x 2 2x 15 dx 7 2x x 2 2x 1 dx x 25 x 2 6x 9 dx 5x 2 2x 64 x 3 16x 4x 2 2x 6 x 3 x dx 20.

Texto completo

(1)

En los ejercicios 15 a 22, aplique el método de las fracciones parciales para encontrar la integral in-definida.

En los ejercicios 23 a 36, calcule la integral indefinida (de ser posible) mediante la tabla 18.2.

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas, diferenciales o ambas.*

En la sección 18.1 se estudiaron las ecuaciones diferenciales (sin llamarlas con ese

nom-bre) cuando se pasó de una derivada f

 a su correspondiente antiderivada f. Se resolvió la

ecuación diferencial al encontrar la antiderivada. En la presente sección se ampliará el

te-ma utilizando las reglas de integración para facilitar el proceso de solución.

9. x(x 2)4dx 10. x(x 4)5dx 11. (x/x 3 ) dx 12. (x/ [x 3]2) dx 13. (ln x/x2) dx 14. (2x 5)(x 1)1/2dx 15. 5 x x2 5x 6dx 16. 5x 7 x2 2x 15dx 17. 7 2x x2 2x 1dx 18. 10x 25 x2 6x 9dx 19. 5x 2 2x 64 x3 16x dx 20. x 3 x3 2x2dx 21. 4x 2 2x 6 x3 x dx 22. 36 9x 5x2 x3 9x dx 23. x4ln 10x dx 24. (ln 4x/x2) dx 25. (ln x/x3) dx 26. (ln x)4dx 27. (ln x)2dx 28. ([ln x]3/x) dx 29. x4ln x dx 30. (ln x/x5) dx 31. e2.5xdx 32. e 2xdx 33. xe5xdx 34. (x/e3x) dx 35. dx 5 3e2x 36. dx 10 2ex

* Se ha empleado regularmente la notación dy/dx. Tomadas por separado dy y dx reciben el nombre de diferen-ciales, lo cual refleja los cambios instantáneos de y y x, respectivamente.

(2)

Clasificaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

Si una ecuación diferencial contiene derivadas de una función de una variable

independien-te, recibe el nombre de ecuación diferencial ordinaria. La siguiente ecuación es un

ejem-plo donde la variable independiente es x.

(18.13)

Las ecuaciones diferenciales se clasifican además por su orden, que es el orden de la

derivada de mayor orden que aparece en ellas. La ecuación (18.13) es una ecuación

dife-rencial ordinaria de primer orden. Otro sistema de clasificación es el que se basa en el

gra-do de las ecuaciones diferenciales. El gragra-do es la potencia de la derivada de mayor orden

en ellas. La ecuación (18.13) es de primer grado. La ecuación (18.14) es una ecuación

di-ferencial ordinaria de primer orden y de segundo grado.

(18.14)

Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias por orden y grado.

a) dy/dx x2 2x  1 b) d2y/dx2 (dy/dx)  x

c) d2y/dx2 (dy/dx)3 2x  0

SOLUCIÓN

a) Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado. b) Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de primer grado.

c) Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de primer grado (dy/dx no es la

de-rivada de más alto orden). ❑

Soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

En la presente sección se centrará en las soluciones de las ecuaciones diferenciales

ordina-rias. Este tipo de solución es una función que no contiene derivadas ni diferenciales que

sa-tisfagan la ecuación diferencial original.

Las soluciones a las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse en soluciones

gene-rales y en soluciones particulares. Una solución general es aquella que incluye constantes

arbitrarias de integración. Una solución particular es la que se obtiene de la solución

gene-ral. En el caso de las soluciones particulares, se asignan valores específicos a las

constan-tes de integración, basados en las condiciones iniciales o condiciones acotadas (o a la

frontera).

Considérese la ecuación diferencial

dy dx 5x 2 dy dx 2 10 y dy dx 3x 2 2x 5

Ejemplo 28

(3)

La solución general de esta ecuación diferencial se obtiene al integrar la ecuación, es decir,

Con la condición inicial de que f(0)

 15, la solución particular se deriva al sustituir

es-tos valores en la solución general y al despejar C.

La solución particular de la ecuación diferencial es

f (x)  x3 x2 5x  15

En la ecuación diferencial

(18.15)

y las condiciones acotadas o a la frontera f(2)  4 y f (0)  10, obtenga la solución general y la so-lución particular.

SOLUCIÓN

La ecuación dada es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de primer grado. Si se in-tegra la ecuación, el resultado será

(18.16)

que también es una ecuación diferencial porque contiene la derivada dy/dx. Así pues, para liberar la ecuación de cualquier derivada es preciso integrar la ecuación (18.16).

(18.17)

La ecuación (18.17) es la solución general de la ecuación diferencial original. Nótese el empleo de

subíndices en las constantes de integración para distinguirlas entre sí.

