LOCALIZACION DE CONJUNTOS INVARIANTES COMPACTOS EN SISTEMAS TRIDIMENSIONALES POLINOMIALES DE SEGUNDO ORDEN

(1)

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL

MAESTRÍA EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

“LOCALIZACIÓN DE CONJUNTOS INVARIANTES COMPACTOS EN SISTEMAS TRIDIMENSIONALES POLINOMIALES DE

SEGUNDO ORDEN”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A:

ING. LUIS EDUARDO VARGAS GURROLA

BAJO LA DIRECCIÓN DE:

DR. KONSTANTIN E. STARKOV

OCTUBRE, 2006 TIJUANA, B.C., MÉXICO

(2)

Gracias a mis compa˜neros y amigos en el CITEDI Gracias al Doctor Starkov

Gracias a Tijuana, a la Ciencia y a la M´usica, todas por igual Gracias a la vida...

1

(3)

SIP-14

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

SECRETARIA DE INVESTIGACION y POSGRADO

ACTA DE REVISION DE TESIS

En la Ciudadde Tijuana,B.C. siendolas 12:00 horasdel día ~ del mes de

SEPTIEMBRE del 2006 se reunieron los miembros de la Comisión Revisora de Tesis designada por el Colegio de Profesores de Estudios de Posgrado e Investigación de CITEDI

para examinar la tesis de grado titulada:

LOCALIZACIÓN DE CONJUNTOS INVARIANTES COMPACTOS EN SISTEMAS TRIDIMENSIONALES POLlNOMIALES DE SEGUNDO ORDEN.

Presentada por el alumno:

VARGAS

Apellido paterno

GURROLA

materno Luís EDUARDO

nombre(s)

aspirante al grado de:

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

Después de intercambiar opiniones los miembros de la Comisión manifestaron SU APROBACION DE LA TESIS, en virtud de que satisface los requisitos señalados por las disposiciones reglamentarias vigentes.

LA COMISION REVISORA

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S. E. P.

INSTITUTOPOLnECNICQflAClONAQ :OO'RODE INVESTlGACIONy

K AGUILAR BUSTOS DE TECNOLOGIADIGITA&:

DIRECCION

EL PRESIDENTE DEL COLEGIO

ROSS

--- ~ ---

(4)

Lista de Figuras iv

Resumen vii

Abstract viii

1 Introducci´on 1

2 Preliminares 5

2.1 Sistemas Din´amicos . . . 5

2.2 Plano de Fase . . . 7

2.3 Campo Vectorial . . . 8

2.4 Conjuntos Invariantes . . . 8

2.4.1 Puntos de Equilibrio . . . 9

2.4.2 Ciclos L´ımite . . . 10

2.4.3 Conjuntos invariantes compactos en IR¹ . . . 10

2.4.4 Atractores Extra˜nos . . . 11

2.5 Caos . . . 12 i

(5)

3 Localizaci´on de Conjuntos Compactos Invariantes 16

3.1 La Derivada de Lie . . . 17

3.2 Funci´on Localizadora h(x) . . . 18

3.3 Localizaci´on de conjuntos invariantes compactos . . . 18

3.4 Teorema Iterativo de Localizaci´on . . . 24

3.5 M´etodo de Multiplicadores de Lagrange . . . 25

3.6 Ejemplo de Localizaci´on . . . 26

3.6.1 Condiciones para el Elipsoide . . . 29

4 Localizaci´on en el Sistema PRT 32 4.1 Antecedentes . . . 32

4.2 Desarrollo Te´orico . . . 37

4.2.1 Primera Localizaci´on . . . 37

4.2.2 Segunda Localizaci´on . . . 43

4.2.3 Tercera localizaci´on . . . 44

4.2.4 Cuarta localizaci´on . . . 45

4.3 Simulaciones Num´ericas . . . 46

4.3.1 Localizaciones Compactas . . . 47

4.3.2 Localizaciones No Compactas . . . 49

5 Localizaci´on en el Sistema Rikitake 56 5.1 Antecedentes . . . 56

5.2 Desarrollo Te´orico . . . 58

5.3 Simulaciones Num´ericas . . . 60

(6)

Referencias 68

(7)

2.1 Plano de Fase de un sistema no lineal . . . 7 2.2 Conjunto Invariante Q . . . 9 2.3 Ejemplos de diferentes conjuntos invariantes compactos . . . 11 2.4 Simulaci´on numerica del diagrama de fase del Sistema de Lorenz, utilizando

valores de σ = 10, ρ = 28, b = 8/3 y punto inical en (0, 1, 0). . . 13 2.5 Diagramas de fase de x con diferetes condiciones iniciales; (0, 1, 0) y (0, 1.5, 0) 14 3.1 Representación gráfica de la derivada de Lie . . . 17 3.2 Representación gráfica del Teorema 1. Acerca de la localización de conjuntos

invariantes compactos . . . 20 3.3 Representación gráfica de los Teoremas 3 y 4. . . 21 3.4 Ejemplos de superficies cuadráticas a) Hiperboloide de dos hojas, b) Cono el´ıptico,

c) Elipsoide d) Conos Coincidentes. . . 23 3.5 Diagrama de fase del sistema (3.7). . . 27

iv

(8)

en (1, 1, −1). . . 31 4.1 Tabla con representaci´on param´etrica del sistema PRT. Donde β es proporcional

al campo electromagn´etico del silb´ıdo y M ± se refiere a los puntos de equilibrio del sistema. . . 34 4.2 Diferentes perspectivas de los puntos de equilibrio del sistema PRT. a) Eje

(x₁, x₃), b) Eje (x₁, x₃), c) Eje (x₂, x₃), d) Ejes (x₁, x₂, x₃). . . 36 4.3 Vista en 3 Dimensiones de un politopo π que encierra un elipsoide. Cada par de caras

corresponden a una variable de estado las cuales auxilian a delimitar el elipsoide. . 39 4.4 La localización se llevó a cabo haciendo uso de la ecuación 4.13 con parámetros

de simulación (4.8) y navegando a través de la ruta del caos con respecto al parámetro β. . . 52 4.5 En esta gráfica se presenta el resultado de la localización haciendo uso de la

ecuación 4.12 y con párametros de simulación (4.8) los valores del parámetro β siguen la misma ruta para alcanzar el Caos. . . 53 4.6 Localizaciones no compactas llevadas a cabo con la función (4.6).Las condiciones

iniciales para los experimentos fueron x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 0. . . 54 4.7 Localizacion no compacta llevada acabo con la funcion (4.11). . . 55 5.1 Puntos de equilibrio del sistema Rikitake . . . 58 5.2 Caso 1. Localizaci´on realizada al sistema Rikitake con valores de parametros de

p₁ = 2 y p₂ = 1, α = 5, µ = 2 con condiciones iniciales de x = −4, y = −3, z = 1. 61

(9)

5.3 Caso 2.Localizaci´on realizada con valores de p₁ = 1 y p₂ = 2. . . 62 5.4 Caso 3. Localizaci´on llevada a cabo con valores de parametros de p₁ = −2 y

p₂ = 1. . . 63 5.5 Caso 4. Localizaci´on llevada a cabo con valores de par´ametros de p₂ = 2 y

p1 = −1. . . 64

(10)

En este trabajo de tésis se presenta un método para resolver el problema de la localización de conjuntos compactos invariantes en sistemas tridimensionales polinomiales de segundo orden.

