El axioma de elecci´ on - Teoría descriptiva de conjuntos

2.6 El axioma de elecci´on

Veamos a continuación que KFA es capaz también de probar las equivalencias principales del axioma de elección. Sólo hay un inconveniente técnico debido a la necesidad de trabajar con fórmulas estratificadas, y es que la fórmulaf(x)∈x

no está estratificada, por lo que conviene retocar ligeramente la definición usual de función de elección:

Definición 2.11 SiAes un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vac´ıos, unafunción de elección estratificadaenA es una funciónF :A−→P1SAtal

queVX ∈A F(X)∈P1X, donde

P1X ≡ {u∈PX |Wx∈X u={x}}.

As´ı, una funci´on de elecci´on en este sentido cumple que F(X) ={x}, para ciertox∈ X, con lo cual cumple perfectamente su objetivo de seleccionar un elemento de cada conjunto, pero el tecnicismo es menos trivial de lo que podr´ıa parecer.6

La versi´on del axioma de elecci´on adecuada para KFA es la siguiente:

Axioma de elección estratificado (AE∗₎ _{Toda familia} _A_{de conjuntos no} vac´ıos posee una función de elección estratificada.

Naturalmente, si trabajamos en KF podemos modificar AE∗ _{para eliminar} el relator ‘cto’ y obtenemos una variante de AE∗_{(a la que seguiremos llamando} AE∗_{) de modo que KF+AE}∗ _{es equivalente a KFA+AE}∗_{+NA en el sentido} usual.

Usando (AE∗_{) podemos probar:}

Teorema 2.12 Si A es una familia de conjuntos no vac´ıos disjuntos dos a dos, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada conjunto deA.

Demostraci´on: Si F es la funci´on dada por AE, tomamosE =SF[A].

A partir del teorema anterior demostramos el lema de Zorn. (Omitimos las definiciones conocidas de cadena, cota superior y elemento maximal.)

6_{Sucede que en KFA no puede probarse, por ejemplo, que}_P

1X=X. La biyecci´on natural

F:X−→P1X para probarlo ser´ıa la dada porx7→ {x}, pero la clase

F ={(x, y)∈X×P1X|y={x}}

no es necesariamente un conjunto, pues para ello har´ıa falta que la f´ormulay={x}pudiera estratificarse con las variablesxeydel mismo tipo, y esto no es posible. Naturalmente, esto no asegura queP1X=Xno pueda probarse en KFA, sino ´unicamente que no puede probarse

de la forma obvia. Ahora bien, en KFA s´ı puede probarse que P1X < PX (adaptando

ligeramente la prueba usual del teorema de Cantor), luego si pudiera probarse P1X = X

tendr´ıamos tambi´en el teorema de Cantor usual: X <PX, que a su vez implica queV /∈V, pero KFA es consistente conV ∈V.

Teorema 2.13 (Lema de Zorn) Todo conjunto parcialmente ordenado en el que toda cadena tiene una cota superior, tiene un elemento maximal.

Demostraci´on: Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado que cumpla las hip´otesis. Para cada cadenac enA, sea

Xc≡ {x∈PA|

u∈A(u /∈c∧Vv∈c v≤u∧x=c∪ {u})∨

(¬Wu∈A(u /∈c∧Vv∈c v≤u)∧x=c)},

es decir,Xc es el conjunto de todas las extensiones de cpor una cota superior si es que existe tal cota, o bienXc={c}en caso contrario. Es fácil desarrollar un poco más la definición para comprobar que la fórmula correspondiente es ∆0

y estratificada. Consideramos ahora la clase

S≡ {x|Wc∈PA(ces una cadena en (A,≤)∧x={c} ×Xc)}.

