6.2
Resultados b´asicos en NFA
Aunque sabemos que NFA extiende a KFA, con lo que autom´aticamente to- dos los teoremas de KFA son tambi´en teoremas de NFA, es interesante observar c´omo se construye de forma natural toda la teor´ıa de conjuntos a partir de los meros principios de extensionalidad y formaci´on de conjuntos. Remitiremos a las pruebas que hemos dado en KFA ´unicamente cuando el contexto de NFA no aporte ninguna diferencia relevante o las posibles diferencias se reduzcan a simplificaciones obvias de las pruebas que ya hemos visto.
El ´algebra de conjuntos Los conceptos b´asicos del ´algebra de conjuntos se definen de forma inmediata:
A⊂B ≡ctoA∧ctoB∧Vx(x∈A→x∈B).
A∪B≡ {x|x∈A∨x∈B}, A∩B≡ {x|x∈A∧x∈B}, A≡ {x|x /∈A}, A\B ≡ {x|x∈A∧x /∈B},
∅≡ {x|x6=x}, V ≡ {x|x=x}.
Es inmediato que todas las f´ormulas que aparecen en las definiciones est´an estratificadas, por lo que todas ellas son descripciones propias cuando se apli- can a conjuntos. En comparaci´on con ZFC destaca la existencia del conjunto universalV, que contiene a todos los objetos (y en particularV ∈V, por lo que en NFA no hay nada equivalente a un axioma de regularidad) y la existencia del complementarioAde cualquier conjuntoA.
Todas las propiedades b´asicas de uniones, intersecciones, complementos, etc. se demuestran trivialmente.
Tambi´en podemos definir uniones e intersecciones generales:
S
A≡ {x|WB ∈A x∈B}, TA≡ {x|VB∈A x∈B}.
(Notemos que siA no contiene conjuntos la intersecci´on es igual aV.) Igualmente introducimos elconjunto de partes:
PA≡ {x|x⊂A}.
Observemos que la condici´onx⊂Aya presupone quexes un conjunto. En particular tenemos el conjunto [cto] =PV, que es “el conjunto de todos los conjuntos”, y el conjuntoF=PPV, que es “el conjunto de todas las familias de conjuntos”, donde definimos una familia de conjuntos como un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
Pares ordenados Los conceptos relacionados con los pares ordenados se in- troducen tambi´en de forma inmediata:
{x, y} ≡ {u|u=x∨u=y}, (x, y)≡ {{x},{x, y}}, A×B ≡ {x|Wuv(u∈A∧v∈B∧x= (u, v))},
La comprobaci´on de que una f´ormula est´a estratificada es relativamente m´as simple en el caso de NFA que en el de KF, puesto que no aqu´ı no hemos de comprobar a la vez de que es de clase ∆0. Consideremos primeramente el caso
m´as simple de {x, y}. De acuerdo con la definici´on 2.2, para estratificar una f´ormula que contenga el subt´ermino{x, y}, al designador
{x, y} ≡z|Vu(u∈z↔u=x∨u=y)
hemos de asignarle el mismo tipo que a la variablez, que claramente ha de ser a su vez una unidad mayor que el tipo asignado a las variablesxey(y para que ello sea posible basta con que ambas tengan el mismo tipo). Puesto que las variables
uyzpodemos elegirlas entre las que no aparecen (expl´ıcitamente) en la f´ormula dada, sucede que nunca necesitaremos asignarles un tipo expl´ıcitamente, pues esto podr´a hacerse siempre que se respete la condici´on de quex ey tengan el mismo tipo.
Similarmente, puesto que
(x, y)≡z|Vu(u∈z↔u={x} ∨u={x, y}),
para estratificar una sentencia que contenga un t´ermino (x, y) hemos de asignar a ´este el mismo tipo que a z, que es dos unidades superior que el tipo de las variablesxey (si no tienen ambas el mismo tipo, no es posible estratificar).
Teniendo esto en cuenta, es f´acil ver que la f´ormula que define, por ejemplo, a A×B est´a estratificada y, al estratificar f´ormulas, el t´ermino A×B debe recibir un tipo dos unidades mayor que los tipos de las variables A y B. En general, observemos que
{x|φ} ≡z|Vx(x∈z↔φ(x)),
por lo que el tipo que hay que asignar a un t´ermino de la forma {x|φ}debe ser una unidad m´as que el tipo asignado axpor una estratificaci´on deφ(x).
