β0 no es un ordinal cantoriano, luego β0 es mayor que cualquier ordinal fuer-
temente cantoriano, por ello, si llamamos ηα = In(iα), podemos probar que los ordinales η0,η1,η2, . . . son todos menores queβ0, pero cabe la posibilidad de que exista unn < ω tal que β0 =ηn, de modo que no podemos probar la existencia del cardinaliηω.
7.3
Subversi´on de la estratificaci´on
Veamos ahora c´omo los conjuntos fuertemente cantorianos nos permiten evi- tar parcialmente los requisitos de estratificaci´on que en principio impone la teor´ıa.
El caso m´as simple de subversi´on se deduce de que AC implica que
V
n∈NT(n) =n∧Vn∈NT−1(n) =n,
y esto nos permite considerar como f´ormulas estratificadas aquellas en las que la estratificaci´on falle en una o varias variables restringidas a n´umeros naturales, pues la f´ormula puede reemplazarse por una equivalente en la que una variablen
sea sustituida porTk(n) oT−k(n) con elkadecuado (que puede ser distinto en cada aparici´on den) para conseguir la estratificaci´on.
Por ejemplo, para probar (en NFA+AC) el teorema que hemos puesto como ejemplo al principio del cap´ıtulo, basta tener en cuenta que la f´ormula
V A(|A 1|=m2 ∧ V x 0∈A1 |x0|=n1 → | S A 1|=T −1(m 2)·n1),
est´a estratificada, luego existe el conjunto
X={m|m∈N∧VA(|A|=m∧Vx∈A|x|=n→ |SA|=mn)},
donde hemos cambiadoT−1(m) porm, porque, de hecho, T−1(m) =m, por lo
que es equivalente ponerlo o no, y ahora una simple inducci´on demuestra que
X =N.
En la pr´actica, en lugar de introducir operadoresT, basta con no preocuparse de cuadrar las estratificaciones en las variables que recorran n´umeros naturales. No obstante, esto no significa que podamos realizar cualquier inducci´on sin preocuparnos de la estratificaci´on. Por ejemplo, no podemos probar que
V
n∈NWm∈ω |m|=n,
dondeωes la clase de los ordinales de von Neumann. La raz´on es que la f´ormula
m∈ω≡Vu∈m u⊂m∧ · · ·
no est´a estratificada a causa de unas variables (uym) que no var´ıan enN(ni en un conjunto fuertemente cantoriano que, como veremos enseguida, bastar´ıa
tambi´en para subvertir la estratificaci´on). Ahora bien, esta situaci´on es bastante at´ıpica, y el problema real es que no podemos probar queω sea un conjunto.
Consideremos ahora un conjunto fuertemente cantoriano arbitrarioX y sea
f :X −→P1X la aplicaci´on dada porf(x) ={x}. Definimos TX(x)≡f−1({x}), T−1
X (x) =
S f(x).
De este modo los t´erminos TX(x) y TX−1(x) est´an estratificados y su tipo es una unidad mayor o una unidad menor, respectivamente, que el tipo de x, y para cada x ∈ X se cumple que TX(x) = TX−1(x) = x. Por lo tanto, si en una f´ormula una variablexvar´ıa en el conjuntoX, podemos reemplazarla por
Tk
X(x) o porTX−k(x) con el k adecuado para ajustar la estratificaci´on, con lo que en la pr´actica no es necesario cuadrar las estratificaciones en variables que recorran conjuntos fuertemente cantorianos.
Por ejemplo, siRes una relaci´on de equivalencia en un conjunto fuertemente cantoriano X, no hay inconveniente en definir la proyecci´on p : X −→ X/R, pues puede definirse comop(x) = [TX−1(x)], aunque en la pr´actica basta con no preocuparse de la violaci´on de la estratificaci´on en la definici´onp(x) = [x].
Veamos ahora un ejemplo de subversi´on sistem´atica en otro contexto. Defi- nimos
FC≡VxWf (f :x−→P1x∧Vu∈x f(u) ={u}).
As´ı, FC afirma que todo conjunto es fuertemente cantoriano. Obviamente FC es refutable en NFA, pero:
Teorema 7.7 La teor´ıaKF+FCes equivalente a M0.
Demostraci´on: Es obvio que FC es un teorema de M0, as´ı que basta
probar que en KF+FC puede probarse el esquema de ∆0-especificaci´on. Para
ello tomamos una f´ormula Φ(x, b1, . . . , bn) de clase ∆0 y hemos de probar que V
ab1· · ·bn
W
zVx(x∈z↔x∈a∧Φ(x, b1, . . . , bn)).
