Marcelo Lugo. Figura 1

(1)

Los escalares y los vectores

Durante cientos de años los humanos han desarrollado varias formas para contar los objetos.

Para contar, registrar, comparar o comunicar se usan símbolos que permiten identificar al número de objetos, dichos símbolos se conocen como escalares.

Al principio, bastaba con los números naturales (1, 2, 3, 4...) para contar a la mayoría de los objetos pero, eventualmente, surgió la clase de los enteros, que abarcaban al concepto del cero y a los números negativos. Hoy se emplea a los enteros para contar poblaciones, números reales para registrar temperaturas y números trascendentales para expresar aπ, e, y a las funciones trigonométricas.

Las cantidades escalares abarcan más cosas en nuestras vidas cotidianas como la esta- tura, la edad, la temperatura, números de página, masa, distancia y tasas de interés. Sin embargo, algunas cosas no se pueden definir o medir mediante un sólo número. Por ejemplo la velocidad, la fuerza y el peso requieren de una magnitud y una dirección.

Como proceso natural emplearemos dos o más escalares para registrar tales cantidades.

Tras muchos debates surgió el término vector, que describe a las cantidades que poseen magnitud y dirección y así surgió el álgebra de los vectores para analizar y resolver algunos problemas geométricos.

La representacion de las cantidades vectoriales

Es posible enfocar el tema de los vectores desde dos direcciones: una emplea una base axio- mática, la otra es intuitiva. El enfoque axiomático empieza por definir el significado de espacio vectorial y los objetos (vectores) que son miembros de este espacio, junto con los axiomas que describen su manipulación. El enfoque intuitivo es mucho más visual y usa segmentos de línea orientados o dirigidos para explicar cómo se trata a los vectores. El segundo enfoque proporciona un rápido abordaje del tema y será suficiente para la mayoría de los lectores.

Antes de que se desarrollara la notación vectorial, los problemas que involucraban a las fuerzas se resolvían usando segmentos de línea, y las fuerzas se representaban usando la regla del paralelogramo como se ilustra en la figura 1.

Figura 1

La idea de usar segmentos de línea para representar a los vectores ha dominado la evo- lución del análisis vectorial, aunque debe notarse que algunos matemáticos no tienen nece- sidad de tal ayuda visual cuando entran a los mundos multidimensionales de los espacios vectoriales abstractos. Afortunadamente para nosotros todos los problemas que abordare- mos tienen como base los segmentos de línea en dos o tres dimensiones.

Un segmento de línea es un gráfico adecuado para representar a un vector, porque su longitud representa a su magnitud, y su orientacion representa a la dirección. La figura 2

(2)

muestra a tres vectores idénticos ya que tienen las mismas longitud y orientación, y sus posiciones son irrelevantes.

Figura 2

Los segmentos de línea de la figura 2 tienen punta de flecha, que define la direccion del vector. Sin la punta de flecha, el segmento de línea puede apuntar en cualquier dirección.

Así, se requiere de un segmento de línea dirigido para proporcionar una descripcion del vector sin ambigüedades.

La figura 3(a) uestra dos puntos, A y B, conectados mediante una línea con una punta de flecha que apunta en la dirección de A a B. Este segmento de línea dirigido se representa por−−→

AB, donde la flecha en el diagrama confirma la dirección de A a B, y la flecha encima de AB nos recuerda que se trata de una cantidad vectorial.

Figura 3

Si la flecha del segmento de línea apunta en la dirección opuesta, como se muestra en la figura 3(b), se representa por −−→

B A. Entonces, ¿cuál es la diferencia entre los dos segmentos de línea −−→

AB y −−→

B A? La distancia entre los dos puntos es la misma, sólo ha cambiado la dirección por lo que se puede arreglar la diferencia introduciendo un signo negativo. Por ejemplo:

−−→B A = −−−→

AB o inversamente

−−→AB = −−−→

B A.

El efecto del signo negativo intercambia efectivamente las letras que identifican a los puntos.

Si se adopta esta notacion, las siguientes afirmaciones son descripciones válidas de otros segmentos de línea:

−−→AC = −−−→

C A y

−−−→

CB =−−→

CB.

(3)

La idea de seguir una trayectoria de un punto a otro es muy útil cuando se está resolviendo problemas con vectores. A lo largo de esta trayectoria se identifica a los segmentos de línea (vectores) que localizan a algún punto, lo cual revela eventualmente las cosas que estamos buscando.

Ahora se introduce un tercer punto C, y se identifica a los segmentos de línea como se muestra en la figura 4

Figura 4

Es posible moverse de A a C directa o indirectamente. La trayectoria directa es−−→

AC y la indirecta es a través de B, es decir,−−→

AB+−−→

BC. Ya que ambas trayectorias van de A a C, se dice que son equivalentes. aunque las distancias Euclidianas no son las mismas. Asi, se puede establecer que

−−→AC =−−→

AB +−−→

BC (1)

o, por el otro camino,

−−−→

AC = −−−→

AB −−−→

BC.

Puede notarse que en la ecuación (1) las letras A y C en −−→

AC son la primera y la última letras en−−→

AB +−−→

BC y que las B se han cancelado. Este patrón ocurre frecuentemente cuando se manipulan estas etiquetas o identificadores.

Figura 5

Finalmente, adicionemos un cuarto punto D, como se muestra en la figura 5. Los segmentos de línea que conectan A, B y C no han cambiado, pero se han introducido los segmentos de línea −−→

AD, −−→

BD y −−→

DC, que establecen trayectorias entre cualesquiera dos puntos directa o indirectamente. Aunque sólo puede haber una ruta directa, puede haber varias rutas indirectas. Por ejemplo, es posible moverse de A a B de dos maneras:

A a C y luego C a B

(4)

o

A a D y luego D a B.

Pero también puede pasarse de A a B a través de C y luego a D, o bien de A a B a través de D y luego a C, es decir, A a D, D a C y luego de C a B.

Todas son trayectorias válidas y conforme se añadan puntos crece el número de trayectorias indirectas. Así, ahora tenemos una manera de hacer anotaciones en una ruta y ésta se ve influenciada por las etiquetas asignadas originalmente a los segmentos de línea. Por ejemplo, si queremos movernos de Q a P pero el segmento de línea de conexion se etiqueta como−−→

PQ, entonces se usa −−−→

PQ para representar a−−→

QP. Cuando se apliquen estas técnicas a los vectores reales, se descubrirá que algunas direcciones son más convenientes que otras.

La definicion de un segmento de línea que use−−→

AB o −−−→

B A es una notacion útil que usa- remos frecuentemente. Sin embargo, también se les puede asignar nombres a los segmentos de la línea, tales como a, n o q. Nótese que el tipo en negritas permite distinguir el nombre de un vector de los de las cantidades escalares como x, y o t. Esta es una notación amplia- mente aceptada para hacer referencia a los vectores y permite crear diagramas como el que se muestra en la figura 6.

