Conjuntos numerables

(1)

Conjuntos numerables

1 Definici´on. Un conjunto A se llama numerable, si A ∼ N.

2 Definici´on. Un conjunto A se llama a lo sumo numerable, si A es finito o numerable.

3 Ejemplo. Los conjuntos N y Z son numerables.

4 Proposici´on. Para cada n en N0, J_n N.

Vamos a usar el principio de inducci´on en la siguiente forma: cualquier subconjunto no vac´ıo de N tiene un elemento m´ınimo.

5 Proposici´on. Cualquier subconjunto no acotado de N es numerable.

Demostraci´on. Sea A un subconjunto no acotado de N. Vamos a definir f : N → A por inducci´on.

En el primer paso notamos que A 6= ∅, y definimos f (1) como el elemento m´ınimo de A.

Supongamos que k ∈ N y los elementos f (j) con j ≤ k ya est´an construidos. Como f [J^k] es acotado y A no es acotado, A 6= f [J_k], esto es, A \ f [J_k] 6= ∅. Definimos f (k + 1) como el elemento m´ınimo de A \ f [J_k].

Mostremos que f es estrictamente creciente. Sea k ∈ N. Entonces f [Jk−1] ⊆ f [J_k], luego A \ f [J_k] ⊆ A \ f [J_k−1] y

f (k + 1) = m´ın(A \ f [J_k]) ≥ m´ın(A \ f [J_k−1]) = f (k).

M´as a´un, como f (k + 1) ∈ A \ f [J_k], obtenemos f (k + 1) 6= f (k). Hemos mostrado que f (k + 1) > f (k) para cada k, as´ı que f es estrictamente creciente. Por consecuencia, f es inyectiva.

Como f es estrictamente creciente, f (2) ≥ f (1) + 1 ≥ 2, f (3) ≥ f (2) + 1 ≥ 3, etc. Por inducci´on es f´acil mostrar que f (k) ≥ k para cada k en N.

Demostremos que f (N) = A. Si b ∈ A \ f (N), entonces b 6= f (b). Al mismo tiempo, b ≤ f (b). Luego b < f (b). Por otro lado, b ∈ A \ f [N] ⊆ A \ f [Jb−1]. Como f (b) = m´ın(A \ f [J_b−1]), concluimos que f (b) ≤ b. Contradicci´on.

Conjuntos numerables, p´agina 1 de 4

(2)

6 Proposici´on. Un conjunto es a lo sumo numerable si y solo si es equipotente a alg´un subconjunto de N.

Demostraci´on. La necesidad sale directamente de la definici´on, y la suficiencia de las dos proposiciones anteriores.

7 Proposici´on. Todo subconjunto de un conjunto numerable es a lo sumo numerable.

8 Proposici´on. Si A es numerable, B es finito y A∩B = ∅, entonces A∪B es numerable.

Demostración. Sea f : N → A una biyección y sea g : Jn → B una biyección. Definimos h : N → A ∪ B mediante la siguiente regla:

h(k) :=

(g(k), k ≤ n;

f (k − n), k > n.

Entonces h es una biyecci´on.

9 Proposici´on. Si A ∼ N, B ∼ N y A ∩ B = ∅, entonces A ∪ B ∼ N.

Demostraci´on. Sean f : N → A y g : N → B biyecciones. Definimos h : N → A ∪ B mediante la regla

h(k) :=

(f (j), si k = 2j − 1, j ∈ N;

g(j), si k = 2j, j ∈ N.

Entonces h es una biyecci´on.

10 Proposici´on. Si A ∼ N y B es a lo m´as numerable, entonces A ∪ B ∼ N.

Demostraci´on. Pongamos C := B \ A. Entonces A ∩ C = ∅, A ∪ B = A ∪ C, y C es finito o numerable.

11 Proposici´on. Si n ∈ N y A¹, . . . , An son conjuntos a lo m´as numerables, entonces Sn

k=1A_k es a lo m´as numerable.

12 Ejercicio. Muestre que Z ∼ N.

13 Lema. Para cada m en N pongamos

α_m := m(m − 1)

2 .

Entonces la sucesi´on (α_m)_m∈N toma valores en N0, es estrictamente creciente, no acotada, y α_m+1− α_m = m.

(3)

Los primeros valores de la sucesi´on (α_m)_m∈N son

α₁ = 0, α₂ = 1, α₃ = 3, α₄ = 6.

14 Proposici´on. N × N ∼ N.

Demostraci´on. Definimos f : N × N → N mediante la regla f (j, k) := αj+k−1+ j.

Mostremos que f es inyectiva. Sean (j, k), (p, q) ∈ N × N, (j, k) 6= (p, q). Si j + k > p + q, entonces

f (j, k) − f (p, q) = α_j+k−1+ j − α_p+q−1− p = (α_j+k−1− α_p+q−1) + (j − p)

≥ (p + q − 1) + (j − p) = (q − 1) + j > 0.

Si j + k = p + q, pero j > p, entonces tambi´en f (j, k) > f (p, q). Los otros casos se consideran de manera similar.

Mostremos que f es sobre. Sea n ∈ N. Usando el hecho que los n´umeros (αm)_m∈N forman una sucesi´on estrictamente creciente y no acotada, encontramos m en N tal que αm <

n ≤ αm+1. Pongamos j = n − αm y k = m + 1 − j. Entonces 0 < j ≤ αm+1 − αm = m y k ≥ 1, as´ı que (j, k) ∈ N × N. Adem´as, f (j, k) = αm+ j = n.

15 Proposici´on. La uni´on de toda familia finita o numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable.

Demostración. El caso de una familia finita de conjuntos numerables se estudió en la Proposición 11. Consideremos el caso de una unión numerable de conjuntos numerables.

Sea (A_k)_k∈N una sucesi´on de conjuntos numerables. Para cada k en N, sea fk: A_k → N una biyecci´on. Pongamos B :=S

k∈NA_k. Definimos g : B → N × N de la siguiente manera.

Dado b en B, encontramos el m´ınimo ´ındice k tal que b ∈ Ak, y pongamos g(b) = (k, fk(b)).

Entonces g es inyectiva. Luego B ≺ N × N ∼ N. Por otro lado, como A1 ∼ N y A1 ⊆ B, obtenemos N ≺ B. Por el teorema de Cantor–Schr¨oder–Bernstein, B ∼ N.

16 Proposici´on. Q ∼ N.

Demostraci´on. Denotemos por A al conjunto de los n´umeros racionales positivos. Cada elemento de A es de la forma p/q, donde p, q ∈ N, p y q son primos relativos. Por eso A ≺ N × N. Luego A ≺ N. Por otro lado, A es infinito. Por eso A ∼ N.

(4)

Denotemos por B al conjunto de los n´umeros racionales negativos. Entonces de manera similar B ∼ N.

Finalmente notamos que Q = A ∪ B ∪ {0}, as´ı que Q ∼ N.