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EJERCICIOS x x u y (2y 1) 1 2 y (3z 1) 2 z. 35. x 2 (x 1) 2 (2x 1)(x 3)

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(1)

(1-10) Compruebe si el (los) número (s) dado (s) es (son) so-lución (es) de las ecuaciones correspondientes.

1. 3x 7  12  2x; 1 2. 5t 3  18  3(1  t); 3 3.  3 u u   2 1   1  6u; 2u1 4. 1 3   2 y y   y  y1; 22 5. x2 5x  6; 2, 5 6. y2 12  7y; 4, 3 7. 5 x  2 3 x    2 x; 3 8.  x 7 1    3x 1  5 1   8; 12,13 9.  x 3 1    x 5  x 2   1 4; 1 10. 4x 7 x  3; 0

(11-14) Reduzca las ecuaciones siguientes a ecuaciones poli-nomiales y declare el grado resultante.

11. x3 7x2 5  x(x2 1)  3x2 2

12. (y 2)(y  5)  (2y  1)(y  1)  7 13. y2 7  (y  1)2 3y

14. (u 1)2 (u  1)(u  3)  5

(15-32) Resuelva las ecuaciones siguientes.

15. 1 x  3  x 16. 3x 7  3  5x 17. 2x 5  15  3x 18. 2 7x  3x  2 19. 4(x 3)  8  x 20. 2x 5(1  3x)  1  3(1  2x) 21. 3 2(1  x)  5  7(x  3) 22. 6y 5(1  2y)  3  2(1  y) 23. 3z 2  4(1  z)  5(1  2z)  12 24. 5[1 2(2z  1)]  3(3z  1)  1 25. 1 2[4  3(x  1)]  4(x  5)  1 26. 3[2x 1  2(2x  1)]  4  2[1  2(3  x)] 27. 3x 2  7  1 3 x  28. 2x 3  7  5  3x 4  2 29. 1 2u 4  3  2 3 5u   3u 30. 5y 2  6  y  2 3 y  31. 13(2y 1) 12y25(1 2y)  4 32. 12



1 1 4(3z  1)



  2 3z  12

(33-40) Reduzca las ecuaciones siguientes a ecuaciones li-neales y resuélvalas. 33. (x 4)2 (x  2)2 34. (x 1)(x  3)  (x  2)(x  3)  1 35. x2 (x  1)2 (2x  1)(x  3) 36. (3x 1)(x  2)  5x  (2x  1)(x  3)  x2 37. (2x 1)(x  1)  x2 3(x  1)(x  2)  3 38. (3x 1)(2x  1)  2x2 (2x  3)2 6x  5 39. x(x 2)(x  4)  x3 2(x  1)3 40. (x 1)3 (x  1)3 2x3

(41-44) Resuelva las ecuaciones siguientes para las variables que se indican.

41. ax by  cz: (a) para x; (b) para b. 42. S a 1   r r l

: (a) para r, (b) para l. 43. 1

x   1 y  

1

t: (a) para x, (b) para t. 44. 2

x  x 3

y

(2)

Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; an-tes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguien-te procedimiento por etapas con frecuencia es útil en la aplicación de essiguien-te proceso.

Paso 1 Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que de-be determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos proble-mas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos denotamos sólo una de ellas con x.

Paso 2 Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.

Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras tales como es o era se traducen al símbolo algebraico .

Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos.

Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.

En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los ejemplos siguientes ilustran cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos.

EJEMPLO 1

(a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x 5) pesos. Si Samuel tiene 3 menos que Juan entonces Samuel tiene (x 3) pesos.

(b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x 4) años.

(c) Si cierto almacén vende x refrigeradores al mes y un segundo almacén vende 5 menos que una tercera parte del anterior, entonces el segundo almacén ven-de (13x 5) refrigeradores. ☛ 6

Empezaremos con algunos ejemplos elementales que ilustran de la manera más sencilla posible la traducción entre las formas verbales y algebraicas.

EJEMPLO 2 Determine dos enteros consecutivos cuya suma sea 19.

Solución

Paso 1 Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar x. Denotemos con x al entero más pequeño.