Para comprobar queS es un conjunto observamos quec∈PA,{c} ∈PPA,

Xc ∈ PPA y, usando que en general U ×V ⊂ PP(U ∪V), obtenemos que

{c} ×Xc⊂PPPPA, luegoS⊂PPPPPA. Ahora observamos que

c es una cadena en (A,≤)↔Vuv∈c (u≤v∨v≤u),

que claramente es ∆0 y estratificada, mientras que x={c} ×Xc↔ V u∈xWv∈PA(u= (c, v)∧v∈Xc) ∧Vv∈PA(v∈Xc → W u∈x u= (c, v)).

Ahora sólo hace falta observar que v ∈Xc es equivalente a la fórmula que define aXc, que es ∆0 y admite una estratificación en la que las variablesxyc

tienen el mismo tipo. Esto basta para justificar quex={c} ×Xces equivalente a una f´ormula ∆0 y estratificada.

As´ı S es una familia de conjuntos no vac´ıos disjuntos dos a dos. Por el teorema anterior existe un conjunto Gque contiene exactamente un elemento de cada conjunto enS. Es claro queGes una funci´on definida sobre el conjunto de todas las cadenas de (A,≤) y tal queG(c)∈Xc.

Diremos queces unabuena cadenaen (A,≤) sicest´a bien ordenada por≤

y, para cadaa∈c, se cumple que

G({u∈c|u < a}) ={u∈c|u≤a}.

Es f´acil comprobar lo siguiente:

• Sic es una buena cadena y a∈c, entonces los conjuntos {u∈c|u < a}

y{u∈c|u≤a}son tambi´en buenas cadenas.

• ∅es una buena cadena.

2.6. El axioma de elecci´on 27

Veamos lo siguiente:

Si c y c0 _{son buenas cadenas y}_a_∈_c _{cumple que}_{_u_∈_c_|_{u < a}_}₌

{u∈c0_|_{u < a}_}_{, entonces} _a_∈_c0 _{o bien}_c0₌_{_u_∈_c_|_{u < a}_}_.

En efecto, si c0 ₆₌ _{_u _∈ _c _| _{u < a}_}_{, existe un} _a0 _∈ _c0 _{mayor que todos los}

u∈c0 _{tales que}_{u < a}_{. Como}_c0_est´_{a bien ordenado, podemos suponer que}_a0 _es el m´ınimo elemento dec0 _{mayor que todos los}_u_∈_c0 _{tales que}_{u < a}_{, es decir,}

{u∈c0_|_{u < a}0_}₌_{_u_∈_c0_|_{u < a}_}₌_{_u_∈_c_|_{u < a}_}_.

AplicandoGobtenemos un conjunto cuyo m´aximo tiene que ser tantoa0 _como

a, luegoa=a0_∈_c0_.

Veamos ahora que dos buenas cadenascyc0_est´_{an necesariamente contenidas} una en la otra. En efecto, sicno est´a contenida enc0_{, podemos tomar el m´ınimo}

a∈c\c0_{, de modo que}_{_u_∈_c_|_{u < a}_{} ⊂ {}_u_∈_c0 _|_{u < a}_}_{. Veamos que tiene que} darse la igualdad. En caso contrario, existe una0_∈_c0_{tal que}_a0_{< a}_{, pero}_a0 _∈_/_c_. Podemos tomar el m´ınimo posible. As´ı, {u∈ c| u < a0_}₌_{_u_∈ _c0 _|_{u < a}0_}_, luego, seg´un hemos visto, esto implica quec={u∈c0 _|_{u < a}0_}_{, pero entonces}

a < a0_{, contradicci´}_{on. Por consiguiente,} _{_u_∈_c _|_{u < a}_}₌_{_u_∈_c0 _|_{u < a}_}_y, aplicando de nuevo la propiedad que hemos demostrado,c0_⊂_c_.

Ahora es fácil ver que la unión de todas las buenas cadenas es una buena cadena. Llamémosla C. Entonces G(C) también es una buena cadena, pero necesariamente ha de serG(C) =C, lo que significa que la única cota superior deCestá enC y es su máximo elementom. Necesariamentemes un elemento maximal deA, ya que de lo contrario, cualquier elemento por encima demser´ıa una cota superior deC fuera deC.

