4.4
Recursi´on en KP
En KP∗ pueden demostrarse teoremas de recursi´on fuertes. Para obtenerlos demostraremos primero la existencia de clausuras transitivas:
Teorema 4.10 V x 1 W y(x⊂y∧Sy⊂y∧Vz(x⊂z∧Sz⊂z→y⊂z)).
Demostraci´on: Llamamosφ(x, y) a la f´ormula del enunciado sin los dos primeros cuantificadores. Claramente φ(x, y) ∧φ(x, y0) →y =y0, es decir, si existe uny que cumple φ(x, y), es ´unico. Sea
ψ(x, y)≡x⊂y∧Sy⊂y∧Vu∈yWf n(n∈ω∧f :n+ 1−→y ∧f(0) =u∧f(n)∈x∧Vi∈n f(i)∈f(i+ 1)).
Es f´acil ver que ψ es Σ1. Adem´as ψ(x, y)→ φ(x, y), pues si x⊂z yz es
transitivo, se cumple quey⊂z. En efecto, dadou∈y, tomamosf :n+ 1−→y
de acuerdo conψy una simple inducci´on prueba queVi≤n f(n−i)∈z, luego en particularu∈z.
En particular ψ(x, y) ∧ ψ(x, y0) → y = y0, de modo que Wy ψ(x, y) es equivalente a
1 W
y φ(x, y). Veamos por Σ1-inducci´on que V
xWy ψ(x, y). Para ello suponemos que V
u∈xWy ψ(u, y),
con lo que, de hecho, tenemos queVu∈x
1 W
y ψ(u, y). Por Σ1-reemplazo existe g :x−→y suprayectiva tal que Vu∈x ψ(u, g(u)). Seaz =x∪Sy. Es f´acil ver quez es un conjunto transitivo yx⊂z. Para probar que ψ(x, z) tomamos
u∈z. Siu∈xbasta tomarn= 1,f ={(0, u)}y se cumple lo requerido. En caso contrario existe v ∈ y tal que u∈ v y existe un u0 ∈ x tal que ψ(u0, v). Esto implica a su vez que existeh:n+ 1−→vtal queh(0) =u,h(n)∈u0, etc. Basta tomarf =h∪ {(n+ 1, u0)}y se cumple lo requerido.
As´ı pues,Wy ψ(x, y) y esto implica 1 W
y ψ(x, y). Con esto queda probado que
V x
1 W
y ψ(x, y) lo cual implica a su vez queVx
1 W
y φ(x, y). M´as a´un, la unicidad implica queVxy(φ(x, y)↔ψ(x, y)).
As´ı pues, la definici´on de clausura transitiva
ctx≡y|Sy⊂y∧x⊂y∧Vz(x⊂z∧Sz⊂z→y⊂z).
es v´alida en KP∗.
Teniendo en cuenta que las f´ormulas ¬φ y ψ del teorema anterior son Σ1,
vemos que la f´ormulay= ct(x) es ∆1. La prueba del teorema anterior muestra
tambi´en que
ct(x) =x∪ S
u∈x ct(u).
Teorema 4.11 Para toda f´ormulaφ(x)(resp. de claseΣ1), la f´ormula siguiente
es un teorema deKP(resp. de KP∗):
V
x(Vu∈ct(x)φ(u)→φ(x))→Vx φ(x).
Demostraci´on: Veamos por Σ1-inducci´on que V
xVu∈ct(x)φ(u). Note- mos que siφes de clase Σ1, lo mismo sucede con esta f´ormula, pues
V
u∈ct(x)φ(u)↔Wy(y= ct(x)∧Vu∈y φ(u)).
Para ello suponemos que Vv ∈xVu∈ct(v)φ(u), pero, por la hip´otesis del teorema, esto implicaVv ∈x φ(v), luego en total tenemos que φ(v) se cumple para todos los elementos de
x∪ S
u∈x
ct(u) = ct(x).
Esto termina la inducci´on y, comox∈ct({x}), podemos concluirVx φ(x).
Teorema 4.12 (Σ1-recursi´on) Si φ es una f´ormula Σ1, existe otra f´ormula ψ, tambi´enΣ1, tal que la f´ormula siguiente es un teorema deKP∗:
V x1· · ·xnxf 1 W y φ(x1, . . . , xn, x, f, y)→ V x1· · ·xnxy(ψ(x1, . . . , xn, x, y)↔φ(x1, . . . , xn, x,[ψ]x, y)), donde [ψ]x={(u, v)|u∈ct(x)∧ψ(x1, . . . , xn, u, v)}.