Al final de esta secci´on incluimos una tabla con las condiciones requeridas para estratificar las descripciones que estamos introduciendo.
Por supuesto, las propiedades b´asicas sobre pares ordenados y productos cartesianos se demuestran sin dificultad alguna.
Relaciones Una relaci´on binariaR en un conjunto A se define igual que en ZFC, es decir, como un subconjunto de A×A. Es f´acil ver que todos los
6.2. Resultados b´asicos en NFA 129
conceptos siguientes est´an bien definidos (por f´ormulas estratificadas), as´ı como que cumplen las propiedades que cabe esperar.
DR≡ {x|Wy(x, y)∈R}, RR≡ {x|Wy(y, x)∈R}, R−1≡ {x|Wuv(x= (u, v)∧(v, u)∈R)},
R◦S≡ {x|Wuvw(x= (u, w)∧(u, v)∈R∧(v, w)∈S)}.
[=]≡ {x|Wu x= (u, u)}, [⊂]≡ {x|Wuv(x= (u, v)∧u⊂v)}. Nota Observemos que al estratificar una f´ormulaφno hemos de preocuparnos por asignar un tipo a los designadores como [=], pues el ´unico requisito para asignar un tipo a un designador x | α es que el tipo sea el mismo que una estratificaci´on deα asigna a la variable x, pero si xes la ´unica variable libre deα, podemos modificar la estratificaci´on deαpara quextenga cualquier tipo deseado a partir de un m´ınimo, sin que ello afecte en nada a la estratificaci´on de las restantes variables deφ.
Los conceptos de relaci´on de equivalencia y de orden, as´ı como los derivados de ellos (m´aximo, m´ınimo, cota, supremo, ´ınfimo, etc.) se definen en NFA de forma natural y sus propiedades b´asicas se demuestran sin dificultad. Obser- vemos en particular que, si R ⊂ A×A es una relaci´on de equivalencia el el conjuntoA, para cada a∈Apodemos definir su clase de equivalencia
[a]R={x|x∈A∧x R a} y a su vez podemos definir el conjunto cociente
A/R={x|Wa∈A x= [a]R}.
Es f´acil ver queA/R es unapartici´on deA, es decir, que sus elementos son no vac´ıos, disjuntos dos a dos y queA=SA.
Clases propias Notemos que en NFA podemos hablar de clases propias exac- tamente en el mismo sentido que en ZFC. Veamos algunos ejemplos:
Teorema 6.1 Las clases
[∈]≡ {x|WyZ(x= (y, Z)∧y∈Z)}, {x|x∈x}, {x|x /∈x}
no son conjuntos.
Demostraci´on: Notemos que las f´ormulas no est´an estratificadas, luego la existencia de tales conjuntos no puede probarse mediante el esquema de for- maci´on de conjuntos. Adem´as no pueden existir, pues si existiera la primera existir´ıa el conjunto
[=]∩[∈] ={x|WZ(x= (Z, Z)∧Z ∈Z)},
luego tambi´en el dominio de este conjunto que es la segunda clase del enunciado, y a su vez, si ´esta fuera un conjunto, tambi´en lo ser´ıa su complementario, que es la tercera clase del enunciado, la cual dar´ıa lugar a la paradoja de Russell.
Funciones Podemos definir el concepto de funci´on del modo usual: f :A−→B≡f ⊂A×B∧Vuvw((u, v)∈f ∧(u, w)∈f →v=w) ∧Vu∈AWv∈B (u, v)∈f, f(x)≡y|(x, y)∈f, f :A−→B inyectiva≡f :A−→B∧Vxy∈A(f(x) =f(y)→x=y), f :A−→B suprayectiva≡f :A−→B∧Vy∈BWx∈A f(x) =y, f :A−→B biyectiva≡f :A−→B inyectiva∧f :A−→B suprayectiva,
f[X]≡ {y|Wx∈X (x, y)∈f}, f−1[Y]≡ {x|Wy∈Y (x, y)∈f}, f|X =f∩(X×V), BA={f |f :A−→B}.
No es necesario definir la aplicaci´on inversa de una aplicaci´on biyectiva, o la composici´on de aplicaciones, pues las definiciones correspondientes son un caso particular de las definiciones para relaciones cualesquiera.