Figura 6

De la figura 6 se pueden hacer las observaciones siguientes:

r = s + t s = m + n y

t = n − m + r.

Figura 7

Una estrategia para resolver problemas y que se usará más adelante en la creacion de una cadena indirecta de vectores que, eventualmente, revela al vector en la ruta directa. Tal situación se muestra en la figura 7, que nos permite escribir

p = r + s − t

(5)

Tal vez el lector se pregunte a qué se debe que el vector n está invertido en la figura 7. ¿Por qué no apunta en la misma dirección que r, s y t? Pues bien, cuando se etiqueta a los vectores, ciertas direcciones son más convenientes que otras, lo cual da lugar a tales conflictos. Sin embargo, no hay de qué preocuparse, pues un simple signo ‘−’ resuelve el problema.

La notación que se ha usado hasta aquí es muy similar a la que se usa en álgebra. En cierto modo, el álgebra d elos vectores es virtualmente idéntica al álgebra ordinaria, excepto por un par de detalles que se verán más adelante. Por ejemplo, en el álgebra se puede decir que si

x = 2 + b y

b = c + d entonces

x = 2 + c + d.

Similarmente, si

x = −6 entonces

−x = 6.

Del álgebra también se sabe que si

x = 10 + b entonces

10 = x − b

Así que, ¿es posible usar reglas similares en el álgebra de los vectores? Sí, si es posible.

Ahora que ya sabemos cómo codificar e interpretar los diagramas vectoriales, veamos cómo podemos identificar puntos a los largo de un vector. Considere, entonces, al vector r, como se muestra en la figura 8. Si el vector t tiene una orientación idéntica pero tiene la mitad de la longitud que r, se puede establecer que

t =1 2r.

Figura 8

Pero también se puede decir que r = 2t, lo cual es cierto y válido. Y, en general, se puede establecer que

r = λp

(6)

dondeλ es cualquier cantidad escalar. Por lo tanto, hay que acostumbrarse a declaraciones como

p = 2r − 3s.

Estos multiplicadores escalares porporcionarán una estrategia útil en la solución de problemas, como se verá más adelante.

Cuando se añaden cantidades escalares, sabemos que su secuencia no tiene efecto alguno en el resultado final. Por ejemplo, 2 + 6 = 8 y 6 + 2 = 8. Afortunadamente, también se cumple esto en los vectores. Por ejemplo, si r = s + t, entonces también s puede establecer que r = t + s. Esto se muestra gráficamente en la figura 9(a), que ilustra el significado de r = s + t. Pero igualmente, se puede invertir la secuencia de los vectores para crear r = t + s, como se muestrra en la figura 9(b). Cuando se sustraen cantidades escalares, su secuencia

r r

s

s t

t

(a) (b)

Figura 9

sí es importante. Por ejemplo, 2−6 = −4, pero 6−2 = +4. Sin embargo, si se considera sumar juntas a cantidades positivas y negativas, se encuentra que 2 +(−6) = −4 y (−6)+2 = −4. Es- to también tiene su equivalente vectorial y resulta interesante investigar cómo representar gráficamente a esta combinación.

La operación r = s + t se muestra en la figura 9(a), pero para trazar r = s − t, es mejor considerarla como r = s + (−t), como se muestra en la figura 10. El proceso implica trazar al vector t, invirtiéndolo para crear −t y sumar s a −t.

-t t

r=s-t s s+t

Figura 10

Los vectores no colineales

Cuando dos vectores son colineales, damos por hecho que ambos poseen la misma dirección pero que pueden tener diferentes longitudes. Esto significa que unu de los vectores debe ser

(7)

múltiplo escalar del otro. Si los vectores no son colineales, entonces es imposible que uno sea múltiplo escalar del otro. Por ejemplo, la figura 11 muestra al triángulo ∆ABC construido a partir de tres vectores que no son colineales: r =−−→

B A, s =−−→

BC y r+s =−−→

AC. A continuación se encuentra superpuesto otro triángulo, ADE, con ar =−−→

AD, bs =−−→

DE y ar + bs =−−→

AE donde a y b son escalares. Los vectores ar y bs tampoco son colineales, porque −−→

AD es paralelo a

−−→AB y−→

E es paralelo a −−→

BC. Formalmente esto se escribe como−−→

AD ∥−−→

AB y−−→

DE ∥−−→

BC, donde el símbolo ∥ significa paralelo a. Al examinar la figura 11 se nota que la ruta−−→

AE es única.

C E

A

B D

r+s ar+bs

r

s ar

bs

Figura 11

Sin importar cómo se escalen los vectores r y s, al sumarlos, su suma siempre producirá un vector resultante diferente. Si queremos movernos de A a E, existe sólo un par de escalares para escalar a r y s. Esto significa que si siempre encontramos un enunciado tal que

ar + bs = cr + ds

donde r y s no son colineales, sólo significa que a = c y b = d. Esta condición sólo se aplica a vectores no colineales. Sin embargo, tales combinaciones de vectores son muy comunes y juegan un papel muy importante en la solución de problemas.

Ahora ya conocemos suficiente álgebra de los vectores com opara resolvere algunos problemas geométricos sencillos. Así, se verificará que los lados opuestos de un paralelogramos son iguales. Empecemos con el paralelogramo ABCD que se muestra en la figura 12, don- de r =−−→

AB y s =−−→

AD. Pero como AB ∥ DC y AD ∥ BC, se puede hacer la conjetura de que

−−→DC = ur y−−→

BC = vs, donde u y v son escalares. Ahora se puede definir la trayectoria directa

A B

C D

s

r

vs ur

AC

Figura 12

(8)

−−→AC en términos de dos trayectorias indirectas:

−−→AC =−−→

AB +−−→

BC

y −−→

AC =−−→

AD +−−→

DC por lo tanto,

−−→AB +−−→

BC =−−→

AD +−−→

DC O, usando nombres vectoriales,

r + vs = s + ur.

Puesto que estos vectores no son colinelaes, es posible igualar los coeficientes y establecer que

1 = u y v = 1.

Si u = 1 y v = 1,−−→

AB =−−→

DC y−−→

AD =−−→

BC, lo que significa que sus longitudes son iguales. De aquí que se ha probado que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

Con otro ejemplo se puede demostrar que las dos diagonales de un paralelogramo se bisectan una con la otra.