Demostraci´on: Por simplificar la notaci´on, consideraremos un ´unico par´a- metrox1. Consideramos la f´ormula Σ1 siguiente:
χ(x1, x, y, f)≡f es una funci´on∧Df = ct(x)∧ V
u∈Df φ(x1, u, f|ct(u), f(u))∧φ(x1, x, f, y).
Observemos que, en particular,
χ(x1, x, y, f)→φ(x1, x, f, y), (4.1)
as´ı como que
χ(x1, x, y, f)∧u∈ct(x)→χ(x1, u, f(u), f|ct(u)). (4.2) Vamos a probar V x1x 1 W yWf χ(x1, x, y, f). (4.3)
En primer lugar demostramos la unicidad, es decir, que
4.4. Recursi´on en KP 81
Razonamos por inducci´on sobre ct(x). Por lo tanto, suponemos que para todo
u ∈ ct(x) existen a lo sumo unos v y g tales que χ(x1, u, v, g), as´ı como que χ(x1, x, y, f)∧χ(x1, x, y0, f0).
Entoncesf yf0 son funciones con dominio ct(x), y la hip´otesis de inducci´on junto con (4.2) implica que para todou∈ct(x) se cumplef(u) =f0(u), luego
f =f0. A su vez, por (4.1) tenemosφ(x1, x, f, y)∧φ(x1, x, f0, y0), y la unicidad deφimplica quey=y0.
Seguidamente demostramos la existencia, tambi´en por inducci´on sobre ct(x). Ello significa suponer que Vu ∈ ct(x)Wvg χ(x1, u, v, g) y demostrar lo mismo
parax. Por (4.4) tenemos, de hecho, que
V
u∈ct(x) 1 W
vg χ(x1, u, v, g).
Por Σ1-reemplazo existe una funci´onf : ct(x)−→z tal que V
u∈ct(x) 1 W
g χ(x1, u, f(u), g).
M´as concretamente, veamos que
V
u∈ct(x)χ(x1, u, f(u), f|ct(u)).
En efecto, dado u∈ct(x), seag tal que χ(x1, x, f(u), g). Siv ∈ct(u), por (4.2) tenemos χ(x1, v, g(v), g|ct(v)), pero, como v ∈ ct(x), tambi´en existe un g0 tal que χ(x
1, v, f(v), g0)) y (4.4) implica que g(v) =f(v). Esto prueba que g=f|ct(u).
En particular, por (4.1)
V
u∈ct(x)φ(x1, u, f|ct(u), f(u)).
Por la hip´otesis sobre φ existe un ´unico y tal que φ(x1, x, f, y), y ahora es inmediato queχ(x1, x, y, f).
Definimosψ(x1, x, y)≡Wf χ(x1, x, y, f), que claramente es una f´ormula Σ1.
Por (4.3) tenemos queVu∈ct(x) 1 W
v ψ(x1, u, v), luego por Σ1-reemplazo existe
el conjunto [ψ]xindicado en el enunciado (y es una funci´on de dominio ct(x)). As´ı, para cadax1,xexiste un ´unicoy tal queψ(x1, x, y). Esto a su vez im-
plica que existe unf tal queχ(x1, x, y, f). Vamos a probar que, necesariamente, f = [ψ]x. Ahora bien, si u ∈ ct(x), por (4.2) tenemos χ(x1, u, f(u), f|ct(u)),
luegoψ(x1, u, f(u)), luegof(u) = [ψ]x(u).
En definitiva, ψ(x1, x, y) equivale a que y es el ´unico conjunto tal que
χ(x1, x, y,[ψ]x), y por (4.1) es tambi´en el ´unicoytal queφ(x1, x,[ψ]x, y). Si llamamosGa la clase definida por la f´ormula φdel teorema anterior, la unicidad de su hip´otesis hace que G: Vn+2 −→ V, de modo que en lugar de φ(x1, . . . , xn, x, f, y) podemos escribir y = G(x1, . . . , xn, f). Similarmente, la clase F definida por la f´ormula ψ resulta ser una funci´on F : Vn×V −→ V
con la propiedad de que, para todo conjunto x, la restricci´on F|ct(x) (con los
par´ametrosx1, . . . , xn fijos) es un conjunto y la relaci´on del enunciado equivale a
F(x1, . . . , xn, x) =G(x1, . . . , xn, x, F|ct(x)).