Es f´acil ver que los cuantificadores de Φ se pueden extraer con las variables que los acotan, de modo que podemos suponer que Φ est´a en forma prenexa ∆0,
es decir,
Φ≡C1y1∈z1· · ·Cmym∈zmΨ,
donde cada Ci es un cuantificador y las variables yi son distintas dos a dos, mientras que la f´ormula Ψ no tiene cuantificadores. Por otra parte, cada variable
zi puede ser x, a, bk o cualquiera de las variables anteriores yj o zj. Ahora observamos que zi ∈Srd→( V yi∈zi α↔ V yi∈Sr+1d(yi ∈zi→α)), zi∈Srd→( W yi∈zi α↔ W yi∈Sr+1d(yi∈zi∧α)).
7.3. Subversi´on de la estratificaci´on 187
As´ı, si, por ejemplo, el primer cuantificador esC1y1∈x, podemos sustituirlo
por C1y1 ∈ Sa, y si es C1y1 ∈ a o C1y1 ∈ bk lo dejamos como est´a, luego pasamos a C2y2 ∈ z2, que puede estar en uno de los casos anteriores o bien ser de la formaC2y2 ∈y1, en cuyo caso lo sustituimos por C2y2 ∈S2ao bien
C2y2∈Sao bienC2y2∈Sbk, seg´un el primer caso. Razonando de este modo llegamos a una f´ormula Φ0 de la forma
Φ0≡C1y1∈t1· · ·Cmym∈tm Ψ0,
donde cadati es de la formaSraoSrbk (donderdepende deiy dek), y de modo que
x∈a→(Φ↔Φ0).
Consideramos ahora nuevas variablesc0, . . . , cm, y es claro que (c0=a∧c1=t1∧ · · · ∧cm=tm∧x∈c0)→ (Φ(x, b1, . . . , bn)↔C1y1∈c1· · ·Cmym∈cmΨ0(x,y,¯¯b)).
Llamamos X ≡ a∪t1∪ · · · ∪tm∪ {a, t1, . . . , tm, b1, . . . , bn} y tomamos la funci´onF:X−→P1X dada poru7→ {u}, que existe por FC.
Conviene llamar variables a las variables x, yi y par´ametros a las variables
a, bk, ck. La f´ormula Ψ0 es una combinaci´on de signos l´ogicos (sin cuantificado- res) y f´ormulas at´omicas de la formavi =vj ovi ∈vj. Si distinguimos seg´un que las variables sean variables o par´ametros, tenemos ocho posibilidades. Re- presentamos porwyzdos variables cualesquiera (no necesariamente distintas) y pordyedos par´ametros cualesquiera (no necesariamente distintos), y cons- truimos una f´ormula Ψ00sustituyendo cada f´ormula at´omica como indica la tabla siguiente, en la que introducimos dos nuevas variablesf yg:
w=z w 1 =z1 w∈e w1 ∈e2 w∈z f 4( w 1)⊂z1 e∈w f4( Sg 5(e2))⊂w1 w=e w 1 = Sg 5(e2) d=e d2=e2 e=w Sg 5(e2) =w1 d∈e g5(d2)⊂e2
De este modo, si llamamos
Φ00(x,¯b,¯c, f, g)≡C1y1∈c1· · ·Cmym∈cmΨ00(x,y,¯¯b,¯c, f, g) tenemos que Φ00 es ∆
0 y se estratifica asignando rango 1 a todas las variables,
rango 2 a todos los par´ametros y rangos 4, 5 a las variablesf ygrespectivamente, y adem´as
(c0=a∧c1=t1∧ · · · ∧cm=tm∧x∈c0∧f =g=F)→
V
Ahora bien, por el axioma de ∆e
0-separaci´on, V
aV¯bVc¯Vf gWzVx(x∈z↔x∈a∧Φ00(x,¯b,¯c, f, g)),
luego particularizando adecuadamente existe un conjuntoz tal que
V
x(x∈z↔x∈a∧Φ00(x,¯b,¯t, F, F)) y esto equivale a V
x(x∈z↔x∈a∧Φ(x,¯b)).
As´ı pues, la teor´ıa KF se convierte en NF al a˜nadirleV ∈V y se convierte en M0 al a˜nadirle FC. Igualmente se probar´ıa que KFA se convierte en NFA
o M0A al a˜nadirle uno u otro axioma, s´olo que nunca hemos llegado a definir
M0A, pero la definici´on es la obvia.