Un cardinal infinitoκesregularsiκ= cfκy essingularsiκ >cfκ. Dejamos al lector la comprobaci´on de que los cardinales sucesores son regu- lares. Nosotros terminaremos la secci´on demostrando un resultado que necesi- taremos m´as adelante:
Teorema 6.77 (AE) Siκes un cardinal l´ımite,cf(K<
κ,≤) =T2(cfκ). Demostraci´on: Sea ord(A,≤) = In(κ) y tomemos un conjunto B ⊂ A
tal que ord(B,≤) = In(cfκ). Entonces podemos definir f : P2
1B −→ Kκ< mediante f({{b}}) = |A<b|, que claramente tiene imagen cofinal, luego vemos que cf(K<
κ,≤)≤T2(cfκ). Por otra parte, seaB⊂K<
κ un conjunto cofinal tal que
|B|= cf(Kκ<,≤)≤T2(cfκ),
luego est´a definido T−2(|B|) =|B0|. Tomemos f : P2
1B0 −→ B biyectiva, de
modo que|B0| ≤cfκ. Definimosg:B0 −→Amediante
g(b) = m´ın{a|a∈A∧ |A<a|=f({{b}})}.
Es claro que la definici´on de g cumple los requisitos de estratificaci´on, as´ı como queg[B0] es cofinal, luego cfκ≤ |B0|yT2(cfκ)≤ |B|= cf(K<
κ,≤)).
6.9
La exponenciaci´on cardinal
A la hora de definir la exponenciaci´on cardinal nos encontramos con el incon- veniente de que el t´erminoABtiene tipo una unidad superior al de las variables
AyB, raz´on por la cual conviene definir:
( )( ) ≡ {x|WAB(|AB| ≤κ1∧x= ((|A|,|B|), T−1(|AB|))},
con lo que tenemos definida una exponenciaci´on (κ, µ)7→κµque no est´a definida sobre todos los pares de cardinales, sino ´unicamente sobre los pares conκ=|A|,
µ=|B|tales que|AB| ≤κ1. En tal caso, tenemos que
|A||B|=T−1(|AB|).
Observemos que la presencia de T−1 es necesaria, por ejemplo, para que
se cumpla la relaci´on κ1 = κ. En efecto, si |A| = κ, tenemos una biyecci´on f :P1A−→A{∅} dada por
f ≡ {x|Wa(a∈A∧x={({a},{(∅, a)}})},
de donde se sigue queT(|A|) =|A{∅}|, luego|A|=|A|1.
La condici´on de existencia deκµ no es muy pr´actica, pues casi depende del propioκµ. En la pr´actica nos bastar´a esta condici´on suficiente:
Teorema 6.78 Si κ, µ ≤ κ1, est´a definido κµ y T(κ)T(µ) = T(κµ). M´as en
general, para todo par de conjuntosAy B se cumple que |AB|=T(|A|)T(|B|).
Demostraci´on: Dados dos conjuntos A y B, consideramos la biyecci´on
F :P1AP1B −→P
1(AB) dada por
F(f) =x|Wg(x={g} ∧g:B−→A∧Vb∈B(f({b}) ={g(b)})).
De ella se sigue que|P1AP1B|=T(|AB|)≤κ1, luego est´a definido
T(|A|)T(|B|)=|P
1A||P1B|=|AB|.
En particular, si κ, µ ≤ κ1, podemos tomar conjuntos A y B tales que κ=T(|A|),µ=T(|B|) y concluimos que est´a definidoκµ.
Por ´ultimo, si tomamos|A|=κ,|B|=µ, la relaci´on que hemos probado es
T(κ)T(µ)=T(|A|)T(|B|)=|AB|=T(κµ).
En particular vemos que mn est´a definido para todo par de n´umeros natu- rales. Las propiedades
κµ+ν=κµκν, (κµ)ν=κνµν, (κµ)ν =κµν,
se prueban sin dificultad a partir de biyecciones entre los conjuntos correspon- dientes (bajo la hip´otesis de que exista al menos uno de los dos miembros). En particular vemos que la exponenciaci´on de n´umeros naturales es la usual, es decir, la que se define en cualquier sistema aritm´etico.
Teorema 6.79 Para todo conjuntoA se cumple que|PA|= 2T(|A|).