Dicho método se basa en la localización de orbitas periódicas, en el uso de condiciones de extrema de diferentes ordenes junto a la teor´ıa de estabilidad de Lyapunov. Se aplicará la metodolog´ıa estudiada a dos sistemas dinámicos no lineales que presentan diferentes conjuntos compactos invariantes en su espacio de fase. El sistema Rikitake y el sistema Pikovskii- Rabinovich-Trakhtengerts son los modelos a analizar con el objetivo de encontrar información acerca de la dinámica de ambos as´ı como de sus conjuntos compactos invariantes.

vii

(11)

In this Thesis work, a method for solving the problem of localization of compact invariant sets in three-dimensional second order polynomial systems is proposed. This proposed method is based in the localization of periodic orbits, in the use of extreme conditions of different orders and in Lyapunov’s stability theory. The studied methodology will be applied to tridimentional nonlinear dynamical systems that have different compact invariants sets in their phase space.

The Rikitake system and the Pikovskii-Rabinovich-Trakhtengerts systems are analyzed with the goal of finding useful information about their dynamics as well as their compact invariant sets.

viii

(12)

Introducci´ on

Un atractor global se puede describir como el mayor conjunto invariante de un sistema. El comportamiento a largo plazo de las dinámicas que describen la evolución del sistema, está incorporado a este atractor.

En muchos casos, la velocidad de atracción a un conjunto invariante puede resultar ser de- masiado lenta. Por lo tanto, observar la dinámica del conjunto involucra resolver problemas de condiciones iniciales sobre un intervalo de tiempo muy grande. En el caso de estar llevando acabo simulaciones numéricas en una computadora, puede resultar en grandes errores.

Puede resultar complicado determinar si las dinámicas observadas en una solución son ver- daderamente permanentes en contraste a ser transitivas. Conociendo el comportamiento a largo plazo de un sistema permite llegar a resultados gratificantes como lo son poder predecir algún estado del sistema en un tiempo determinado. Esto es parte de la motivación detrás del

1

(13)

desarrollo de una metodolog´ıa para localizar los conjuntos invariantes compactos de un sistema.

Dentro del estudio de los sistemas caóticos, se ha llegado a probar, ver [20], que las órbitas periódicas componen el esqueleto de un atractor extraño, (conceptos que será analizado en cap´ıtulos posteriores), con este argumento en mente, se puede aseverar que basar un método en encontrar soluciones periódicas llevará a resultados acerca de la localización del atractor extraño y por ende de los conjuntos invariantes compactos del sistema.

Los conjuntos invariantes compactos, se pueden describir como el conjunto de estructuras o comportamientos que puede llegar a adquirir un sistema no lineal según sean los valores de sus condiciones iniciales, parámetros y el tiempo de su desarrollo. Por lo tanto, obtener infor- mación acerca de los l´ımites en donde se pueden encontrar y desarrollar tales conjuntos será una valiosa contribución al estudio del sistema espec´ıfico. Una diversidad de estudios se han enfocado en conseguir estas metas. Trabajos como [6], se interesan en localizar por medio de sus propiedades anal´ıticas, los atractores del sistema, en [4] se consigue estimar los atractores de la clase Lorenz generalizada.

En este trabajo se expone la solución al problema de la Localización de Conjuntos Invariantes Compactos en Sistemas Tridimensionales Polinomiales de Segundo Orden. Se estudian algunos modelos de fenómenos f´ısicos y se llega a resultados acerca de la localización de sus conjuntos invariantes compactos.

Los sistemas analizados en este trabajo son modelos de fen´omenos que toman parte en difer-

(14)

de los conjuntos invariantes compactos para trabajos posteriores. Es importante recalcar que los resultados proporcionados son meramente una orientación más que un resultado numérico concreto ya que en la práctica, resulta complicado medir con certeza las condiciones iniciales o el poder manipular numéricamente los valores de los parámetros de algún sistema no siendo del todo sencillo y preciso. En las simulaciones llevadas acabo en este trabajo se discrimina entonces este problema por el grado de complejidad y queda abierto para futuras investigaciones.

Cabe mencionar que existen tres enfoques destacables en la resolución del problema de la Localización de conjuntos invariantes compactos en sistemas tridimensionales polinomiales de segundo orden. Uno de ellos está basado en utilizar funciones de tipo Lyapunov, ver [15], [18]

y otros. El segundo método está basado en encontrar familias de superficies semi-permeables, ver [9] y [7]. En este trabajo se utiliza el tercer método propuesto originalmente en [11], [12] y [14], para la localización de ciclos l´ımite. Posteriormente, el método fue desarrollado y aplicado exitosamente a localización de órbitas periódicas en sistemas como el de Lorenz [11], algunos sistemas de Sprott en [34] y después en [27] y [28], se aplica para localizar conjuntos invariantes compactos.

La estructura de este trabajo se describe a continuaci´on.

• Capitulo 2: Se presentan definiciones y conceptos preliminares dentro del área de estudio con el objetivo de emplearlos a través del desarrollo de este trabajo. Esta sección abarca desde la diferencia entre un sistema lineal y uno no lineal, hasta una breve definición de

(15)

un Sistema Ca´otico.

• Capitulo 3: Se presentan las herramientas utilizadas para la resolución del problema de la localización de conjuntos invariantes compactos, un sistema se analizará en breve para poder ejemplificar el uso de los teoremas e ideas atrás de la localización.

• Capitulo 4: Se analiza y lleva a cabo la localización de conjuntos invariantes compactos en un sistema dinámico disipativo, el Sistema Pikovskii-Rabinovich-Trakhtengerts (PRT), sistema que describe la dinámica de un plasma obtenido en [21]. Para este sistema se lleva a cabo el desarrollo teórico y simulaciones numéricas para obtener resultados en forma de igualdades y desigualdades algebraicas además de presentar soluciones gráficas.

• Capitulo 5: Se procede a realizar la localización para el Sistema Rikitake, sistema que describe la dinámica del cambio de la polaridad geomagnética de la tierra investigado en [22]. Se obtienen resultados aplicando el método propuesto y posteriormente se obtienen descripciones gráficas acerca de la localización de sus conjuntos invariantes compactos gracias a simulaciones numéricas.

• Capitulo 6: Se proporcionan las conclusiones, aportaciones y sugerencias para trabajos futuros en el ´area de la din´amica no lineal.

(16)

Preliminares

El estudio de los sistemas no lineales comienza con la definición de algunos conceptos abstractos como los son plano de fase, puntos de equilibrio, órbitas periódicas y atractores extraños. En este cap´ıtulo se exponen estos conceptos además de presentar algunos ejemplos.

