto deP(X×Y).

Observemos que, definiendoF(x)≡y|(x, y)∈F, siF :X −→Y yx∈X,

y=F(x)↔x F y,

y esta f´ormula es equivalente a una f´ormula ∆0sin descriptores que admite una

estratificaci´on en la quexey tienen el mismo tiponyF tiene tipon+ 3. Otros conceptos b´asicos relacionados con aplicaciones cuya existencia pode-mos probar sin problemas son

F[X]≡ {y|Wx∈X y=F(x)}, F|X ≡ {(x, y)∈F |x∈X}

pues

F[X] ={y∈RF |Wx∈X y=F(x)},

F|X ={u∈F |

W

x∈XWy∈S SF u= (x, y)}.

(28)

2.3 Cardinalidad

No podemos definir cardinales en KFA, pero s´ı podemos definir las relaciones (metamatem´aticas) deequipotenciayminuspotencia:

X =Y ≡WF F :X−→Y biyectiva, X≤Y ≡WF F :X −→Y inyectiva.

Las propiedades siguientes se demuestran trivialmente:

a) X =X,

b) X =Y →Y =X,

c) X =Y ∧Y =Z →X=Z,

d) X ≤X,

e) X ≤Y ∧Y ≤Z →X≤Z.

La que no es trivial es la antisimetr´ıa de la minuspotencia. La prueba usual en ZFC es v´alida en KFA. Para comprobarlo observamos antes que en KFA podemos definir

T

X ≡ {u|VV ∈X u∈V},

que es una descripci´on propia siempre que X contenga al menos un conjunto

V0, pues entonces _T

X={u∈V0|VV ∈X u∈V}.

Teorema 2.4 (Cantor-Bernstein) VXY(X ≤Y ∧Y ≤X→X=Y).

Demostraci´on: Empezamos probando lo siguiente:

Sea X un conjunto y F : PX −→ PX una aplicaci´on tal que si

u⊂v ⊂X entonces F(u)⊂F(v). Entonces existe un z∈ PX tal que F(z) =z.

SeaA={u∈PX |F(u)⊂u}. Notemos queAes un conjunto porque

F(u)⊂u↔Wv∈PX(v=F(u)∧Vx∈v x∈u)

y la fórmula de la derecha es ∆0 (con parámetrosPX, F) y está estratificada.

Puesto queX ∈A, podemos tomarz=TA∈PX.

Siu∈A, entoncesz⊂u, luegoF(z)⊂F(u)⊂u, con lo queF(z)⊂z. Por la hip´otesis,F(F(z))⊂F(z), luegoF(z)∈A, luegoz⊂F(z), lo que nos da la igualdadF(z) =z.

(29)

2.4. Buena ordenaci´on 19

Esto es correcto, puesF está definida por especificación como subconjunto dePX×PX por la fórmula

φ(u, v)≡v=X\g[Y \f[u]]↔ctov∧Vx∈X(x∈v↔x /∈g[Y \f[u]])

↔ctov∧Vx∈X(x∈v↔ ¬Wy∈Y(y /∈f[u]∧x=f(y)))

↔ctov∧Vx∈X(x∈v↔ ¬Wy∈Y(¬Wx0 _∈_{u y}₌_f₍_x0₎_∧_x₌_f₍_y₎₎₎ y la última fórmula es claramente equivalente a una fórmula ∆0y estratificada.

Estamos en las hip´otesis del resultado que acabamos de probar, pues si se cumpleu⊂v⊂X, entonces

f[u]⊂f[v], Y \f[v]⊂Y \f[u], g[Y \f[v]]⊂g[Y \f[u]],

X\g[Y \f[u]]⊂X\g[Y \f[v]],

luegoF(u)⊂F(v).

En consecuencia existe un subconjunto z ⊂X tal que F(z) = z, es decir,

X\g[Y \f[z]] =z o, equivalentemente, X\z=g[Y \f[z]]. Por consiguiente,

f|z:z−→f[z] yg|Y\f[z] :Y\f[z]−→X\zson ambas biyectivas, luego la uni´on

de la primera con la inversa de la segunda nos da una aplicaci´onh:X −→Y

biyectiva.

