Prácticas de Electrodinámica Clásica
Antonio Hernández Cabrera
Departamento de Física Básica.
1
Introducción
La intención de estas prácticas es la de que el alumno pueda simular y rep-resentar determinados fenómenos electromagnéticos, como consecuencia del movimiento relativista de cargas. También se analizarán casos de interacción de la radiación con la materia y la emisión de radiación de cargas en campos
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Práctica 1. Campos creados por una carga
en movimiento
Esta práctica incluye una aplicación directa de las transformaciones Lorentz. Supóngase que una carga, que se mueve con velocidad v, pasa a cierta dis-tancia b de un observador. El objeto de la práctica es la de representar grá…camente la dependencia temporal de las tres componentes cartesianas de los campos eléctrico, E , y magnético, H, que detecta el observador. Se ha de hacer la representación para tres casos típicos: 1( no relativista), 0:1 (relativista) y 1(ultrarelativista). El alumno ha de justi…car los resultados obtenidos, comparando los límites no relativista y ultrarelativista. Es recomendable que el eje cartesiano de las ordenadas tenga dimensiones espaciales. Para ello se aconseja que se use vt, dado que v es constante.
3
Práctica 2. Trayectoria de una carga bajo
el campo de otra
Supóngase que se tiene una partícula relativista, de carga e y masa m, moviéndose en el campo creado por otra partícula inmóvil Ze. Se supone también que ambas partículas son puntuales. La práctica consiste en repre-sentar las posibles trayectorias de la partícula, bajo distintas circunstancias. Para calcular las ecuaciones diferenciales del movimiento se recomienda par-tir de la formulación Lagrangiana en coordenadas cilíndricas (ver problema 703 de ”Problemas de Electrodinámica Clásica”, V. V. Batiguin y I. N. Top-tiguin).
3.1
Caso 1:
Estudiar las posibles trayectorias de la partícula relativista cuando el mo-mento del impulso K > Ze2=c
3.2
Caso2:
Estudiar las posibles trayectorias de la partícula cuando K Ze2=c
El alumno debe analizar grá…camente lo que sucede cuando la interacción Coulombiana entre ambas cargas es atractiva o repulsiva. También han de estudiarse las trayectorias en función de la energía de la partiícula relativista E.
Dentro de la formulación Lagrangiana, las ecuaciones diferenciales del movimiento de una partícula bajo la acción de un campo electromagnético, y en coordenadas cilíndricas, son:
donde (r; ; z) son las coordenadas cilíndricas del EGO, y f = dfdt. Dado que una partícula cargada …ja sólo genera campo eléctrico, las anteriores expre-siones se simpli…can notablemente. Si tomamos el origen de coordenadas en la carga Ze y el eje polar dirigido a lo largo de la dirección del momento del impulso de la partícula relativista, el movimiento tiene lugar en el plano z = 0, y r es la distancia entre las cargas. Las dos primeras ecuaciones del grupo anterior se reducen a:
d dt mr = mr 2 +Ze 2 r2 d dt mr 2 = 0 (3)
De la segunda ecuación es inmediato que el momento del impulso es una constante del movimiento
mr2 = K = cte: (4) La otra integral del movimiento es la energía total del sistema
mc2+ Ze
2
r =E = cte: (5) De la última expresión, si Z < 0, se obtienen dos tipos de trayectorias. Cuando r es muy grande la energía total es E = mc2+ T, siendo T la energía
cinética, ya que la energía potencial tiende a cero. Como T 0, si E < mc2,
la partícula no puede alejarse demasiado del centro que la atrae, por lo que la trayectoria queda con…nada (movimiento …nito).
= Ze
2
Kc: (8)
Integrando esta ecuación para 6= 0, tenemos que
r = p 1 + " cos p1 2 ; (9) con p = K 2c2 Z2e4 Ze2E ; (10)
siendo " una constante de integración. La segunda constante de integración, correspondiente a un cierto ángulo de arranque, puede eliminarse eligiendo adecuadamente el origen de coordenadas para ; el valor de " puede expre-sarse a través de E y K. Las trayectorias van a ser simétricas respecto al eje x ( = 0).
