Unidad I:
FUNDAMENTOS DE
LA LÓGICA
Estructuras Discretas
Lógica proposicional
Área de la matemática que trata las
proposiciones y el razonamiento lógico
matemático.
La lógica son reglas
que…
•
Dan significado a enunciados y sentencias
matemáticas.
•
Distinguen argumentos validos y no validos.
Proposición
Verdadero
Falso
Pero
No ambos a la vez
Puede ser
Oración declarativa
Simple Compuesta
Tiene un único valor lógico
Sin conectivos lógicos Con conectivos lógicos Ejemplo: El Sol es una
estrella
Ejemplo: El Sol es una estrella y la Tierra gira alrededor del
Las oraciones que no son falsas ni
verdaderas, las que son falsas y
verdaderas al mismo tiempo, o lasque
carecen de sentido (o presentan algún
tipo de imprecisión) no son
consideradas proposiciones. Las
proposiciones se denotan con letras
Ejemplos:
• Maracaibo es la capital del Zulia.
• La Tierra gira alrededor del Sol.
• El Zulia es la capital de Venezuela.
• 1 + 1 = 2
• 2 + 2 = 3
No son proposiciones:
• ¿Qué hora es?
• ¡Siéntate!
• Lee esto con atención.
• X + 1 = 2
Valor de verdad
Llamaremos valor verdadero o valor de
verdad de una proposición a su
veracidad o falsedad. El valor de
verdad de una proposición verdadera
es
verdad (1)
y el de una proposición
Ejemplo: Diga cuáles de las siguientes afirmaciones son
proposicionesy determinarelvalordeverdaddeaquellasque losean.
• p: Existe el premio Nobel deInformática.
• q: Teclee ESC para salir de la aplicación.
• r: Cinco más siete esgrande.
Respuestas:
• p es Proposición. Su valor es«Falso».
• q no es proposición. No es Verdadera ni Falsa.
Tabla de verdad
Es una tabla que muestra el valor de
verdad de una proposición compuesta, para
cada combinación de verdad que se pueda
asignar.
Tabla de verdad
Por ejemplo, si P es una proposición
compuesta por las proposiciones simples p, q y r, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad.
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
Proposición compuesta
Si las proposiciones p, q, r, s, …se combinan para formar la proposición P, diremos que Pes una proposición compuesta de p, q, r, s,…
Ejemplo: Sean los enunciados
p: Estructuras Discretas es mi asignatura preferida.
q: Mozart fue un grancompositor.
r: Él es inteligente.
Ejemplos deProposiciones
compuestas:
«
Estructuras discretas es mi
asignatura preferida
y
Mozart fue
un gran compositor
»
«
Él es inteligente
o
estudia todos
La propiedad fundamental de una
proposición compuesta es que su valor
de
verdad
está
completamente
determinado por los valores de verdad
de las proposiciones que la componen
junto con la forma en la que están
conectadas.
Operadores y Conectivos
Lógicos
OPERADORES:
para
Se aplican a las proposiciones
generar proposiciones nuevas.
CONECTIVOS LÓGICOS:
NEGACIÓN
Sea p una proposición, el enunciado <<no
se cumple
p
>> es otra proposición llamada
“
Negación de p
”. Se denota:
¬p
y selee
<<no p>>. Su tabla de verdades:
p ¬p
1 0
NEGACIÓN.Ejemplo:
p
: «El Pentium es un microprocesador.»
¬p
: «El Pentium no es un microprocesador.»
¬p
: «Es falso que el Pentium sea un
microprocesador.»
q
: « 2 + 2 = 5 »
¬q
: «Es falso que 2 + 2 =5»
CONJUNCIÓN
Sean
p
y
q
proposiciones. La proposición <<
p
y
q
>>, denotada por p
q
, es la proposición
que es verdadera cuando tanto p como q son
verdaderas y falsa en cualquier otro caso. Su
tabla de verdad es:
p q p q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
p
: «Hoy es viernes.»
q
: «Hoy llueve.»
p
q
: «Hoy es viernes y hoy llueve.»
VERDADERA:
Los viernes con lluvia.
FALSA:
Cualquier día diferente de
viernes y los viernes que no llueve.
DISYUNCIÓN
Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q >>, denotada por p q, es la proposición que es
falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. Su tabla de
verdad es:
p q p q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
DISYUNCIÓN.Ejemplo:
p
: «Hoy es viernes.»
q
: «Hoy llueve.»
p
q
: «Hoy es viernes u hoy llueve.»
VERDADERA:
Cualquier día que sea
viernes o llueva, incluyendo los viernes
con lluvia.
DISYUNCIÓNEXCLUYENTE
Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q (pero no ambas) >>, denotada por p q, es la proposición que es verdadera cuando solo una de las dos proposiciones p y q es verdadera; y es falsa cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.
Su tabla de verdades:
p q p q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
DISYUNCIÓNEXCLUYENTE.