A menudo resulta pr´actico restringir los dominios de las aplicaciones, para descartar casos triviales. Concretamente, consideramos una claseD⊂Vn+1 de
clase ∆1. Esto significa que existen f´ormulasφ(x1, . . . , xn, x) yψ(x1, . . . , xn, x) de clase Σ1y Π1 respectivamente tales que
V
x1· · ·xnx(φ(x1, . . . , xn, x)↔ψ(x1, . . . , xn, x)),
y entonces escribimos (x1, . . . , xn, x)∈ D como abreviatura por cualquiera de las dos f´ormulas equivalentes anteriores. A partir de ellas podemos definir a su vez las f´ormulas
φ0(x1, . . . , xn, x, f)≡φ(x1, . . . , xn, x)∧f :x−→V,
ψ0(x
1, . . . , xn, x, f)≡ψ(x1, . . . , xn, x)∧f :x−→V,
que son tambi´en Σ1y Π1respectivamente, ya que la parte final de ambas es ∆0.
Por lo tanto, este par de f´ormulas define una clase ∆1que llamaremosE⊂Vn+2.
Supongamos ahora queχ(x1, . . . , xn, x, f, y) es una f´ormula Σ1 tal que V
x1. . . xnxf(φ0(x1, . . . , xn, x, f)→ 1 W
y χ(x1, . . . , xn, x, f, y)).
Esta condici´on puede expresarse diciendo queχdefine una funci´onG:E−→V. Es en estos t´erminos como han de entenderse las hip´otesis del teorema siguiente:
Teorema 4.13 (Σ1-recursi´on) Sea D ⊂Vn+1 una clase de clase ∆1, sea E
la clase (tambi´en ∆1) dada por
(x1, . . . , xn, x, f)∈E↔(x1, . . . , xn, x)∈D∧f :x−→V,
sea G : E −→ V una funci´on de clase Σ1. Entonces existe F : D −→ V,
definida por una f´ormulaΣ1, tal que V
x1· · ·xnx∈D F(x1, . . . , xn, x) =G(x1, . . . , xn, x, F|x).
Demostraci´on: Manteniendo la notaci´on previa al enunciado, considera- mos la f´ormula φ00(x 1, . . . , xn, x, f, y)≡ W g(g=f|x∧(φ0(x1, . . . , xn, x, g)∧ χ(x1, . . . , xn, x, g, y))∨(¬ψ0(x1, . . . , xn, x, g)∧y=∅)).
Teniendo en cuenta que g = f|x [= f ∩(x×V)] es ∆0, es claro que φ00 es
4.4. Recursi´on en KP 83
clase Σ1 que define una funci´onF :Vn+1 −→V. Si, concretamente, tomamos
(x1, . . . , xn, x)∈D, para calcularF hemos de considerar el conjunto
f = [ψ00]
x={(u, v)|u∈ct(x)∧ψ00(x1, . . . , xn, u, v)},
que es la funci´on f : ct(x)−→ V definida por Σ1-reemplazo a partir de ψ00 y
ct(x). EntoncesF(x1, . . . , xn, x) es el ´unicoy que cumpleψ00(x1, . . . , xn, x, f). Ahora bien, como g =f|x :x −→V es la funci´on definida por Σ1-reemplazo
a partir de ψ00 y x (es decir, g = F|x), tenemos φ0(x1, . . . , xn, x, g), luego
F(x1, . . . , xn, x) es el ´unicoyque cumpleχ(x1, . . . , xn, g, y). Equivalentemente:
F(x1, . . . , xn, x) =G(x1, . . . , xn, x, F|x).
Nota SiF es una aplicaci´on definida por una f´ormula Σ1, es decir, tal que
la f´ormula y = F(x) es Σ1, en realidad dicha f´ormula es ∆1, pues equivale a V
z(F(x) =z→z=y)
Rango Como primera aplicaci´on definimos la funci´on rang : V −→ Ω me- diante
rang(x) = S u∈x
(rang(u) + 1).
