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0302) Conservacion de la Energía

A) Fuerzas Conservativas y Energía Potencial

Dependiendo de la manera en que cambia el trabajo que ejerce sobre un cuerpo cuando sufre un desplazamiento, las fuerzas se pueden clasificar en conservativas y no conservativas.

Las fuerzas conservativas son aquellas que efectúan un trabajo total nulo sobre u cuerpo cuando éste hace un ciclo completo, que se inicia y termina en el mismo punto. Además, el trabajo efectuado por una fuerza conservativa para mover un cuerpo desde una posición inicial a una posición final es independiente de la trayectoria. Ejemplos de fuerzas conservativas son la fuerza gravitacional (peso), fuerza elástica (resorte) y fuerza eléctrica. Las fuerzas que no cumplen las condiciones señaladas, como por ejemplo el roce

En la figura 1 se aprecia un cuerpo de masa m que desliza en un suelo con roce siguiendo una trayectoria circular. Se puede apreciar que:

• Entre (a) y (b) la fuerza de roce va en sentido contrario al del movimiento ⇒

Trabajo negativo • Entre (b) y (c) la

fuerza de roce

va en sentido contrario al del movimiento ⇒ _{Trabajo negativo}

Así, el trabajo neto total durante el ciclo completo es menor que cero. Además, depende de la trayectoria seguida por el cuerpo (Wroce = µk·N·d).

Toda fuerza conservativa tienen asociada una energía potencial. La energía potencial es energía almacenada por un objeto en espera de ser utilizada. Se dice que un cuerpo en ese estado tiene un potencial almacenado para hacer trabajo. Un cuerpo con energía potencial va a efectuar trabajo a menos que algún otro agente se lo impida. Para las fuerzas consideradas se habla de:

• Energía Potencial Gravitatoria: Energía almacenada en función de su altura con respecto al suelo.

• Energía Potencial Elástica: Energía almacenada en función del estado de compresión o estiramiento de un resorte

• Energía Potencial Eléctrica: Energía almacenada en función de una distribución de cargas eléctricas en el espacio. A partir de ella se define el concepto de potencial eléctrico o voltaje. Este tipo de energía va a ser vista en Física 120.

Figura 1) Trabajo del roce en un ciclo completo

Energía Potencial Gravitatoria

Considere la situación ilustrada en la figura 2. Un mueble de masa M es levantado desde el suelo hasta una altura h1. El trabajo desarrollado por el peso sobre el mueble está

dado por

1 1

peso P h M g h

W = ⋅ = ⋅ ⋅

Si a esa altura h1 se corta la cuerda, el cuerpo caería al

vacío, y el peso efectuaría trabajo positivo. A una altura h1

del nivel del suelo, el mueble tiene una energía potencial gravitatoria de Ug1 =M⋅g⋅h1

Si el cuerpo de masa M es elevado desde una altura h1 a

una altura h2, la diferencia de energía potencial entre

ambas alturas es:

(

2 1

)

1

2 g1

g2

g U U M g h M g h M g h h

U = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

∆

En ese trayecto, el peso realiza un trabajo igual a

g 1

2

peso M g (h h ) U

W =− ⋅ ⋅ − =−∆

Considere la situación de la figura 3, en la cual un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. Se observa lo siguiente:

• Entre (a) y (b) el cuerpo va subiendo, es decir moviéndose en contra de la gravedad ⇒

Trabajo negativo

• Entre (b) y (c) el cuerpo va bajando es decir moviéndose en la misma dirección de la gravedad ⇒ _{Trabajo positivo}

El trabajo neto total durante el ciclo completo es igual a cero, independiente de la trayectoria. Esto es coherente con el hecho de que el peso es una fuerza conservativa.

Figura 2) Definición de energía potencial gravitatoria

g

Tal como lo ilustra la figura 4, el cambio de energía potencial depende de la posición inicial y de la posición final de la masa, pero no de la trayectoria entre ellas

A partir de este análisis se puede comprender una observación realizada por Galileo, acerca del movimiento de un cuerpo entre dos planos inclinados (uno de subida y otro de bajada) sin roce (ver figura 5).