2-2

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES

6. En el ejemplo 1(a), Amanda tiene tantos pesos como Juan, Jaime y Samuel juntos. ¿Cuántos tiene?

En el ejemplo 1(c). Si la primera tienda tiene una ganancia de $30 en cada refrigerador y la segunda tienda obtiene una ganancia de $75. ¿En cuánto excede las ganancias mensuales de la primera tienda a las de la segunda?

(3)

Paso 2 Luego, el segundo entero es x 1, pues son consecutivos.

Paso 3 La expresión suma de dos enteros se cambia a la expresión algebrai-ca x (x  1). La afirmación de que esta suma es 19, equivale a la ecuación

x (x  1)  19.

Paso 4 Despejamos x.

2x 1  19

2x 19  1  18

x128 9

Paso 5 Por tanto, el entero más pequeño es 9. El mayor, x 1, es 10. ☛ 7

EJEMPLO 3 Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene él?

Solución Denotemos con x la edad actual del hombre. Dado que su esposa es 7 años más joven que él, la edad actual de ella debe ser (x 7) años.

Hace 10 años, la edad del hombre era 10 años menos de lo que es ahora, de modo que su edad era entonces x 10. (Por ejemplo, si su edad actual es x  38, hace 10 años tenía x 10  38  10  28 años.) De manera similar, hace 10 años la edad de su esposa era de 10 años menos de la que es ahora, por lo que (x 7)  10 o x 17. Nos dicen que al mismo tiempo la edad del hombre, x  10, era el do-ble de la edad de su esposa, x 17. Así, escribimos

x 10  2(x  17). Simplificamos y despejamos x. x 10  2x  34 x 2x  23  10 x  24 x 24

La edad actual del hombre es de 24 años. Su esposa tiene 17. Hace 10 años tenía 14 y 7, respectivamente.

EJEMPLO 4 (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 112horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas de-berá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?

Solución Supóngase que trabaja x horas por mes. Cada 32horas, efectúa ventas por $100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir, $(200/3) en ventas. Su comisión es del 10% de esto, de modo que su comisión pro-medio por hora es 230. Por tanto, en x horas ganará una comisión de



2

3 0





x dólares.

7. Un triángulo tiene dos lados iguales y el tercero es 8 unidades más largo. Si el perímetro excede al doble de la longitud del lado más corto en 20 unidades, ¿cuáles son las longitudes de los tres lados?

(4)

Agregando su salario base, obtenemos un ingreso mensual total de 600



230



x.

Esto debe ser igual a 2000, de modo que obtenemos la ecuación 600230x 2000.

Resolviéndola obtenemos las ecuaciones siguientes:

230x 2000  600  1400

x23 0

(1400) 210

La vendedora deberá trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado.

EJEMPLO 5 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150

cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio de-berá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%?

Solución Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es del 25% del precio de costo, que es el 25% de $150, o bien $37.50. En 400 reses, su ganancia fue de $37.50 400  $15,000. Sea x dólares el precio de venta de las restantes 600 reses. Entonces su utilidad por res es x 150 y su ganancia por las restantes 600 es 600(x 150) dólares. Por tanto su ganancia total por la venta completa es

15,000 600(x  150) dólares.

Esta ganancia deberá ser el 30% del precio que él pagó por las 1000 reses, es decir, el 30% de $150,000. Esto es igual a $[13

0

(150,000)], o bien $45,000. Así, obtenemos la ecuación 15,000 600(x  150)  45,000. Ahora resolvemos: 15,000 600x  90,000  45,000 600x 45,000  15,000  90,000  120,000 x 12 6 0 0 ,0 0 00   200

El comerciantes debe vender las restantes reses a $200 cada una para lograr una ga-nancia del 30%.

Si una cantidad de dinero de P dólares se invierte a un año a una tasa de inte-rés anual de R por ciento, la cantidad de inteinte-rés anual está dada por

I P





1

R

00



dólares.

Por ejemplo, una suma de $5000 invertida al 6% anual producirá una cantidad de interés cada año dada por

I $5000





1 6

(5)

Si este interés es retirado cada año, entonces tanto el capital P como el interés I permanecen sin cambio de año a año. ☛ 8

EJEMPLO 6 (Inversiones) La señora Cordero va a invertir $70,000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5000?