2.4 Buena ordenaci´

on

En general, si (A,≤) es un conjunto ordenado (omitimos la definici´on trivial), podemos considerar la relaci´on de orden estricto asociada

<≡ ≤ ∩ {(x, y)∈A×A|x6=y}

as´ı como las secciones iniciales

A<_a ≡ {x∈A|x < a}, A≤_a ≡ {x∈A|x≤a}

(cuya existencia se justifica en KFA exactamente igual que la de las clases de equivalencia para una relaci´on de equivalencia). El principio de inducci´on trans-finita es inmediato:

Teorema 2.5 (Inducci´on transfinita) Si (A,≤) es un conjunto bien orde-nado yX ⊂Acumple queVa∈A(A<

a ⊂X →a∈X), entonces X =A.

Demostraci´on: SiA\X 6=_∅, tomamos a = m´ın(A\X) y resulta que

A<

a ⊂X, peroa /∈X.

Otro hecho b´asico es el siguiente:

(30)

Demostraci´on: Consideremos el conjunto

X ={a∈A|f(a)< a}={a∈A|Wx∈A(x=f(a)∧x < a)},

claramente bien definido. S´olo hay que probar que es vac´ıo, pero si no lo fuera podr´ıamos tomar su m´ınimo a, de modo que f(a) < a, luego f(f(a))< f(a), con lo quef(a)∈Ay es menor que el m´ınimo, contradicci´on.

De aqu´ı se sigue en particular que un conjunto bien ordenado (A,≤) no puede ser semejante a uno de sus segmentos iniciales A<

a (pues la semejanza cumplir´ıaf(a)< a. Otra consecuencia importante es la siguiente:

Teorema 2.7 Si dos conjuntos bien ordenados son semejantes, existe una ´unica semejanza entre ellos.

Demostraci´on: Supongamos quef, g : (A,≤A) −→ (B,≤B) son dos se-mejanzas. Entonces f ◦g−1 _{es una semejanza de (}_A,_≤_{A) en s´ı mismo, luego} a≤A g−1(f(a)), luegog(a)≤B f(a), para todo a∈A, e igualmente se prueba quef(a)≤B f(a) para todoa∈A, luegof(a) =g(a), luegof =g.

En KFA no puede probarse que todo conjunto bien ordenado es semejante a un ordinal, pero podemos hacer como hemos hecho con la cardinalidad y definir las f´ormulas

(A,≤A) = (B,≤B)≡Wf f : (A,≤A)→(B,≤B) semejanza,

(donde una semejanza es una biyecci´on que conserva el orden). As´ı mismo:

(A,≤A)<(B,≤B)≡

W

b∈BWf f : (A,≤A)→(Bb<,≤B) semejanza,

(A,≤A)≤(B,≤B)≡(A,≤A)<(B,≤B)∨(A,≤A) = (B,≤B).

Las propiedades siguientes son inmediatas:

a) (A,≤A) = (A,≤A),

b) (A,≤A) = (B,≤B)→(B,≤B) = (A,≤A),

c) (A,≤A) = (B,≤B)∧(B,≤B) = (C,≤C)→(A,≤A) = (C,≤C),

d) (A,≤A)<(B,≤B)∧(B,≤B)<(C,≤C)→(A,≤A)<(C,≤C),

as´ı como las propiedades obvias que resultan de combinar<y =.

Del teorema anterior se sigue inmediatamente que ¬(A,≤A) = (A< a,≤A) o, equivalentemente, que ¬(A,≤A) < (A,≤A), de donde se sigue que en la disyunci´on

(A,≤A)<(B,≤B)∨(A,≤A) = (B,≤B)

no se pueden dar los dos casos a la vez. Otro hecho obvio es que no puede ocurrir

(31)

2.4. Buena ordenaci´on 21

por lo que

(A,≤A)≤(B,≤B)∧(B,≤B)≤(A,≤A)→(A,≤A) = (B,≤B).