2.1 Sistemas Din´ amicos

Un sistema dinámico, es un modelo matemático que describe la evolución de los estados de un sistema en un espacio de estado en función del tiempo. La representación de un sistema dinámico se hace por medio de ecuaciones diferenciales oridinarias. Un esqueleto muy general

5

(17)

para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se provee por las siguientes expresiones:

˙

x₁ = f₁(x₁, . . . , x_n)

˙

x₂ = f₂(x₁, . . . , x_n) ...

˙

xn = fn(x1, . . . , xn).

(2.1)

En (2.1), ˙x_n representa la derivada de x con respecto al tiempo t. Por lo tanto ˙x_i ≡ dx_i/dt.

Seg´un sean las propiedades cualitativas de este sistema, puede ser clasificado en dos grandes grupos. En sistemas lineales y sistemas no lineales. Un sistema no lineal contiene t´erminos con no linealidades para describir alguno de sus estados temporales, esta caracter´ıstica es la diferencia principal entre los dos tipos de sistemas.

Para el estudio de este trabajo se analizr´an sistemas en donde la funci´on f no depende explici- tamente del tiempo. Siendo as´ı

˙x = f (x) (2.2)

el sistema (2.2) se describe como aut´onomo o invariante en el tiempo.

Como ejemplo de un sistema no lineal adem´as de ser uno de los sujetos de este estudio se cita el sistema PRT (Pikovskii-Rabinovich-Trakhtengerts) con la forma.

˙

x₁ = −ν₁x₁ + βx₂− x₂x₃

˙

x₂ = βx₁− ν₂x₂ + x₁x₃

˙

x₃ = −ν₃x₃ + x₁x₂

(2.3)

En (2.3) las no linealidades se encuentran en los t´erminos βx2x3 as´ı como en x1x3 y x1x2.

(18)

dos variables o de una sola variable en el caso de xⁿ.

2.2 Plano de Fase

Plano de fase, espacio de fase y flujo de fase son conceptos abstractos que una vez compren- didos, auxiliarán en el estudio de cualquier sistema, ya que siendo capaz de representar estos elementos gráficamente, se puede llegar a encontrar la solución del sistema de una manera más

´

agil. El único inconveniente puede ser que mientras el sistema presente un mayor número de no linealidades, se convierte más complicado representar estos esquemas. Por lo tanto, el uso de una computadora y en especial de software dedicado a este tipo de tareas es de gran ayuda para el análisis de tales sistemas.

x(t) x.

Figura 2.1: Plano de Fase de un sistema no lineal

En un proceso determin´ıstico en el cual sus estados pasados y futuros se pueden determinar por un estado presente, el espacio de fase es el conjunto de todos los estados posibles de ´este proceso o sistema. Dentro del espacio de fase se encuentra el plano de fase y dentro de este,

(19)

se encuentra la soluci´on en el tiempo para el sistema no lineal (2.2) y se puede representar por un punto con un vector de velocidad dado por ˙x Ver figura 2.1. Para profundizar m´as en la teor´ıa de ecuaciones diferenciales ver [1].

El plano de fase se conforma por un gran número de trayectorias en donde cualquier punto puede hacer el papel de condición inicial para un sistema. Cada solución en el tiempo ϕ(x, t) puede representarse por un punto de fase , ˙x denota la velocidad en este punto. Siguiendo el flujo a lo largo del campo vectorial de los puntos de fase, se entrega la solución ϕ(x, t), correspondiente a la trayectoria que pasa por el plano de fase.

2.3 Campo Vectorial

Un campo vectorial se define como un mapeo de f : IRⁿ7→ IRⁿ el cual asigna a cada valor de x una función vectorial f (x). Dicha función vectorial consiste de una amplitud y una dirección en su espacio de fase.

2.4 Conjuntos Invariantes

Los sistemas no lineales, pueden presentar en su plano de fase estructuras, figuras o comportamientos diferentes seg´un sea el sistema y sus caracter´ısticas cualitativas. Se dice que el conjunto Q ⊂ IRⁿ es invariante para el sistema (sistema vectorial x = f x) si para cualquier x ∈ Q la soluci´on ϕ(x, t) pertenece a Q en la totalidad de su existencia.Ver figura (2.2).

Los conjuntos invariantes se clasifican a su vez en dos grupos

(20)

Q

Figura 2.2: Conjunto Invariante Q

• Conjuntos Invariantes Positivos: El conjunto Q se llama positivo invariante si ∀x ∈ Q ϕ(x, t) ∈ Q ∀ t ≥ 0

• Conjuntos Invariantes Negativos: El conjunto Q se llama negativo invariante si ∀x ∈ Q ϕ(x, t) ∈ Q ∀ t ≤ 0

2.4.1 Puntos de Equilibrio

Un concepto importante al estudiar las ecuaciones de estado, es el concepto de punto de equilibrio. A un punto x = x^∗ en el espacio de estados se denota como punto de equilibrio de (2.2) si cumple con la propiedad de que cuando el punto inicia en x^∗, permanecerá en x^∗ para todo tiempo futuro t, [10]. Para un sistema autónomo, como los sistemas estudiados en este trabajo, los puntos de equilibrio son las ra´ıces reales de la ecuación:

f (x) = 0

(21)

2.4.2 Ciclos L´ımite

Un ciclo l´ımite es un fen´omeno en un sistema no lineal que presenta un comportamiento oscilatorio con una amplitud y frecuencia fija invariablemente del estado inicial [36]. Es posible representarlo graficamente por medio de una trayectoria cerrada en el plano de fase, en la cual pueden existir trayectorias fuera y dentro del ciclo. Las trayectorias pueden acercarse o alejarse respecto al ciclo limite, estableciendo as´ı sus caracter´ısticas de estabilidad, consider´andose a un ciclo limite estable como un conjunto invariante.

2.4.3 Conjuntos invariantes compactos en IR

¹

A la unión de puntos de equilibrio con trayectorias conectándolos se les puede llamar de varias maneras, cuando conectan a puntos distintos se le llama órbitas heterocl´ınicas, cuando conectan a un punto a s´ı mismo, órbitas homo-cl´ınicas.

Orbitas Peri´´ odicas

Las oscilaciones es uno de los fenómenos más importantes que se llevan acabo en los sistemas no lineales dinámicos. En s´ı, un sistema oscila cuando poseé una solución periódica no trivial

x(t + T ) = x(t), ∀t ≥ 0

para un cierto T > 0.

(22)

x

y

x

y z

x

y Curva

Homoclinica

Curva Heteroclinica

Orbita Periodica

Figura 2.3: Ejemplos de diferentes conjuntos invariantes compactos

Curvas Homocl´ınicas

Una curva homocl´ınica contiene solamente un punto de equilibrio por el cuale atraviesa solo una trayectoria ϕ(x, t).

Curvas Heterocl´ınicas

Una curva heterocl´ınica contiene mas de un punto de equilibrio por los cuales atraviesan una trayectoria ϕ(x, t).

2.4.4 Atractores Extra˜ nos

Un atractor es un conjunto al cual todas las trayectorias en una vecindad convergen. Un atractor se define como un conjunto cerrado A con las sig. propiedades:

(23)

• A es un conjunto invariante: Cualquier trayectoria x(t) que comienza en A permanece en A.