A B

C D

s

r

s r

E

Figura 13

La figura 13 muestra un paralelogramo ABCD fromado a partir de los vectores r y s, donde r =−−→

AB =−−→

DC y s =−−→

AD =−−→

BC. Se puede ver que

−−→AC = r + s (2)

y −−→

DB = r − s. (3)

Se observa que las diagonales se intersectan en E, lo que significa que−−→

AE y−−→

AC son colineales. Por lo tanto, se puede establecer

−−→AE = λ−−→

AC. (4)

dondeλ es un escalar.

De modo semejante, se puede establecer que

−−→DE = ²−−→

DB. (5)

(9)

donde² es un escalar.

Ahora, se pretende probar queλ =¹₂ y que² = ¹₂ Reescribiendo (4) y sustituyendo en (2):

−−→AE = λ(r + s) = λr + λs. (6)

También se puede reescribir (5) y hacer la sustitución en (3):

−−→DE = ²(r − s) = ²r − ²s. (7)

Así, se tienen−−→

AE y−−→

DE. Pero se requiere de una tercera ecuación que asocie a −−→

AE con

−−→DE. Observando la figura 13 se ve que en el triángulo∆AED se tiene

−−→AE =−−→

AD +−−→

DE = s +−−→

DE. (8)

Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones (6) y (7) en la (8) se obtiene λr + λs = s + ²r − ²s

y

λr + λs = ²r + (1 − ²)s.

Ahora, se tiene una ecuación que asocia a λ, ², r y s. Pero como r y s no son colineales, se pueden igualar los coeficientes, por lo que:

λ = ² y λ = 1 − ² lo que significa que

² = 1 − ² y ² =1 2 Y también

λ =1 2.

Por lo tanto, las diagonales de un paralelogramo se bisectan una con otra.

Ahora es tiempo de formalizar estos conceptos y ver cómo se puede codificar a los vectores usando coordenadas Cartesianas.

La representación vectorial

Introducción

Los vectores aparecieron a mediados del siglo 19. Para entonces la geometría analítica ya se había establecido, especialmente el uso de las coordenadas Cartesianas. Como consecuencia, era un simple paso el desarrollar un marco numérico para representar a los vectores usando coordenadas Cartesianas.

Las coordenadas Cartesianas

La figura 14 muestra este sistema de trabajo. La figura muestra un vector cuyo extremo inicial está en (1, 1) y su extremo final en (3, 2).

(10)

1 2 3

1 2 3 4

Y

X 1

2

Figura 14

Como puede verse, las coordenadas Cartesianas proporcionan un mecanismo para representar a un vector en términos de sus componentes Cartesianas horizontal y vertical.

También puede verse que la componente horizontal del vector se obtiene sustrayendo las coordenadas correspondientes del extremo inicial de las del final: 3 − 1 = 2 y las de su componente vertical se obtiene con la sustracción: 2 − 1 = 1.

Desde mediados del siglo 19 y hasta mediados del 20, aparecieron dos métodos para combinar las componentes x (horizontal) y y (vertical): una técnica pone a las componentes como un par ordenado como [x y] y la otra las pone como· x

y

¸

. A la primera forma se le llama vector fila o vector renglón y al segundo se le llama vector columna. Cuando se hace referncia a un vector columna dentro de un texto, se expresa como [x y]^T, el cual describe a un vector renglón trnaspuesto, i.e., un vector columna.

No hay restricciones sobre los vectores, pueden ser de cualquier longitud y apuntar en cualquier dirección. Sin embargo, com ocon frecuencia se calculan vectores a partir de otros vectores, es posible crear un vetor sin longitud, al cual se le llama vector nulo o cero. La figura15 muestra a cuatro vectores etiquetados como a, b, c y d y el Cuadro 1 que presenta un resumen de las componentes de sus extremos, inicial y final.

1 2 3

1 2 3 4

Y

X

a b

c d

Figura 15

(11)

Tabla 1

Vector Final Inicio Componente x Componente y

a (0,2) (3,3) -3 -1

b (4,3) (2,2) 2 1

c (1,2) (1,0) 0 2

d (3,1) (2,1) 1 0

Así, los vectores son

a =·−3

−1

¸

b =·2 1

¸

c =·0 2

¸

d =·1 0

¸ .

Hasta aquí la definición de un vector es la de un segmento de recta 2D, pero también es posible tener vectores en tres dimensiones. Por ejemplo, la figura xxxxxxxxxxxxx, muestra un segmento de recta 3D con sus componentes carterianas, donde el vector v se representa por

v =



 x y z





Así, un vector 2D tiene dos componentes y un vector 3D tiene trescomponentes, las cuales se conocen como compenentes Cartesianas.

La orientación y longitud de un vector están determinadas completamente por el signo y valor de sus componentes Cartesianas. Afortunadamente, la longitud de un segmento de cualquier línea se obtiene fácilmente por el teorema de Pitágoras; aunque también se requiere de alguna representación simbólica.

La notación vectorial

El tipo negrita se usa para nombrar a los vectores. Esta es una convención universal y ayuda a distinguir a los escalares (x, y, z, r, s, t, ...) de los vectores (a, b, c, d, n, p, q, ...).

Sin embargo, cuando se trata de un segmento de línea formado por dos puntos, tales como A y B, el vector asociado se denota por−−→

AB o AB, que representa a un vector cuyo extremo inicial está en A y el final en B.

La longitud de un vector

Se sabe que los escalares pueden ser posditivo o negativos y, cuando se está interesado solamente en el valor absoluto de un escalar s (i. e., independiente del signo), se usa la notación |s|, la cual, efectivamente, elimina el signo. Para representar la longitud de un vector se usa la msima notación, i. e. |a|. También es posible usar |−−→

AB| o |AB|. Y para evitar confusiones se usa ||−−→

AB|| o ||AB||, que es la convención que se usará a partir de ahora para disdtinguirlos de los escalares.

Si un vector v está dado por

v =· x y

¸

(12)

su longitud está dada por

||v||

q

x²+ y². De modo semejante, si un vector 3D está dado por

v =



 x y z



 su longitud está dada por

||v||

q

x²+ y²+ z².

Estos cálculos tienen como base el teorema de Pitágoras y se ilustran en la figura 16.

X x

Y

v y

v v

x X Y

y

Z z

v

Figura 16

La longitud de un vector es un escalar. Así ||v|| es un escalar y se puede usar como cualquiera otro escalar.

A continuación se estudiará el álgebra que muestra cómo los vectores se manipulan e in- tegran aritméticamente con los escalares. Es conveniente ilustrar esto en dos dimensiones, considerando que también se aplica a las tres dimensiones.

El álgebra de los vectores

La inversión del signo de un escalar se logra multiplicándolo por −1. Por ejemplo, −1 × (+3) = −3 y −1 × (−3) = 3. Similarmente, la dirección de un vector se logra multiplicando sus componentes por −1. Por ejemplo, si

v =·1 2

¸

entonces

−v =·−1

−2

¸ .