Para obtener la solución particular, hay que sustituir las condiciones acotadas (“a la frontera”) en las ecuaciones (18.16) y (18.17). Comenzando con la ecuación (18.16) y la condición de que f(2)  4,

y f ( x) 3x 3 3 2x2 2 5x C x3 x2 5x C 15 03 02 5(0) C

o bien

15 C f (x) x3 x2 5x 15 f⬙(x) d 2y dx2 x 5 f⬘(x) dy dx x2 2 5x C1 f (x) y x 3 6 5x2 2 C1x C2

NOTA

La solución general de una ecuación diferencial de n-ésimo orden

contendrá n constantes de integración.

(4)

Si este valor se sustituye en la ecuación (18.17), junto con la otra información referente a la condi-ción acotada f(0)  10,

En consecuencia, la solución particular es

En los capítulos 7 y 15 se analizaron las funciones del crecimiento y decaimiento

ex-ponencial. Las funciones de crecimiento exponencial presentan la forma general

(18.18)

donde V

0

es el valor de la función cuando t

 0 y k es una constante positiva. Se demostró

en el ejemplo 56 del capítulo 15 (página 751) que estas funciones se caracterizan por una

tasa porcentual constante de crecimiento k, y

(18.19)

La ecuación (18.19) es una ecuación diferencial; su solución general se expresa en la

ecuación (18.18), donde V

0

y k son constantes.

La investigación empírica con frecuencia implica observaciones de un proceso (por

ejemplo, el crecimiento bacteriano, el crecimiento o disminución de la población, y la

de-sintegración radiactiva) a lo largo del tiempo. Con frecuencia los datos reunidos reflejan

valores de la función en diferentes puntos en el tiempo y medidas de razones de cambio en

el valor de la función. A partir de estos tipos de datos se deduce la verdadera relación

fun-cional. Expresado esto con palabras más sencillas, a menudo la investigación produce

ecua-ciones diferenciales que describen de modo parcial la relación existente entre variables. La

solución de estas ecuaciones diferenciales da origen a una descripción completa de las

re-laciones funcionales.

4 (2) 2 2 5(2) C1 4 8 C1 y 12 C1 10 0 3 6 5(0)2 2 12(0) C2 10 C2 f (x) x 3 6 5x2 2 12x 10 V V0ekt dV dt kV0e kt

o bien

dV dt kV

(5)

(Crecimiento de las especies) La población de una rara especie de peces está creciendo de manera exponencial. Cuando se identificó y se clasificó inicialmente, la población se calculó en 50 000. Cin-co años después era de 75 000, según las estimaciones hechas. Si P es la población de la especie en

el momento t, donde t se mide en años, el crecimiento de la población ocurre a una tasa descrita por

la ecuación diferencial

Al integrar esta ecuación, se obtiene

O la solución general es

donde

P

0y k son constantes. Para determinar el valor específico de

P

0se aplica la condición inicial según la cual P 50 000 cuando t  0.

El valor de k puede calcularse sustituyendo la condición acotada (P 75 000 cuando t  5), junto con

P

0 50 000 en la solución general

Si se calcula el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación,

ln 1.5  5k Según la tabla 2 (de la solapa)

Por lo tanto, la función particular que describe el crecimiento de la población es

P 50 000e0.0811t

Ejemplo 30

dP dt kP kP0e kt dP dt kP0e kt P P0 ke kt P P0ekt 50 000 P0ek(0) o bien 50 000 P0 75 000 50 000 ek(5) 1.5 e5k ln 1.5 0.4055 0.4055 5k y 0.0811 k

(6)

Un proceso de decaimiento exponencial se caracteriza por disminución porcentual

constante de valor en el tiempo. La función general que describe esta clase de procesos es

(18.20)

donde V es el valor de la función en el tiempo t, V

0

es el valor de la función cuando t

 0

y k es la tasa porcentual del decaimiento. La razón de cambio en el valor de la función

res-pecto de un cambio en el tiempo es

(18.21)

La ecuación (18.21) es una ecuación cuya solución general es la ecuación (18.20).

(Absorción de un medicamento) Se administró a una persona un medicamento en particular en una dosis de 100 miligramos. La cantidad del medicamento contenida en la corriente sanguínea disminu-ye con el tiempo, según lo describe una función de decaimiento exponencial. Al cabo de seis horas, una muestra de sangre revela que la concentración en el organismo es de 40 miligramos. Si V deno-ta la concentración del medicamento en la corriente sanguínea después de t horas y si V0es la canti-dad en la corriente sanguínea cuando t 0, el decaimiento se presenta a una tasa descrita por la función

La solución general de esta ecuación diferencial es

V V0ekt

Si la condición inicial (V 100 con t  0) se sustituye en esta ecuación, V0se identifica como 100 y

V 100ekt

Sustituyendo la condición acotada (V 40 cuando t  6)

Tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, ln (0.4)  6k Según la tabla 2, V V0e kt dV dt kV0e kt o bien dV dt kV

Ejemplo 31

dV dt kV kV0e kt 40 100e k(6) o bien 0.4 e 6k ln (0.4) 0.9163 0.9163 6k y 0.1527 k

(7)

Así pues, la función particular que describe la disminución de la concentración del medicamento es

V 100e0.1527t

Extensión de las ecuaciones diferenciales

En nuestra exposición se ha descubierto apenas la “punta del iceberg” respecto del tema de

las ecuaciones diferenciales. Se ha examinado exclusivamente el caso más simple. Este

tema a menudo es el centro de un curso semestral. El objetivo ha sido ofrecer una

introduc-ción al mismo y relacionarlo con el cálculo integral.