Demostraci´on: Es f´acil ver que la biyecci´on natural{0,1}A −→PA est´a bien definida, lo que nos da que|PA|=|{0,1}A|=T(2)T(|A|)= 2T(|A|).
El teorema de Cantor afirma que |PA| > T(|A|) luego, si 2κ est´a definido (en particular siκ≤κ1) tenemos la desigualdad
κ <2κ.
En particularκ1<2κ1=|PV| ≤κ0. Definici´on 6.80 Llamaremos
exp≡ {x|Wκµ(κ∈K∧x= (κ, µ)∧((κ≤κ1∧µ= 2κ)∨(κ1< κ∧µ=∅)} ∪{(∅,∅)}
As´ı exp :K∪ {∅} −→K∪ {∅}es la aplicaci´on dada por expκ=
Ω
2κ siκ≤κ
1,
∅ siκ1< κ∨κ=∅.
6.9. La exponenciaci´on cardinal 171 • Vκµ∈K(κ≤µ≤κ1→expκ≤expµ) • Vκ∈K(κ≤κ1→κ <expκ) • Vκ∈K(κ≤κ1→expT(κ) =T(expκ)) • expκ1= 2κ1 =|PV|> κ1 Definimos I(κ)≡ {A|A⊂K∪ {∅} ∧κ∈A∧Vµ(µ∈A→expµ∈A)∧ V B(B ⊂A∩K∧B6=∅∧Vµ∈B expµ∈B→supB ∈A)}, C(κ) =TI(κ), Φ(κ) =C(κ)\ {∅}.
Observemos que el tipo de Φ(κ) es una unidad mayor que el deκ. De las propiedades siguientes, las cuatro primeras son consecuencias inmediatas de que
C(κ)∈I(κ).
a) Φ(κ)⊂K∧κ∈Φ(κ).
b) Vµ(µ∈Φ(κ)∧expµ6=∅→expµ∈Φ(κ)).
c) VB(B⊂Φ(κ)∧B6=∅∧Vµ∈B expµ∈B→supB∈Φ(κ)). d) Para todo conjuntoA⊂K:
κ∈A∧Vµ(µ∈A∧expµ6=∅→expµ∈A)∧ V B(B⊂A∧B6=∅∧Vµ∈B expµ∈B →supB∈A)→Φ(κ)⊂A. e) µ∈Φ(κ)↔µ=κ∨Wν∈Φ(κ)µ= expν∨ W B(B⊂φ(κ)∧B6=∅∧Vµ∈B expµ∈B∧µ= supB).
Basta aplicar d) al conjunto
A≡ {µ|µ∈Φ(κ)∧(µ=κ∨Wν∈Φ(κ)µ= expν∨ W B(B⊂Φ(κ)∧B 6=∅∧Vµ∈B expµ∈B∧µ= supB))}. f) µ∈Φ(κ)→κ≤µ. Basta considerarA={µ|µ∈K∧κ≤µ}. g) Vµν∈Φ(κ)(exp(ν)6=∅→µ≤ν∨2ν≤µ).
En efecto, fijamos ν ∈Φ(κ) tal que expν 6=∅y supongamos que existe un µ∈Φ(κ) tal que ν < µ <2ν. Podemos tomar el menor ν posible y, para dichoν, tomamos el menorµposible.
No puede ser µ = supB, para cierto B ⊂ Φ(κ) no vac´ıo que cumpla
V
ξ ∈ B expξ ∈ B, pues entonces, o bien Vξ ∈B ξ ≤ ν, en cuyo caso
µ ≤ν, o bien existe ξ∈ B tal queν ≤ξ, peroξ < expξ ∈B (se da la desigualdad porque expξ6=∅, ya que en caso contrario no estar´ıa enB), luego ξ < µ y, por la minimalidad de µ, tenemos 2ν ≤ξ < µ. As´ı pues, seg´un e) existeξ∈Φ(κ) tal queµ= 2ξ. Comoν <2ξ<2ν, tiene que ser
ξ < ν.
Ahora distingamos las tres posibilidades paraν: No puede ser ν=κ, pues entoncesν ≤ξ.
Tampoco puede ser queνsea el supremo de un subconjunto de Φ(κ), pues entonces ξ < ν→µ= 2ξ ≤ν.