El resultado no trivial es el siguiente:

Teorema 2.8 Si(A,≤A)y (B,≤B)son conjuntos bien ordenados, entonces

(A,≤A)≤(B,≤B)∨(B,≤B)≤(A,≤A).

Demostraci´on: Consideremos el conjunto

F ={(a, b)∈A×B|(A≤a,≤A) = (B_b≤,≤B)} La f´ormula que define aF equivale a

W

f ∈P(A×B)WD∈PAWD0 ∈PB(Vx∈A(x∈D↔x≤Aa)∧

V

x∈B(x∈D0↔x≤B b)∧f :D−→D0 biyectiva∧

V

uv∈DVu0v0 ∈D0(u0=f(u)∧v0 =f(v)∧u≤Av→u0≤v0)), que claramente es ∆0y estratificada.

Para cadaa∈A, si existe unb∈Btal que (A≤a,≤A) = (B≤b,≤B), entoncesb es ´unico, pues si hubiera dos, digamosb < b0_{, y}_{b < c}_≤_b0 _{es el m´ınimo elemento} deB mayor queb, entonces B_b≤ = (B_b≤)<

c, con lo que tendr´ıamos un conjunto bien ordenado semejante a un segmento inicial, y eso es imposible. Similarmente, para cadab∈B hay a lo sumo una∈Atal que (Aa≤,≤A) = (Bb≤,≤B). Esto se traduce en queF es una biyecci´on de un subconjunto de Aen un subconjunto deB.

Sia≤a0 _est´_{an en} _D_F _y _f _{: (}_A≤

a0,≤A)−→ (B≤_F₍_a0₎,≤B) es una semejanza, entoncesf|_A≤

a : (A

≤

a,≤A)−→(Bf≤(a),≤B) es una semejanza, luego resulta que F(a) = f(a)≤F(a0_{) y, por consiguiente,} _F _{: (}_D_F,_≤

A)−→ (RF,≤B) es una semejanza.

Es f´acil ver que si a∈DF yx∈Acumplex≤a, entoncesx∈DF. A su vez esto implica que siDF 6=A, entoncesDF =A<

a, donde a= m´ın(A\DF). Igualmente, RF = B o bienRF =B<_b para cierto b ∈B. As´ı pues, tenemos cuatro casos:

O bien DF = A ∧ RF = B, en cuyo caso (A,≤A) = (B,≤B), o bien se cumple DF = A ∧ RF = B<

a, en cuyo caso (A,≤A) < (B,≤B), o bien DF =A<_A ∧RF =B, en cuyo caso (B,≤B)<(A,≤A) y, finalmente, vamos a ver que no puede suceder queDF =A<

a yRF=B<b.

Si de diera este cuarto caso, es claro queF0 ₌_F_{∪ {}₍_{a, b}₎_}_{es una semejanza}

F0 _{: (}_A≤

(32)

2.5 Infinitud y n´

umeros naturales

El axioma de infinitud usual en ZCF no es muy adecuado para KFA porque la fórmulan∈ω no está estratificada. No obstante, podemos trabajar con él:

Axioma de infinitud (ω∈V) WXVn(n∈X↔n∈ω)

En otras palabras, el axioma de infinitud afirma que la claseωde los números naturales es un conjunto. La clave para evitar la no estratificación den∈ω es considerar aω como parámetro. Por ejemplo, en principio, la fórmula

n=m0 ↔n=m∪ {m} ↔Vu∈n(u∈m∨u=m)∧m⊂n∧m∈n

no está estratificada, por ejemplo por la subfórmula u ∈ m ∨ u = n, pero también es equivalente a

m⊂n∧m6=n∧Vk∈ω(m⊂k∧k⊂n→m=k∨k=n),

que es ∆0y estratificada con par´ametroω. Observemos que en la estratificaci´on

las variablesmyntienen el mismo tipo.

