Genaro Luna Carreto
119 de Agosto 2017, 5pm.
0.1.
Intervalo abierto en la definici´
on de
l´ımi-te de funciones de una variable
Los estudiantes de ciencia exacta conocen bien la definici´on de l´ımite, esto es, saben exactamente que significa l´ım
x→af(x) =L: ∀ >0,∃δ >0 tal que
Si 0<|x−a|< δ entonces |f(x)−L|< (1) Sin embargo es necesario explicar algunos detalles.
En primer lugar, 0<|x−a| indica que x no puede tomar el valor de a. As´ı pues, los l´ımites, no son sustituciones.
Realizando algunas operaciones elementanles sobre 0<|x−a|< δ: 0<|x−a|< δ (2)
−δ < x−a < δ (3)
a−δ < x < a+δ (4) En forma an´aloga, es posible llevar a la inecuaci´on |f(x)−L| < a la forma
L− < f(x)< L+ (5) Resulta que, ambas expresiones son intervalos abiertos. Tambi´en se pue-den escribir en forma conjuntual. La expresi´on (4), como x∈(a−δ, a+δ) y a su vez, la desigualdad (5) como f(x)∈(L−, L+). En consecuencia, la definici´on adquiere la siguiente forma:
Six∈(a−δ, a+δ) entoncesf(x)∈(L−, L+) (6) donde x no toma nunca el valor de a. Adicionalmente, para cada x ∈ (a−
δ, a+δ), el valorf(x) debe existir.
Se ha hecho evidente la necesidad, en el caso de funciones de variable real, que para que los l´ımites l´ım
x→af(x) = Ltengan sentido, es absolutamente
necesario que la funci´on en cuesti´on se encuentre definida m´ınimamente en un intervalo abierto que contenga a a, excepto posiblemente ena.
0.2.
Conjunto abierto en
R
nSi se esta interesado en generalizar el concepto de l´ımite para el caso de funciones de varias variables, se debe tener a disposici´on el equivalente a un intervalo abierto. Esta secci´on tiene este prop´osito.
En el espacio vectorialRn existe la norma|| ||, que satisface propiedades similares al valor absoluto. Por ejemplo, cumple la desigualdad triangular
||A+B|| ≤ ||A||+||B||. (7) Si recordamos la definici´on de norma||A||=√A·A, entonces paraa∈R, resulta que
||a||=√a·a=|a|
As´ı que el valor absoluto es un tipo particular de norma.
De la mano de la norma de un vector, es posible definir subconjuntos en
Rn, bastantes interesantes.
Definici´on 0.2.1. Sea x0 ∈Rn y r >0. El conjunto
Dr(x0) = {A∈Rn:||A−x0||< r} (8)
es llamado disco, con centro x0 y radio r.
Ejemplo 1. Representa gr´aficamente en el plano cartesiano el disco con cen-tro (1,3) y radio 2.
Seg´un la definici´on de disco
D2(1,3) = {A∈R2 :||A−(1,3)||<2} (9)
Sea A= (x, y). Entonces tenemos:
||A−(1,3)||<2 (10) ||(x, y)−(1,3)||<2 (11) ||(x−1, y −3)||<2 (12) p (x−1, y−3)·(x−1, y−3)<2 (13) p (x−1)2+ (y−3)2 <2 (14) (x−1)2+ (y−3)2 <4 (15)
De la educaci´on media superior sabemos que (x− 1)2 + (y− 3)2 = 4
representa la circunferencia de con centro (1,3) y radio 2. Sin duda, los puntos en la parte interior del c´ırculo generado por la circunfeencia, es lo que corresponde a
(x−1)2+ (y−3)2 <4 (16) En la siguiente gr´afica, la parte sombreada representa al disco D2(1,3), esto
es, el interior del c´ırculo, claro, sin tomar la parte punteada.
La gr´afica da la raz´on del nombre.
En el caso del disco enR3, pues representa gr´aficamente el interior de una
esfera. ¿Qu´e ocurre cuando la norma es el valor absoluto? Pues la gr´afica de un disco en R, es precisamente un intervalo.
