C´alculo I. 1o Matem´aticas. Curso 2002/2003. C´alculo de Primitivas
1
Repaso
1.-Z (5x−6)12 dx= 1 5 Z (5x−6)12 ·5dx= 1 5 2 3(5x−6) 3 2 +C.Nota: Si f(x) = 5x−6 su derivada es 5. En la primera igualdad multiplicamos y dividimos por 5. As´ı tenemos una integral del tipo
Z f(x)12 ·f0(x)dx, que es inmediata: Z x12 dx= 1 1 2 + 1 x12+1+C= 2 3x 3 2 +C. 2.-Z 8x2 (x3+ 1)2 dx= 8 3 Z (x3+ 1)−2·3x2dx =−8 3(x 3 + 1)−1+C =−8 3 1 (x3+ 1) +C. Nota: Si f(x) = x3+ 1 su derivada es 3x2. La integral queda del tipo
Z f(x)−2·f0(x)dx, que es inmediata: Z x−2dx =−x−1+C = −1 x +C. 3.-Z senx cos5xdx= (−1) Z (cosx)−5(−senx)dx= 1 4(cosx) −4 +C = 1 4 cos4x +C. Nota: Es de la forma Z f(x)−5·f0(x)dx=−1 4f(x) −4
+C. ¿Qui´enes sonf,f0?.
4.-Z
senx cosx dx= 1 2 sen
2x+C.
Nota: f(x) = senx, f0(x) = cosx,
Z x dx= x 2 2 +C. 5.-Z x−34 (x 1 4 + 1)−2dx= 4 Z 1 4x −3 4 (x 1 4 + 1)−2dx = −4 x14 + 1 +C.
Nota: ¿Qui´enes sonf(x) y f0(x)?.
6.-Z r √ r2+ 16dr= Z 2r 2√r2+ 16dr= √ r2 + 16 +C.
Nota: Una primitiva de f
0(x)
2pf(x) es
p
7.-Z cos(2π x−1)dx= 1 2π Z cos(2π x−1)·2π dx= 1 2π sen(2π x−1) +C.
Nota: Una primitiva de cos(f(x))·f0(x) es sen(f(x)).
8.-Z x sen3 x2 cosx2dx= 1 2 Z (senx2)3·cos(x2)·2x dx= 1 8(senx 2)4+C.
Nota: ¿De d´onde sale 18?
9.-Z x senx2dx= 1 2 Z senx2·2x dx =−1 2 cosx 2+C.
Nota: ¿Qui´enes sonf(x) y f0(x)?.
10.-Z
sen2x cosx dx= sen
3x
3 +C.
Nota: Es del tipo
Z f(x)2·f0(x)dx. 11.-Z secx tanx dx=− Z −senx cos2x dx= (cosx) −1 +C.
Nota: Ver la nota de 2.
12.-Z g(x)·g0(x) p 1 +g(x)2 dx= 1 2 Z (1 +g(x)2)−12 2g(x)·g0(x)dx= (1 +g(x)2) 1 2 +C.
Nota: Es del tipo
Z f(x)−12 f0(x)dx. 13.-Z x (3−x2)2 dx=− 1 2 Z (3−x2)−2(−2x)dx=−1 2 (3−x2)−1 −1 +C.
Nota: Es del tipo
Z f(x)−2·f0(x)dx. 14.-Z x 3−x2 dx=− 1 2 Z −2x 3−x2dx =− 1 2 log|3−x 2| +C.
Nota: Es del tipo
Z f0(x) f(x) dx= log|f(x)|+C. 15.-Z log(x+a) x+a dx= Z log(x+a) 1 x+adx= 1 2(log(x+a)) 2 +C.
Nota: ¿Qui´enes sonf y f0?.
16.-Z x 1 x2−a − 1 (x2−b)2 dx = 1 2 Z 2x x2−adx− 1 2 Z (x2 −b)−22x dx = 1 2 log|x 2−a|+ 1 2(x 2−b)−1 +C.
17.-Z √x 1 +x√xdx= 2 3 Z 1 +x32−1 3 2x 1 2 dx = 2 3 log 1 +x 3 2+C.
Nota: Es del mismo tipo que 14.
18.-Z e2xdx= 1 2 Z e2x2dx= 1 2e 2x+C.
Nota: Es del tipo
Z ef(x)·f0(x)dx=ef(x)+C. 19.-Z etan(3x) sec2(3x)dx= 1 3e tan(3x) +C.