Expl´ıcitamente, consideramos la funci´onGdada por
G(x, f) = S u∈x
(f(u) + 1).
M´as expl´ıcitamente, dado cualquier conjuntof, tenemos que
V
v∈RfWw(w=v∪ {v}),
luego por 4.6 (aplicado de hecho a una f´ormula ∆0), existe el conjunto A={v∪ {v} |Wu(u, v)∈f}
y a su vez existe el conjunto y =SA, que, en el caso en que f :x−→ Ω, es
y= S u∈x (f(u) + 1). As´ı, y=G(x, f)↔WA(y= S u∈A u∧Vw∈AWu∈xWv(f(u) =v∧w=v∪ {v})) ∧Vu∈xWvWw∈A(f(u) =v∧w=v∪ {v})).
La ´ultima f´ormula φ(x, f, y) es claramente Σ1 y satisface la condici´on de
unicidad sobre y (sobre la clase de pares (x, f) tales que f : x −→ V), por lo que define una funci´on G en las condiciones del teorema de recursi´on y la funci´onF dada por dicho teorema es la funci´on rango.
A partir de aqu´ı se prueba por Σ1-inducci´on que de hecho rang(x) es un
ordinal y satisface las propiedades b´asicas del rango. Notemos que las clases
Aritm´etica ordinal Para definir la aritm´etica ordinal es m´as pr´actico el si- guiente caso particular del teorema de recursi´on:
Teorema 4.14 (Σ1-recursi´on transfinita) Sea D ⊂ Vn una clase de clase
∆0 y sean G1 : D −→ Ω y G2 : D×Ω×Ω −→ Ω aplicaciones de clase Σ1.
Entonces existe una funci´on F :D×Ω−→Ωdefinida por una f´ormulaΣ1 tal
que a) F(x1, . . . , xn,0) =G1(x1, . . . , xn) b) F(x1, . . . , xn, α+ 1) =G2(x1, . . . , xn, α+ 1, F(x1, . . . , xn, α)) c) F(x1, . . . , xn, λ) = S δ<λ F(x1, . . . , xn, δ).
Demostraci´on: SeaD0 =D×Ω, seaE la clase definida en el enunciado de 4.13 a partir deD0 y seaG:E−→V la funci´on dada por
y=G(x1, . . . , xn, α, f)↔(α= 0∧y=G1(x1, . . . , xn))∨ W β∈αWγ(α=β+ 1∧γ=f(β)∧y=G2(x1, . . . , xn, α, γ))∨ (αes un ordinal l´ımite∧y= S δ∈α f(δ)).
Es f´acil ver queGes una funci´on Σ1 sobreE y la funci´onF dada por 4.13
cumple lo pedido.
A partir de aqu´ı podemos definir la suma de ordinales tomando D = Ω,
G1(α) =α,G2(α, β, γ) =γ∪ {γ}, pues la funci´onF que obtenemos as´ı cumple F(α,0) =α, F(α, β+ 1) =F(α, β)∪ {F(α, β)}, F(α, λ) = S
δ<λ
F(α, δ).
Definimos entonces α+β = F(α, β), de modo que la f´ormula γ = α+β es Σ1 y, por consiguiente, tambi´en ∆1. A su vez, la suma nos permite definir el
producto y ´este la exponenciaci´on. Las propiedades de la aritm´etica ordinal (y en particular las de la aritm´etica natural) se demuestran por Σ1-inducci´on
transfinita sin dificultad alguna.
Colapsos transitivos En KP no puede probarse el teorema del colapso de Mostowski en toda su generalidad. (De hecho, ni siquiera puede probarse que todo conjunto bien ordenado es semejante a un ordinal, que es un caso particu- lar.) Para probarlo necesitamos suponer el esquema de Π1-especificaci´on: Teorema 4.15 (KP∗+Π
1-especificaci´on) Si(A, R)es un conjunto con una relaci´on extensional y bien fundada, entonces (A, R)es isomorfo a un conjunto transitivo.
4.4. Recursi´on en KP 85
Demostraci´on: Llamamosaproximacionesa las aplicacionesf :B −→V
tales que
B ⊂A∧Va∈AVb∈B(a R b→a∈B)
∧Vb∈B f(b) ={f(a)|a∈B∧a R b}
Es f´acil ver que la f´ormula “f :Df −→V es una aproximaci´on” es ∆0. Sif y gson aproximaciones yX =Df∩Dg, existe el conjunto{x∈X |f(x)6=g(x)}, y es f´acil ver que tiene que ser vac´ıo, de modo que dos aproximaciones coinciden en su dominio com´un.