• A atráe a un conjunto abierto de condiciones iniciales: A atráe a todas las trayectorias que comiencen lo suficientemente cerca a él.

El atractor global contiene todas las dinámicas asintóticas del sistema. Se le conoce como atractor global a la unión de todos los conjuntos invariantes compactos.

2.5 Caos

La tecnolog´ıa digital y en especial la invenci´on de las computadoras de alta velocidad, han per- mitido que se lleven a cabo experimentos antes imposibles de realizar con ecuaciones no lineales.

Tales experimentos condujeron a Lorenz a hacer un descubrimiento acerca del comportamiento caótico de un atractor extraño en 1963. Estudiando un sistema para poder predecir condiciones climatológicas, Lorenz encontró que la solución a sus ecuaciones nunca se estabilizaban a un equilibrio o estado periódico, al contrario, continuaban oscilando de una manera irregular y aperiódica. Además, observó que si comenzaba sus simulaciones numéricas con condiciones iniciales ligeramente diferentes, el resultado ser´ıa totalmente diferente. Lorenz también de- mostró que exist´ıa una estructura en el caos al graficar los resultados en tres dimensiones, la solución a sus ecuaciones. Esta estructura es la famosa mariposa de Lorenz observar figura (2.4).

Un sistema no lineal puede presentar comportamientos m´as complicados que el equilibrio o las oscilaciones peri´odicas. A tal comportamiento se le refiere como Caos. Algunas veces puede

(24)

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−20 0

20

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y x

z

Figura 2.4: Simulaci´on numerica del diagrama de fase del Sistema de Lorenz, utilizando valores de σ = 10, ρ = 28, b = 8/3 y punto inical en (0, 1, 0).

presentarse como oscilaciones no periódicas o presentar aleatoriedad sin importar la naturaleza determin´ıstica del sistema. A continuación se cita una definición de Caos proporcionada en [36] :

Definici´on 1 Caos es un comportamiento aperi´odico a largo plazo en un sistema determin´ıstico que exhibe dependencia sensible a condiciones iniciales.

(25)

Figura 2.5: Diagramas de fase de x con diferetes condiciones iniciales; (0, 1, 0) y (0, 1.5, 0)

El sistema de Lorenz esta dado por las siguientes ecuaciones diferenciales:

˙x = σ(y − x)

˙

y = ρx − xz − y

˙z = xy − bz

(2.4)

En la siguiente figura es posible visualizar como una pequeña variación en las condiciones iniciales de (2.4), puede afectar el desarrollo del estado, siempre y cuando exista una evolución en el tiempo del sistema. En el caso de la figura (2.5) se cuenta con 2 puntos iniciales diferentes, la diferencia en las condiciones iniciales es de 0.5 en el eje y. En este caso, con el desarrollo del tiempo, las trayectorias llegan a diferir completamente en un tiempo finito. Se logra observar cómo al inicio del desarrollo de los estados de cada punto inicial son casi idénticas y de pronto

(26)

El sistema de Lorenz, ha sido desde entonces objeto de estudio de muchos trabajos, [4], [9], [15], [17], por citar unos cuantos, con metas afines. Poder conocer el comportamiento a largo plazo y poder caracterizar su atractor ca´otico en un espacio de fase. Estos estudios a su vez han motivado a muchos cient´ıficos a investigar diferentes sistemas, aplicando diferentes metodolog´ıas e ideas.

Es as´ı como el caos se ha convertido en un área de estudio que ha cautivado la atención de diversas áreas de la ciencia y aunque sea una área relativamente joven, ha dado un sinnúmero de publicaciones interesantes, ya sea en el área de control,[24], [25], en la geolog´ıa [8],en el procesamiento digital de señales para telecomunicaciones [5], en la ingener´ıa eléctrica [20], en las ciencias computacionales [23], etc...

Por lo tanto, conocer de alguna manera la dinámica del sistema y aspectos importantes en cuanto a la localización de la región de atracción puede ser de valiosa contribución para agilizar el desarrollo de tecnolog´ıa con la finalidad de, ya sea llevar a cabo un control sobre el sistema, o con la meta de adquirir un mejor entendimiento acerca de los sistemas caóticos de grande escala en la naturaleza.

(27)

Localizaci´ on de Conjuntos Compactos Invariantes

En este cap´ıtulo se hace menci´on de las herramientas utilizadas en la localizaci´on de conjuntos invariantes compactos para un sistema de la forma:

˙x = f (x), x = (x1, . . . xn)^T ∈ IRⁿ, (3.1) en el cual f (x) es un campo vectorial polinomial de segundo orden, cabe mencionar que en este trabajo la dimensi´on de n = 3 en (3.1).

Cuando se habla de localización, se refiere a delimitar una región en el espacio de fase en el cual se puede encontrar los conjuntos invariantes compactos que se desarrollan de un sistema espec´ıfico, con la finalidad de conocer la dinámica global del sistema. El método a utilizar es propuesto en [11], es un método anal´ıtico que a su vez hace uso de el método de condiciones

16

(28)

φ

I t

h h(x)

h φ x

Figura 3.1: Representaci´on gr´afica de la derivada de Lie

extremas [32], [34] y brinda la ventaja de resolver el problema de manera de operaciones algebraicas.

3.1 La Derivada de Lie

Dada una funci´on h(x) ∈ IR y una funci´on f (x) ∈ IRⁿ, una derivada de Lie se representa por Lfh y se expresa de la siguiente manera:

L_fh(x) = ∂h

∂xf (x) (3.2)

Esto significa que se obtiene la derivada de h(x) con respecto a las trayectorias del sistema (3.1) , un escalar que representa el cambio de h(x) con respecto al campo vectorial f (x). Dicho de otro modo, persigue obtener la longitud de la proyecci´on del vector ^∂h_∂x en la direcci´on del vector f (x), situando a estos dos vectores en un punto determinado x.

(29)

3.2 Funci´ on Localizadora h(x)

Una función h(x) será utilizada para resolver el problema de localización. Se le referirá como una función localizadora y en s´ı, es una expresión algebráica que contiene las variables y parámetros del sistema, además, tiene la propiedad de que no es una primera integral, esto quiere decir que h(x) no es un punto de equilibrio estático.

En un principio se propone una función h(x), C^∞(IRⁿ) para llevar acabo el análisis en un sistema determinado. Es muy importante formular una función que pueda resultar en una localización compacta, ya que obtener este resultado es una de las metas a buscar en la localización de conjuntos invariantes compactos.

3.3 Localizaci´ on de conjuntos invariantes compactos

En el proceso de localizaci´on de conjuntos invariantes compactos desde un principio se cuenta con un problema inicial. El espacio de fase es infinito y las condiciones iniciales son vastas.

Por lo tanto, se debe comprender que el objetivo de la localización, es obtener un marco de ref- erencia o una delimitación del espacio con respecto al comportamiento o dinámica del sistema a estudiar para as´ı poder adquirir información acerca de la región de atracción del modelo analizado. Además puede ser de ayuda en el ahorro en tiempo de cómputo de simulaciones numéricas.