Nota Conviene observar que para que un t´erminot(x) (tal vez con m´as varia- bles libres) defina una funci´onf :A−→B mediantex7→t(x) es suficiente con que la f´ormulax∈A∧y=t(x) pueda estratificarse de modo quexey tengan el mismo tipo, pues entonces
f ={u|Wxy(u= (x, y)∧y=t(x))}
(aparte, por supuesto de que se ha de poder demostrar queVx∈A f(x)∈B, aunque siempre se puede tomarB=V para que esto se cumpla).
Notemos que no es posible definir una proyecci´onf :A×B −→A, pues se trata de la clase
{x|Wuv(u∈A∧v∈B∧x= ((u, v), u))},
y la f´ormula no est´a estratificada, pues las componentes (u, v) yudel par orde- nado deber´ıan tener el mismo tipo, por un lado, pero tipos distintos por otro.
Por ello conviene definir P1A={x|
W
a∈A x={a}}, P21A={x|Wa∈A x={{a}}},
con lo que podemos formar las proyecciones
πA:A×B−→P21A, πB:A×B−→P21B
dadas porπA(a, b) ={{a}},πB(a, b) ={{b}}.
Similarmente, siRes una relaci´on de equivalencia en un conjuntoA, tampoco podemos definir la aplicaci´on can´onica p : A −→ A/R dada por p(a) = [a]R, pues el tipo de [a]R es una unidad mayor que el de A. S´olo podemos definir
6.3. El axioma de infinitud 131
Expresi´on Condici´on Efecto
A⊂B t(A) =t(B) A∪B t(A) =t(B) 0 A∩B t(A) =t(B) 0 A 0 AS\B t(A) =t(B) 0 A −1 T A −1 PA 1 {x, y} t(x) =t(y) 1 (x, y) t(x) =t(y) 2 A×B t(A) =t(B) 2 DR −2 RR −2 R−1 0 R◦S t(R) =t(S) 0 f :A−→B t(f) =t(A) + 2 =t(B) + 2 f(x) t(f) =t(x) + 3 −3/0 f[X] t(f) =t(X) + 2 −2/0 f−1[X] t(f) =t(X) + 2 −2/0 f|X t(f) =t(X) + 2 0/−2 BA t(A) =t(B) 3 P1A 1 P2 1A 2
Estratificaci´on La tabla precedente recoge las condiciones que han de cum- plir las expresiones que hemos definido para definir f´ormulas estratificadas, as´ı como la diferencia del grado de la expresi´on y el grado de sus variables en el caso de t´erminos. Las comprobaciones son muy simples a partir de la expresi´on que define a cada concepto.
6.3
El axioma de infinitud
En esta secci´on definiremos los n´umeros naturales en NFA. M´as precisa- mente, definiremos el conjunto de los n´umeros naturales, pero veremos que para demostrar que es infinito es necesario a˜nadir a NFA el axioma de infinitud (AI), que afirma precisamente la existencia de conjuntos infinitos. A partir de ah´ı ya no habr´a dificultad en demostrar que los n´umeros naturales cumplen los axiomas de Peano y que, por consiguiente, NFA+AI es una teor´ıa aritm´etica.
Empezamos introduciendo el concepto general de cardinal de un conjunto y algunos hechos b´asicos, aunque inmediatamente nos restringiremos al caso finito.
f : A −→ B biyectiva. La equipotencia define una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto [cto] de todos los conjuntos:
∼ ≡ {x|WABf(x= (A, B)∧f :A−→B biyectiva)}.
Llamaremos cardinalesa los elementos del conjunto cociente K= [cto]/∼. Si
A es un conjunto, su clase de equivalencia en K se llama cardinal de A, y lo representaremos por
|A|={B|B∼A}.
Como sucede con todo conjunto cociente, tenemos que K es una partici´on de [cto] en conjuntos disjuntos dos a dos. Adem´as, tenemos trivialmente la equivalencia:
A∼B↔ |A|=|B|.
Diremos que un conjunto Aesminuspotente a un conjuntoB si existe una aplicaci´on f : A −→ B inyectiva. M´as concretamente, podemos definir la relaci´on en [cto] dada por
π ≡ {x|WABf(x= (A, B)∧f :A−→B inyectiva)}.