Ahora aplicamos Π1-especificaci´on para definir el conjunto Y ={a∈A| ¬Wf (f es una aproximaci´on∧a∈Df)}.
Si no es vac´ıo, tiene unR-minimal a, de modo que, si Aa={b∈A|b R a},
V
b∈AaWf(f es una aproximaci´on∧b∈Df).
Por Σ1-recolecci´on existe un conjunto Y de aproximaciones tal que cada
elemento deAaest´a en el dominio de un elemento deY. Por la unicidad de las aproximaciones,f =SY es tambi´en una aproximaci´on cuyo dominio esA. Si llamamosM =Rf, tenemos quef :A−→M suprayectiva y
V
a∈A f(a) ={f(b)|b∈A∧b R a}.
Es obvio queMes un conjunto transitivo yf es biyectiva, pues esto equivale a que el conjunto
C={a∈A|Wb∈A(b6=a∧f(a) =f(b))}
sea no vac´ıo. Si no lo fuera, tendr´ıa unR-minimala, para el cual existir´ıa un
b6=atal quef(a) =f(b), pero entonces, six R a, entoncesf(x)∈f(a) =f(b), luego existe un y R b tal que f(x) = f(y), pero por minimalidad x = y R b. Rec´ıprocamente, six R b, entoncesf(x)∈f(b) =f(a), luego existe uny R atal quef(x) =f(y), y de nuevo por minimalidadx=y R a. Por consiguiente,ayb
tienen la misma extensi´on, luegoa=bporqueRes extensional, contradicci´on. Ahora es inmediato que Vab ∈ A(a R b ↔ f(a) ∈ f(b). Con esto hemos probado que f : (A, R) −→ M es una funci´on colapsante (un isomorfismo).
En KP∗podemos demostrar un caso particular:
Teorema 4.16 Sea (A, R) un conjunto con una relaci´on extensional y bien fundada y supongamos que existe un ordinal θ y una aplicaci´on r : A −→ θ
tal que Vxy ∈ A (x R y → r(x) < r(y)). Entonces (A, R) es isomorfo a un conjunto transitivo.
Demostraci´on: Para cada ordinalα≤θ, definimos Aα={a∈A|r(a)< α}. Definimos φ(α, f)≡α∈Ω∧α≤θ∧f :Aα−→V ∧ V a∈Aαf(a) ={f(x)|x R a}. Se trata de una f´ormula ∆0. Por ejemplo, la ´ultima parte equivale a
V
u∈fWv∈uWaz∈v(u= (a, z)∧Vy∈zWx∈A(x R a∧y=f(x))∧ V
x∈A(x R a→Wy∈z y=f(x))).
Veamos que φ(α, f) ∧ φ(α, f0) → f = f0. En efecto, en caso contrario podemos considerar el conjunto no vac´ıo
B={a∈Aα|f(a)6=f0(a)},
el cual tendr´a unR-minimala∈B, de modo que six R a, entoncesf(x) =f0(x), pero entonces
f(a) ={f(x)|x R a}={f0(x)|x R a}=f0(a), contradicci´on.
Ahora probamos por Σ1-inducci´on que V
α ≤ θ Wf φ(α, f). M´as precisa- mente, consideramos la f´ormula
ψ(α)≡(α∈Ω∧α≤θ∧Wf φ(α, f))∨ ¬(α∈Ω∧α≤θ).
Suponemos que α≤θy queVβ < αWf φ(β, f). Por la unicidad que hemos probado, tenemos de hecho queVβ < α
1 W
f φ(β, f). Siα= 0, es obvio queφ(α,∅).
Siα=β+ 1, seaf :Aβ−→V tal queφ(β, f). Es f´acil ver que la f´ormula
y=f[AR a]
es ∆0, luego por reemplazo existeh:{a∈A|r(a) =β} −→y suprayectiva tal
queh(a) =f[AR
a] ={f(x)|x R a}, y es f´acil ver quef0 =f∪hcumpleφ(α, f0). Siαes un ordinal l´ımite, por Σ1-reemplazo existeh:α−→y suprayectiva
tal queVβ < α φ(β, h(β)), y es f´acil ver quef =Sy cumpleφ(α, f).