Notemos que hemos demostrado el lema de Zorn a partir del teorema 2.12, luego si ahora probamos el axioma de elecci´on a partir del lema de Zorn habre- mos demostrado que los tres enunciados son equivalentes en KFA. En efecto:

Dada una familiaA de conjuntos no vac´ıos, llamamosF a la familia de las funciones de elecci´on (estratificadas) definidas sobre un subconjunto de A. El hecho de considerar funciones de elecci´on estratificadas es crucial para que F

est´e bien definido. En efecto,

F ={f ∈(P1SA)A| V x 1∈A2 W u 0 ∈x1 W v 1∈P1 S A(v 1={u0} ∧v1=f₄(x1)}.

Es inmediato que F satisface la hipótesis del lema de Zorn (considerada como conjunto parcialmente ordenado por la inclusión), por lo que existe una función de elección maximal. Es fácil ver que su dominio tiene que ser todoA.

Teorema 2.14 (Teorema de buena ordenaci´on) Todo conjunto puede ser bien ordenado.

Demostraci´on: Dado un conjuntoA, sea

X ={R∈P(A×A)|WD∈PA(R⊂D×D∧(D, R) es un buen orden)}.

Dejamos al lector la comprobaci´on rutinaria de que X est´a bien definido. Definimos enX el orden parcial dado porR≤S siR⊂S y, para todor∈DR

y todos∈DS\DRse cumpler S s. En otras palabras, todos los elementos de DS que no est´an enDR son posteriores a los deDR. Expl´ıcitamente:

≤ ≡ {(R, S)∈F×F |R⊂S∧Vrs∈A(r R r∧s S s∧ ¬s R s→r S s)}.

Es claro que el conjunto≤está bien definido y es fácil ver que (X,≤) satisface las hipótesis del lema de Zorn y un elemento maximal es necesariamente un buen orden sobre todoA.

Y a su vez es claro que esto implica el axioma de elección, por lo que el principio de buena ordenación es también equivalente a AE∗_.

Una consecuencia del teorema anterior combinado con 2.8 es la siguiente:

Cap´ıtulo III

La teor´ıa de conjuntos de

Mac Lane

Según hemos visto, el esquema de especificación de la teor´ıa KF es delibera- damente restrictivo para evitar que en dicha teor´ıa pueda probarse que la clase universal no es un conjunto. Sin embargo, esto hace que tampoco puedan probarse algunos hechos naturales, como la existencia de la aplicaciónx7→ {x}o, más en general, la existencia de las aplicaciones canónicas p:X −→X/R de un conjunto dado en un cociente respecto de una relación de equivalencia.

La teor´ıa (básica) de Mac Lane resulta de suprimir la restricción sobre estra- tificación en el esquema de especificación de MK, pero conservando la restricción a fórmulas ∆0. Al añadir los axiomas de infinitud, elección y regularidad obte-

nemos la teor´ıa de Mac Lane completa.

3.1 La teor´ıa b´asica de Mac Lane

Llamaremos M0a la teor´ıa que extender el esquema de especificaci´on de KF

a f´ormulas de clase ∆0arbitrarias, sin exigir que est´en estratificadas. Expl´ıcita-

mente, los axiomas de M0 son los siguientes

Extensionalidad Vxy(Vu(u∈x↔u∈y)→x=y) Par VxyWz(x∈z∧y∈z) Unión VxWyVu∈xVv∈u v∈y Partes VxWyVu(u⊂x→u∈y) ∆0-Especificación V xWyVu(u∈y↔u∈x∧φ(u)) (∗) (∗) para toda fórmulaφ(con posibles parámetros) de clase ∆0.

Podr´ıamos considerar tambi´en la teor´ıa correspondiente M0A, con ´atomos,

pero no va a ser necesario. A partir de este nivel no consideraremos m´as 29

teor´ıas con átomos. En particular, a partir de ahora usaremos las mayúsculas y minúsculas como variables indiscriminadamente.

