INSTITUCION EDUCATIVA ALTOS DE LA SABANA Aprobada Mediante Resolución N° 0515 de 2019
NIT: 901051309-7. DANE: 170001800003 Sincelejo - Sucre
Guía didáctica N° 1 Matemática 5° segundo periodo
I- IDENTIFICACIÓN
Área: Matemática Grado: 5° A, B, C y D. Docente: Eduar Miguel Gómez Guerra, Gertrudis Pimienta Gómez, Joselyn Lorduy Manjarrez y José Alfredo Jiménez Mora. Fecha:12 de abril al 7 de mayo de 2.021
II- COMPETENCIA(S)
Plantea y resuelve situaciones problemas reales aplicando los conceptos de múltiplos y divisores. Clasifica los números según sus divisores en primos y compuestos.
Comparar y clasificar figuras bidimensionales teniendo en cuenta sus propiedades, relaciones y dimensiones para resolver situaciones problemas reales.
Plantea y resuelve situaciones problemas reales aplicando los conceptos, definiciones y las operaciones con fracciones.
Interpreta las fracciones en diferentes contextos y usa diversas estrategias para resolver situaciones problemas reales.
Registro datos utilizando tablas, gráficos y diagramas y los utilizo en proyectos tecnológicos. III- EJES TEMÁTICOS
Operaciones entre números naturales. Figuras bidimensionales.
La fracción, sus propiedades y operaciones. Análisis de datos estadísticos.
IV- CONCEPTUALIZACIÓN
Múltiplos y mínimo común múltiplo (m.c.m).
Los múltiplos de un número son los productos que se obtienen al multiplicar ese número por los números naturales.
Ejemplo:
Múltiplos de 3: M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, …}
Cuando se hallan los múltiplos de dos o más números, al menor de los múltiplos que tengan en común, diferente de cero, se le llama mínimo común múltiplo. Se simboliza m.c.m.
Ejemplo:
Veamos cuál es el menor de los múltiplos comunes entre 3 y 4. M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18,24 …}
M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24,28, 32 …}
El conjunto de los múltiplos comunes de 3 y 4 es la intersección de estos dos conjuntos: M3 ∩ M4 = { 12, 24…}. Observa que el menor de los múltiplos comunes entre 3y 4 es 12. Entonces, m.c.m. (3,4) = 12.
Divisores y m.c.d.
Un número es divisor de otro, si está contenido en él una cantidad exacta de veces. Es decir, si lo divide exactamente. Ejemplos:
Hallar los divisores de 36, 48 y 63. Solución:
D36 ={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
D48 ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} D63 ={1, 3, 7, 9, 21, 63}
Criterios de divisibilidad.
Los criterios de divisibilidad son características que cumplen los números y que permiten conocer, por simple inspección, si un número es divisible por otro.
máximo común divisor m.c.m
Se llama máximo común divisor al mayor de los divisores comunes de dos o más números, Ejemplos: Hallar el MCD de 12 y 18
D
(
12
)
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
12
D
(
18
)
1
,
2
,
3
,
6
,
9
,
18
Divisores
Comunes
1
,
2
,
3
,
6
MCD = 6Números en primos y compuestos.
Vamos a utilizar el concepto de ‘divisores’ para clasificar los números en primos y compuestos.
1
)
1
(
D
D
(
2
)
1
,
2
1
,
3
)
3
(
D
D
(
4
)
1
,
2
,
4
1
,
5
)
5
(
D
D
(
6
)
1
,
2
,
3
,
6
1
,
7
)
7
(
D
D
(
8
)
1
,
2
,
4
,
8
Hallar el MCD de 30 y 75
1
,
2
,
3
,
5
,
6
,
10
,
15
,
30
)
30
(
D
D
(
75
)
1
,
3
,
5
,
15
,
25
,
75
1
,
3
,
5
,
15
Comunes
Divisores
MCD = 15 Hallar el MCD de 8, 12 y 16D
(
8
)
1
,
2
,
4
,
8
D
(
12
)
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
12
D
(
16
)
1
,
2
,
4
,
8
,
16
1
,
2
,
4
Comunes
Divisores
MCD = 4 Divisibilidad por 2Un número es divisible por 2 cuando termina en un dígito par (0, 2, 4, 6, 8). Ejemplos:
20, 48, 134, 792, …
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es divisible por 3. Ejemplos:
378 es divisible por 3 porque 3 + 7 + 8 = 18 y 18 es divisible por 3.