Nota: Es del tipo anterior. ¿Qui´en es f(x)?. ¿De d´onde sale el 3?.
20.-Z x ea x2 1 +ea x2 dx= 1 2a Z 1 +ea x2−1 2a x ea x2dx= 1 2a log 1 +e a x2 +C. 21.-Z a+b√y+ 1 2 √ y+ 1 dy= 2 b Z a+bpy+ 1 2 b 2√y+ 1dy = 2 b 1 3 a+b p y+ 1 3+C. 22.-Z x sec2x2dx = 1 2 Z (secx2)22x dx= 1 2tanx 2+C.
Nota: Una primitiva de sec2(f(x))·f0(x) es tan(f(x)).
23.-Z √ 1 + cotanx cosec2x dx=− Z (1+cotanx)12 (−cosec2x)dx=−2 3(1+cotanx) 3 2+C.
Nota: Es del tipo
Z
f(x)12 f0(x)dx.
24.-Z sec2x
1 + tanxdx= log|1 + tanx|+C.
Nota: Ver nota de 14. ¿Qui´enes son f, f0?.
25.-Z
x2 sen(4x3−7)dx= −1
12 cos(4x
3−7) +C.
Nota: ¿De donde sale −112?.
26.-Z tan(logx) x dx=− Z 1 cos(logx)(−sen(logx)) 1 xdx=−log|cos(logx)|+C.
Nota: Una primitiva de f
0(x)
f(x) es log|f(x)|. ¿Qui´enes son f, f
2
Cambio de variable
Integral indeterminada:Z
f(φ(x))·φ0(x)dx=
Z
f(t)dt, usando el cambio de variable
t = φ(x) dt = φ0(x)dx Integral determinada: Z b a f(φ(x))·φ0(x)dx= Z φ(b) φ(a)
f(t)dt, usando el cambio de variable
t = φ(x) dt = φ0(x)dx 1.- Calcular Z ex 1 +e2xdx.
Usando el cambio de variable
t =ex=⇒dt=exdx, obtenemos Z ex 1 +e2x dx= Z dt 1 +t2 = arctant+C = arctan(e x ) +C. 2.- Calcular Z a 0 ypa2−y2dy. Sea t=a2−y2. Entonces,
t=a2−y2 =⇒dt =−2y dy. Adem´as,
y = 0 ; t = a2 y = a ; t = 0. As´ı, Z a 0 ypa2−y2dy= Z a 0 p a2 −y2 y dy= Z 0 a2 √ t −dt 2 = 1 2 Z a2 0 √ t dt= 1 2 t32 3 2 t=a2 t=0 = a 3 3 . 3.- Calcular Z 1 0 x5√1−x2dx. Poniendot = 1−x2, se obtiene dt=−2x dx y x = 0 ; t = 1 x = 1 ; t = 0. De este modo, Z 1 0 x5√1−x2dx = Z 1 0 (x2)2√1−x2 x dx= Z 0 1 (1−t)2√t −dt 2 = 1 2 Z 1 0 (1−2t+t2)t12 dt= 1 2 Z 1 0 (t12 −2t 3 2 +t 5 2)dt = 1 2 " t32 3 2 −2t 5 2 5 2 +t 7 2 7 2 #1 0 =. . .= 8 105.
4.- Calcular
Z
x3(x2−1)73dx.
Usamos el cambio de variablest =x2−1. De esta forma, dt = 2x dx y Z x3(x2−1)73dx = Z x2(x2 −1)73x dx= 1 2 Z (t+ 1)t73dt= 1 2 Z (t74+t73)dt = 1 2 t75 75 + t74 74 +C = 1 2 (x2−1)75 75 + (x2−1)74 74 +C.
3
Integraci´
on por partes
Z u dv=u v− Z v du. 1.- Calcular Z x exdx. Tomando u = x ; du =dx dv = exdx ; v =ex se sigue que Z x exdx=x ex− Z exdx=x ex−ex+C. 2.- Calcular Z e 1 x logx dx.Definimos las partes
u = logx ; du = 1 xdx dv = x dx ; v = x 2 2 . As´ı Z e 1 x logx dx= logxx 2 2 e 1 − Z e 1 x2 2 1 xdx= e2 2 − x2 4 e 1 = e 2 + 1 4 . 3.- Calcular Z logx dx.
Usamos las partes
u = logx ; du = 1 xdx dv = dx ; v = x. De esta forma, Z logx dx=x logx− Z x1 xdx=x logx−x+C.