En particular, hemos probado que existe una f tal queφ(θ, f), es decir, tal quef :A−→M suprayectiva, para cierto conjuntoM=f[A] y tal que
V
a∈A f(a) ={f(x)|x R a}.
A partir de aqu´ı la prueba concluye igual que la del teorema anterior. En particular, dado cualquier conjuntoA, por Σ1-reemplazo existe la funci´on
rang : A −→ θ para cierto ordinal θ, luego todo conjunto A sobre el que la relaci´on de pertenencia sea extensional es isomorfo a un conjunto transitivo.
4.4. Recursi´on en KP 87
Teorema 4.17 Si α∈Ω y A⊂α, entonces(A,≤) es semejante a un ordinal
β≤α.
Demostraci´on: Por la observaci´on precedente podemos considerar el co- lapso transitivof : (A, <)−→β, para cierto conjunto transitivoβ en el que la relaci´on de pertenencia es un buen orden, luegoβ ∈ Ω y claramentef es una semejanza.
Ahora probamos por Σ1-inducci´on transfinita que V
δ∈A f(δ)≤δ. Note- mos que la propiedad es Σ1, pues equivale a
V
δ∈AWγ(γ=f(δ)∧γ⊂δ). Para ello suponemos queV≤∈δ f(≤)≤≤y observamos que
f(δ) ={f(≤)|≤∈δ} ⊂δ.
Por consiguiente,β ⊂α.
Recursi´on en ω Dejamos al lector la demostraci´on de la siguiente variante del teorema de recursi´on:
Teorema 4.18 (Σ1-recursi´on en ω) Sea D ⊂ Vn una clase de clase ∆0 y
seanG1:D−→V yG2:D×ω×V −→V aplicaciones1 de claseΣ1. Entonces
existe una funci´on F :D×ω−→V definida por una f´ormulaΣ1 tal que
a) F(x1, . . . , xn,0) =G1(x1, . . . , xn)
b) F(x1, . . . , xn, n+ 1) =G2(x1, . . . , xn, n, F(x1, . . . , xn, n)). Como primera aplicaci´on tomamosD=V,G1(x) ={∅}y
G2:V ×ω×V −→V
definida como sigue:
y=G2(x, n, A)↔ V
f ∈y(f :n+ 1−→x∧f|n ∈A)∧
V
s∈AVu∈x(s:n−→x→Wf ∈y(f|n=s∧f(n) =u)).
Veamos queG2est´a bien definida, en el sentido de que sixyAson conjuntos
arbitrarios y n ∈ ω, existe un ´unico conjunto y que cumple la definici´on. De hecho s´olo hay que probar la existencia, pues la unicidad es obvia por extensio- nalidad.
Para ello, dadoA, consideramos el subconjunto
B={s∈A|s:n−→x},
cuya existencia est´a garantizada por ∆0-especificaci´on. Consideramos tambi´en
la f´ormula ∆0
φ(f, s, u)≡f :n+ 1−→x∧f|n=s∧f(n) =u
1Es f´acil probar una variante en la que no est´aDyG
1 se sustituye por un conjunto (un
y observamos que Vs∈BVu∈x
1 W
f φ(f, s, u), luego por ∆0-reemplazo existe
una aplicaci´onh:B×x−→y suprayectiva tal que
V
s∈BVu∈x φ(s, x, h(s, x)).
Claramentey es el conjunto buscado.
El teorema de recursi´on nos da una funci´on F : V ×ω −→ V de modo que, llamando xn =F(x, n), lo que tenemos es que x0 = {∅}y que xn+1 es
el conjunto de todas las aplicacionesn+ 1−→ xcuya restricci´on an est´a en
xn. Ahora bien, si f : n −→ x es cualquier aplicaci´on, podemos probar por Σ1-inducci´on que
V
i∈ω(i≤n→Wy(y=xi∧Wg∈y g=f|i)).
En particular,f ∈xn, de modo que
xn={f |f :n−→x}.
As´ı pues, hemos demostrado el teorema siguiente:
Teorema 4.19 VxVn∈ω
1 W
yVf(f ∈y↔f :n−→x). Adem´as tenemos que la f´ormulay=xn es ∆KP∗
1 .