Es f´acil probar que siA∼A0 yB∼B0, entoncesAπB↔A0 πB0, lo cual justifica la definici´on siguiente2
≤ ≡ {x|WκµAB(x= (κ, µ)∧κ=|A| ∧µ=|B| ∧AπB)}.
Es claro que ≤es una relaci´on en el conjuntoK de todos los cardinales de modo que, para todo par de conjuntosAyB, se cumple que
AπB↔ |A| ≤ |B|.
Omitimos la prueba del teorema siguiente porque es id´entica a la de 2.4, salvo que no hace falta comprobar que las f´ormulas implicadas sean ∆0: Teorema 6.3 (Cantor-Bernstein) La relaci´on ≤ es una relaci´on de orden sobre el conjunto K.
A partir de aqu´ı nos restringimos al caso de los cardinales finitos, para lo cual primero tenemos que definirlos.
Empezamos observando que el ´unico conjunto equipotente a∅es ´el mismo, por lo que, si definimos 0 =|∅|, tenemos que 0 ={∅}.
Los cardinales finitos pueden obtenerse a partir de 0 mediante el operador “siguiente”:
Definici´on 6.4 Para cada conjuntoA, definimos
A0 ={x|WBu(x=B∪ {u} ∧B∈A∧u /∈B)}.
Claramente la f´ormula B =A0 est´a estratificada y A0 tiene el mismo tipo queA. Por lo tanto podemos definir la aplicaci´on S : [cto]−→[cto] mediante
S(A) =A0.
2Notemos que para comprobar que la f´ormula que define a≤est´a estratificada no necesi-
tamos entrar en las definiciones de los t´erminos que aparecen en ella, sino que basta asignar el tipo 0 a las variablesAyB, tipo 1 aκ, µ,|A|,|B|y tipo 3 axy al designadorπ.
6.3. El axioma de infinitud 133
Ejemplo Si definimos 1 =S(0), es f´acil ver que 1 ={x|Wu x={u}},
es decir, 1 es el cardinal de todos los conjuntos con un elemento. Igualmente, si llamamos 2 =S(1) se comprueba que
2 ={x|Wuv(x={u, v} ∧u6=v)},
luego 2 es el cardinal de los conjuntos con dos elementos, y as´ı sucesivamente. En general:
Teorema 6.5 Siκ∈K es un cardinal, entoncesS(κ) =∅o bienS(κ)∈K. Demostraci´on: Supongamos que S(κ) =6 ∅ y sea A ∈ S(κ). Vamos a probar queS(κ) =|A|. En principio sabemos queA=B∪ {u}, para un cierto
B∈κ, de modo que|B|=κ.
SiC∈S(κ), entoncesC=D∪{v}, dondeD∈κyv /∈D. Por consiguiente,
|D| = κ = |B|, luego existe f : B −→ D biyectiva, y g = f ∪ {(u, v)} es claramente una biyecci´ong:A−→C, la cual demuestra queC∈ |A|.
Rec´ıprocamente, si C ∈ |A|, existe una aplicaci´on f : A −→ C biyectiva. SeaD =f[B] y sea v = f(u). Entonces es claro queC =D∪ {v}, v /∈ D y
|D|=|B|=κ, luegoD∈κ. Esto prueba queC∈S(κ).
La posibilidadS(κ) =∅es “patol´ogica” y ser´a descartada por el axioma de infinitud. Para discutirla con m´as detalle conviene que introduzcamos primero los conceptos de “n´umero natural” y “conjunto finito”. La idea b´asica es definir los n´umeros naturales como los cardinales que se obtienen a partir de 0 aplicando un n´umero finito de veces la operaci´on S, pero necesitamos expresar esto sin recurrir al concepto de finitud, que definiremos despu´es. Empleamos la t´ecnica usual de Dedekind:
Definici´on 6.6 Llamaremosconjuntos inductivosa los elementos del conjunto Ind ={X |0∈X∧VA∈X A0∈X}.
Es claro que Ind est´a bien definido (la f´ormula que lo define est´a estratificada) y no es vac´ıo, puesV es un conjunto inductivo. As´ı podemos definir el conjunto de losn´umeros naturalescomo el menor conjunto inductivo:
N=TInd.