La figura 17 muestra la interpretación gráfica de esta inversión del signo.

A un vector se le puede multiplicar por un escalar positivo o negativo. Por ejemplo v =·1

2

¸

(13)

v v

Y Y

X X

1 1

2 2

3 3

1 2 1 2

Figura 17

entonces

2v =·2 4

¸ y

1 2v =

·₁

2

1

¸ .

Del mismo modo, la adición y sustracción de vectores obedece a las mismas reglas que los escalares. Por ejemplo, dados dos vectores

v =·1 2

¸

y w =·2 1

¸

entonces

v + w =·1 + 2 2 + 1

¸

=·3 3

¸ . En contraste,

v − w =·1 − 2 2 − 1

¸

=·−1 1

¸ y

w − v =·2 − 1 1 − 2

¸

=· 1

−1

¸ .

La adición de vectores también tiene una interpretación gráfica sencilla. De hecho, la adición de vectores usa la regla del paralelogramo vista anteriorment. La figura 18 ilustra la adición de los vectores v y w. Es obvio que las componentes del vector suma se obtienen sumando las componentes individuales. Recuerde que estos vectores pueden tener cualquier posición en el espacio.

La sustracción de los vectores se muestra en la figura 19. Para simplificar el proceso, es mejor considerar a v − w como v + (−w).

La multiplicación y división de dos vectores no es tan obvia. Para empezar, dividir un vector por otro carece de significado alguno y no existe definición de dicha operación, mientras que la multiplicación puede efectuarse de dos maneras que se verán más tarde.

(14)

Y

X v

w

v+w 1

2 3

1 2 3 4

Figura 18

Y

X v

w

1 2 3

1 2 3 4

v-w

Figura 19

Las leyes asociadas con los escalares son simples y familiares. Afortunadamente, las mismas leyes se aplican a los vectores; la única diferencia entre los dos sistemas está en el producto de dos vectores. La Tabla 2 muestra ejemplos de los dos sistemas

La Tabla 2 se construyó con fines de comparación.

Los vectores unitarios

Un vector unitario tiene longitud 1. Los vectores unitarios simplifican mucho la solución de problemas; por lo que debemos entender cómo es posible crearlos.

Por ejemplo, si v = [x y]^T es un vector unitario, se dice que ||v|| = 1, i. e., px²+ y²= 1 y comunmente se representa por ˆn, donde el acento circunflejo indica que la longitud del vector es unitaria. Ya se sabe que la longitud de un vector se puede cambiar mediante un factor de escalamiento. Por lo tanto, cualquier vector tiene que ser algún múltiplo de un vector unitario:

v = λ ˆv.

Pero, seguramente,λ = ||v||. Por lo tanto, se puede escribir v = ||v|| ˆv

(15)

Tabla 2

Ley Álgebra escalar Álgebra vectorial

Conmutativa para la suma a + b = b + a a + b = b + a

Asociativa para la suma a + (b + c) = (a + b) + c a + (b + c) = (a + b) + c Conmutativa para la multiplicación ab = ba ab = ba

Asociativa para la multiplicación a(bc) = (ab)c a(bc) = abc Distributiva para la multiplicación (a + b)c = ac + bc (a + b)c = ac + bc

a(b + c) = ab + ac a(b + c) = ab + ac

que conduce a

v =ˆ v

||v||. Por ejemplo, dado

v =·3 4

¸

es posible construir un vector unitario dividiendo sus componentes por ||v||, el cual, en este caso es

p3²+ 4²= 5, i.e.,

v =ˆ ·0.6 0.8

¸ , que es el vector unitario correspondiente.

Los vectores unitarios rectangulares

Una poderosa característica del álgebra de los vectores emerge de la definición previa de un vector, ya que es posible expresar a un vector como la suma de vectores unitarios alineados con los ejes rectangulares Cartesianos.La siguiente descripción está en tres dimensiones pero se aplica de modo semejante en dos dimensiones. Nótese también que se emplea un sistema de ejes 3D de mano derecha.

X Y

Z

Figura 20

(16)

Primero se definen tres vectores unitarios rectangulares i, j y k, paralelos con los ejes x, y y z rectangulares Cartesianos, respectivamente, como se muestra en la figura 20, donde

i =



 1 0 0



 j =



 0 1 0



 k =



 0 0 1



.

Consecuentemente, cualquier vector v = [a b c]^Tse puede expresar como v = ai + bj + ck

que brinda un mecanismo algebraico sencillo para manipular a los vectores.

Por ejemplo, es posible invertir a v:

−v = −ai − bj − ck.

Se puede duplicar la longitud de v:

2v = 2ai + 2bj + 2ck.

Y si se tiene a dos vectores,

v = 2i + 3j + 4k y

w = 5i + 6j + 7k es posible sumarlos:

v + w = (2i + 3j + 4k) + (5i + 6j + 7k) = 7i + 9j + 11k.

Más adelante se verá cómo multiplicar vectores usando esta notación.

Los vectores de posición

Imagine un punto P en el espacio con coordenadas (x, y, z). Obviamente, existe un vector cuyo extremo inicial es el origen del sistema de coordenadas y cuyo extremo final es el punto P. A tal vector se le conoce como vector de posición ya que fija la posición de P. Su utilidad radica en el hecho de que sus componentes rectangulares son idénticas a las coordenadas cartesianas del punto, i.e., p = xi + yj + zk.

Ahora, se procederá a resolver algunos ejercicios.

Problema 1

Un objeto esetá sujeto a dos fuerzas F₁ y F₂, donde F₁ actúa horizontalmente de izquierda a derecha, mientras que F₂ actúa verticalmente hacia abajo, como se muestra en la figura 21. El problema consiste en encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante y la fuerza que mantendría al lobjeto en el equilibrio.

Se define a las fuerzas como vectores:

F₁= 6i

(17)

X Y

F=6₁

F= 4₂

Figura 21

y

F₂= −4j Por lo tanto, la fuerza resultante es

F₁+ F2= 6i − 4j, cuya magnitud (longitud) es

||F1+ F2|| =p

6²+ 4²=p

52 = 7.211.

La dirección de la fuerza se puede especificar con relación al eje horizontal, x, como se muestra en la figura 22.

a

X F =4

₂

F =6

₁

F +F

₁ ₂

Figura 22 De la figura 22, se encuentra que

α = tan⁻¹µ −4 6

¶

= −33.69° 326.31°.

Para que el objeto se encuentre en equilibrio , la fuerza total sobre él debe ser cero, lo que significa que debe aplicarse una tercera fuerza igual y opuesta a F₁+ F2, i. e.,

−(F1+ F2) = −(6i − 4j) = −6i + 4j.