4.- Calcular de igual forma,
Z
arctanx dx,
Z
5.- Calcular Z √ π 0 x5 sen(x2).
Hacemos primero el cambio de variablet =x2, y esta integral se convierte en
Z √ π 0 x5 senx2 = 1 2 Z π 0 t2 sent dt.
Para calcular ahora la integral se usan las partes:
u = t2 ; du = 2t dt dv = sent dt ; v = −cost. Entonces, 1 2 Z π 0 t2 sent dt= 1 2 t2(−cost)π0 − Z π 0 (−cost) 2t dt= π 2 2 + Z π 0 t cost dt.
De nuevo hay que integrar por partes: u =t, dv= cost dt y se tiene du =dt, v = sent. De esta forma Z √ π 0 x5 senx2 = π 2 2 + t sentπ0 − Z π 0 sent dt= π 2 2 + 0 + costπ0 = π 2 2 −2. 6.- Calcular Z ex senx dx.
Usamos las partes u= senx, dv=exdx:
Z
ex senx dx=ex senx−
Z
ex cosx.
Volvemos a integrar por partes, pero ahora conu= cosx, dv=exdx: Z
ex senx dx=ex senx−
Z
ex cosx=ex senx−ex cosx−
Z
ex senx dx.
Obs´ervese c´omo la integral que queremos calcular aparece de nuevo en el lado derecho. Si la pasamos al lado izquierdo se obtiene
2
Z
ex senx dx=ex(senx−cosx),
y por tanto
Z
ex senx dx = 1 2e
x(senx−cosx) +C.
4
Funciones racionales. Fracciones simples
Dada una funci´on racional (cociente de polinomios)
P(x)
Q(x)
(i) Dividir si gr(P)≥gr(Q), para obtener
P(x)
Q(x) = (un polinomio) +
P1(x)
Q(x), con gr(P1)<gr(Q).
(ii) Factorizar el denominador en factores de la forma
(px+q)n, y (ax2+bx+c)m,
donde ax2+bx+c no tiene ra´ıces reales (b2−4ac <0).
(iii) Factores lineales. Por cada factor de la forma (px+q)n, la descomposici´on en factores
simples debe incluir la suma de n fracciones:
A1 (px+q) + A2 (px+q)2 +. . .+ An (px+q)n.
(iv) Factores cuadr´aticos. por cada factor de la forma (ax2+bx+c)m, la descomposici´on
en factores simples debe incluir la suma de m fracciones:
B1x+C1 (ax2+bx+c) + B2x+C2 (ax2+bx+c)2 +. . .+ Bmx+Cm (ax2+bx+c)m.
Por ejemplo, si N(x) es un polinomio de grado menor que 5, la funci´on racional
N(x)
x5+x4−x−1
tendr´a una descomposici´on en fracciones simples de la forma:
N(x) x5+x4−x−1 = N(x) (x−1)(x+ 1)2(x2+ 1) = A x−1+ B x+ 1 + C (x+ 1)2 + Dx+E x2+ 1 .
Los coeficientes A, B, C, D y E quedar´an determinados al conocer N(x).
1.-Z 1 x2−5x+ 6dx Comox2+ 5x+ 6 = (x−3) (x−2), escribimos 1 x2−5x+ 6 = A x−3+ B x−2
Para determinarA y B de forma que la igualdad sea v´alida para todo x, multiplicamos esta ecuaci´on por el m´ınimo denominador com´un, (x−3) (x−2), obteniendo la ecuaci´on
1 = A(x−2) +B(x−3), para todox.
Los valoresx= 2 y x= 3 en esta ecuaci´on nos dan B =−1 y A= 1, respectivamente. As´ı,
Z 1 x2−5x+ 6dx = Z 1 x−3+ −1 x−2 dx= Z 1 x−3dx+ Z −1 x−2dx
= log|x−3| −log|x−2|+C = log
x−3 x−2 +C
2.-Z 5x2+ 20x+ 6 x3+ 2x2+x dx Comox3+ 2x2+x=x(x2+ 2x+ 1) =x(x+ 1)2, se tiene 5x2+ 20x+ 6 x3+ 2x2 +x = A x + B x+ 1 + C (x+ 1)2
para todox. Multiplicando por x(x+ 1)2:
5x2+ 20x+ 6 =A(x+ 1)2+B x(x+ 1) +C x, para todo x.