Es claro queNes inductivo, pues si A∈Ind entonces 0∈A, luego 0∈N, y sin∈N, dadoA∈Ind, tenemos que n∈A, por definici´on deN, luegon0 ∈A, por definici´on de conjunto inductivo, luegon0∈N, por definici´on deN. Adem´as la definici´on implica queNest´a contenido en todos los conjuntos inductivos.
En particular, si seguimos llamandoS a la restricci´on deS aNtenemos que
Teorema 6.7 Se cumple:
a) 0∈N(El cero es un n´umero natural).
b) S :N−→N(El sucesor de todo n´umero natural es un n´umero natural). c) Vn∈NS(n)6= 0 (El cero no es el sucesor de ning´un n´umero natural). d) VX(X ⊂N∧0∈X∧Vn∈X n+ 1∈X →X=N).
Demostraci´on: Todo es consecuencia inmediata del hecho de que N es el menor conjunto inductivo excepto el hecho de que 0 no es el siguiente de ning´un n´umero natural. Ahora bien, sin∈N, es obvio que∅∈/S(n), pues ello supondr´ıa que∅=a∪ {u}, lo cual es absurdo y, como∅∈0, concluimos que
S(n)6= 0.
Los cuatro axiomas de Peano que hemos probado garantizan, de hecho, que todo n´umero natural no nulo tiene un predecesor:
Teorema 6.8 La aplicaci´on sucesorS:N−→N\ {0}es suprayectiva. Demostraci´on: Basta considerar el conjunto
X ={n∈N|n= 0∨Wm∈Nn=S(m)}
y aplicarle el principio de inducci´on3 (apartado d. del teorema anterior) para
concluir queX =N.
Otra aplicaci´on trivial del principio de inducci´on en combinaci´on con el teo- rema 6.5 nos da que todo n´umero natural es un cardinal o bien es el conjunto vac´ıo.
Definici´on 6.9 Llamaremos cardinales finitosa los n´umeros naturales no va- c´ıos, y llamaremos cardinales infinitos a los cardinales que no sean n´umeros naturales.
Seg´un veremos, el axioma de infinitud nos asegurar´a que todos los n´umeros naturales son no vac´ıos y, por consiguiente, que los cardinales finitos son exac- tamente los n´umeros naturales.
El axioma de Peano que falta en el teorema 6.7 es el que afirma la inyecti- vidad de la aplicaci´on sucesorS, y su posible fallo se reduce una vez m´as a la posibilidad patol´ogica de que haya n´umeros naturales vac´ıos:
Teorema 6.10 Si m,n∈NcumplenS(m) =S(n)6=∅, entonces m=n.
3En toda demostraci´on por inducci´on es crucial comprobar que la propiedad considerada
6.3. El axioma de infinitud 135
Demostraci´on: SeaA∈S(m) =S(n). EntoncesA=B∪ {u}=C∪ {v}, dondeB∈m,C∈n,u /∈B,v /∈C. (En particularmynson no vac´ıos, luego son cardinales.) Distinguimos dos casos:
Siu=v entoncesB=C, luegom=|B|=|C|=n.
Siu6=v, entoncesv ∈B yu∈C, y podemos definirf :B−→C biyectiva sin m´as que exigirf(v) =uy dejando invariantes a los dem´as elementos deB. As´ı llegamos nuevamente a quem=|B|=|C|=n.
Veamos una variante:
Teorema 6.11 Si n y S(n) son cardinales finitos, entonces n < S(n) y si
κ ∈ K cumple n < κ, entonces S(n) ≤ κ. En particular, no hay cardinales intermedios entre ny S(n).
Demostraci´on: Notemos que, en general, n ≤ S(n), pues si A ∈ S(n), entoncesA=B∪ {u}conB∈ny es obvio queB⊂Aimplica que
n=|B| ≤ |A|=S(n).
Consideramos el conjunto
X ={n∈N|S(n) =∅∨(S(n)6=∅∧n < S(n))}.
Veamos queX=Npor inducci´on. Es claro que 0<1, luego 0∈N.
Sin∈X yS(S(n))6=∅, entoncesn < S(n) y sabemos queS(n)≤S(S(n)), pero no puede serS(n) =S(S(n)), pues entonces el teorema anterior nos dar´ıa quen=S(n), luegoS(n)< S(S(n)) yS(n)∈X.