En particular, tenemos definida la funci´on sucesorS:ω−→ω dada por

S={(m, n)∈ω|n=m0}.

Esta funci´on atestigua que ω ∈ V implica en KFA un axioma de infinitud alternativo no equivalente:

Axioma de infinitud (AID) WSX S:X −→X inyectiva no suprayectiva

As´ı, AID afirma la existencia de un conjunto infinito en el sentido de Dede-kind.

En lo que sigue supondremos AID, pero no ω ∈V. Dada S : X −→ X en las condiciones de AID, podemos tomar un elemento 0∈X\S[X] y definir

N=T{Y ∈PX|0∈Y ∧Vn∈Y S(n)∈Y}.

Se comprueba inmediatamente que la restricci´on deSsigue cumpliendo que

S:_N−→Ninyectiva y no suprayectiva, pero adem´as_Ncumple los axiomas de Peano:

1) 0∈N,

2) Vn∈ω S(n)∈N,

3) Vn∈NS(n)6= 0,

4) Vmn∈N(S(m) =S(n)→m=n),

(33)

2.5. Infinitud y n´umeros naturales 23

Observemos que hemos construidoNa partir de una terna arbitraria (X, S,0) tal que S : X −→ X es inyectiva y 0∈ X \S[X]. Por lo tanto, no tenemos un único conjunto de números naturales, sino uno para cada terna en estas condiciones. (Técnicamente, el términoNtiene en realidad tres variables libres

X, S, 0.) Si suponemosω∈V y hacemos la construcci´on deNpartiendo de la aplicaci´on sucesorS :ω −→ω, entonces necesariamente el 0 que escogemos es el ordinal 0 =∅yN=ω.

Teorema 2.9 Sea(_N, S,0) cualquier terna que cumpla los axiomas de Peano. Sig:_N−→X y x0∈X, existe una ´unica aplicaci´onf :N−→X tal que

f(0) =x0∧Vn∈Nf(S(n)) =g(f(n)).

Demostraci´on: Es f´acil ver que la clase

F={h∈P(_N×X)|WD∈P_N(h:D−→X ∧0∈D∧h(0) =x0

∧Vn∈N(S(n)∈D→n∈D∧h(S(n)) =g(h(n))))}

es un conjunto.4

Observamos ahora que si h, h0 _∈ _F_{, con} _h _: _D _−→ _X_, _h0 _: _D0 _−→ _X _y

n∈D∩D0_{, entonces}_h₍_n_{) =}_h0₍_n_).

Para probarlo consideramos el conjunto

A={n∈N|n∈D∩D0→h(n) =h0(n)},

claramente bien definido. Obviamente 0 ∈ A, pues h(0) = x0 = h0_{(0) y, si}

n ∈ A y S(n)∈ D∩D0_{, entonces} _h₍_S₍_n_{)) =} _g₍_h₍_n_{)) =} _g₍_h0₍_n_{)) =} _h0₍_S₍_n_)), luegoS(n)∈A, lo que prueba queA=N.

Por otra parte consideramos el conjunto

B ={n∈N|Wh∈FWx∈XWu∈h u= (n, x)}.

Tenemos que 0∈B, pues{(0, x0)} ∈F, y sin∈B, existeh∈F, digamos h : D −→ X, tal que n ∈ D. Si S(n) ∈ D, entonces S(n) ∈ B y, en caso contrario, h0 ₌ _h_{∪ {}₍_S₍_n₎_{, g}₍_h₍_n₎₎₎_{} ∈} _F_{, luego} _S₍_n₎ _∈ _B _{igualmente. Esto} prueba queB=N.

De estos dos hechos deducimos que f = SF : N −→ X que claramente cumple las condiciones del enunciado. La unicidad se sigue inmediatamente de una inducci´on sobre el conjunto

C={n∈N|f(n) =f0(n)},

dondef yf0_{son dos funciones que cumplan las condiciones del enunciado.}

4_{Por ejemplo, la ´}_{ultima igualdad equivale a}

W