Si el cuerpo cae libremente por el plano inclinado, subirá por el plano inclinado adyacente alcanzando la misma altura de partida, independiente del plano recorrido al ir cambiando el plano de subida. Si el plano de subida coincide con el plano

horizontal el cuerpo nunca podrá alcanzar su altura primitiva, por lo que se moverá indefinidamente con rapidez constante.

Energía Potencial Elástica

En la figura 6, se aprecia que un resorte adherido a un cuerpo de masa m es estirado por un agente externo

desde su largo natural a un estiramiento x1. El trabajo del resorte en este proceso está dado por

2 1 resorte k x

2 1

W =− ⋅ ⋅

Si el resorte no estuviera sujetado por el agente externo, éste se contraería. Luego, cuando alcanza

un estiramiento x1, el mueble tiene una energía potencial elástica de _e1 k x₁2

2 1

U = ⋅ ⋅ .

Si el resorte que llevado desde un estiramiento x1 a un estiramiento x2 > x1. La diferencia de energía

potencial elástica entre ambas situaciones es

(

2

)

1 2 2 2

1 2

2 e1

e2

e k x x

2 1 x k 2 1 x k 2 1 U U

U = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

∆

En ese trayecto, el resorte realiza un trabajo igual a

(

)

e

2 1 2 2

resorte k x x U

2 1

W =− ⋅ ⋅ − =−∆

Figura 4) Energía potencial gravitacional entre dos alturas y trayectoria.

Figura 5) Observación de Galileo

Figura 6) Definición de energía potencial elástica

En la figura 7 se aprecia el carácter conservativo de la fuerza elástica, donde el trabajo neto total durante el ciclo completo es igual a cero, independiente de la trayectoria.

B) Conservación de la Energía Mecánica

Considere un sistema conservativo, en el cual solamente las fuerzas conservativas realizan trabajo sobre un cuerpo, y el trabajo neto de las fuerzas no conservativas es cero. Del análisis anterior se concluye que, para los tipos de energía potencial considerados (relacionados con fuerzas conservativas), se cumple que

U W_Neto =−∆

Y que, en virtud del Teorema del Trabajo y la Energía:

K WNeto =∆

Igualando las expresiones anteriores, se llega a:

0 K U U

K_=−∆ ⇒∆ +∆ =

∆

Así, cualquier cambio de energía potencial debe estar equilibrado por un cambio igual y de signo contrario de energía cinética. Así, el cambio total de la suma U+K es cero.

(

U K

)

0 U K E 0

K

U_{+∆ =} ⇒_{∆ + =} ⇒ + =

∆

Luego, la suma entre la energía potencial y la energía cinética se mantiene constante durante el movimiento. Esa constante es E, la energía

mecánica total del sistema. Así, en un sistema conservativo, la energía mecánica total se conserva.

A continuación analizaremos algunos sistemas conservativos:

Sistema Masa-Resorte en Superficie sin Roce (figura 8)

En este sistema, la energía mecánica se reparte entre la energía cinética y energía potencial elástica.

• Cuando el resorte alcanza su largo natural, la energía potencial elástica es cero, por lo que la energía necánica es

• Cuando el resorte alcanza su estiramiento (o compresión) máximo, y se detiene, su energía cinética es cero, por lo que suenrgía mecánica es 100%

potencial elástica.

Este sistema será analizado con profundidad más adelante

Masa en Caída Libre (ver figura 9)

En este sistema, la energía mecánica se reparte entre la energía cinética y energía potencial gravitatoria.

• Cuando el cuerpo se suelta desde cierta altura, su energía cinética es nula, por lo que la energía mecánica es 100% potencial gravitatoria.

• A medida que va bajando, su energía potencial se transforma en energía cinética.

• Cuando llega al suelo, su energía potencial gravitatoria es nula, por lo que su energía mecánica es 100% cinética.

Péndulo (ver figura 10a)

En este sistema, la energía mecánica se reparte entre la energía cinética y energía potencial gravitatoria.

• Cuando el péndulo se suelta desde cierto ángulo, su energía cinética es nula

• Cuando alcanza su altura mínima, la energía potencial es nula (si se toma es nivel como referencia)

• Cuando llega a la misma altura hacia el otro lado, la energía cinética es nula.