Ejemplo:
p
: «Hoy es viernes.»
q
: «Hoy llueve.»
p
q
: «Hoy es viernes u hoy llueve.»
VERDADERA:
Cualquier día que sea
viernes o llueva, pero no ambos.
IMPLICACIÓN OCONDICIONAL
Sean p y q proposiciones. La implicación pq es la proposición que es falsa cuando p es verdadera y qes falsa; y es verdadera en cualquier otro caso.
p
q
(Hipótesis o Causa) (Conclusión o Consecuencia)
p q pq
0 0 1
0 1 1
1 0 0
FORMAS DE EXPRESAR EL CONDICIONAL
EN LENGUAJENATURAL:
•
«Si
p
, entonces
q
»
•
«
p
implica
q
»
•
«
q
si
p
»
•
«
p
solo si
q
»
•
«
p
siempre que
q
»
IMPLICACIÓN O
CONDICIONAL.Ejemplo:
p
: «Soy elegido como Presidente.»
q
: «Bajaré los impuestos.»
p
q
: «Si soy elegido como Presidente,
entonces bajaré los impuestos.»
Si el político es elegido (
p
es
verdadera
) y
no baja los impuestos (
q
es
falsa
), las
BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACIÓN
Sean p y q proposiciones, el Bicondicional o Doble Implicación, p q es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores
de verdad y falsa en los otros casos. Su tabla de verdades:
p q pq
0 0 1
0 1 0
1 0 0
FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL
EN LENGUAJENATURAL:
•
«
p
si, y solo si
q
»
•
«
p
es necesario y suficiente para
q
»
•
«
p
sii
q
»
BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACIÓN.Ejemplo:
p
: «Puedes tomar el vuelo.»
q
: «Compras un pasaje.»
p
q
: «Puedes tomar el vuelo si,y
solo si, compras un pasaje»
Precedencia deOperadores
Lógicos.
Orden
Operador
Nombre
1
¬
Negación
2
Conjunción
3
Disyunción
4
Implicación
Formalización
alumno del primer período
.»
Consiste en pasar del lenguaje natural al
lenguaje formal.
Ejemplo:
p
«
Puedes acceder a internet desde el LC1
solo si
estudias Computación
o no
eres
q
r
Equivalencias Proposicionales
Dos formulas son
lógicamente
equivalentes
si tienen los mismos
valores de verdad en todos los
casos. También se dice que
p
y
q
son lógicamente equivalentes si
p
Tautologías y Contradicciones
Sea
P
una proposición compuesta de las
proposiciones simples
p
,
q
,
r
,…
P
es una
Tautología
si es verdadera para todos
los valores de verdad que se asignen a
p
,
q
,
r
,
…
P
es una
Contradicción
si es falsa para todos los
valores de verdad que se asignen a
p
,
q,
r
,…
Una proposición
P
que no es tautología ni
contradicción se llama, usualmente,
Tautologías y Contradicciones
Tautología Contradicción
p ¬p p¬p p¬p
1 0 1 0
Ejercicios:
• ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes enunciados?
a) Hoy es martes.
b) No hay contaminación en Ciudad Ojeda.
c) 2 + 1 = 3.
d) El clima en Mérida es cálido y soleado.
• Sean los enunciados p: «Tienes fiebre», q: «Suspendes el examen final» y r: «Apruebas el curso». Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural.
a) p q
b) ¬p r
c) q ¬r
d) p q r
• Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km. por hora» y «Te multan por exceso de velocidad», respectivamente. Escribe los siguientes enunciados usando p, q y conectivos
lógicos:
a) No conduces a más de 100 Km. por hora.
b) Conduces a más de 100 Km. por hora, pero no te multan por exceso de velocidad.
c) Te multaran por exceso de velocidad si conduces a más de 100 Km. Por hora.
d) Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multarán por exceso de velocidad.
• Determina si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas:
a) Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5.
b) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4.
c) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5.
• Sean las proposiciones p: «Tienes fiebre», q: «No suspendes el examen final» y r: «Apruebas la
asignatura», expresa en lenguaje natural la expresión:
((p q) (p r))
• Simboliza las siguientes proposiciones: a) No vi la película pero leí la novela. b) Ni vi la película ni leí lanovela.
c) No es cierto que viese la película y leyese la novela.
• Sean p, q y r las proposiciones «El número N es par», «La salida va a la pantalla» y «Los resultados se dirigen a la
impresora», respectivamente. Enunciar en Lenguaje Natural las siguientes proposiciones:
a) q p
b) ¬ q r
c) r p q)
• Tomando en cuenta las proposiciones del ejercicio anterior, escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si el número N es par, los resultados se dirigen a la impresora y la salida va a la pantalla.
b) La salida va a la pantalla si, y solo si, los resultados se dirigen a la impresora.
c) No es cierto que el número N sea par o la salida no va ala pantalla.