Todos los resultados que hemos probado en el cap´ıtulo precedente para KF valen, obviamente, para M0, y las pruebas se pueden simplificar ligeramente al

despojarlas de las comprobaciones t´ecnicas relacionadas con la estratificaci´on. En particular, en M0 podemos considerar de forma natural el axioma de

elecci´on usual en ZFC:

Axioma de elección (AE) Para todo conjuntoAformado por conjuntos no vac´ıos existe una función de elección,es decir, una función F :A−→SA tal queVX ∈A F(X)∈X.

Notemos que en M0s´ı que podemos definir la biyecci´onf :X −→P1X dada

porx7→ {x}, pues la clase

f ={(x, y)∈X×P1X |y={x}}

est´a definida por una f´ormula ∆0, luego es un conjunto.

En consecuencia, si A es una familia de conjuntos no vac´ıos, B = SA y

f : B −→ P1B es la biyecci´on natural que acabamos de describir, se cumple

que si F :A−→ B es una función de elección sobreA, entoncesF ◦f es una función de elección estratificada y siF :A−→P1B es una función de elección

estratificada, entoncesF◦f−1 _{es una funci´}_{on de elecci´}_{on usual.}

Esto implica que en M0los axiomas AE∗ y AE son equivalentes, por lo que

en la pr´actica consideraremos ´unicamente el segundo.

Como ya hemos comentado, en M0 s´ı son v´alidos los argumentos que de-

muestran que no existe el conjunto de todos los conjuntos:

Teorema 3.1 La clase universalV no es un conjunto.

Demostraci´on: SiV fuera un conjunto (es decir, si existiera un conjunto que contuviera a todos los conjuntos) entonces tambi´en ser´ıa un conjunto

R={x|x /∈x}={x∈V |x /∈x},

pero esto da lugar a la conocida paradoja de Russell.

Otra forma de llegar a este mismo resultado es a trav´es del teorema de Cantor:

Teorema 3.2 (Cantor) VX X <PX.

Omitimos la prueba, que es exactamente la usual. Tambi´en tenemos la versi´on siguiente para conjuntos bien ordenados:

Teorema 3.3 Si (A,≤) es un conjunto bien ordenado, entonces existe otro conjunto bien ordenado (B,≤)tal queA < B.

3.1. La teor´ıa b´asica de Mac Lane 31

Demostraci´on: Consideramos el mismo conjuntoX que hemos usado en la prueba del teorema de buena ordenaci´on:

X ={R∈P(A×A)|WD∈PA(R⊂D×D∧(D, R) es un buen orden)}.

Es f´acil comprobar que la f´ormula que especifica aX es ∆0(teniendo en cuenta

que podemos usarPA como par´ametro), por lo queX es un conjunto. Consi- deramos ahora

∼={(R, S)∈X×X |(DR, R) = (DS, S)}.

La f´ormula es ∆0, pues equivale a W

DD0 ∈PAWf ∈P(A×A)(R⊂D×D∧S⊂D0×D0 ∧Vx∈D x R x∧Vx∈D0 x R0x∧f : (D, R)−→(D0, S) semejanza).

Es claro que ∼es una relaci´on de equivalencia en X, por lo que podemos considerar el conjunto cocienteB=X/∼, y enBpodemos considerar la relaci´on

≤={(u, v)∈B×B|WR∈uWS∈v (DR, R)≤(DS, S)}.

La comprobaci´on de que es un conjunto es rutinaria y no ofrece dificultad alguna. Es f´acil ver entonces que

[R]≤[S]↔(DR, R)≤(DS, S),

de modo que no importa el representante elegido en cada clase. El teorema 2.8 y las observaciones previas implican que (B,≤) es un conjunto totalmente ordenado. Vamos a probar que est´a bien ordenado, para lo cual tomamos un conjuntoY ⊂B no vac´ıo. SeaR∈X tal queb= [R]∈Y y seaD=DR.