1.236 es divisible por 3 porque 1 + 2 + 3 + 6 = 12 y 12 es divisible por 3.
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 cuando termina en doble cero (00), o sus dos últimas cifras forman un número divisible por 4. Ejemplos:
200, porque termina en 00. 540, porque 40 es divisible por 4 6.784, porque 84 es divisible por 4
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco. Ejemplos: 25, 40, 775, 500, …
Divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplos:
42 es divisible por 6 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez. 64 no es divisible por 6 porque no es divisible por 3.
246 es divisible por 6 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.
Divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9 Ejemplos:
378 es divisible por 9 porque 3 + 7 + 8 = 18 y 18 es divisible por 9. 855 es divisible por 9 porque 8 + 5 + 5 = 18 y 18 es divisible por 9. 62.586 es divisible por 9 porque 6+2+5+ 8 + 6 = 27 y 27 es divisible por 9.
Divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10, cuando termina en cero. Ejemplos: 100, 450, 7.830, …
9 , 3 , 1 ) 9 ( D
10 , 5 , 2 , 1 ) 10 ( DSe observa que el 1 tiene un solo divisor; hay números que tienen dos divisores y otros que tienen tres o más divisores.
Un número es primo cuando tiene exactamente dos divisores: 1 y el mismo número. Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Si un número tiene más de dos divisores se llama compuesto Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12,…
NOTA DE INTERÉS
El número 1, ni es primo ni es compuesto. El número 2, es el único número primo par. Criba de Erastóstenes
Para hallar los números primos, el astrónomo, filósofo y matemático griego Eratóstenes ideó un método conocido como la ‘Criba de Eratóstenes’.
Para hallar la lista de los números primos desde 1 hasta un número dado, se escribe la serie natural de los números desde la unidad hasta dicho número.
Hecho lo anterior, tachamos el 1, que no es primo; el 2 se deja, por ser primo y se tachan todos los números siguientes que sean divisibles por 2; el 3 se deja, por ser primo, pero se tachan todos los números siguientes que sean divisibles por 3; el 5 se deja, ya que es primo, y se tachan todos los números siguientes que sean divisibles por 5, y así sucesivamente, hasta encontrar un número primo cuyo ‘cuadrado supere al último número de la serie’. Los números primos son los que quedan en la tabla sin tachar. Ejemplo: Hallar todos los números primos que hay hasta 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Se concluye que hasta el 100, hay 25 números primos. Pero éstos son infinitos, aunque sean cada vez más escasos a medida que se avanza hacia números más grandes.
Descomposición de un número compuesto en factores primos.
Un número compuesto se puede descomponer como ‘un producto de números primos’ de forma única (sin tener en cuenta el orden de los factores).
Para ello, se va dividiendo el número dado entre cada uno de los números primos {2, 3, 5, 7, …} hasta llegar a la unidad. Para saber si el número es divisible por 2, 3 y 5 utilizamos los criterios de divisibilidad.
Ejemplos:
1. Descomponer en factores primos el número 12.
12 2
6 2 12 = 2 x 2 x 3 = 2
2x 3
3 3
1
2. Descomponer en factores primos el número el número 28
28 2
14 2 28 = 2 x 2 x 7 = 2
2x 7
7 7
1
Descomposición en factores primos para calcular el m.c.m
Se descomponen ‘en forma simultánea’ los números dados tomando los divisores comunes y no comunes. El producto de los divisores hallados es el mcm. Ejemplo:
Hallar el m.c.m de 16, 12 y 20
16 12 20 2
8 6 10 2
4 3 5 2
2 - - 2
1 - - 3
1 - 5
1
Descomposición en factores primos para calcular el m.c.d.
Se descomponen ‘en forma simultánea’ los números dados tomando sólo los divisores comunes. El producto de los divisores hallados es el mcd. Ejemplo:
Hallar el m.c.d de 72 y 63
72 63 3
24 21 3
8 7
m.c.d
= 3 x 3 =9
Las fracciones y sus términos.
Una fracción indica la relación que existe entre cierta cantidad de partes iguales y el total de partes iguales que constituyen una unidad o conjunto.
Una fracción se escribe de la siguiente forma: b a
donde a y b son números Naturales, b≠ 0. Los términos de una fracción tienen un nombre y un significado específico.
b
a
Cuando la unidad se divide en ‘dos partes iguales’ cada parte recibe el nombre de “un medio”.