El estudio del problema de Localizaci´on de conjuntos invariantes compactos ha sido estudiado en muchos trabajos debido al creciente inter´es del comportamiento a largo plazo de los

(30)

dinámicas caóticas de sistemas diferenciables autónomos no lineales. Aunque la localización de subconjuntos como lo son órbitas periódicas, órbitas homocl´ınicas, órbitas heterocl´ınicas e inclusive un toroide invariante, involucran la utilización de ideas adicionales, las cuales están fuera del alcance de este trabajo.

La localización de conjuntos invariantes compactos se basa en resolver el problema de local- ización de Órbitas Periodicas estudiado en [11]. Utilizando el mismo principio, es como de orbitas periódicas se procede a encontrar conjuntos que contengan o no órbitas periódicas y que a su vez forman parte de conjuntos invariantes compactos en los cuales, por ejemplo, es posible citar un atractore caótico. Ya que se ha probado en [20] que orbitas periódicas pueden conformar el esqueleto de ciertos atractores caóticos.

Se tiene que f = Pn

i=1f_i(x)∂/∂x_i es un campo vectorial valuado en Rⁿ y correspondiente al sistema (3.1). L_fh(x) = Pn

i=1f_i(x)∂h(x)/∂x_i representa la derivada de Lie de una funci´on h ∈ C^∞(Rⁿ) con respecto al campo vectorial. f . Por lo tanto se definie al Conjunto

S(h) = {x : Lfh(x) = 0}.

como el conjunto que contiene los conjuntos invariantes compactos del sistema (3.1). Las siguientes nomenclaturas se utilizan para denotar las delimitaciones o condiciones de extremos

(31)

+ -

S

_h

Orbita Periodica

φ

Figura 3.2: Representación gráfica del Teorema 1. Acerca de la localización de conjuntos invariantes compactos

inferiores y superiores del conjunto que contiene a los conjuntos invariantes compactos.

h_sup= sup

S(h)

h(x), h_inf = inf

S(h)

h(x).

(3.3)

Se hará uso de teoremas, corolarios y herramientas, también utilizados en [34], para la local- ización de órbitas periódicas y que nos dan pie a seguir una metodolog´ıa en la localización, pero en este caso buscando conjuntos invariantes compactos.

Teorema 1 Para cualquier funci´on h ∈ C^∞(IRⁿ), cada ´orbita del sistema (3.1) tiene cuando menos dos puntos dentro del conjunto

S_h = {x|L_fh(x) = 0}

(32)

Teorema 2 Para cualquier funci´on h ∈ C^∞(IRⁿ), cada c´ıclo del sistema (3.1) tiene cuando menos un punto dentro del conjunto

S_h⁻ = {x ∈ S_h|L²_fh(x) ≤ 0}

adem´as de otro punto dentro del conjunto:

S_h⁺ = {x ∈ S_h|L²_fh(x) ≥ 0}

Observese la figura (3.2), en donde dos puntos de una ´orbita peri´odica se encuentran dentro del conjunto S_h, estos puntos a su vez corresponden a S_h⁺ y a S_h⁻, respectivamente.

h = h_sup

h = h_inf S_h

Ω_h

Figura 3.3: Representaci´on gr´afica de los Teoremas 3 y 4.

(33)

Teorema 3 Cualquier órbita periódica del sistema (3.1) intersecta al conjunto en cada punto en común con el conjunto

{x ∈ S_h|L²_fh(x) ≤ 0}

y el conjunto:

{x ∈ S_h|L²_fh(x) ≥ 0}

para la funci´on h ∈ C^∞(IRⁿ) definimos:

h_sup= sup{h(x)|L_fh(x) = 0}

y

hinf = inf {h(x)|Lfh(x) = 0}

Teorema 4 Todos las ´orbitas peri´odicas del sistema (3.1)se encuentran en el conjunto:

Ω_h = {x|h_inf ≤ h(x) ≤ h_sup}

En la figura (3.3) es posible observar una ejemplo gr´afico de los Teoremas 3 y 4 en donde se puede alcanzar a apreciar las condiciones de extrema h_sup y h_inf adem´as del conjunto que contiene todos los conjuntos invariantes compactos.

El resultado de la localizaci´on de conjuntos invariantes puede resultar en compacta o no com-

(34)

puede resultar en una superficie abierta. Ejemplos de estas superficies se pueden observar en la figura 3.4.

a)

b)

c)

d)

Figura 3.4: Ejemplos de superficies cuadr´aticas a) Hiperboloide de dos hojas, b) Cono el´ıptico, c) Elipsoide d) Conos Coincidentes.

(35)

3.4 Teorema Iterativo de Localizaci´ on

En ocasiones, una localización de los conjuntos invariantes compactos, puede acotarse, es decir delimitar el área de localización por medio de la intersección de una o más localizaciones. Esta metodolog´ıa, es propuesta en [13].

Teorema 5 Cualquier conjunto compacto invariante G del sistema (3.1) se encuentra contenido en el conjunto

Kh = {x : hinf ≤ h(x) ≤ hsup}.

Proposicion 1 Si el conjunto K_h es compacto entonces el sistema(3.1) tiene un conjunto compacto invariante m´aximo el cual est´a contenido en Kh.

Corolario 1 Cualquier conjunto compacto invariante del sistema (3.1) est´a contenido en el conjunto K = {∩Kh, h ∈ C^∞(Rⁿ)}. Si el conjunto K es compacto entonces el sistema (3.1) tiene un conjunto compacto invariante m´aximo contenido en Ω.

Teorema 6 Sea h_m(x), m = 0, 1, 2, . . . una secuencia de funciones de C^∞(Rⁿ). Los conjuntos

K₀ = K_h₀, K_m = K_m−1 ∩ K_m−1,m, m > 0,

con

K_m−1,m = {x : h_m,inf ≤ h_m(x) ≤ h_m,sup}, h_m,sup = sup

S(hm)∩Km−1

h_m(x), h_m,inf = inf

S(hm)∩Km−1

h_m(x),

contienen cualquier conjunto compacto invariante del sistema (3.1) y K₀ ⊇ K₁ ⊇ · · · ⊇ K_m ⊇ . . . .

(36)

3.5 M´ etodo de Multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange son una herramienta para la optimización restringida aplicada a funciones diferenciables. Una optimización sin restricciones, básicamente se refiere a encontrar los extremos (superior o inferior) de una función diferenciable f (x₁, · · · , x_n) : IRⁿ → IR.

La tarea de encontrar los puntos extremos, se puede llevar a cabo analizando aquellos puntos extremos de f en los cuales el gradiente ∇f es cero o equivalentemente, cada una de sus derivadas parciales es cero. El resultado ideal ser´ıa obtener un punto máximo global aunque en ocasiones es posible encontrar un m´ınimo local lo cual hace que la busqueda continúe a lo mejor sin éxito alguno. Una ventaja es que resulta posible distinguir ambos casos por medios anal´ıticos relativamente sencillos.