(18)

Su dirección es

β = 180° + tan⁻¹ µ 4

−6

¶

= 146.31°, con respecto al eje x.

Problema 2

Verifiquemos que la adición de dos vectores es conmutativa, i.e., a + b = b + a.

Primero se define a los dos vectores, a y b, como se meustra en la figura 23.

a

b

a+b

A

B

C

Figura 23 De la figura 23, se obtiene

a =−−→

AB y b =−−→

BC y

a + b =−−→

AB +−−→

BC =−−→

AC (9)

Pero del mismo modo, se puede describir al vector suma que se muestra en la figura 24.

a

b a

b

b+a

A

B

C

D

Figura 24 De la figura 24, se tiene que

b =−−→

AD y a =−−→

DC y

b + a =−−→

AD +−−→

DC =−−→

AC (10)

(19)

De las ecuaciones (9) y (10) se tiene que

a + b = b + a, como se esperaba.

Problema 3

Verifiquemos que la adición de vectores es asociativa, i.e., a + (b + c) = (a + b) + c.

La figura 25 muestra a cuatro vectores que forman un cuadrilátero, donde una diagonal está formada por a + b y la otra diagonal está formada por b + c.

a

b

c

d a+b

b+c

Figura 25 De la figura 25 es obvio que

a + (b + c) = d y (a + b) + c = d por lo tanto

a + (b + c) = (a + b) + c, como se deseaba demostrar.

El producto de vectores

Ahora se estudiará el producto de los vectores que a los matemáticos les llevó mucho tiempo reconocer y definir. Lo que reultaba inusual es que hubiera dos maneras de multplicar vectores: una que daba lugar a una cantidad escalar y la otra a un vector nuevo.

El producto de dos escalares es bien conocido. Por ejemplo, 3×4 = 12 y 4×3 = 12, de modo que el orden carece de efecto en el resultado final. Sin embargo, existen dos interpretaciones de este producto: una es simplemente el hecho de que el producto de que 3 por 4 hacen 12;

la otra es que 3 × 4 se puede considerar como una área, con un tamaño de 12 unidades. EL producto de dos vectores no es tan sencillo, pero existen similaridades con la multiplicación escalar (consultar A History of Vector Analysis de Michael Crowe, para mayor información sobre el descubrimiento de estos dos productos).

El producto escalar

Antes de definir a este producto, sería interesante pensar en lo que se debía haber predi- cho del producto escalar con base en el conocimiento de la multiplicación de escalares. Por

(20)

ejemplo, dados los vectores

a = xai + yaj + zak a = xbi + ybj + zbk

se tiene de inmediato la intención de multiplicar las componentes juntas:

x_ax_b, y_ay_b, z_az_b.

¿Pero qué se hace con estos términos? Pues bien, ¿por qué no sumarlos? Si se hace esto último, se obtiene

a · b = xax_b+ yay_b+ zaz_b. Así, se tiene la definición del producto escalar.

Un enfoque alternativo sería multiplicar sus magnitudes: ||a|| · ||b||, que es un escalar.

Sin embargo, se ignoraría la orientación de los dos vectores, que puede sugerirse con:

||a|| · ||b|| cos θ

||a|| · ||b|| sin θ

||a|| · ||b||θ dondeθ es el ángulo entre los vectores.

Todas estas son razonables y, en la matemática no hay reglas que impidan definir alguna nueva fórmula o técnica. Lo importante es que se integre con el resto de la matemática. Pues bien, como se verá a continuación, las dos primeras sugerencias son extremadamente útiles, pero la tercera carece de aplicación.

El producto escalar de dos vectores a · b está definido como

a · b = ||a|| · ||b||cosθ (11)

donde

a y b son los dos vectores yθ es el ángulo que los separa

Los términos a la derecha del signo = en la ecuación (11) son escalares. Por lo tanto, el resultado debe ser también un escalar (de aquí el nombre de producto escalar).

La figura 26 muestra tres pares de vetores con diferentes ángulos de separación. Nótese queθ es el ángulo entre los extremos finales de los dos vectores.

La definición anterior no es tan arbitraria como se había sugerido, es extremadamente útil en una amplia gama de aplicaciones geométricas y científicas. Por ejemplo, si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero, debido a que cos 90° = 0. Además, si dos vectores tienen la misma orientación, su producto escalar es igual al producto de sus magnitudes, pues cos 0° = 1. Tales resultados se usarán más tarde como parte de las estrategias para resolver problemas.

Considere lo que sucede cuando se aplica una fuerza a un mecanismo restringido a moverse en una dirección. Tal escenario se muestra en figura 27.

Si la fuerza está representada por f, y la dirección del mecanismo es v, entonces la mag- nitud de la fuerza que actua en la dirección del mecanismo es ||f||cosθ. Dado que el trabajo

(21)

A A A

B B B

C

C D

D

I I I

q q

q

Figura 26

q

v

f

f cos q Figura 27

total hecho por el producto de la fuerza que actúa sobre la distancia, este queda representado por ||f|| ||v||cosθ, que es el producto escalar.

La figura 28 muestra cómo debe visualiarse el producto escalar, donde un vector se pro- yecta sobre el otro y se multiplican las dos longitudes.

Los dos vectores son −−→

AB y −−→

AC con un ángulo θ entre ellos. La proyección de −−→

AC sobre

−−→AB es−−→

AC⁰, que es igual a−−→

AC cosθ. El producto escalar de−−→

AB y−−→

AC es, por lo tanto

−−→AB ·−−→

AC =

°

−−→AB

°

−−→AC⁰

°

° =

°

−−→AB

°

−−→AC

°

°cosθ Ahora se mostrará que

a · b =°

°a°

°

°b°

°cosθ = xax_b+ yay_b+ zaz_b. Empezando con los dos vectores siguientes

a = xaˆi + yaˆj + zak y b = xˆ bˆi + ybˆj + zbk.ˆ Por lo que

a · b =¡x_aˆi + yaˆj + zakˆ¢ · ¡xbˆi + ybˆj + zbk¢.ˆ

(22)

q

A

B C

C’

AC

AC’

AB

Figura 28

Expandiendo

a · b = xax_bˆi · ˆi+ yay_bˆj · ˆj+ zaz_bk · ˆkˆ

+ xay_bî · ˆj+ xaz_bî · ˆk+ yax_bˆj · î+ yaz_bˆj · ˆk+ zax_bk · î + zˆ ay_bk · ˆj.ˆ (12) Ahora, se descubrirá el significado de î · î, ˆj · ˆj, ˆk · ˆk, î · ˆj, etcétera.