Luego ν = 2π para ciertoπ∈ Φ(κ), luego π < ν y 2π <2ξ <2ν, luego
π < ξ < ν= 2π, en contra de la minimalidad deν.
h) Φ(κ) tiene un m´aximo elementoµ0(κ), que es el ´unico elemento de Φ(κ)
tal que expµ=∅.
En efecto, si Vµ ∈ Φ(κ) expµ 6= ∅ podr´ıamos aplicar c) a B = Φ(κ) y concluir que µ = sup Φ(κ) ∈ Φ(κ), pero entonces µ < expµ ∈ Φ(κ), contradicci´on.
Vamos a probar que un talµes necesariamente el m´aximo de Φ(κ), para lo cual suponemos que existe un ν∈Φ(κ) tal queµ < ν. Podemos tomar el m´ınimo posible.
Obviamente ν 6= κ, y no puede suceder tampoco que ν sea el supremo de un conjunto cerrado para exp, pues entonces existir´ıa un ξ en dicho conjunto tal queµ≤ξ≤κ1, con lo que expµ6=∅.
Por lo tanto, ν = expξ, para ciertoξ ∈Φ(κ), que cumplir´aξ < µ <2ξ, en contra de g).
i) µ∈Φ(κ)↔T(µ)∈Φ(T(κ)).
Si existe unµ∈Φ(κ) tal queT(µ)∈/Φ(T(κ)), podemos tomar el m´ınimo posible. Obviamente no puede ser µ=κ. Si µ= 2ν, para un ν ∈Φ(κ), por la minimalidad T(ν) ∈ Φ(T(κ)), luego T(µ) = 2T(ν) ∈ Φ(T(κ)). Si µ = supB, para cierto B ⊂ Φ(κ) en las condiciones de e), entonces
C = {T(ν) | ν ∈ B} ⊂ Φ(T(κ)) por la minimalidad de µ y es f´acil ver que T(µ) = supC. Esto implica que T(µ)∈Φ(T(κ)), contradicci´on. La implicaci´on contraria se prueba igualmente.
Definici´on 6.81 Dado κ∈ K, llamamosβ0(κ) + 1 = ord(Φ(κ),≤). As´ı cada
ordinalα≤β0(κ) es el ordinal de un segmento inicial de Φ(κ), luego podemos
definir
iα(κ)≡µ|(µ∈Φ(κ)∧ord(Φ(κ)<µ,≤) =α).
Notemos que el tipo deiα(κ) es dos unidades menor que el deαy el mismo que el deκ.
6.9. La exponenciaci´on cardinal 173
Teorema 6.82 Para todo cardinal κ se cumple que i0(κ) = κ, si α < β0(κ)
entonces iα+1(κ) = 2iα(κ) y si λ≤β0(κ)es un ordinal l´ımite, entonces
iλ(κ) = sup{iδ(κ)|δ < λ}.
Demostraci´on: i0(κ) es el elemento de Φ(κ) cuya secci´on inicial es vac´ıa,
es decir, su m´ınimo, luego esκpor f).
iα(κ) yiα+1(κ) son los elementos de Φ(κ) cuyas secciones iniciales tienen
ordinalα yα+ 1, respectivamente, luego el segundo es el menor elemento de Φ(κ) mayor que el primero, luego es 2iα(κ)por g).
Si B ={iδ(κ) | δ < λ}, entoncesµ = supB ∈Φ(κ) por c) y la parte ya probada. Seaα= ord(Φ(κ)<
µ,≤), de modo queµ =iα(κ). Hemos de probar que α= λ. Si δ < λ, entoncesiδ(κ) < µ determina un segmento de ordinal
δ, necesariamente menor que α, luego λ ≤ α. Si δ < α, entonces existe un
ν < µ cuyo segmento tiene ordinal δ, pero entonces existe un δ0 < λ tal que
ν <iδ0(κ), luegoδ (el ordinal del segmento de ν) es menor que δ0 (el ordinal
del segmento deiδ0(κ)), luegoδ < λ, con lo queα≤λ.
Teorema 6.83 Para todo cardinal κ, se cumple
V
α(α∈Ord∧α≤β0(κ)→T(α)≤β0(T(κ))∧T(iα(κ)) =iT(α)(T(κ))).