Dentro de la optimización restringida, se encuentra la misma función f a maximizar como en su caso contrario no restringido, pero además se cuenta con algunas restricciones en cuanto a los puntos de interés. Los puntos que satisfagan las restricciones se les refiere como region veros´ımil. En este trabajo se busca maximizar la función h(x) bajo la restricción L_fh. Esto expresado en otras palabras, es encontrar los valores cr´ıticos en la función localizadora sobre la superficie formada por la derivada de Lie.

(37)

De esta manera se construye una funci´on de Lagrange L.

L = h(x, y, z) − λL_fh(x, y, z)

∂L

∂x = ^∂L_∂y = ^∂L_∂z = 0 L_fh(x, y, z) = 0

(3.4)

resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentran los valores cr´ıticos x∗, y∗, z∗. Una vez encon- trados los valores cr´ıticos del sistema (3.4), se denota a X como el conjunto de puntos x∗ ∈ IRⁿ para los cuales (x∗, λ) es soluci´on para (3.4) para algunas λ ∈ IR. Por lo tanto

h_inf = inf

x∈Xh(x); (3.5)

h_sup = sup

x∈X

h(x); (3.6)

3.6 Ejemplo de Localizaci´ on

A continuación se presenta un ejemplo en el cual se emplea el método de localización de conjuntos invariantes compactos en un sistema no lineal que poseé una dinámica disipativa as´ı como caos en su espacio de fase. Para dar solución al problema, se hace uso de los teoremas anteriormente expuestos y de la metodolog´ıa empleada en [11]. El objetivo es describir las condiciones para las cuales se encuentra una función que exprese una superficie elipsoidal.

Dicha superficie encierra a los conjuntos invariantes compactos adem´as de establecer los l´ımites geom´etricos por medio de igualdades y desigualdades algebraicas.

(38)

!20

!10 0

10

20 !1

!0.5 0

0.5

!1.6 1

!1.4

!1.2

!1

!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

y x

z

Figura 3.5: Diagrama de fase del sistema (3.7).

El sistema a ser analizado se describe por las siguientes ecuaciones de estado:

˙x = by − cx + cu

˙

y = −y + x + xz

˙z = −xy − z

(3.7)

En el cual b, c y u representan parámetros no negativos. Se analizará el sistema aplicando la ecuación general propuesta en [11] :

h₁ = αx²+ βy²+ γz²+ 2δxy + 2εxz + 2µyz + 2θx + 2νy + 2λz.

calculando la derivada de Lie con respecto al campo vectorial de (3.7) resulta:

(39)

L_fh₁ = −2αbxy − 2αcx²+ 2αcux − 2βy²+ 2βxy + 2βxyz − 2γxyz − 2γz²+ 2δby²

−2δcxy + 2δcu − 2δxy + 2δx²+ 2δx²z + 2εby − 2εcxz + 2εcuz − 2εx²y − 2εxz

−2µyz + 2µxz + 2µxz² − 2µxy²− 2µyz + 2θby − 2θcx + 2θcx + 2θcu − 2νy

+2νx + 2νxz − 2λxy − 2λz

Para conseguir una derivada de Lie de segundo orden definimos a δ = ε = µ = 0y β = γ obteniendo as´ı de esta manera la ecuaci´on simplificada siguiente:

L_fh₁ = 2(αb + β − λ)xy − 2αcx²+ 2αcux − 2βy²+ −2βz²

+2θby − 2θcx + 2θcu − 2νy + 2νx + 2νxz − 2λz

Es posible representar la forma cuadr´atica de h y L_fh de las siguiente manera:

h₁ =

x, y, z







α δ/2 ε/2

δ/2 β µ/2

ε/2 µ/2 γ











 x y z







+

2θ, 2ν, 2λ





 x y z







(40)

Lfh1 = − x, y, z 





−αb − β + λ 2β 0

ν 0 2β







 y z





+

2αcu − 2θc + 2ν, 2θb − 2ν, −2λ





 x y z







3.6.1 Condiciones para el Elipsoide

Por lo tanto para poder garantizar una matriz definida positiva se concluye que para h₁ : 1. α > 0

2. αβ > 0 ⇒ β > 0 3. αβγ > 0 ⇒ γ > 0

De otra manera, para garantizar una matriz definida negativa, L_fh₁, se concluye:

1. α > 0 2. −2√

αβc + αβ + β ≤ λ ≤ 2√

αβc + αβ + β 3. |ν| ≤ 2p(a − αβ)c ⇒ a ≥ αβ

La siguiente tarea a resolver es proponer una funci´on, tomando en cuenta las restricciones y condiciones obtenidas. La funci´on propuesta debe cumplir con las caracter´ısticas mencionadas

(41)

anteriormente y será la herramienta principal para el análisis de la localización.

h₂ = αx²+ βy²+ βz²+ 2νy + 2θx + 2λz

Calculando la derivada de Lie y asignando valores de α = 1/2b, β = 1/2, λ = 1, ν = 0 y θ = 1/b, a la funci´on localizadora, se consigue el resultado:

L_fh₂ = −c

bx²− y²− z² −2

bcx + 2y − 2z = −3c bu.

Agrupando y manipulando algebraicamente algunos t´erminos, se encuentra el elipsoide:

= −c

b(x + 1)²− (y − 1)²− (z + 1)² ≤ −3c bu +c²

b² + 2.

El siguiente paso se calcular las condiciones de extrema que para este ejemplo resultan ser:

h_sup = −3c bu +c²

b² + 2.

De esta manera se concluye que los conjuntos invariantes compactos se encuentran dentro de un elipsoide descrito por:

(

x²+ y²+ z² ≤ −3c bu + c²

b² + 2 )

.

(42)

!50

0

50 !2

0 2

!3 4

!2.5

!2

!1.5

!1

!0.5 0 0.5 1 1.5

y

z

Figura 3.6: Elipsoide que contiene el atractor de un sistema disipativo, utilizando como valores de par´ametros a c = 3,b = 102, u = −.45 y utilizando un punto inicial en (1, 1, −1).

(43)

Localizaci´ on en el Sistema PRT

4.1 Antecedentes

La inestabilidad en un plasma ha sido el objeto de estudio en muchos trabajos y art´ıculos a lo largo de las últimas décadas debido a los significativos avances en la tecnolog´ıa para llevar acabo experimentos y análisis en laboratorios as´ı como por ejemplo los avances en el área de la aeronáutica cuya aportación permite que se lleven acabo estudios de este fenómeno en la ionósfera. Debido a que dicha inestabilidad es un fenómeno que se lleva acabo en varios entornos, ha sido tema de estudio en diversas áreas, como lo son la f´ısica aplicada, electromag- netismo, qu´ımica y geolog´ıa por mencionar algunas.