Sin < κ, tomamosA∈S(n), de modo queA=B∪ {u}, donde|B|=n y
u /∈B y seaκ=|C|. Seaf :B −→C inyectiva. Como no puede ser biyectiva, existev∈C\f[B], luegof0=f ∪ {(u, v)}cumple quef0:A−→C inyectiva, luegoS(n) =|A| ≤ |C|=κ.
El teorema siguiente nos asegura que la restricci´on al conjunto de los cardi- nales finitos de la relaci´on de orden enKes un orden total, as´ı como que todo cardinal finito es menor que todo cardinal infinito.
Teorema 6.12 Sines un cardinal finito yκes un cardinal arbitrario, entonces
n≤κo bienκ≤n, y en el segundo casoκes tambi´en finito. Demostraci´on: Consideremos el conjunto
X={n∈N|n=∅∨(n6=∅∧Vκ∈K(n≤κ∨(κ≤n∧κ∈N)))}.
Basta probar por inducci´on que X =N. Obviamente 0∈ X, porque para todo cardinalκse cumple trivialmente que 0≤κ.
Supongamos que n ∈ X y que S(n) 6= ∅. Dado κ ∈ K, por hip´otesis de inducci´onn≤κo bienκ≤n, y en el segundo casoκes finito.
En dicho segundo caso, tenemos queκ≤n≤S(n).
Teorema 6.13 El conjunto de los cardinales finitos est´a bien ordenado. Demostraci´on: SeaAun subconjunto no vac´ıo del conjunto de los cardi- nales finitos. Hemos de probar que tiene un m´ınimo elemento. Basta aplicar el principio de inducci´on al conjunto
X={n∈N|n=∅∨Vm∈N(m≤n→m /∈A)
∧Wm∈N(m≤n∧m∈A∧Vp∈N(p < m→p /∈A))}.
Informalmente, X es el conjunto formado por los cardinales finitos que no dejan tras de s´ı ning´un elemento deAo bien dejan tras de s´ı un m´ınimo elemento deA.
De este modo, tenemos que 0∈Xtanto si 0∈A(en cuyo caso es obviamente el m´ınimo elemento deA) como si 0∈/ A. Sin∈X yS(n)6=∅, supongamos en primer lugar que V
m∈N(m≤n→m /∈A).
SiS(n)∈/A, cumple esta misma condici´on, mientras que siS(n)∈Aenton- ces es el m´ınimo deA y, en cualquiera de los dos casos,S(n)∈X.
Por otra parte, si ndeja tras de s´ı un m´ınimo elemento deA, es obvio que lo mismo le ocurre aS(n), luego tambi´enS(n)∈X.
Concluimos que X =N y, como A no es vac´ıo, existe un cardinal infinito
n∈Aque tambi´en cumplen∈X, y la ´unica posibilidad es que deje tras de s´ı un m´ınimo elemento deA.
Definici´on 6.14 Llamaremosconjuntos finitos a los elementos del conjunto
F =SN.
Un conjunto es infinitosi no es finito.
En otras palabras, los conjuntos finitos son los conjuntos cuyo cardinal es finito4 seg´un la definici´on 6.9.
El teorema 6.11 implica que todo subconjunto de un conjunto finito es finito. M´as a´un, siB √A yA es finito, entonces|B|<|A|.
En efecto, podemos tomar u∈A\B y consideramosC=A\ {u}, de modo que B ⊂ C ⊂C∪ {u} =A. Sabemos que C es finito, luego n = |C| ∈ N y entonces|B| ≤ |C|=n < S(n) =|A|. As´ı pues:
Teorema 6.15 Un conjunto finito A no es equipotente a ninguno de sus sub- conjuntos propios. Equivalentemente, no existe ninguna aplicaci´onf :A−→A
inyectiva no suprayectiva.
Teorema 6.16 La uni´on de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.
4Notemos que sines un cardinal finito no nulo, eso no significa quensea un conjunto
finito. De hecho, el axioma de infinitud nos asegurar´a que es infinito (es decir, que hay infinitos conjuntos de cardinaln).
6.3. El axioma de infinitud 137
Demostraci´on: Basta probar por inducci´on que el conjunto
X ={n∈N|VAB(A finito∧ |B|=n→A∪B finito)}.