Sección 18.5

Ejercicios de seguimiento

En los ejercicios 1 a 10, clasifique las ecuaciones diferenciales por orden y grado.

En los ejercicios 11 a 28, encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

En los ejercicios 29 a 38, obtenga las soluciones general y particular de la ecuación diferencial.

39. La población de una especie de conejos recién descubierta parece estar creciendo en forma ex-ponencial. Cuando por primera vez se descubrió en un país sudamericano, la población se esti-mó en 500. Dos años más tarde se calculó en 1 250. Determine la función de crecimiento exponencial que describa la población P en términos del tiempo t, medida en años transcurridos desde el descubrimiento de la especie.

1. dy/dx x3 x2 5x 2. dy/dx d2y/dx2 x 5 3. (d2y/dx2)3 x3 dy/dx 4. d2y/dx2 (dy/dx)4 x3 5. dy/dx x4 5x2 8x 6. dy/dx (d2y/dx2)3 10 7. (dy/dx)3 dy/dx x 10 8. d2y/dx2 5(dy/dx)3 x2 5 9. dy/dx 28 x (d2y/dx2)3 10. x2 x dy/dx (d2y/dx2)3

11. dy/dx x4 2x 6 12. dy/dx 6x2 6x 18

13. dy/dx 1/x 14. dy/dx (2x)(x2 5)4

15. dy/dx 5x/(5x2 10) 16. dy/dx 6xe3x2 17. d2y/dx2 x 5 18. 6x 24x2 d2y/dx2 19. 2(d2y/dx2) x3 d2y/dx2 2x 16 20. d2y/dx2 3x 5 21. d2y/dx2 ex 22. d2y/dx2 x2 x 4 23. d2y/dx2 ex 5 24. d2y/dx2 12x2 6x 40 25. 3(d2y/dx2) 5 2(d2y/dx2) x 26. dy/dx 2x/(x2 5) 27. 4(dy/dx) 2x (x2 15)3 3 dy/dx 28. 3(d2y/dx2) 12x2 5 2(d2y/dx2) x 29. dy/dx 2x, f (0) 50 30. dy/dx 6x2 2x 6, f (0) 18 31. dy/dx x2 3x 8, f (1) 7.5 32. dy/dx (6x)(3x2 7), f (2) 20 33. d2y/dx2 6x 18, f (5) 10, f (2) 30 34. d2y/dx2 15; f (2) 20, f (3) 10 35. d2y/dx2 25e5x; f (0) 4, f (0) 2 36. 3 d2y/dx2 20x ; f (0) 12, f ( 1) 18 37. d2y/dx2 6x 9; f (2) 10, f ( 2) 10 38. dy/dx 4x(2x2 8)3; f (2) 20

(8)

40. La población de una especie de alce de Alaska, que se encuentra en peligro de extinción, pare-ce estar decreciendo a una tasa exponencial. Cuando la disminución se sospechó por primera vez, la población de alces se estimó en 2 500. Al cabo de 10 años se calculó en 1 250. Determi-ne la función de decaimiento expoDetermi-nencial que describa la población de alces en términos del tiempo t, medido en años transcurridos desde que se empezó a sospechar la disminución de la especie.

41. La población de una especie de lobos en peligro de extinción parece estar disminuyendo a una tasa exponencial. Cuando por primera vez se sospechó la disminución, la población de lobos se estimó en 40 000. Cinco años más tarde se calculó en 32 000. Determine la función de decai-miento exponencial que describa esta población de lobos en términos del tiempo t, medido en años transcurridos desde que por primera vez se sospechó la disminución de la población.

42. La población de una especie particular de animales salvajes parece estar creciendo en forma ex-ponencial. Cuando se descubrió la población, se estimó que era de 200 000. Cuatro años des-pués, se calculó en 320 000. Determine la función de crecimiento exponencial que describa la población P en términos del tiempo t, medido en años transcurridos desde el descubrimiento de esa especie.

❑ TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE

❑ FÓRMULAS IMPORTANTES

(Regla 1)

(Regla 2)

(Regla 3)

(Regla 4)

(Regla 5)

(Regla 6)

antiderivada 868

constante de integración 874

ecuación diferencial 898

ecuaciones diferenciales

ordinarias 899

integración 874

integración por partes 886

integral indefinida 874

integrando 874

método de fracciones parciales 890

signo de integral 874

soluciones de las ecuaciones

diferenciales ordinarias 899

k dx

kx



C

k real

x

n

dx

x

n + 1

n

 1 

C,

n

1

kf (x) dx

k

f (x) dx

k real

[ f (x)

g (x)] dx

f (x) dx

g (x) dx

x

1

dx

ln x

 C

e

x

dx

e

x

C

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