Caso 1: Si < 1, y suponiendo " > 0; la mínima distancia entre la partícula y el centro es [ver ec. (7)] rmin = 1+"p . En la expresión (7), el origen
de la variable se ha escogido de forma que (r; a) = (rmin; 0). La partícula
puede pasar muchas veces a una distancia rmin del centro u origen (situado en
la partícula inmóvil). En todos esos puntos ocurre que la velocidad radial es nula, siendo la velocidad total perpendicular a r. Por lo tanto, K = mvrmin:
De esta ecuación y la (4) se obtiene, utilizando rmin como función de ",
" = 1 1 m 2c4 E2 1 2 1=2 (11)
1.a. Si nos …jamos en esta ecuación, para que E < mc2, obligatoriamente " < 1. En este caso el movimiento es …nito y la trayectoria elipsoidal. En el caso general dicha trayectoria con…gura una roseta abierta, comprendida entre dos circunferencias de radios 1+" (perigeo) y 1 " (apogeo). La trayecto-ria se obtiene mediante una precesión (rotación) de una trayectotrayecto-ria elíptica no relativista en su plano. Para ir desde un perigeo hasta otro, pasando por un apogeo, el ángulo va aumentando desde un i hasta i+ p2
1 2.
Así, al cabo de un período de variación de r, el perigeo de la órbita gira 2 p1
1 2 1 . Si, casualmente,
p
1 2 es un número racional entero, al
1.b. Ahora bien, si E > mc2 =
) " > 1. Aquí el movimiento es in…nito y la trayectoria hiperboidal, con dos ramas con asíntotas en = 0 =
arccos( 1=")
p
1 2 . Una partícula que se aproxime a la carga Ze por una de dichas
ramas puede realizar varias órbitas en torno a la carga antes de alejarse por la otra rama.
1.c. Un caso extremo de la anterior variante corresponde a E = mc2 ) " = 1. El movimiento es in…nito siguiendo una trayectoria parabólica.
Cuando 1, las trayectorias se convierten en las habituales elipse (" < 1), hipérbola (" > 1) y parábola (" = 1) del caso no relativista de Kepler. Esto es debido a que, si v c, 1. Recordemos que, en el caso no relativista, = ZeKc2 rmvcZe2 mvcjUj. Según el teorema del virial, jUj = 2T mv2, luego mv2
mvc = v c 1.
Caso 2. Si > 1, trabajaremos con argumentos complejos, por lo que es más conveniente escribir r = p1 1 + "1cosh p 2 1 ; (12) donde p1 = K2c2+ Z2e4 Ze2E ; "1 = s 1 2 + m2c4 E2 (1 1 2): (13)
La trayectoria que describe r = r( ) tienen forma de espirale, curvándose en torno al origen, para = 1. La partícula relativista cae sobre la carga …ja. En el caso no relativista esto ocurre sólo cuando K = 0, =1.
Caso 2.1. Si E > mc2
) "1 < 1, con lo que la trayectoria tiene dos
ramas asintóticas para = 0. con 0 = p12
1sinh 1 1
"1:
Caso 2.2. Si E < mc2 ) "1 > 1, obteniéndose una trayectoria
seudoelíp-tica que muere en la carga …ja tras orbitarla.