Si se usa la ecuación (11) para evaluar î · î, se tiene que î · î = °°î°

°

°ˆi°

°cos 0° = 1

El resultado es 1 ya que kˆik = 1, y el ángulo entre ambos es 0°, cuyo coseno es 1. Obvia- mente, este reultado se aplica también a ˆj · ˆj y ˆk · ˆk. Todas las demás combinaciones tienen un ángulo de 90° entre los vectores unitarios, así que el coseno es cero. Consecuentemente, todos estos términos se anulan y nos quedamos con

a · b =°

°a°

°

°°b°

°cosθ = xax_b+ yay_b+ zaz_b (13) que es la definición del producto escalar y debe mantenerse en la memoria.

Normalmente, se conoce el valor de θ y la ecuacion (12) se usa para encontrar su valor de acuerdo con

θ = cos⁻¹

µx_ax_b+ yay_b+ zaz_b kakkbk

¶

(14) Nótese que si a yb son vectores unitarios, entonces

θ = cos⁻¹¡x_ax_b+ yay_b+ zaz_b¢ Ejemplo 1

Encuentre el ángulo entre los vectores a y b si

a = ˆi + 2ˆj + 3 ˆk y b = 4ˆi + 5ˆj + 6 ˆk.

Así,

kak =p

1²+ 2²+ 3²=p 14

(23)

y

kbk =p

4²+ 5²+ 6²=p 77 Usando la ecuación (12) se encuentra que

a · b =p 14p

77 cosθ = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 32.

Y, usando la ecuación (13) se obtiene θ = cos⁻¹

µ 32 p14p

77

¶

= 12.9°

Ejemplo 2

Pruebe que los vectores a y b, dados a continuación, son perpendiculares a = ˆi + 3ˆj − 2 ˆk y b = 4ˆi + 2ˆj + 5 ˆk.

Así,

a · b =¡

ˆi +3ˆj−2 ˆk¢·¡4ˆi+2ˆj+5 ˆk¢ = 0.

Puesto que kak > 0 y kbk > 0 y el producto escalar es cero, se puede deducir que el ángulo entre los vectores es 90°, cuyo coseno es cero.

Después de estudiar los ejemplos anteriores, volvamos a la geometría que está detrás del producto escalar.

La figura 28 muestra que

−−→AB ·−−→

AC =°

°

−−→AB°

°

−−→AC°

°cosθ = °°−−→

AB°

°·°

°

−−→AC⁰°

°.

q q’

A

B C

D

C’

AB AD

AC

AC’

Figura 29

Pero la figura 29 introduce un punto D tal que la línea −−−−→

C⁰CD es perpendicular a −−→

AB.

Seguramente la proyección de−−→

AD sobre−−→

AB es−−→

AC⁰, que es igual a la proyección de−−→

AC−−→

AB.

De hecho, todos los puntos sobre una línea perpendicular a otra tendrán una proyección común.

(24)

Por lo tanto,

−−→AB ·−−→

AD =°

°

−−→AB°

°

−−→AD°

°cosθ⁰=°

°

−−→AB°

°

−−→AC⁰°

°.

Esta configuración geométrica se presenta cuando se resuelven algunos problemas. Por ejemplo, con referencia a la figura 30, se puede establecer directamente que

p · v = q · v

simplemente porque p y q tienen proyecciones idénticas sobre v.

p

q v

O

P Q

Figura 30

A continuación echaremos un vistazo al producto vectorial.

El producto vectorial

Nuevamente, antes de definir a este producto, trataremos de anticipar la respuesta. Empe- cemos con los vectores 3D, a y b, los cuales deben estar en algún plano común en el espacio, ver la figura 31.

a b

X Y

Z

Figura 31

Ahora, si se multiplican estos vectores y se crea un tercer vector, es obvio que el vector debe ser paralelo o intersectar al plano común, así, lo que sucede es que el vector es perpendicular al plano común.

(25)

EN el siglo 19, Sir William Rowan Hamilton buscó con afán para descubrir un equivalente a los números complejos en 3D. Dado que en 2D los números complejos se expresan como

q = s + ai

parece razonable conjeturar que un número complejo en 3D tenga la forma q = s + ai + b j

donde i y j son iguales ap

−1. Pero cuando se multiplican dos de tales objetos, crean tér- minos tales como i · i, j · j, i · j y j · i cuyo resultado es −1 para los dos primeros productos, pero los dos últimos productos son un problema, parece no haber solución obvia por lo que Hamilton extendió la notación a

q = s + ai + b j + ck donde I, j y k son iguales a p

−1. Cuando Hamilton multiplicaba estos objetos encontró términos como i · j, j · k y k · i, que también dificultaban la descripción. El 16 de octubre de 1843, pensó en la idea de que i · j = k, j·k = i y k· i = j. También conjeturó que j· i = −k, k· j =

−i e i · k = − j. En ese momento descubrió los cuaterniones, que revelaron los fundamentos de los productos escalar y vectorial. Las i, j y k de Hamilton no son los ˆi, ˆj y ˆk que se usan en las coordenadas Cartesianas, pero existen entre ellas algunas extrañas similaridades. Su producto vectorial sugiere la siguiente manipulación.:

a × b = (yaz_b− ybz_a)ˆi + (zax_b− zbx_a)ˆj + (xay_b− xby_a) ˆk (15) el cual, claramente, es otro vector y resulta ser perpendicular al plano que contiene a a y b.

La ecuación (14) también puede expresarse en forma de determinante

a × b =

¯

¯ y_a z_a y_b z_b

¯

¯ˆi +

¯

¯ z_a x_a z_b x_b

¯

¯ˆj +

¯

¯ x_a y_a x_b y_b

¯

kˆ (16)

y que frecuentemente se presenta como

a × b =

¯

î ˆj kˆ x_a y_a z_a x_b y_b z_b

¯

(17)

que produce el mismo resultado que la ecuación (15) y se recuerda con más facilidad. Debe notarse que el símbolo⁰×⁰se usa para distinguir al producto vectorial del producto escalar y, a veces, se le llama producto cruz.

Este producto se puede expresar de otro modo. Dados

a = xaˆi + yaˆj + zak y b = xˆ bˆi + ybˆj + zbkˆ entonces

a × b = (xaˆi + yaˆj + zak) × (xˆ bˆi + ybˆj + zbk)ˆ que se expande como

a × b = xax_bˆi × ˆi+ yay_bˆj × ˆj+ zaz_bk × ˆkˆ

+ xay_bî × ˆj+ xaz_bî × ˆk+ yax_bˆj × î+ yaz_bˆj × ˆk+ zax_bk × î + zˆ ay_bk × ˆjˆ (18)

(26)

Si se observa cuidadosamente la ecuación (18), se observan características parecidas a las de la ecuación (12). Ahora se desea una regla similar a la de la ecuación (11) para el producto escalar. Así, se puede probar con

a × b =°

°a°

°

°°b°

°sinθ ˆn (19)

donde el vector unitario ˆn es perpendicular a a y b.