Definici´on 0.2.2. Se dice que un subconjunto U de Rn es abierto si para
cada x∈U existe r >0 tal que
Dr(x)⊆U (17)
Es una definici´on pues bastante compleja. Resolvamos un ejercicio cl´asico, con el fin de clarificar.
Ejemplo 2. Muestra que el conjunto
U ={(x, y)∈Rn :x >0} (18)
En este tipo de ejercicios, es importante graficar el conjunto, siempre que se pueda.
El conjunto U se encuentra representado por la parte sombreada, esto es, todo el semiplano derecho sin tocar al eje Y. Ahora bien, para probar que es abierto, es menester tomar cualquier punto Z en la zona sombreada y encontrar un radio r >0 tal que
Dr(Z)⊆U
Suponga que Z = (x0, y0) ∈ U. Seg´un la figura 1, es claro que el radio
punteado (rojo), funciona perfectamente como radio para construir un disco que se encuentre contenido en U.
Casualmente, el radio punteado corresponde a la abscisa del puntoZ, es decirx0. Por la definici´on deU,x0 >0. Es posible entonces tomar ax0 como
el radio buscado, r=x0. Resta mostrar que
Dx0(Z)⊆U.
Es una demostraci´on cl´asica de conjuntos. Tomemos X ∈ Dx0(Z).
Obvia-mente el puntoX es un pareja ordenada, digamos que X= (x, y). Se intenta probar que (x, y)∈U, equivalentemente, x >0.
Como X ∈ Dx0(Z) entonces ||X −Z|| < x0. Realicemos algunas
Figura 1 ||X−Z||< x0 (19) ||(x, y)−(x0, y0)||< x0 (20) ||(x−x0, y−y0)||< x0 (21) p (x−x0, y−y0)·(x−x0, y−y0)< x0 (22) p (x−x0)2+ (y−y0)2 < x0 (23) (24) Por otro lado, es claro que
(x−x0)2 ≤(x−x0)2+ (y−y0)2 (25)
de donde p (x−x0)2 ≤ p (x−x0)2+ (y−y0)2 (27) (28) por lo tanto |x−x0|= p (x−x0)2 ≤ p (x−x0)2+ (y−y0)2 (29) (30) Usando la propiedad transitiva a las desigualdades sobre la desigualdad anterior y (23):
|x−x0|< x0
Una equivalencia muy usada nos lleva a que −x0 < x−x0 < x0. De la
parte izquierda, −x0 < x−x0, se puede cancelar −x0, por endex >0.
Finalmente X = (x, y)∈U, puesx >0. EntoncesU es abierto.
Ejemplo 3. Cualquier disco Dr(x0) en Rn es abierto.
Tomemosx∈Dr(x0). Es necesario mostrar que existe un radio, digamos
s >0 tal que
Ds(x)⊆Dr(x0) (31)
Tracemos el radio que va desde el centro y pasa porx, como se ilustra en la figura 2. Tal parece que servir´ıa como radio, la longitud que va desde x
al punto T, pues cualquier disco construido de esa manera, quedar´ıa dentro del disco grande. Sea s la mencionada distancia. El valor s se puede obte-ner, pues conocemos la distancia dexax0:||x−x0||, as´ı ques=r−||x−x0||.
Probemos la contenci´on (31). Para ello sea y ∈ Ds(x). Esto trae como
consecuencia que
||y−x||< s (32) Recuerde, es necesario probar que y∈Dr(x0), es decir
||y−x0||< r (33)
Figura 2
||y−x0||=||y−x+x−x0|| (34)
y usando la desigualdad triangular
≤ ||y−x||+||x−x0|| (35) Seg´un la desigualdad (32) < s+||x−x0|| (36) pero s=r− ||x−x0||, entonces < r− ||x−x0||+||x−x0|| (37) < r (38)
Lo cual muestra la desigualdad (33).
Finalmente, cualquier disco es un cojunto abierto.