Existe una peculiaridad: = 1. Aquí hay que reintegrar las ecuaciones del movimiento para evitar singularidades, obteniéndose
r = 2Ze
2
E
4
Práctica 3. Radiación de cargas en movimiento
4.1
Movimiento rectilíneo
La velocidad v de una carga e relativista, correspondiente a un cierto valor del tiempo de retardo t0, es paralela a su aceleración v. Dibujar la distribución:
angular instantánea de la intensidad de radiación ddI mediante un diagrama polar. Observar la forma de la distribución angular de la radiación para el caso ultra relativista. Recordemos que la potencia irradiada, por unidad de ángulo sólido, para una carga acelerada con movimiento rectilíneo es:
dP (t0)
d =
e2v2sin2
4 c3(1 cos )5: (15)
Cuando 1, caso no relativista, se recuperaría la expresión de Larmor. Para el caso ultra relativista, ! 1, la radiación es altamente direccional. El ángulo para el que la intensidad de radiación emitida es máxima será
max= cos 1 1 3 q 1 + 15 2 1 ! 1 2 : (16) Para el el caso ultra relativista, la intensidad en el pico es proporcional a
8. Dado que, en estas circunstancias, el ángulo
max es muy pequeño, la
distibución angular de la intensidad de radiación puede expresarse por
dP (t0)
d =
8e2v2( )2
c3(1 + 2 2)5
8: (17)
El ángulo cuadrático medio de emisión, 2 1=2 = 1 = mc2
E , es
independi-ente de la relación entre velocidad y aceleración. Integrando a las variables angulares puede obtenerse la potencia total radiada,
P (t0) = 2e
2v2 6
3c3 : (18)
Es interesante recordar que 2 =
R 2 dP d d
R dP d d
4.2
Movimiento circular
Una partícula relativista de carga e y masa m se mueve describiendo una órbita circular. Dibujar la distribución angular de la radiación, haciendo énfasis en el caso ultra relativista.
En este caso ? . Eligiendo un sistema de coordenas adecuado, con en la dirección de z y en la de x, los ángulos polares y de…nen la dirección de observación. La potencia de la radiación emitida viene dada por
dP (t0) d = e2 4 c3 v 2 (1 cos )3 1 sin2 cos2 2(1 cos )2 : (19)
En el límite relativista, con 1, la distribución angular puede aproximarse por dP (t0) d = 2e2 v 2 c3 6 1 1 + 2 2 3 " 1 4 2 2cos2 1 + 2 2 2 # : (20)
Integrando a todos los ángulos, la potencia total radiada será
P (t0) =
2e2 v 2
3c3 4
: (21)
4.3
Movimiento circular instantáneo
Un electrón ultra relativista se mueve en una campo magnético homogé-neo y uniforme de intensidad H, describiendo una trayectoria helicoidal. Su velocidad v en el momento de tiempo de retardo correspondiente es perpen-dicular a la aceleración. Trazar el diagrama polar de la radiación emitida por período de rotación de la carga para los casos v cy v c. Determinar las direcciones en las que no se emite radiación.
Si el eje polar está dirigido a lo largo de la velocidad y es el ángulo azimutal, la intensidad de radiación se escribe como
dP (t0) d =
e2 v 2
4 c3
(1 cos )2 1 2 sin2 cos2
donde la aceleración puede calcularse de la expresión general de la ecuación del movimiento de una carga sometida a un campo magnético
mdp
d = eF u : (23)
La potencia promediada por período orbital de la partícula en el campo magnético será dP d = dE d dt0 = e 2H2 2 8 2m2c3 1 2 Z 2 0
1 2 cos + ( sin cos )2
5
Práctica 4. Radiación de Cherienkov
En esta práctica se estudian grá…camente las condiciones necesarias para que se produzca la radiación de Vasilov-Cherienkov, representando posteri-ormente la envolvente de la radiación emitida en distintos casos. Para ello se parte de una carga e que se mueve con velocidad v en un medio material homogéneo e isótropo. La permitividad del medio es "(!) y la permeabilidad magnética (!). En primer lugar hay que determinar las componentes del campo electromagnético creado por la carga en movimiento. Si la velocidad es v = =c, hay que estudiar el campo a grandes distancias de la trayectoria, demostrando que una partícula su…cientemente rápida puede emitir ondas magnéticas transversales.
La radiación de Cherienkov es un fenómeno causado por la densidad de un medio La energía perdida por una carga en regiones alejadas de su trayectoria (es decir, cuando el parámetro de impacto, b, es mucho mayor que el tamaño medio, a, de los átomos del medio material que atraviesan las cargas) puede obtenerse aproximando los campos generados por dicha carga cuando j aj 1: E1(!; b) ! i ze! c3 1 0 2 (!) e b p b; E2(!; b) ! ze 0 v (!) r be b; B3(!; b) ! 4 v c2 (!)E2(!; b): (26)
En las expresiones anteriores = !v h1 2 (!)