En el trabajo de Bell (et al) [2] y posteriormente en [3], se reportan observaciones, primero desde tierra por medio de un sat´elite y posteriormente desde una nave localizada en el espacio llamada CLUSTER, las interacciones entre la onda electromagn´etica llamada Silb´ıdo y

32

(44)

tricidad atmosférica formando parte del extremo interno de la magnetósfera. Además poseé una importancia particular ya que, influenc´ıa a la propagación de ondas electromagnéticas a lugares distantes de la tierra. Por ende la descripción de las interacciones de ondas electro- magnéticas dentro del plasma situado en la ionósfera fueron los resultados obtenidos en la serie de trabajos realizados por Bell et al.

Posteriormente Pikovskii, Rabinovich y Trakhtengerts, un grupo de investigadores del Instituto de F´ısica Aplicada de la Academia de Ciencias de la U.S.S.R. en el trabajo [21], experimentaron con estas interacciones pero ahora agregando un tercer elemento, la onda ión acústico. En los experimentos se observó una inestabilidad estocástica paramétrica causada por la interacción entre las 3 ondas electromagnéticas. Se presentan oscilaciones en las amplitudes de dichas ondas y se observa que en un espacio de fase aparecen diferentes tipos de estructuras. Este será el sistema sujeto a estudio y se le referirá como el sistema PRT.

La evoluc´on del Sistema PRT, con respecto al par´ametro β, fue representado en [19] por la figura (4.1).

Navegando a través de los valores del parámetro β, se puede observar que aparecen diferentes figuras o diagramas de fase. Comenzando de cero hasta alcanzar un valor aproximado de βpk ' 2, el sistema se mantiene en equilibrio en el or´ıgen; aumentando el valor de β hasta β_ho ' 3.99, se presentan órbitas homocl´ınicas dobles. Una bifurcación homocl´ınica, es la culpable de este comportamiento. Esta bifurcación juega un papel importante dentro de la

(45)

β

_pk

β

_ho

β

_he

β

_hf

β

origen estable origen estable origen estable origen inestable origen inestable

no M+ ni M- M+ y M- estable M+ y M- estable M+ y M- estable M+ y M- inestable

Figura 4.1: Tabla con representación paramétrica del sistema PRT. Donde β es proporcional al campo electromagnético del silb´ıdo y M ± se refiere a los puntos de equilibrio del sistema.

dinámica del sistema (4.2) y la llamada explosión homocl´ınica, introducida en el estudio del sistema de Lorenz en [16] sucede en este lapso. El comportamiento caótico de este sistema tiene como fuente esta bifurcación. Al llegar a β_he ' 4.8 se manifesta en el sistema un atractor caótico, después de haber pasado por las bifurcaciones heterocl´ınicas alrededor de los puntos de equilibrio estables que se presentan en una etapa más temprana; estos pierden su estabilidad al llegar a β_hf ' 5 y se sigue encontrando un atractor caótico aunque, más tarde se presenta algun otro tipo de atractor extraño al seguir navegando por el espacio de parámetros de β.

As´ı es como, englobando, la inestabilidad paramétrica se debe principalmente a la interacción de ondas electromagnéticas en el plasma (mas detalladamente, es la onda silb´ıdo la que de alguna manera influye de una manera más fuerte sobre el sistema). La interacción de dichas ondas electromagnéticas, son responsables de una serie de oscilaciones y son las amplitudes de estas oscilaciones las que obedecen a un sistema de ecuaciones diferenciales de tercer ordene el cual, presenta un comportamiento caótico para ciertos parámetros.

(46)

gas y de la ecuación cinética de la onda ion acústico. Estas amplitudes se asumen que son constantes en el espacio y están descritas por el modelo adimensional (4.1).

˙

a_k = −b_χa_k₁ − ν₁a_k+ βb^?_χ, b˙_χ = a_ka^?_k

1 − ν₂b_χ+ βa^?_k,

˙

a_k₁ = −a_kb^?_χ− a_k₁.

(4.1)

El valor del parámetro β, es proporcional a la amplitud del campo electromagnético del sil- bido. Dependiendo de los valores relativos entre β y (ν1, ν2), el sistema puede relajarse a un equilibrio no trivial, estabilizarse en oscilaciones o presentar comportamiento caótico.

Estudiandose las din´amicas de las fases de a_k, b_χ y a_k₁ en [21], puede demostrarse que ex- iste correlacion conforme t → ∞.Entonces, se define a a_k = x₁, b_χ = x₂, a_k₁ = x₃; donde, x₁, x₂, x₃ ∈ IR³.

De esta manera, el modelo del sistema PRT se representa por las siguientes ecuaciones de estado:

˙

x₁ = −ν₁x₁ + βx₂− x₂x₃

˙

x₂ = βx₁− ν₂x₂ + x₁x₃

˙

x₃ = −ν₃x₃ + x₁x₂

(4.2)

Donde los parámetros ν₁,ν₂, ν₃ y β son números positivos reales. En el sistema (4.2), el origen, O (0, 0, 0), es asintóticamente estable para valores de β < β_pk =√

ν₁, ν₂. En β = β_pk, aparecen 2 puntos de equilibrio estables los cuales son culpables de que el origen pierda su estabilidad y aparezca una bifurcaci´on en las trayectorias. Estos puntos de equilibrio se representan por:

(47)

M±

±r ν₃

ν₂z_o(β − z_o), ± r

ν₁ν₃ z_o

β − z_o, z_o =p

β²− ν₁ν₂

.

a)

b)

c)

d) x

x x

x

x x

x

1

1 2

3 3

2

2 3

Figura 4.2: Diferentes perspectivas de los puntos de equilibrio del sistema PRT. a) Eje (x₁, x₃), b) Eje (x₁, x₃), c) Eje (x₂, x₃), d) Ejes (x₁, x₂, x₃).

Observando la figura (4.2) se puede visualizar a los puntos de equilibrio en el sistema PRT una vez que el sistema entra en la bifurcacion heterocl´ınica y se exhibe un atractor caótico. Estas gráficas se obtuvieron utilizando valores de simulación de ν₁ = 1, ν₂ = 4, ν₃ = 1 y β = 4.8 que

(48)

4.2 Desarrollo Te´ orico

En este apartado, se llevará a cabo el desarrollo de la localización de conjuntos invariantes compactos del sistema PRT, aplicando los teoremas y principios analizados en el cap´ıtulo 3, con el fin de obtener como resultado las expresiones que describen en forma de igualdades y desigualdades algebraicas a los conjuntos invariantes compactos del sistema PRT con respecto las diferentes superficies localizadas. Se formularon una serie de localizaciones las cuales se describen a continuación en diferentes apartados. Posteriormente, se analizarán los resultados mediante simulaciones numéricas y representaciones gráficas.

4.2.1 Primera Localizaci´ on

Se comienza la localización de los conjuntos invariantes compactos del sistema (4.2) proponiendo una función cuadrática de la siguiente forma:

h₁(x) =

3

X

s=1

a_sx_s+

3

X

i=1

b_ix_i (4.3)

en la cual, en un principio, todos los valores de a_s y b_s son n´umeros reales diferentes de cero.