Si se divide en ‘tres partes iguales’ cada parte recibe el nombre de “un tercio”.
Si se divide en ‘cuatro partes iguales’ cada parte recibe el nombre de “un cuarto”, y así sucesivamente. Ejemplos: 11 3 , se lee: 3 onceavos 24 5
, se lee: 5 veinticuatro avos
140
12
, se lee: 12 ciento cuarenta avos
100 3 , se lee: 3 centésimas, 000 . 1 9 , se lee: 9 milésimas, 000 . 10 25 , se lee: 25 diezmilésimas, … Fracción propia e impropia.
Una fracción es propia cuando ‘el numerador es menor que el denominador’. Ejemplos: a) 8 7 porque 7 < 8 b) 5 3 porque 3 < 5
Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: a) 7 15 porque 15 > 7 b) 3 4 porque 4 > 3
Un número mixto consta de una ‘parte entera’ y una ‘parte fraccionaria’.
Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador. El cociente es la parte entera. La parte fraccionaria se forma tomando ‘el residuo sobre el divisor’.
Ejemplos:
NUMERADOR: Indica cuántas de las partes se han tomado o separado. DENOMINADOR: Indica las partes iguales en que se divide la unidad
Cuando el denominador es mayor que 10, se lee el número agregando la terminación “avos”.
Cuando el denominador es 100, 1.000, 10.000, … no se le agrega la terminación avos, sino que se leen como se indica a continuación:
1
2
Toda fracción impropia se puede escribir como una expresión mixta y viceversa.
a) 331 3 10 10 3 b) 87 2 8 23 23 8
Un número mixto se puede expresar como una fracción impropia. Observa cómo se expresa el número mixto 74
2
como fracción impropia.
Paso 1. Multiplica el número natural del número mixto (parte entera) por el denominador de la fracción
propia.
2 x 7 = 14
Paso 2. Al resultado obtenido en el paso 1, súmale el numerador de la fracción propia.
14 + 4 = 18
Paso 3. Escribe la fracción impropia: En el numerador escribe el resultado que obtuviste en el paso 2 y
como denominador deja el mismo del número mixto.
7 4
2
=
187A continuación se presenta el concepto de fracción equivalente, complificación y simplificación de fracciones; posteriormente aprenderás a comparar fracciones y determinar la relación de orden en ellas. ¡ADELANTE!
FRACCIÓN EQUIVALENTE:
Dos o más fracciones que representan la misma parte de la unidad, se denominan FRACCIONES EQUIVLENTES. 1. Las fracciones 3 1 y 6 2
son equivalentes porque representan la misma parte de la unidad. Observa!
3 1 6 2
Para comprobar numéricamente que las fracciones
3 1
y
6 2
son equivalentes, sigue los siguientes pasos:
Paso 1: Multiplica los términos de las fracciones en cruz.
3
1
6
2
Paso 2: Comprueba que los resultados son iguales. Si lo son, las fracciones son equivalentes. 1 x 6 = 6 y 3 x 2 = 6 En este caso, las fracciones son equivalentes. Entonces
3 1 = 6 2 COMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
1. Felipe y Sara debe deben escribir fracciones equivalentes a
20 12
para su tarea de matemáticas. Observa el procedimiento que realizó cada uno:
3 1
2 7
7 4 Felipe Sara X 2 ÷ 2 20 12 = 40 24 20 12 = 10 6 X 2 ÷ 2
2. Felipe realizó una complificación por 2 y Sara realizó una simplificación por dos.
3. ¿Cómo se reduce una fracción a su mínima expresión?
Una fracción está reducida a su mínima expresión si el único divisor común entre el numerador y el denominador es 1. Para reducir una fracción a su mínima expresión se realizan los siguientes pasos: Paso 1: Se calcula el m.c.d. entre el numerador y el denominador de la fracción dada.
21
12
m.c.d. (12, 21) = 3
Paso 2: Se divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor obtenido. 12 ÷ 3 = 4 Por tanto, la fracción reducida
21 ÷ 3 = 7 a su mínima expresión es
COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR Y CON IGUAL NUMERADOR Dos o más fracciones se pueden comparar para establecer cuál es mayor. Cuál es menor o si son iguales.
Para comparar dos o más fracciones se debe tener en cuenta si éstas tienen igual denominador o igual numerador.
COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON DENOMINADORES Y NUMERADORES DIFERENTES
En situaciones donde se requiere comparar fracciones que tienen denominadores y numeradores diferentes, se buscan fracciones equivalentes con denominadores iguales.
La complificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número.
x 3 5 2 = 15 6 x 3
La Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número.
÷ 5 20 10 = 4 2 ÷ 5
FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR Si las fracciones tienen denominadores iguales, es mayor la que tiene el numerador mayor. 5 8 es mayor que 5 3 5 8 > 5 3
FRACCIONES CON IGUAL NUMERADOR Si las fracciones tienen numeradores iguales, es mayor la que tiene el denominador menor.
7
6
es mayor que11
6
7
6
>11
6
Para comparar las fracciones 10 6 y 8 5
puedes usar cualquiera de los siguientes procedimientos:
Procedimiento 1: multiplicar en cruz. Paso 1: Multiplica los términos de las fracciones en cruz.
8 5 10 6 6 x 8 = 48 y 10 x 5 = 50
Paso 2: Compara los resultados. El numerador con el que obtuviste el producto mayor corresponde a la fracción mayor. Como 50 > 48 entonces
8
5
>
10
6
Procedimiento 2: Hallar el m.c.m. de los denominadores.
Paso 1: Hallar el m.c.m. de los denominadores de las dos fracciones: m.c.m (10, 8) = 40
Paso 2: Complifica cada fracción. Debes tener en cuenta que el denominador en cada una debe ser el m.c.m. calculado. x 4 x 5
10
6
=40
24
8
5
=40
25
x 4 x 5Paso 3: Compara las fracciones equivalentes resultantes. Como tienen igual denominador, es mayor la que tiene el mayor numerador. 40 25 > 40 24 entonces 8 5 > 10 6 Polígonos.
Un polígono es una figura plana cerrada, delimitada por segmentos de recta que se intersecan en sus extremos. Los elementos de un polígono son vértices, lados, ángulos y diagonales.
Los polígonos se pueden clasificar en regulares o irregulares, según la medida de sus ángulos y sus lados
Un polígono es regular si cumple una de las siguientes condiciones:
1. Que todos sus lados tengan la misma medida. 2. Que todos sus ángulos internos tengan la misma
medida.
Un polígono es irregular si cumple al menos una de las siguientes condiciones:
1. Que al menos uno de sus lados tenga una medida distinta a la de los demás.
2. Que al menos uno de sus ángulos internos tenga una medida distinta a la de los demás.
Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados, tres vértices y tres ángulos. En cualquier triángulo se puede identificar su base y su altura.
Base. Es cualquiera de sus lados. Por eso se dice que cualquier triángulo tiene tres bases.
Altura. Es un segmento perpendicular a la base o a su
prolongación, trazado desde el vértice opuesto. Todo triángulo tiene tres alturas.
Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados o la medida de sus ángulos.
Cuadriláteros.
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices.
De acuerdo con sus características, los cuadriláteros se pueden clasificar en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramos. Tienen dos pares de lados opuestos paralelos y con la misma medida.
Cuadrado. Tiene cuatro ángulos rectos y cuatro lados con la misma medida. Rectángulo. Tiene cuatro ángulos rectos.
Rombo. Tiene cuatro lados con la misma medida. Romboide. No es rectángulo ni rombo
Trapecios. Tiene dos lados paralelos pero no tienen la misma medida.
Tabla de frecuencias.
Una tabla en la que aparecen los datos recopilados y la cantidad de veces que se repite cada uno, se denomina Tabla de frecuencias. La frecuencia es la cantidad de veces que se repite un dato.
Ejemplo.
En una encuesta se preguntó a 20 estudiantes por la profesión que quieren desempeñar. Observa los datos recolectados.
Futbolista – cantante – médico – pintor – pintor – periodista – futbolista – periodista – médico – periodista – profesor – pintor – pintor – futbolista – médico – futbolista – cantante – pintor – periodista – futbolista. Estos datos se pueden ubicar en una tabla de frecuencias, escribiendo cuantas veces se repite cada dato.
Profesión Futbolista Cantante Médico Pintor Periodista Profesor
Frecuencia 5 2 3 5 4 1
La frecuencia del dato futbolista es 5, lo que quiere decir que 5 estudiantes contestaron que querían ser futbolistas.
La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato.
La frecuencia relativa es la relación entre el número de veces que se repite un dato y el total de datos. Esta relación se puede representar mediante una fracción. Ejemplo.