Solución Sea la cantidad invertida en bonos del gobierno x pesos. Entonces la cantidad invertida en bonos hipotecarios es (70,000  x) pesos. El ingreso recibido por los bonos gubernamentales al 6% es de 16

00x pesos. El ingreso percibido por los

bonos hipotecarios al 8.5% es  1 8 0 .5 0 (70,000  x) pesos   1 8 0 5 00 (70,000  x) pesos.

Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $5000,  1 6 00 x  1 8 0 5 00  (70,000  x)  5000. Multiplicamos ambos lados por 1000 y despejamos x.

60x 85(70,000  x) 5,000,000 60x 5,950,000  85x 5,000,000 25x 5,000,000  5,950,000  950,000 x 9  50 2 , 5 000   38,000

En consecuencia, la señora Cordero debería invertir $38,000 en bonos del gobierno y los restantes $32,000 en bonos hipotecarios. Ella podría aumentar su ingreso in-virtiendo una proporción más grande de su capital en bonos hipotecarios, pero incre-mentaría su riesgo.

EJEMPLO 7 (Problema de mezclas) Una compañía vitivinícola requiere

pro-ducir 10,000 litros de jerez encabezando vino blanco, que tiene un contenido de alcohol del 10%, con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol del 35% por vo-lumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantida-des de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado.

Solución Sean x litros de brandy usados en la producción de 10,000 litros de je-rez. Luego, el volumen de vino blanco usado deberá ser de (10,000 x) litros. Puesto que el brandy contiene 35% de alcohol, la cantidad de alcohol en x litros de brandy es 13050 x. De manera similar, el vino contiene 10% de alcohol, de modo que

(10,000 x) litros de vino contienen 110(10,000  x) litros de alcohol. Por tanto la cantidad total de alcohol en la mezcla será de

13050x110(10,000 x) litros.8. ¿Cuál es el interés anual

sobre

(a) $4000 a 9%; (b) $20,000 a 11%?

(6)

(1-3) Si Juan tiene x dólares, ¿cuántos dólares tendrá Julia en cada caso?

1. Ella tiene $4 más que Juan.

2. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Juan. 3. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Juan. (4-7) Si José tiene x años y Julia es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Alfredo en cada caso?

4. Alfredo tiene 3 años más que Julia.

5. Alfredo es 1 año mayor que la edad promedio de José y Julia.

6. Alfredo es 10 años menor que la suma de las edades de Jo-sé y de Julia.

7. Alfredo es 2 años menor que cinco veces la diferencia de las edades de José y de Julia.

8. Bruno y Jaime juntos tienen $75. Si Jaime tiene $5 más que Bruno, ¿cuánto dinero tiene Jaime?

9. En una clase de matemáticas para la administración hay 52 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase. 10. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 años, él

tendrá el doble de la edad de su vástago. ¿Qué edades tie-nen el padre y el hijo ahora?

11. Hace cinco años, María tenía el doble de la edad de su her-mano. Encuentre la edad actual de María si la suma de sus edades hoy es de 40 años.

12. Susana tiene 3 monedas más de cinco centavos que de diez centavos, y 5 monedas más de diez centavos que monedas de veinticinco centavos. En total tiene $2.10. ¿Cuántas mo-nedas de cada una tiene?

13. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bol-sillo que de monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez centavos y 3 monedas más de veinticinco centavos, tendría $2.60. ¿Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo? 14. (Inversiones) Un hombre invierte al 8% el doble de la

can-tidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 15. (Inversiones) Un colegio destina $60,000 a un fondo a fin

de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%. ¿Cuán-to deberán invertir en cada opción con obje¿Cuán-to de obtener el ingreso requerido?

16. (Inversiones) Los miembros de una fundación desean in-vertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividen-dos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total?

La mezcla debe contener 15% de alcohol, por lo que los 10,000 litros deberían con-tener 11

0 5

0

(10,000) 1500 litros de alcohol. Por tanto, tenemos la ecuación

13 0 5 0 x 11 0 (10,000 x)  1500. Resolviendo obtenemos las igualdades siguientes:

13 0 5 0 x 1000 11 0 x. 1500 13 0 5 0 x11 0 x. 1500  1000  500 35x 10x. 50,000 25x. 50,000 x. 50 2 ,0 5 00   2000

En consecuencia, 2000 litros de brandy y 8000 litros de vino deben mezclarse. ☛ 9

9. En el ejemplo 7, si 400 litros de brandy se combinan con 600 litros de jerez, ¿cuál será el porcentaje de alcohol en la mezcla?