Considerandose la metodolog´ıa estudiada previamente en el Cap´ıtulo 3, se llevan a cabo las operaciones pertinentes obteniendo como resultado una ecuaci´on general

(49)

L_fh = −2a₁ν₁x²₁+ 2a₁βx₁x₂ − 2a₁x₁x₂x₃+ 2a₂βx₁x₂ − 2a₂ν₂x²₂ (4.4) +2a₂x₁x₂x₃− 2a₃ν₃x²₃+ 2a₃x₁x₂x₃− b₁ν₁x₁+ b₁βx₂

−b₁x₂x₃+ b₂βx₁− b₂ν₂x₂ + b₂x₁x₃− b₃ν₃x₃+ b₃x₁x₂.

Asignando valores de b₁ = b₂ = 0, a₁ = a₂ + a₃ y b₃ = −β(4a₂+ 2a₃) a (4.5), para encontrar L_fh = 0, se consigue llegar a la ecuaci´on con la cual se llevara acabo una parte importante del estudio del sistema PRT :

L_fh = (a₂+ a₃)ν₁x²₁+ a₂ν₂x²₂+ a₃ν₃x²₃− 2β(2a₂+ a₃)x₃. (4.5) Con el fin de conseguir más información acerca de los conjuntos a localizar, se realizan algunas manipulaciones algebraicas. Esto, con la consigna de encontrar una ecuación que describa un elipsoide y que contenga limites con respecto a parámetros. Algunos de ellos son parámetros del sistema y algunos corresponden a parámetros de la función propuesta (4.3).

(a₂+ a₃)ν₁x²₁+ a₂ν₂x²₂+ a₃ν₃

x₃− β(2a₂+ a₃) 2a₃

2

= β²(2a₂+ a₃)²ν₃

4a₃ . (4.6)

Se puede observar que (4.6) describe un Elipsoide(suponiendo que los valores de a₂ > 0 y a₃ > 0), que está en funcion de parámetros cuyos valores son aún desconocidos. Por lo tanto la siguiente tarea es encontrar los párametros desconocidos y sus l´ımites. Esta última ecuación, ahora, se utiliza para encontrar los valores aproximados de un politopo Π, como lo muestra la

(50)

Elipsoide

Politopo π

Eje x1 Eje x2

Eje x3

Figura 4.3: Vista en 3 Dimensiones de un politopo π que encierra un elipsoide. Cada par de caras corresponden a una variable de estado las cuales auxilian a delimitar el elipsoide.

figura(4.3). Los limites de las caras del politopo son descritas por las siguientes expresiones:

|x₁| ≤ ξ₁ := β(2a₂+ a₃)√ ν₃ 2√

a₃p(a2+ a₃)ν₁

|x₂| ≤ ξ₂ := β(2a₂+ a₃)√ ν₃ 2√

a₃√ a₃ν₂ 0 ≤ x3 ≤ ξ3 := β(2a₂+ a₃)

a₃ .

Estas relaciones entregan los rangos de valores en donde se encuentran los conjuntos invariantes compactos, segun sea el eje que se toma. Ahora es cuando se procede a encontrar las

(51)

condiciones de extremos para conocer los l´ımites de la superficie localizada, que en este caso es el elipsoide.

Sea ψ(x₃) = a₃x²₃− 2β(2a₂+ a₃)x₃. Entonces

inf

Π ψ = ψ β(2a₂+ a₃) a3

= −β²(2a₂+ a₃)² a3

lo cual conlleva

sup

Π

ψ = 0 Por lo tanto a las condiciones de extremos

h_{1 sup} ≤ sup

Π

h₁

as´ı como

h_{1 inf} ≥ inf

Π h₁ En vista de los limites decritos anteriormente, se obtiene

h1 sup ≤ η1 := β²(2a₂+ a₃)²ν₃ 4a₃

1 ν₁ + 1

ν₂

h_{1 inf} = 0.

donde

η₁ := (a₂+ a₃)ξ₁²+ a₂min(ξ₂²; ξ₁²+ 2ξ₃²).

(52)

{(a2+ a3)x²₁+ a2x²₂+ a3x²₃− 2β(2a2+ a3)x3 ≤ β²(2a₂+ a₃)²ν₃ 4a₃

1 ν₁ + 1

ν₂

; a2, a3 > 0}.

Ahora, mediante el método de multiplicadores de Lagrange, se procede a encontrar los extremos a la función localizadora del sistema (4.2). En otras palabras, resolver el problema de encontrar los valores cr´ıticos de una función bajo una restricción, mediante los multiplicadores de Lagrange.

L = h − λLfh.

h = (1 + q)x²₁+ qx²₂+ x²₃− 2β(2q + 1)x3.

L_fh = −2(q + 1)υ₁x²₁− 2qυ₂x²₂− 2υ₃x²₃+ 2β(2q + 1)υ₃x₃.

∂L

∂x1 = 2(1 + q)x₁+ 4λ(q + 1)υ₁x₁ = 0

∂L

∂x2 = 2qx₂ + 4λυ₂x₂ = 0,

∂L

∂x3 = 2x₃− 2β(2q + 1) + λ(4υ₃x₃− 2β(2q + 1)υ₃) = 0,

∂L

∂λ = −2(q + 1)υ1x²₁− 2qυ2x²₂− 2υ3x²₃+ 2β(2q + 1)υ3x3 = 0.

(4.7)

Se cuenta con varios valores de λ que pueden ser utilizados para resolver el sistema (4.7) como se hab´ıa explicado anteriormente en el cap´ıtulo 3. Los valores son λ = −1/2v₁, −1/2v₂ y 2z/4zv₃− v₃.Resolviendo este sistemas de ecuaciones y evaluando en h₁(x)se encuentran los valores cr´ıticos que describen las condiciones de extrema de la localizaci´on. Para los valores

(53)

(x₁_∗, x₂_∗, x₃_∗) =⇒ (0, 0, 2β(q + 1). Con lo que se obtienen las condiciones de los extremos:

h_inf = 2β(q + 1)

h_sup = +∞.

Ahora, se asignan par´ametros de ν₁ < ν₂, ν₃ < ν₂ y que los valores de a₁;a₂ satisfagan la desigualdad

Proponiendo una funcion localizadora h₂(x, y, z) = −x²+ y²− 2z² se obtiene

S(h₂) = {−ν₁x²+ ν₂y²− 2ν₃z² = 0}.

Se aplicar´a el teorema acerca de la localizacion iterativa a(h₂, h₁)− . Por lo tanto se analiza la expresion:

h2(x, y, z) |_S(h₂₎= (−1 + ν1ν₂⁻¹)x²+ 2(ν3ν₂⁻¹− 1)z².

Escogiendo nuevamente ν1 < ν2 y ν3 < ν2. En este caso, corresponden a algunos valores de par´ametros para los cuales el sistema (4.2) presenta caos.

ν₁ = ν₃ = 1; ν₂ = 4; β = 6, (4.8)

ver [19].

En este caso h_{2 sup} = 0 y el conjunto de localizacion K₂ = {y² ≤ x²+ 2z²} el cual es un cono el´ıptico s´olido. Ahora deducimos que en Π ∩ K₂ tenemos: y² ≤ ξ₁²+ 2ξ₃². por lo tanto