Los valores x = 0, x = −1 y, por ejemplo, x = 1, nos dan A = 6, C = −(5−20 + 6) = 9 (¿por qu´e?). Conociendo A y C, con x = 1, 2B = (5 + 20 + 6)−4A−C = −2, de donde
B =−1. De esta forma, Z 5x2+ 20x+ 6 x3+ 2x2 +x dx = Z 6 xdx+ Z − 1 x+ 1dx+ Z 9 (x+ 1)2 dx = log x6 x+ 1 − 9 x+ 1 +C. 3.-Z 2x3−4x−8 (x2−x) (x2+ 4)dx= Z A x + B x−1 + C x+D x2+ 4 dx
Multiplicando porx(x−1) (x2+ 4) e igualando numeradores, tenemos
2x3−4x−8 =A(x−1) (x2+ 4) +B x(x2+ 4) + (C x+D)x(x−1).
Conx= 0 se obtiene−4A=−8, yA= 2. Conx= 1, se sigue que−10 = 5B, y as´ıB =−2. Para calcular C y D podr´ıamos dar otros dos valores a x y resolver el sistema lineal en C
y D producido. Para ilustrar otro m´etodo desarrollamos el miembro derecho de la igualdad anterior (conA = 2 yB =−2) llegando a la igualdad de polinomios
2x3−4x−8 =C x3−(C−D+ 2)x2−D x−8 de donde C= 2 y D= 4. Finalmente, Z 2x3−4x−8 (x2−x) (x2 + 4)dx = Z 2 x − 2 x−1+ 2x+ 4 x2+ 4 dx = Z 2 x − 2 x−1+ 2x x2+ 4 + 4 x2+ 4 dx
= 2 log|x| −2 log|x−1|+ log(x2+ 4) + 2 arctanx 2 +C.
4.-Z 8x3+ 13x
(x2+ 2)2 dx.
Incluimos una fracci´on simple por cada potencia de (x2 + 2):
8x3+ 13x (x2+ 2)2 = A x+B x2+ 2 + C x+D (x2+ 2)2.
Multiplicando por el m´ınimo com´un denominador, (x2 + 2)2, llegamos a la igualdad
8x3+ 13x= (A x+B) (x2+ 2) +C x+D.
Desarrollando el miembro derecho y agrupando obtenemos
8x3+ 13x=A x3+B x2+ (2A+C)x+ (2B+D),
y as´ıA= 8, B = 0, C =−3 y D= 0. Por tanto,
Z 8x3+ 13x (x2+ 2)2 dx= Z 8x x2+ 2 + −3x (x2 + 2)2 dx= 4 log(x2+ 2) + 3 2 (x2+ 2) +C.
5.- Una variaci´on de este tipo de integrales es
Z A
a x2+b x+cdx cuyas primitivas son una
funci´on arcotangente. Para resolverlas se completan cuadrados en el denominador para escribirlo en la forma (mx+n)2+p, se reescribe comop((mx+n√
p )
2+ 1), y finalmente se ajustan
las constantes. Veamos un ejemplo para ilustrar el m´etodo:
Z 1 x2+x+ 1dx = Z 1 (x+ 1 2) 2+3 4 dx= 4 3 Z 1 x+12 √ 3/4 2 + 1 dx = 4 3 Z 1 2x√+ 1 3 2 + 1 dx= √ 3 2 4 3 Z √2 3 2x√+ 1 3 2 + 1 dx = √2 3 arctan 2x+ 1 √ 3 +C.
5
Funciones trigonom´
etricas
Vamos a calcular integrales de la forma
Z
senmx cosnx dx y
Z
secmx tannx dx
con m o n un entero positivo. Las pautas para las primeras son las siguientes:
(i) Si la potencia del seno es positiva e impar:
Z
sen2k+1x cosnx dx =
Z
(sen2x)k cosnx senx dx
=
Z
(1−cos2x)k cosnx senx dx.
El cambio de variable t= cosx,dt=−senx dxconvierte al integrando en un polinomio o una funci´on racional:
Z
sen2k+1x cosnx dx=
Z
(1−cos2x)k cosnx senx dx=
Z
(ii) Si la potencia del coseno es positiva e impar:
Z
senmx cos2k+1x dx =
Z
senmx(cos2x)k cosx dx
=
Z
senmx(1−sen2x)k cosx dx.
Usando el cambio de variable t = senx,dt = cosx dx
Z
senmx cos2k+1x dx=
Z
senmx(1−sen2x)k cosx dx=
Z
tm(1−t2)kdt,
y queda la integral de un polinomio o de una funci´on racional.