0
i1=2
, (!) es la función dieléc-trica del medio y 0 la del vacio. Dado que la pérdia de energía por unidad
de recorrido, para parámetros de impacto grandes, es dE ex b>a= 4 0 a Re Z 1 0 B3(!)E1(!)d!; (27)
nos encontramos que, en el caso límite,
La parte real de esta expresión proporciona la energía cedida lejos de la trayectoria. Normalmente, tiene parte real positiva, con lo que la exponen-cial hace que esta energía tienda rápidamente a cero. Es decir, la energía se cede cerca de la trayectoria. Pero si, casualmente, es imaginaria pura, la exponencial vale uno, y la anterior expresión es independiente de a. Ahora parte de la energía se va al in…nito en forma de radiación. Ocurre que es imaginario puro si (!) es real (no hay absorción) y 2 (!) < 0. Es decir,
cuando
v > qc
(!)
0
= vf: (29)
Es decir, la velocidad de la partícula es mayor que la velocidad de fase del campo electromagnético, a frecuencia !, emitido por ella. En esta situación se emite la radiación de Cherienkov con dicha frecuencia.
Si se supone que (!) tiene una parte imaginaria in…nitesimal positiva para ! > 0, si 2 > 0 =) = ij j =) ( = )1=2 = i, y que (23) es real
e independiente de a. La radiación de Cherienkov por unidad de longitud a lo largo de la trayectoria de la partícula puede expresarse como
dE dx rad = z2e2 c3 Z (!)> 12 ! 1 2 0 (!) d!: (30)
La radiación no se emite uniformemente en cualquier frecuencia, sino que tiende a emitirse en bandas en las que (!)= 0 > 1= 2. La primera parte de
esta práctica consistiría en la representación de la banda de emisión.
Por otra parte, la radiación Cherienkov es enormemente direccional. A grandes distancias de la trayectoria los campos generados por una carga son transversales (campos de radiación). La dirección de propagación viene dada por E B. El ángulo de emisión de la radiación Cherienkov se mide respecto a la dirección de la velocidad de la partícula y viene dado por
tan c = E1 E2 ; (31) o bien cos c = 1 p (!)= 0 : (32)
Es decir, el criterio (!)= 0 > 1= 2sirve para determinar el ángulo de emisión
La radiación Cherienkov está totalmente polarizada en el plano formado por la dirección de observación y la trayectoria de la carga.
Para determinar el ángulo de emisión c es interesante representar los
paquetes de onda esféricos que acompañan a la carga, en distintos instantes de tiempo, para los casos en que v < c=p (!)= 0y v > c=
p
(!)= 0:En el último
caso aparece una onda electromagnética de choque, que se propaga en la dirección dada por el ángulo de Cherienkov. Esto se debe a la interferencia de los distintos frentes de onda detrás de la partícula. El fenómeno es bastante parecido al de una fuente sonora que se desplaza a mayor velocidad que el sonido, en un medio determinado.
5.1
Parte 1
Hallar grá…camente las condiciones para que aparezca la radiación de Vasilov-Cherienkov como función de la velocidad de la partícula y la permitividad del medio.
5.2
Parte 2
6
Práctica 5. Ecuaciones del movimiento de
una carga relativista en un campo
electro-magnético
Esta práctica consiste en una sencilla aplicación de la fuerza de Lorentz. Supongamos que la carga relativista es negativa y encuentra en su trayecto-ria un campo electromagnético F de tal forma que!E k !B y ambos están orientados en la dirección del eje Z. El problema puede resolverse en el sis-tema propio de la carga y, mediante una transformación de Lorentz, calcular las trayectorias en el sistema de laboratorio. La otra opción es la de calcular directamente las trayectorias utilizando la forma relativista de la fuerza de Lorentz
m d d u =
e
cF u ; con la condiciones de contorno
p (t = 0) = (E0