Aplicando la ecuacion (19) a la (18), los términos î×î, ˆj×ˆj y ˆk× ˆk se hacen cero, ya que el ángulo entre ellos es 0°, y sin 0°=0. Por lo que

a × b = xay_bî × ˆj+ xaz_bî × ˆk+ yax_bˆj × î+ yaz_bˆj × ˆk+ zax_bk × î + zˆ ay_bk × ˆjˆ Si se invocan las reglas para los cuaterniones aplicadas a los vectores:

ˆi × ˆj = k, ˆj× ˆk = i y ˆk× ˆi = j y sus formas inversas

ˆj × ˆi = −k, ˆk× ˆj = −i y ˆi× ˆk = −j se obtiene

a × b = xay_bk − xˆ az_bˆj − yax_bk + yˆ az_bˆi + zax_bˆj − zay_bˆi que resulta en

a × b = (yaz_b− zay_b)ˆi + (zax_b− xaz_b)ˆj + (xay_b− yax_b) ˆk que es idéntica a la ecuación (15).

Tomando en cuenta la ecuacion (19) de la definición del producto vectorial se puede con- siderar la orientación de n.

Dado que se emplea un sistema de ejes de mano derecha, la mano derecha también determina la orientación de n. Por lo tanto, haciendo referencia a la mano derecha, el pulgar representa a a, el dedo índice representa a b y el dedo medio indica la direccion de n. Resulta conveniente considerar a esta operación como una rotación de a a b y que produce al vector perpendicular n. Como altrernativa también se acostumbra a indicar a a con el dedo índice, a b con el dedo medio y a n con el pulgar, ambas técnicas son representación de la misma operación. Esto se muestra en la figura 32. Debe notarse que el vector producto es sensible al orden de los dos vectores que lo producen. Al intercambiar a los vectores a y b se obtiene

b × a = −n = −°

°b°

°

°°a°

°sinθ ˆn

y se ve que el producto vectorial viola la regla de conmutatividad que sí se cumple con los escalares. De hecho, a × b = −(b × a).

La ecuación (19) no solo determina la longitud de n, también proporciona información acerca de la cerradura del espacio al que pertenecen a y b. Y si se elimina a ˆn del lado derecho de la ecuación se obtiene°

°a°

°

°b°

°sinθ, lo cual nos recuerda a otra fórmula:¹₂ab sinθ, que es el área de un triángulo con lados a y b y un ángulo entre ellos deθ. La figura 33 ilustra esto.

El área de ∆ABC es igual a ¹₂ab sinθ, lo que significa que ab sinθ es igual al áreal del paralelogramo ABCD. Así, cuando se calcula el producto vectorial a × b, el vector perpendi- cular n tiene una longitud cuyo valor es igual al del área del paralelogramo con lados°

°a°

°y

°°b°

°. La figura 34 ilustra esta relación.

(27)

a b

n q

Figura 32

a b

q

A B

C D

Figura 33

Antes de proceder, será útil probar que las fórmulas anteriores son conssitentes, por lo que demostraremos que las unidades vectoriales rectangulares obedecen a estas reglas.

Sustituyendo a y b por ˆi y ˆj en

a × b =

¯

¯ se obtiene

ˆi × ˆj =

¯

î ˆj kˆ 1 0 0 0 1 0

¯

¯ ˆi × ˆj =

¯

¯ 0 0 1 0

¯

¯ˆi +

¯

¯ 0 1 0 0

¯

¯ˆj +

¯

¯ 1 0 0 1

¯

¯ k = ˆkˆ Si ahora se sustituye por ˆj y ˆk se obtiene

ˆj × ˆk =

¯

î ˆj kˆ 0 1 0 0 0 1

¯

¯ ˆj × ˆk =

¯

¯ 1 0 0 1

¯

¯ˆi +

¯

¯ 0 0 1 0

¯

¯ˆj +

¯

¯ 0 1 0 0

¯

¯ k = ˆiˆ

(28)

n = a b sin q

area = a b sin q

q a

b n

Figura 34

Si ahora se sustituye por ˆk y ˆi se obtiene

k × ˆi =ˆ

¯

î ˆj kˆ 0 0 1 1 0 0

¯

¯ k × ˆi =ˆ

¯

¯ 0 1 0 0

¯

¯ˆi +

¯

¯ 1 0 0 1

¯

¯ˆj +

¯

¯ 0 0 1 0

¯

¯ k = ˆj.ˆ

A continuación se mostrará que el producto vectorial no es conmutativo, para lo cual se sustituirá a a por ˆk y a b por ˆj, por lo que

k × ˆj =ˆ

¯

î ˆj kˆ 0 0 1 0 1 0

¯

¯ k × ˆj =ˆ

¯

¯ 0 1 1 0

¯

¯ˆi +

¯

¯ 1 0 0 0

¯

¯ˆj +

¯

¯ 0 0 0 1

¯

k = −ˆi.ˆ lo que confirma que

ˆj × ˆk = − ˆk× ˆj.

Las áreas de los paralelogramos asociados con los ejemplos anteriores valen 1, que es la longiud del vector resultante.

Como un ejemplo adicional, considere el escenario de la figura 35. Los vectores a y b están dados por

a = −j + k y b = i − j.

La tarea consiste en calcular los vectores normales tanto a a como a b. Así

a × ˆb =ˆ

¯

î ˆj kˆ 0 −1 1 1 −1 0

¯

¯ a × ˆb =ˆ

¯

−1 1

−1 0

¯

¯ˆi +

¯

¯ 1 0 0 1

¯

¯ˆj +

¯

¯ 0 −1 1 −1

¯

k = ˆi + ˆj + ˆkˆ

(29)

1

1 1

X Y

Z

a b

n=a b

Figura 35

que es el resultado correcto pero, ¿qué se puede decir del ánguloθ?

θ = cos⁻¹

µx_ax_b+ yay_b+ zaz_b kakkbk

¶

θ = cos⁻¹

µ0 × 1 + (−1) × (−1) + 1 × 0 p2p

2

¶

= 60°.

O bien

θ = sin⁻¹ µ °

°n°

°

°°a°

°

°°b°

°

¶

= sin⁻¹ Ã p

p 3 2p

2

!

= 60°.

Las tres ecuaciones precedentes son correctas, así como el triángulo formado por a y b es un triángulo equilátero.