Demostraci´on: Consideramos el conjunto
X={α|α∈Ord∧α≤β0(κ)∧(β0(T(κ))< T(α)∨
(T(α)≤β0(T(κ))∧T(iα(κ))6=iT(α)(T(κ))))}.
Hemos de probar que es vac´ıo. En caso contrario tiene un m´ınimo elemento
α≤β0(κ), de modo que siδ < αentonces
T(δ)≤β0(T(κ))∧T(iδ(κ)) =iT(δ)(T(κ)).
Por i) tenemos queT(iα(κ))∈Φ(T(κ)). Veamos que el conjunto
Y ={iT(δ)(T(κ))|δ < α}
est´a formado por los elementos de Φ(T(κ)) menores queT(iα(κ)). En efecto, si µ ∈ Φ(T(κ)) cumple µ < T(iα(κ)), por i) tenemos que T−1(µ) ∈ Φ(κ),
luegoT−1(µ)<iα(κ), luego el segmento determinado porT−1(µ) tiene ordinal δ < α, luegoT−1(µ) =iδ(κ) yµ=iT
(δ)(T(κ)).
As´ı pues, basta probar que el ordinal deY = Φ(T(κ))<T(i
α(κ))esT(α). Para
ello tomamos ord(A,≤) =αy definimos una aplicaci´onf :P1A−→Y mediante f({a}) =iT(ord(A<
a,≤))(T(κ)).
(Aqu´ı es crucial que el miembro derecho y{a}tienen el mismo tipo.) Es claro que f es una semejanza, luego ord(Y,≤) = ord(P1A,≤) = T(α), como hab´ıa
Para terminar observemos queβ0es un ordinal no cantoriano, ya que si fuera
cantoriano el teorema anterior nos dar´ıa que iβ0 ser´ıa un cardinal cantoriano, luego ser´ıaiβ0≤κ2y estar´ıa definido 2iβ0, lo cual es absurdo. Por consiguiente, iα est´a definido para todo ordinal fuertemente cantoriano α. En particular tenemos la sucesi´on de cardinales cantorianos
i0<i1<i2<i3<· · ·
lo cual no significa quein est´e definido para todon∈N.
6.10
Existencia de ´atomos
Hasta aqu´ı no hemos mencionado los ´atomos en ninguna prueba. Todo lo que hemos demostrado “parece” ser consistente con el axioma Vx ctox. Sin embargo, en esta secci´on demostraremos la existencia de ´atomos. No se conoce ninguna prueba de este hecho que no use el axioma de elecci´on.
Mantenemos la notaci´on introducida en la secci´on anterior para definiriα. Necesitamos algunos hechos adicionales:
a) Siκ≤κ1, entonces|Φ(κ)| ≥2.
En efecto, puesκ, expκ∈Φ(κ). b) Siκ1< κ entonces|Φ(κ)|= 1.
En efecto, se cumple que Φ(κ) = {κ}, pues expκ = ∅ y basta tomar
A={κ}en la propiedad d) de la secci´on anterior. c) Si κ≤κ1 entonces|Φ(κ)|=|Φ(expκ)|+ 1.
Aplicamos dos veces la propiedad d) de la secci´on anterior para concluir que Φ(κ) ={κ} ∪Φ(expκ). TomandoA={κ} ∪Φ(expκ) concluimos que Φ(κ)⊂ {κ} ∪Φ(expκ) y conA= Φ(κ) obtenemos que Φ(expκ)⊂Φ(κ). Adem´asκ /∈Φ(expκ) (pues en caso contrario ser´ıa expκ≤κ).
d) Si Φ(T(κ)) es finito, entonces Φ(κ) es finito.
Basta considerar f : P1Φ(κ)−→ Φ(T(κ)) dada por f({µ}) = T(µ). La
definici´on es correcta porque est´a estratificada y por la propiedad i) de la secci´on anterior. Obviamente es inyectiva, luego|P1Φ(κ)|=T(|Φ(κ)|) es
finito, luego |Φ(κ)|tambi´en es finito.
Teorema 6.84 (Specker)|PV|<|V|.
Demostraci´on: Supongamos que|PV|=|V|, es decir, que expκ1=κ0. • Si κ1< κ, entonces|Φ(T(κ))|= 2 o3.
En efecto, tenemos que T(κ1)< T(κ)≤κ1, luego