En la siguiente tabla de frecuencias se registra el sabor de helado preferido de varias personas de una misma familia.
Sabor Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Vainilla 4 1 Chocolate 3 1 Fresa 2 2 1 Frambuesa 1 1 1 TOTAL 10 1 V- ACTIVIDADES EVALUATIVAS
SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA.
1. En una bodega, se empacan los huevos en bandejas de 16 unidades y se envían a los almacenes en cajas de 4 bandejas. ¿Cuántos huevos se envían en una caja?
2. En la tabla se muestra el nombre del estudiante, la actividad que el docente de matemática le asignó a cada estudiante y la respectiva respuesta de cada estudiante.
Nombre del estudiante Actividad asignada Respuesta del estudiante Fabiana Escribir cinco múltiplos de 4 M4 = {12, 20, 28,32, 66}
Luis Escribir cinco múltiplos de 7 M7 = {14, 28, 42, 56, 63} Andrea Escribir cinco múltiplos de 6 M6 = {18, 24, 36, 48, 54} Camilo Escribir cinco múltiplos de 8 M8 = {16, 24, 32, 40, 76} Lucía Escribir cinco múltiplos de 2 M2 = {16, 24, 32, 40, 76} Los estudiantes que presentaron error al escribir los múltiplos del respectivo número son:
A. Lucía y Luis. B. Andrea y Lucía. C. Luis y Andrea. D. Camilo y Fabiana. 3. En la tabla, observa la
cantidad de latas derribadas en un juego, en el que se hicieron 6 lanzamientos.
¿Cuál es el número más frecuente de latas derribadas en el juego?
A. 5 latas B. 6 latas C. 8 latas D. 9 latas
4. Una empresa construye 8 apartamentos en cada edificio. ¿Cuál tabla muestra correctamente el número total de apartamentos, si se construyen 2, 3 u 8 edificios?
A.
5. En una fábrica de jugos llenan botellas y las colocan en cajas, cada una con el mismo número de botellas. La tabla presenta información sobre el número de botellas que contienen 5, 8 y 11 cajas.
6. Observa en la figura la ruleta de un juego.
¿Cuál de los siguientes números fraccionarios representa la parte sombreada de la ruleta?
A.
B.
C.
D.
Lanzamiento Número de latas derribadas
Primero 8 latas Segundo 5 latas Tercero 9 latas Cuarto 5 latas Quinto 5 latas Sexto 6 latas Número de edificios Número de apartamentos 2 16 3 32 8 64 Número de edificios Número de apartamentos 2 8 3 16 8 32 Número de edificios Número de apartamentos 2 8 3 16 8 24 Número de edificios Número de apartamentos 2 16 3 24 8 64
Número de cajas Número de botellas
5 30 8 48 11 66 . . . . . . B. C. D.
¿Cuántas botellas de jugo hay en cada caja? A. 1
B. 6 C. 18 D. 30
7. Juana quiere inflar 36 globos para una fiesta. Si le pide ayuda a otras personas, la distribución de globos a inflar queda así:
Si le pide ayuda a 9 personas, ¿cuántos globos debe inflar cada persona que le ayuda? A. 4 B. 9 C. 15 D. 18
8. Daniela invitó 80 amigos a su fiesta de cumpleaños. Ella cree que solo asistirá a la fiesta la cuarta parte de ellos. Según Daniela, ¿cuántos amigos llegarán a su fiesta?
A. Llegarán 4 amigos a su fiesta. B. Llegarán 20 amigos a su fiesta. C. Llegarán 40 amigos a su fiesta. B. Llegarán 60 amigos a su fiesta.
9. Un albañil organizó algunos ladrillos y tiene grises y los restantes blancos. ¿Cuál de las siguientes opciones representa correctamente la situación?
A. B.
C. D.
10. ¿En cuál de los cuadros va el signo < ?.
a) 9 4 8 3 b) 12 5 3 2 c) 3 1 9 2 d) 10 7 5 2 Cantidad de personas
Globos para inflar por persona
36 12 6 3
VI- BIBLIOGRAFIA
Componente de matemáticas 5. Editorial libros y Libros
Proyecto Educativo siglo XXI Matemáticas 5 Editorial Santillana. Secuencias en matemáticas 5 Editorial libros y Libros
Hoja de respuesta Guía didáctica N° 1 Matemática 5° segundo periodo Estudiante: _______________________________________________ Grado y grupo: __________ |