Respuesta 23%

(7)

17. (Inversión) Una persona invirtió $2000 más al 8% que al 10% y recibió un ingreso total por intereses de $700 por un año. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

18. (Inversión) Una compañía invierte $15,000 al 8% y $22,000 al 9%. ¿A qué tasa debe invertir $12,000 restantes de modo que el ingreso por los intereses anuales de las tres inversiones sea de $4500?

19. (Precio de venta) Durante una venta de liquidación un ar-tículo tiene marcada una rebaja de 20%. Si su precio de li-quidación es $2, ¿cuál era su precio original?

20. (Precio de mayoreo) Un artículo se vende por $12. Si la ganancia es de 50% del precio de mayoreo, ¿cuál es el pre-cio de mayoreo?

21. (Porcentaje de descuento) Un comerciante ofrece 30% de descuento sobre el precio marcado de un artículo, y aún así obtiene una ganancia del 10%. Si al comerciante le cuesta $35 el artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado? 22. (Mezclas) Diez libras de cacahuates que tienen un precio

de 75¢ por libra y 12 libras de nueces valen 80¢ por libra se mezclan con pacana que tiene un valor de $1.10 por li-bra para producir una mezcla que vale 90¢ por lili-bra. ¿Cuántas libras de pacana deben utilizarse?

23. (Mezclas) ¿Qué cantidad de una solución de ácido al 10% debe mezclarse con 10 onzas de una solución de ácido al 15% para obtener un solución de ácido al 12%?

24. (Mezclas) ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 15 on-zas de una solución de ácido al 20% para obtener un solu-ción de ácido al 12%?

25. (Mezclas) Una muestra de agua de mar tiene un contenido de 20% de sal. Se agrega agua pura para obtener 75 on-zas de una solución salina al 8%. ¿Cuánta agua de mar es-taba en la muestra?

26. (Mezclas) ¿Cuánta agua debe evaporarse de 300 onzas de una solución salina al 12% para obtener una solución sali-na al 15%?

27. (Mezclas) La sustancia A contiene 5 miligramos de nia-cina por onza, y la sustancia B contiene 2 miligramos de niacina por onza. ¿En qué proporciones deben mezclarse A y B de modo que la mezcla resultante contenga 4 mili-gramos de niacina por onza?

28. (Agricultura) Una cosecha de papas da un promedio de 16 toneladas métricas de proteína por kilómetro cuadrado de área plantada, mientras que el maíz produce 24 tonela-das métricas por kilómetro cuadrado. ¿En qué proporcio-nes deben plantarse las papas y el maíz para obtener 21 to-neladas de proteína por kilómetro cuadrado de la cosecha combinada?

29. (Utilidades de fabricantes) A un fabricante le cuesta $2000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de 60¢ por artículo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en 90¢, encuentre cuántos ar-tículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $1000.

30. (Ganancia en periódicos) El costo de publicar cada copia de una revista semanal es de 28¢. El ingreso de las ventas al distribuidor es 24¢ por copia y de los anuncios es de 20% del ingreso obtenido de las ventas en exceso de 3000 copias. ¿Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana para generar una utilidad semanal de $1000? 31. (Venta de automóviles) Un vendedor de autos usados

com-pró dos automóviles por $2900. Vendió uno con una ga-nancia de 10% y otro con una pérdida de 5% y aún obtuvo una ganancia de $185 en la transacción completa. Encuen-tre el costo de cada automóvil.

32. (Salario) Un empresario está estableciendo un pequeño negocio. Sus costos fijos son $720 semanales, y planea em-plear 48 horas de mano de obra semanales. Él desea asegu-rar que su ganancia sea igual al costo de la mano de obra y que su producto se venda a sólo 40% sobre el costo total. ¿Qué salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artículos por semana, ¿a qué precio debe venderlos?

2-3

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación del tipo

ax2 bx  c  0 (a  0) (1)

Referencias

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