Los discos son conjuntos abiertos y ser´an los dominios b´asicos, sobre los cuales estar´an definidas las funciones de varias variables, con la finalidad
Figura 3
de que haya la posibilidad de extender con ´exito, los diversos conceptos, como l´ımites, derivadas e integrales. A diferencia de las funciones de variable real definidas en intervalos, donde s´olo habia posibilidad de acercarse a un punto en cuesti´on en dos direcciones, conocidos como limites laterales, los discos, permitir´an acercarse a un punto dado, por infinidad de direcciones, perdi´endose el sentido de l´ımite lateral.
Ejemplo 4. Muestra que el siguiente subconjunto del plano
U ={(x, y)∈R2 :−1< x <1 ∧ −1< y < 1}
es abierto.
El conjunto U representado gr´aficamente en el plano cartesiano toma la forma indica en la figura (3):
Sea Z = (x0, y0) ∈ U. Se tiene que encontrar un radio r > 0 tal que el
disco Dr(Z)⊆U. Considere r=min{1− |x0|,1− |y0|}. Sea (x, y)∈Dr(Z).
En t´erminos m´as sencillos, se tiene que obtener−1< x <1 ∧ −1< y <1, o sea
|x|<1 y |y|<1 Como (x, y)∈Dr(Z), entonces
p
por lo tanto |x−x0|= p (x−x0)2 ≤ p (x−x0)2+ (y−y0)2 < r usando la transitividad |x−x0|< r
En forma similar, se obtiene|y−y0|< r. Hagamos un par´entesis, es necesario
recordar una propiedad, que se usar´a, referente a desigualdades, a saber:
|u| − |v| ≤ |u−v|.
Retomando lo nuestro, se ha probado que |x −x0| < r y |y − y0| < r.
Sup´ongase quer= 1− |x0|. Por la definici´on de r,
1− |x0| ≤1− |y0|. (39)
(40)
Si toma |x−x0|, entonces
|x| − |x0| ≤ |x−x0|< r= 1− |x0|
aplicando la transitividad, se tiene
|x| − |x0|<1− |x0|
cancelando |x0|, se obtiene |x|< 1. En forma an´aloga, si considera |y−y0|,
es posible mostrar que |y|<1, considerando la ecuaci´on (39) y siguiendo el mismo proceso.
Ejemplo 5. Sean U, V ⊆ Rn conjuntos abiertos. Muestra que U ∩ V es
abierto.
Sea x∈U ∩V. Se tiene que hallar un r >0 tal que
Dr(x)⊆U∩V (41)
Se tiene por hip´otesis que existen r1, r2 > 0 que satisfacen las siguientes
contenciones:
Figura 4
No se conoce la relaci´on de orden entrer1yr2. En la figura (4), se muestra
una posibilidad. Parece razonable tomar como r, al m´ınimo entre r1 y r2, de
tal forma que se garantice la contenci´on en la intersecci´on. As´ı que, sea
r = m´ın{r1, r2} (43)
Probemos que Dr(x)⊆U ∩V. Sea y∈Dr(x). Entonces
||y−x||< r (44) Si se supone quer =r1, entoncesr=r1 ≤r2.
||y−x||< r=r1 ≤r2 (45)
En cualquier caso||y−x||< r1 ||y−x||< r2. Se deduce de las contenciones
(42) que y∈Dr1(x) yy∈Dr2(x) y por ende y∈U∩V.
Ejemplo 6. SeanU, V ⊆Rnconjuntos abiertos. Muestra queU∪V es
abier-to.
Seax∈U∪V. De manera an´aloga al ejercicio anterior, se debe presentar
r >0 tal que
Claroxes un elemento deU o un elemento deV. De manera que existen
r1, r2 tales que
Dr1(x)⊆U y Dr2(x)⊆V (47)
en cualquier caso
Dr1(x)⊆U ∪V y Dr2(x)⊆U∪V (48)
Basta con tomar a r=r1, six∈U o´ r=r2 si x∈V.
Ejercicios
Problema 1. Sea
U ={(x, y)∈R2 :x <0}
Muestra que U es abierto
Problema 2. Muestra que
U ={(x, y)∈R2 :x >0∧y >0}
es abierto.
Problema 3. Sea U ={(x, y)∈R2 :x=y}. ¿U es abierto?
Problema 4. Considera el discoD1(0,0). Menciona por lo menos 7 funciones