Dado que la fuerza que aplica es perpendicular al movimiento del péndulo, la tensión de la cuerda no ejerce trabajo, por lo que el sistema es conservativo

Masa Disparada por un Resorte (ver figura 10b)

En este sistema, la energía mecánica se reparte entre la energía cinética, energía potencial elástica y energía potencial gravitatoria.

• Cuando el cuerpo se suelta con el resorte comprimido, la energía potencial gravitatoria y la cinética son nulas, por lo que la energía mecánica es 100% potencial elástica.

• Hasta que el cuerpo sale del resorte, se produce un trasvasije de energía desde potencial elástica a cinética

Figura 9) Masa en caída libre

(a)

(b)

(c)

Figura 10) Ejemplos de sistemas conservativos. (a) Péndulo; (b) Masa disparada hacia arriba por un resorte;

(c) Masa colgada de un resorte.

y potencial gravitatoria.

• Cuando la masa se despega del resorte, la energía potencial elástica se hace cero y la energía mecánica se reparte entre energía cinética y potencial gravitatoria.

• Cuando la masa alcanza la altura máxima, la energía cinética se hace cero, por lo que la energía mecánica es 100% potencial gravitatoria.

Masa Colgada de un Resorte (ver figura 10c)

En este sistema, la energía mecánica se reparte entre la energía cinética, energía potencial elástica y energía potencial gravitatoria. Considerando como referencia para la energía potencial gravitatoria el punto más bajo de la trayectoria de la masa

• Cuando el resorte llega a su compresión máxima, la energía cinética es nula. • Cuando el resorte pasa por su largo natural, la energía potencial elástica es nula.

• Cuando el resorte llega a su estiramiento máximo, la energía cinética de la masa es nula y la energía potencial gravitatoria es cero.

C) Trabajo No Conservativo

Considere un sistema no conservativo, donde el trabajo neto de las fuerzas no conservativas es distinto de cero. En este caso, el trabajo neto se puede dividir en dos partes: el trabajo de las fuerzas conservativas Wcons y el trabajo de las fuerzas no conservativas Wnocons.

nocons cons

Neto W W

W = +

El trabajo de las fuerzas conservativas se relaciona con la energía potencial total según:

U Wcons =−∆

Además, en virtud del Teorema del Trabajo y la Energía:

K WNeto =∆

Igualando las expresiones anteriores, se llega a:

U K W

W U

-K= ∆ + nocons ⇒ nocons =∆ +∆

∆

Si ∆K = Kf – Ki y ∆U = Uf – Ui, donde los subíndices f e i indican energía final e inicial,

respectivamente

(

f i

) (

f i

) (

f f

) (

i i

)

f i

nocons K K U U K U K U E E

W = − + − = + − + = −

En un sistema no conservativo, la energía mecánica no se conserva, y el cambio de energía mecánica total es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas. Obviamente, si Wnocons = 0, nos

Considere la situación de la figura 11, en la cual un cuerpo de masa M inicialmente en reposo se deja deslizar en un plano inclinado con roce (fuerza no conservativa), dado por el coeficiente de roce cinético µ.A continuación vamos a comprobar el resultado anterior en este sistema. Ello implica demostrar que

A B roce E E

W = −

Donde EA y EB son las energías mecánicas

totales en los puntos A y B.

El trabajo de la fuerza de roce está dado por:

( )

( )

α

( )

α

α µ M g h ctg

sen h cos g M µ ·d F

Wroce = roce =− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Como el trabajo del roce es negativo, EB – EA < 0 ⇒ EA > EB.

En la siguiente tabla se visualizan las energías potencial gravitatoria y cinética:

Energía / Posición A B

Cinética 0 2

B V M 2 1 ⋅ ⋅

Potencial Gravitatoria Mgh 0

Del DCL del cuerpo de masa M en el eje y

( )

α cos g M

N= ⋅ ⋅

Del DCL del cuerpo de masa M en el eje x

( )

α F M a sen

g

M⋅ ⋅ − roce = ⋅

Donde Froce =µ⋅N=µ⋅M⋅g⋅cos

( )

α

Reemplazando

( )

α µ M g cos

( )

α M a a g

(

sen

( )

α µ cos

( )

α

)

sen

g

M_{⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅} ⇒ = ⋅ − ⋅

Por consideraciones de cinemática:

M

µ

h

M

A

B V

B

Mgh

E

_A

=

2

2

1

B B

MV

E

=

Mg

N

α

d

M

µ

h

M

A

B V

B

Mgh

E

_A

=

2

2

1

B B

MV

E

=

Mg

N

α

d

y x

Figura 11) Plano inclinado con roce

( )

( )

(

)

( )

α α α sen h cos µ sen g 2 d a 2 V 0 V 2 B 2

B − = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅

Finalmente:

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

roce

2 B A B W ctg h g M µ h g M sen cos h g M µ h g M h g M sen h cos µ sen g 2 M 2 1 h g M V M 2 1 E E = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − α α α α α α

D) Trabajo y Energía en el MAS.

Considere el sistema masa-resorte de la figura 12, cuyo movimiento como ya sabemos es MAS. Al no existir roce ni ninguna otra fuerza disipadora, este sistema es conservativo, lo que significa que la energía mecánica total se conserva.

En este sistema existen dos tipos de energía:

• K: Energía Cinética, asociada a la velocidad del cuerpo de masa m. • U: Energía Potencial Elástica, asociada al resorte.

La energía mecánica total E del sistema es:

U K E= + [1]

Sabemos que la energía potencial elástica para un resorte de coeficiente de elasticidad k y elongación x está dada por:

2

kx 2 1

U= [2]

De la cinemática del MAS, sabemos que:

( )

t =A·cos

(

ω⋅t+δ

)

x [3]

Reemplazando [3] en [2], se concluye que

( )

= kA cos

(

ω⋅t+δ

)

2

1 t

U 2 2

[4]

Por otra parte, sabemos que la energía cinética para un resorte de masa m a una velocidad v está dada por:

2

mv 2 1

K= [5]

De la cinemática del MAS, sabemos que:

( )

_{t =− A·sin}

(

ω_⋅t+δ

)

v ω [6]

Reemplazando [6] en [5], se llega a:

( )

_{= m A sin}

(

ω_⋅t+δ

)

2

1 t

K 2 2 2

ω [7]

Además, la rapidez angular del sistema está dada por:

m k =

ω [8]

Reemplazando [8] en [7] y simplificando expresiones, se llega a:

( )

_{= kA ⋅sin}

(

ω_⋅t+δ

)

2

1 t

K 2 2

[9]

Finalmente, reemplazando [4] y [9] en [1] obtenemos la energía mecánica total:

( )

( )

( )

2

(

2

(

)

2

(

)

)

2

kA 2 1 t

sin t

cos kA 2 1 t K t U t

E = + = ⋅ ω⋅ +δ + ω⋅ +δ = _[10]

En la figura 13 se observan los gráficos de la energía cinética, energía potencial elástica y energía mecánica total en función del tiempo. A partir de los resultados anteriores, se pueden extraer las siguientes conclusiones

• La energía mecánica total en un cuerpo en MAS es

constante, y proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento. • Las energías potencial y cinética oscilan entre 0 y la energía mecánica total.

Reemplazando [2], [5] y [10] en [1] se llega a:

Figura 13) Gráficos de K(t), U(t) y E(t)

2 2

2

mv 2 1 kx 2 1 kA 2 1

+

= [11]

Despejando v de [11] se llega a

(

2 2

)

(

2 2

)

2

x A m

k v x A m

k

v _{= −} ⇒ =± − _[12]

Reemplazando [11] en [5], se llega a:

( )

(

2 2

)

x A k 2 1 x

K = − [13]

Finalmente, reemplazando [2] y [13] en [1], se llega a:

( )

2

kA 2 1 x

E =

Donde nuevamente se aprecia que la energía mecánica total se conserva. En las figuras 14a y 14b se aprecia que:

• U se hace máximo para estiramiento máximo y

compresión máxíma, y nulo cuando el resorte está en su longitud natural.

• K U se hace nulo en los puntos de estiramiento máximo y compresión máxíma, y máximo cuando el resorte está en su longtud natural.

Luego, lo que sucede es que, a medida de que el cuerpo de masa m oscila en MAS, se produce un constante trasvasijo de energía mecánica entre la potencial elástica y la cinética. Esto queda muy bien descrito en la figura 15.

x x

(a) (b)

Figura 14) Gráficos de K(x), U(x) y E(x) en función de x.