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Algebra Lineal 2015
Pr´
actica 5: Diagonalizaci´
on.
1. SeanT(a, b) = (4a−b, b+2a),B ={(1,0),(0,1)}yC={(1,3),(2,5)}. (a) Hallar la matriz camio de base de B a C, la matriz cambio de
base deC a B, comprobar que una es la inversa de la otra. (b) Hallar la matriz que representa T en la base B, la matriz que
representa T en la base C. Compruebe el teorema de cambio de base.
2. SeanT transformaci´on lineal deC2enC2 definida porT(x, y) = (y,0), B la base standar de C2 yB0={(1, i),(−i,2)}.
(a) Hallar la matriz deT en las bases B, B0. (b) Hallar la matriz deT en las bases B0, B. (c) Hallar la matriz de T en la base B0.
(d) Hallar la matriz deT en la base {(−i,2),(1, i)}. (e) Calcule el determinante de la matriz hallada en a).
(f) Puede decir cu´anto vale el determinante de las matrices del inciso b) al d) sin hacer las cuentas?. Si no puede, calcule y concluya. Justifique su conclusi´on.
3. SeanV =R2[x],W =R[x]. Se define F(p) = (p−p(0))/x. (a) Verificar queF es una transformaci´on lineal deV en W.
(b) SeaB ={1 +x, x+x2, x2+ 1} base de V yC ={1 +x,1−x}
base de W. Encuentre la representaci´on matricial de F en las bases dadas. 4. Sea M = 1 2 3 4 y T la tranformaci´on lineal T : R2x2 → R2x2 definida por T(A) = M A. Hallar la representaci´on de T en la base can´onica de R2x2.
5. Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on n y sea B = {v1, ..., vn}
una base de V . Se define la aplicaci´on FB :V →Kn de la siguiente manera: Si v = Pni=1xivi, FB(v) = (x1, ..., xn). Probar que FB es biyectiva. Observar que, teniendo en cuenta que la aplicaci´on FB es tomar coordenadas en la base B, esto nos permite trabajar con coordenadas en una base en el siguiente sentido:
(a) {w1, ..., ws}es linealmente independiente enV si y s´olo si{FB(w1), ..., FB(ws)}
es linealmente independiente enKn.
(b) {w1, ..., wr}es un sistema de generadores deV si y s´olo si{FB(w1), ..., FB(wr)} es un sistema de generadores deKn.
(c) {w1, ..., wn} es una base de V si y s´olo si {FB(w1), ..., FB(wn)} es una base de Kn. Por ejemplo, para decidir si {x2 −x + 1, x2−3x+ 5,2x2+ 2x−3}es una base deR2[X], bastar´a ver si
{(1,−1,1),(1,−3,5),(2,2,−3)} es una base deR3.
6. SeanK un cuerpo, V un K-espacio vectorial yf :V →V una trans-formaci´on K-lineal. Un vector no nulo v ∈ V se denomina un vector propio para f si existe un λ∈K tal que f(v) =λv. En este caso, λ se denomina elvalor propio asociado al vector propio v.
(a) Mostrar que siu yv son dos vectores propios con el mismo valor propioλ, ykyk0 son elementos del cuerpoK, entonces el vector ku+k0v tambi´en es un vector propio con valor propioλ.
(b) Concluir que V(λ) := {v ∈ V | f(v) = λv} es un subespacio de V para todoλ∈K.
(c) Mostrar que si λy µ son elementos distintos del cuerpo K, en-toncesV(λ)∩V(µ) ={0}.
(d) Supongamos queV es de dimensi´on finita y sea B una base or-denada cualquiera deV. SeaA= [f]B, la matriz asociada af en la base ordenadaB, y seaλuna raiz en K del polinomio carac-ter´ıstico de la matrizA,pA(x) (un valor propio de la matriz A). Mostrar queV(λ) 6={0}; y por lo tanto λ es un valor propio de la transformaci´onf.
(e) Sea v un vector propio de f con valor propio λ. SeaB una base ordenada cualquiera deV. Mostrar queλes raiz depA(x), para A= [f]B.
7. Considerar los operadores lineales sobreRn, definidos en la base canon-ica por las siguientes matrices. Hallar en cada caso los valores propios y los espacios propios(si existen).
(a) A= 3 3 1 5
(b) B = 2 −1 0 1 0 0 0 0 3 (c) C = 0 −2 1 1 0 0 0 0 1 (d) D= 17 −10 −5 45 −28 −15 −30 20 12
8. Sea V un K espacio vectorial
(a) Explique por qu´e una matriz 2x2 puede tener a lo m´as, dos vec-tores propios linealmente independientes.
(b) Construya una matriz 2x2 con s´olo un vector propio.