Sea f : D −→ B la aplicaci´on que a cada d ∈ D le asigna la clase de la restricci´on deR al segmento inicial estricto determinado pordenD, es decir,

f ={(d, u)∈D×B|WS∈uWD0 ∈PD(Vd∈D(d0∈D0 ↔d0R d∧d06=d))

∧S=R∩(D0_×_D0₎_}

Se comprueba sin dificultad1 _que_f _{es un conjunto y es claro entonces que} f :D−→B<

b es biyectiva, pues sid < d0, el orden del segmento inicial estricto determinado pordes menor que el del determinado pord0_{, y todo elemento de}

B_b<es la clase de una relaci´on de orden semejante a un segmento inicial estricto deD.

Esto prueba que B_b< est´a bien ordenado. Si B_b<∩Y = ∅, entonces b es el m´ınimo de Y y no hay nada que probar. En caso contrario, es claro que el m´ınimo deB_b<∩Y es tambi´en el m´ınimo deY.

Notemos que en realidad hemos probado que sib= [R] es cualquier elemento deB, entonces (DR, R)<(B,≤). Esto implica queA < B, pues, por una parte, comoAadmite un buen orden, tenemos queA≤B y, si fueraA=B, existir´ıa

R∈X tal que DR =A y (A, R) = (B,≤), cuando hemos visto que ha de ser (A, R)<(B,≤), contradicci´on.

1_{La demostraci´}_{on hasta aqu´ı podr´ıa llevarse a cabo en KF, pero aqu´ı nos encontramos con}

Relaciones bien fundadas Recordemos que una relaci´onRen un conjunto

A est´abien fundada si todo X ⊂A no vac´ıo tiene un elemento R-minimal, es decir, unx∈X tal queVa∈A(a R x→a /∈X).

Si (A, R) es un conjunto bien fundado (es decir, queR es una relaci´on bien fundada enA) ya∈A, llamaremosextensi´ondeAal conjunto

AR_a ={x∈A|x R a}.

El resultado fundamental sobre relaciones bien fundadas es el teorema de recursi´on:

Teorema 3.4 (Teorema de Recursi´on) Si (A, R) es un conjunto bien fun- dado y g:E−→Z, donde

E={h∈P(PA×Z)|WY ∈PAWa∈A(Y =AR_a ∧h:Y −→Z)},

entonces existe una ´unica funci´on f :A−→Z tal que

a∈A f(a) =g(f|AR a).

Demostraci´on: Diremos quehesuna aproximaci´onsi

D∈PA(Vx∈AVd∈D(x R d→x∈D)∧h:D−→Z ∧ V

a∈D h(a) =g(h|AR a).

Hemos de comprobar que la clase

B={h∈P(A×Z)|hes una aproximaci´on}

es un conjunto, es decir, que la f´ormula que lo define es ∆0. La ´unica parte no

obvia es la final: h(a) =g(h|AR a)↔ W z∈ZWY ∈PAWh0∈E (h(a) =z∧g(h0_{) =}_z_∧_Y ₌_AR a ∧h0=h|Y).

Ahora observamos que si h:D−→Z yh0 _:_D_−→_Z _{son aproximaciones y}

a∈D∩D0_{, entonces}_h₍_a_{) =}_h0₍_a_).

En efecto, basta probar que el conjunto

B0={a∈D∩D0|h(a)6=h0(a)}.

es vac´ıo. En caso contrario contendr´ıa unR-minimala, de modo que si x R a, entonces x∈D∩D0 _y_h₍_x_{) =}_h0₍_x_{), es decir, que} _h_|

AR a =h 0_| AR a, de modo que h(a) =g(h|AR a) =g(h 0_| AR a) =h 0₍_a_{), contradicci´}_on.

Esto nos garantiza que existe unD ⊂Atal quef =SB :D−→Z es una aproximaci´on, que obviamente contiene a todas las dem´as. Basta probar que

D =A (pues la unicidad ya la tenemos probada). En caso contrario podemos tomar unR-minimala∈A\D. Esto significa queAR

a ⊂D, luego

f0 =f∪ {(a, g(f|AR

a))}:D∪ {a} −→Z

3.1. La teor´ıa b´asica de Mac Lane 33

Cardinales Podemos definir la clase de loscardinales(de von Neumann) como

K={α∈Ω| ¬Wβ < α β=α}.