Las normales a las superficies

Una aplicación importante del prducto de vectores en la computadora es la facilidad con la que se calculan normales a las superficies. Dado un triángulo, es posible usar dos lados cuales quiera del triángulo para el producto vectorial. Sin embargo, se debe conocer la con- vención para definir los vértices de un triángulo y cuál de las caras del triángulo será afuera o adentro. La figura 36 muestra un triángulo donde los vértices están definidos en secuencia antihioraria, visto desde afuera.

Usando la regla de la mano derecha se puede ver que el primer vector tiene que ser −−→

AB seguido de−−→

AC, que asegura que la normal, n, a la superficie apunta en la dirección desde la que se observa al triángulo.

Dado que los vértices son A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B) y C(x_C, y_C, z_C), entonces los vectores

−−→AB y−−→

AC quedan definidos como sigue

−−→AB = (xB− xA)ˆi + (yB− yA)ˆj + (zB− zA) ˆk

−−→AC = (xC− xA)ˆi + (yC− yA)ˆj + (zC− zA) ˆk

(30)

A C

B

q n

AB AC

Figura 36

Por lo tanto,

n =−−→

AB ×−−→

AC =

¯

î ˆj kˆ

x_B− xA y_B− yA z_B− zA

x_C− xA y_C− yA z_C− zA

¯

¯ como se esperaba.

El álgebra de los productos entre vectores

Ahora se consolidarán las reglas algebraicas asociadas con los productos escalar y vectorial.

Las leyes necesarias son: la conmutativa y la distributiva, pero también es necesario confir- mar el papel de los escalares en estos productos.

La ley de la conmutatividad para el producto escalar Dado que

a · b =°

°a°

°

°b°

°cosθ (20)

la ley de la conmutatividad del producto escalar permite que se escriba la ecuación anterior como

a · b =°

°b°

°

°°a°

°cosθ = b · a Por lo tanto

a · b = b · a.

Por lo que la conmutatividad en el producto escalar queda probada.

La ley de la ditributividad para el producto escalar Dados

a = xaî + yaˆj + zakˆ b = xbî + ybˆj + zbkˆ c = xcî + ycˆj + zckˆ entonces

a · (b + c) = (xaî + yaˆj + zak) · [(xˆ bî + ybˆj + zbk) + (xˆ cî + ycˆj + zck)]ˆ

(31)

a · (b + c) = (xaˆi + yaˆj + zak) · [(xˆ b+ xc)ˆi + (yb+ yc)ˆj + (zb+ zc) ˆk)]

a · (b + c) = xa(x_b+ xc) + ya( y_b+ yc) + za(z_b+ zc)

a · (b + c) = xax_b+ xax_c+ yay_b+ yay_c+ zaz_b+ zaz_c) = a · b + a · c Por lo tanto

a · (b + c) = xa(x_b+ xc) + ya( y_b+ yc) + za(z_b+ zc) a · (b + c) = a · b + a · c,

como se esperaba.

La ley de la conmutatividad para el producto vectorial

La ley de la conmutatividad para el producto vectorial no se cumple pues, dado

a × b =

¯

¯ a × b =

¯

¯ y_a z_a y_b z_b

¯

¯ˆi +

¯

¯ z_a x_a z_b x_b

¯

¯ˆj +

¯

¯ x_a y_a x_b y_b

¯

¯ kˆ

a × b = (yaz_b− ybz_a)ˆi + (zax_b− zbx_a)ˆj + (xay_b− xby_a) ˆk.

En contraste

b × a =

¯

î ˆj kˆ x_b y_b z_b x_a y_a z_a

¯

¯ b × a =

¯

¯ y_b z_b y_a z_a

¯

¯ˆi +

¯

¯ z_b x_b z_a x_a

¯

¯ˆj +

¯

¯ x_b y_b x_a y_a

¯

¯ kˆ

b × a = (ybz_a− yaz_b)ˆi + (zbx_a− zax_b)ˆj + (xby_a− xay_b) ˆk b × a = −(yaz_b− ybz_a)ˆi − (zax_b− zbx_a)ˆj − (xay_b− xby_a) ˆk = −a × b Por lo tanto

b × a = −a × b

y la ley de la conmutatividad no se cumple, como quedó demostrado.

La ley de la distributividad para el producto vectorial Dados

a = xaî + yaˆj + zakˆ b = xbî + ybˆj + zbkˆ c = xcî + ycˆj + zckˆ y

d = b + c = xdˆi + ydˆj + zdk,ˆ

(32)

entonces

a × (b + c) = a × d =

¯

î ˆj kˆ x_a y_a z_a x_d y_d z_d

¯

¯ a × d =

¯

y_a z_a y_d z_d

¯

¯ˆi +

¯

¯ z_a x_a z_d x_d

¯

¯ˆj +

¯

¯ x_a y_a x_d y_d

¯

¯ kˆ y sustituyendo b+c por d se obtiene

a × (b + c) =

¯

y_a z_a y_b+ yc z_b+ zc

¯

¯ˆi +

¯

z_a x_a z_b+ zc x_b+ xc

¯

¯ˆj +

¯

x_a y_a x_b+ xc y_b+ yc

¯

¯ kˆ

a × (b + c) = [ya(z_b+ zc) − za( y_b+ yc)]î + [za(x_b+ xc) − xa(z_b+ zc)]ˆj + [xa( y_b+ yc) − ya(x_b+ xc)] ˆk a × (b + c) =(yaz_b− ybz_a)î + (yaz_c− ycz_a)î+

(z_ax_b− zbx_a)ˆj + (zax_c− zcx_a)ˆj+

(x_ay_b− xby_a) ˆk + (xay_c− xcy_a) ˆk a × (b + c) = a × b + a × c

como quería demostrarse.

Los productos triples

Ya estudiados los productos que involucran a dos vectores, se estudiará ahora a los productos que involucran a tres vectores. Un enfoque interesante consiste en considerar a tres vectores, a, b y c, y explorar las combinaciones usando⁰·⁰ y ⁰×⁰ sin cambiar el orden alfaético de los nombres de los vectores, como se muestra en la Tabla 3:

Tabla 3

a · (b × c) a × (b · c) (a × b) · c) (a · b) × c) a × (b × c) a · (b · c) (a × b) × c) (a · b) · c

No todas las combinaciones de la tabla anterior conducen a resultados con algún significado y por ello se colocaron en la segunda columna. Los productos que se muestran en la primera columnasi tienen un significado que se describirá a continuación.

El triple producto escalar

La figura 37 muestra tres vectores, a, b y c que forman la base de un prisma en el que el área de la base está dada por Area =°

°a°

°

°°b°

°sinθ. Pero n = a × b, donde °°n°° = Area. Ahora, el volumen de un prisma es el producto (altura vertical)·(área de la base), que en notación vectorial está dado por

V olumen = (°

°c°

°cosα) · (°°n°°) = °°c°° · °°n°°cosα