9. SeaV un espacio vectorialndimensional sobreK. Cu´al es el polinomio caracter´ıstico del operador identidad en V?. Cu´al es el polinomio minimal para dicho operador?. Cu´ales son los polinomios minimal y caracter´ıstico para el operador nulo?.
10. SiA2 =A cu´ales son los posibles valores para los valores propios de A?.
11. Sea C∞(R) el espacio de las funciones con derivadas cont´ınuas de cualquier orden, yD:C∞(R)→C∞(R) la aplicaci´on lineal ”derivada”.
(a) Vea queeat, con a∈C fijo, es un autovector para D. Cu´al es su autovalor correspondiente?
(b) Seap∈R[x]. Muestre queeat es un autovector de p(D). Cu´al es su autovalor correspondiente?
(c) Muestre que el subespacio de las funciones polinomiales P ol ⊆
C∞(R) es un subespacio D-invariante. Podr´ıa decir si existe alg´un polinomio que genere un subespacio propio?.
12. SeaV =R3.
(a) Descomponer aV como suma directa de subespacios de dimensi´on 1, llamemoslosW1, W2, W3.
(b) Hallar las 3 proyecciones correspondientesP1, P2, P3.
(c) Hallar minimal y caracteristico de √2P1+πP2+ 3P3.
(d) Es√2P1+πP2+ 3P3 un operador diagonalizable? Cu´ales son sus
valores propios? Y sus espacios propios?.
13. Analice si las siguientes matrices son semejantes a una matriz diagonal. (a) A= 3 3 1 5 (b) B = 2 −1 0 1 0 0 0 0 3
14. Hallar el polinomio minimal deA = 0 −2 1 1 0 0 0 0 1 , considerado so-bre: (a) C, (b) R, (c) Z3.
(d) Decir en cada caso si A es o no diagonalizable. 15. Considerar las matrices
A= −10 6 3 −26 16 8 16 −10 −5 y B = 0 −6 −16 0 17 45 0 −6 −16
(a) Mostrar queAyB tienen los mismos autovalores. (b) ReducirA yB a la misma matriz diagonal.
(c) Explicar porque existe una matriz R tal queR−1AR=B. (d) EncontrarA98
16. Sea una matriz 5x5 sobreC cuyo polinomio caracter´ıstico esp= (x−
1)(x−3)(x+ 2)(x2+ 1). Cu´anto vale el determinante de la matriz? 17. Muestre que una matriz real sim´etrica de tama˜no 2x2 tiene siempre
como valores propios n´umeros reales y es diagonalizable.
18. Seap un polinomio y A un operador lineal. v es un vector propio de p(A) si v es un vector propio deA. cu´al es su autovalor asociado? 19. Considere el espacio vectorial de funciones sobreC cuya base son las
funciones {1, cos(t), sen(t), cos(2t), sen(2t), ...., cos(nt), sen(nt)}. Sea D el operador de diferenciaci´on en este espacio. Halle los valores y vectores propios deD.
20. SeaA una matriz compleja de tama˜no nxn, n≥1, tal que existe un n´umero natural m para el cual se tiene que Am =I. Demuestre que Aes diagonalizable.
21. SeaN de 2x2 matriz compleja tal que N2 = 0. Probar que N = 0 o N es semejante a A= 0 0 1 0
22. Muestre que siA∈Knxn,An= 0 y An−16= 0 entonces el ´unico valor propio deA es 0.
23. SeanA yB matrices cuadradas. Probar que siA yB son semejantes, entonces ellas tienen el mismo polinomio minimal. Mueste adem´as que el rec´ıproco no siempre es cierto.
24. Seaϕ:C∞[−1,1]→C∞[−1,1] dada por ϕ(f) := (1−x2)f00−2xf0.
(a) Probar queϕes una transformaci´onR-lineal. Definamos recursi-vamente las funciones de Legendre (funciones polin´omicas) por
P0(x) = 1, P1(x) =x y (n+1)Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x)−nPn−1(x), paran≥2
As´ı, se tiene por ejemplo queP2(x) = 12(3x2−1),P3(x) = 12(5x3−
(b) Mostrar que las funciones de Legendre son vectores propios deϕ. (c) ¿Cu´al es el autovalor asociado a cada uno de estos vectores
pro-pios? SeaB ={1, x, x2, x3, x4} ⊆C∞[−1,1], yV ={1, x, x2, x3, x4}
el subespacio generado porB. (d) Mostrar que B es una base deV.
(e) Mostrar que ϕ(B) ⊆B. Sea φ:V → V dado por la restricci´on deϕ aV.
(f) Hallar la matriz de φ en la base ordenada B, y su polinomio caracter´ıstico.
(g) Mostrar queC={P0, P1, P2, P3, P4} es una base deV.
(h) Hallar la matriz deφen la base ordenada C.