Es decir, un cardinal es un ordinal que no puede biyectarse con ning´un ordinal anterior. Para cada ordinalαpodemos considerar el conjunto

Y ={β∈α|Wf ∈P(α×α)|f :β−→αbiyectiva}.

SiY =∅, entoncesαes un cardinal, y en caso contrario podemos tomar el m´ınimoκdeY, que claramente es un cardinal y κ=α. As´ı pues, todo ordinal es equipotente a un cardinal, que es ´unico, pues es obvio que dos cardinales distintos no pueden ser equipotentes entre s´ı.

M´as en general, si X es un conjunto y existe un ordinalαtal que X =α, entonces existe un ´unico cardinalκtal queX =κ, y a dichoκlo llamaremos cardinaldeX y lo representaremos por|X|, es decir:

|X| ≡κ|(κ∈K∧X =κ).

En particular acabamos de ver que |α| está definido para todo ordinalα y obviamente|α| ≤α. Sin embargo, en M0no podemos probar que todo conjunto X tiene un cardinal de von Neumann asociado. Obviamente, una condición necesaria para que esto suceda es que X admita un buen orden, pero esta condición no es suficiente en M0, pues no puede probarse que todo conjunto

bien ordenado sea semejante a un ordinal. As´ı pues, ni siquiera en M0+AE

puede probarse que todo conjunto tenga un cardinal asociado.

En cualquier caso, es inmediato que si X eY son conjuntos con cardinal, entonces

|X|=|Y| ↔X =Y .

Teorema 3.5 Si el conjunto X tiene cardinal e Y ⊂ X, entonces Y tiene cardinal y|Y| ≤ |X|.

Demostraci´on: Es claro que basta probar el teorema cuando X es un cardinal κ. Entonces podemos considerar a Y como conjunto bien ordenado con el buen orden de κ, y sabemos (teorema 2.8) que (Y,≤) ≤ (κ,≤) o bien (κ,≤)<(Y,≤). El primer caso significa que Y es semejante (y en particular equipotente) aκ o a un segmento inicial deκ, es decir, a un ordinalα menor queκ, luego existe unα≤κtal queY =α, luego|Y|=|α| ≤α≤κ=|κ|.

S´olo falta probar que el caso (κ,≤) < (Y,≤) no puede darse, pero esto significar´ıa que existe un α∈Y ⊂κy una semejanzaf : (κ,≤)−→(Y<

α,≤). En particularf(α)< α, en contradicci´on con 2.6.

De aqu´ı se sigue que siX tiene cardinal yY ≤X entonces|Y| ≤ |X|, y que siX eY tienen cardinal, entonces

Teorema 3.6 Los n´umeros naturales son cardinales, es decir, ω⊂K.

Demostraci´on: Supongamos que existe n ∈ω que no es un cardinal, es decir, tal que|n|< n. Entonces podemos formar el conjunto2

X ={m∈n|Wu∈mWf ∈P(n×n)(f :u−→mbiyectiva)}.

Si es vac´ıo, entonces n es el m´ınimo natural que no es un cardinal. En caso contrario el m´ınimo deX es el m´ınimo natural que no es un cardinal. En definitiva, podemos suponer que|n|< ny queVm∈n|m|=m.

Sea f : |n| −→n biyectiva. Es claro que |n| 6= 0, luego podemos expresar

|n|=k+ 1, n=m+ 1. Es f´acil modificarf para exigir quef(k) =m, con lo que f|k : k−→ mbiyectiva y k < m < n, luego |m|< m < n, contradicci´on.

Definici´on 3.7 Un conjuntoX esfinitosi tiene cardinal y|X| ∈ω.

En este sentido podemos decir que los n´umeros naturales son los cardinales finitos. El teorema 3.5 implica que todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

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