(iii) Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usamos las identidades:
sen2x= 1−cos(2x)
2 , cos
2x= 1 + cos(2x)
2 quedando en el integrando potencias impares de la funci´on coseno.
1.-Z
sen3x cos4x dx =
Z
(sen2x) cos4x senx dx=
Z
(1−cos2x) cos4x senx dx
=
Z
(cos4x−cos6x) senx dx.
El cambio de variablet = cosx, dt=−senx dx nos lleva a
Z sen3x cos4x dx= Z (t4−t6) (−1)dt= t 7 7 − t5 5 +C = cos7x 7 − cos5x 5 +C. 2.-Z cos3x √ senxdx = Z (cos2x) cosx sen12 x dx= Z
(senx)−12 (1−sen2x) cosx dx
=
Z
(sen−12 x−sen 3
2 x) cosx dx.
El cambio de variablet = senx, dt= cosx dx nos lleva a
Z cos3x √ senxdx= Z t−12 +t 3 2 dt=−2t 1 2 +2 5t 5 2 +C =−2 sen 1 2 x+ 2 5 sen 5 2 x+C. 3.-Z cos4x dx= Z 1 + cos(2x) 2 2 dx= Z 1 4 + cos(2x) 2 + cos2(2x) 4 dx
Utilizamos de nuevo la expresi´on cos2α = 1 + cos(2α)
2 , esta vez para cos
2(2x): Z cos4x dx = Z 1 4 + cos(2x) 2 + cos2(2x) 4 dx = Z 1 4+ cos(2x) 2 + 1 4 1 + cos(4x) 2 dx = 3 8 Z dx+1 4 Z 2 cos(2x)dx+ 1 32 Z 4 cos(4x)dx = 3x 8 + sen(2x) 4 + sen(4x) 32 +C.
Para las segundas integrales planteadas, seguiremos el siguiente esquema: (i) Si la potencia de la secante es positiva y par:
Z
sec2kx tannx dx =
Z
(sec2x)k−1 tannx sec2x dx
=
Z
(1 + tan2x)k−1 tannx sec2x dx;
El cambio de variable t = tanx,dt = sec2x dx proporciona Z
sec2kx tannx dx=
Z
(1 + tan2x)k−1 tannx sec2x dx =
Z
(1 +t2)k−1tndt,
y se tiene que hacer una integral de un polinomio o de una funci´on racional. (ii) Si la potencia de la tangente es positiva e impar:
Z
secmx tan2k+1x dx =
Z
secm−1x(tan2x)k(secx tanx)dx
=
Z
secm−1x(sec2x−1)k(secx tanx)dx;
y por el cambio de variable t= secx,dt = secx tanx dx, se obtiene:
Z
secmx tan2k+1x dx=
Z
secm−1x(sec2x−1)k(secx tanx)dx=
Z
tm−1(t2−1)kdt
(iii) Si no hay secantes y la potencia de la tangente es positiva y par:
Z tan2kx dx = Z tan2k−2x tan2x dx= Z tan2k−2x(sec2x−1)dx = Z tan2k−2x sec2x dx− Z tan2k−2x dx = tan 2k−1x 2k−1 − Z tan2k−2x dx;
y repetir el proceso si es necesario.
1.- Potencia de la tangente positiva e impar: Z tan3x √ secxdx = Z (secx)−12 tan3x dx= Z
(secx)−32 tan2x(secx tanx)dx
=
Z
(secx)−32 (sec2x−1) (secx tanx)dx
= Z (secx)12 −(secx)− 3 2(secx tanx)dx = 2 3(secx) 3 2 + 2 (secx)− 1 2 +C.
2.- Potencia de la secante positiva y par:
Z
sec4(3x) tan3(3x)dx =
Z
sec2(3x) tan3(3x) sec2(3x)dx
= 1
3
Z
(1 + tan2(3x)) tan3(3x) (3 sec2(3x))dx
= 1
3
Z
(tan3(3x) + tan5(3x)) (3 sec2(3x))dx
= 1 3 tan4(3x) 4 + tan6(3x) 6 +C.
3.- Potencia par de la tangente:
Z tan4x dx = Z tan2x tan2x dx= Z tan2x(sec2x−1)dx = Z tan2x sec2x dx− Z tan2x dx = tan 3x 3 − Z (sec2x−1)dx = tan 3x 3 −tanx+x+C.
4.- Reescribiendo en senos y cosenos:
Z secx tan2xdx= Z 1 cosx cosx senx 2 dx= Z (senx)−2 cosx dx= −1 senx +C =−cosec +C.