Claramente 0 ∈X. Si n∈X, tomamos A finito y|B| =S(n), con lo que
B=C∪ {u}con|C|=n. Por hip´otesis de inducci´onA∪C es finito, digamos que|A∪C| =m. Entonces, o bien u∈ A∪B yA∪B =A∪C, con lo que
A∪B es finito, o bienu /∈A∪B, con lo queA∪B= (A∪C)∪ {u}y entonces
|A∪B|=S(m), luegoA∪B es finito.
Ejercicio: Probar que la uni´on de una familia finita de conjuntos finitos es finita. Poco m´as puede probarse sin el axioma de infinitud. Ahora estamos en condiciones de apreciar el papel que representa en la teor´ıa:
Teorema 6.17 Las afirmaciones siguientes son equivalentes: a) Existe un conjunto infinito.
b) Nes infinito. c) V es infinito.
d) Todos los n´umeros naturales son no vac´ıos. e) Todos los n´umeros naturales son cardinales. f ) La aplicaci´onS:N−→Nes inyectiva.
g) Existe una aplicaci´on f :X −→X inyectiva y no suprayectiva. Demostraci´on: b)⇒c) es inmediato, puesN⊂V.
c)⇒d) Razonamos por inducci´on. Obviamente 06=∅. Sin6=∅, seaA∈n. Por hip´otesisA6=V, luego existe unu∈V \A, luegoA∪ {u} ∈S(n)6=∅.
d)⇔e) es inmediato, pues hemos visto que todo n´umero natural es vac´ıo o bien un cardinal infinito.
d)⇒f) se sigue del teorema 6.10. f)⇒b)∧g) por 6.7 c).
g) ⇒a) por 6.15 y claramente a)⇒c).
Definici´on 6.18 Llamaremosaxioma de infinitud(AI) a cualquiera de las afir- maciones equivalentes del teorema anterior. (Notemos que g) es AID).
Puede probarse que AI no puede demostrarse (ni refutarse) en NFA (supuesto que sea consistente).
Observemos lo peculiar de la situaci´on: Como∅∈0, sabemos que 0 6=∅; como{∅} ∈1, sabemos que 16=∅; como{∅,{∅}} ∈2, sabemos que 26=∅, y
de este modo podemos probar en NFA que cualquier n´umero natural es no vac´ıo. Sin embargo, puede probarse que en NFA no se puede demostrar que todos los n´umeros naturales son no vac´ıos. Equivalentemente, podemos encontrar infinitos elementos en N (y en particular en V), pero no podemos demostrar que estos conjuntos sean infinitos.
En particular, si a˜nadimos como axioma¬AI a NFA, estamos postulando la existencia de un n´umero naturalN =|V|={V}que no es 0, ni 1, ni 2, etc.
Naturalmente, no es esto lo que vamos a hacer, sino todo lo contrario. A partir de este momento trabajamos en NFA+AI.
El primer uso que vamos a hacer de AI ser´a demostrar un resultado t´ecnico fundamental para continuar el estudio de los conjuntos finitos. Imaginemos, por ejemplo, que queremos probar algo tan simple como que |A× {u}|=|A|. La forma obvia de probarlo ser´ıa considerar la biyecci´onf :A−→ A× {u}dada por f(a) = (a, u), pero dicha biyecci´on “no existe” (o, al menos, no sabemos justificar que exista), ya que la f´ormula y = (a, u) no se puede estratificar asignando el mismo tipo a las variablesa ey, pues los pares ordenados elevan el rango dos unidades.
Vamos a probar que, con la ayuda del axioma de infinitud, podemos definir pares ordenados entre familias de conjuntos que no suban el tipo.
Definici´on 6.19 Definimos la aplicaci´ons1: [cto]−→[cto] dada por s1(A) = (A\N)∪S[A∩N]
La definici´on es correcta porque la f´ormula y = “miembro derecho” est´a estratificada y la variable y tiene el mismo tipo queA. El axioma de infinitud equivale a queS sea inyectiva y esto implica a su vez ques1tambi´en lo es, y a su vez esto implica la inyectividad de la aplicaci´ons2: [cto]−→[cto] dada por
s2(A) =s1(A)∪ {0}.
Finalmente, si X, Y ∈Fson dos familias de conjuntos, podemos definir su par ordenado niveladocomo