TEMA 7: FRACCIONES
ALGEBRAICAS
•
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos
polinomios, el denominador debe ser un
polinomio no
nulo.
€
P
(
x
)
=
5
x
+
1
x
3
−
1
€
Q
(
x
)
=
−
x
+
1
x
2
+
y
Ejemplos de fracciones algebraicas2. Valor numérico de una fracción
algebraica.
El valor numérico de una fracción algebraica se calcula
sustituyendo las variables por números y realizando
luego las operaciones.
Fracción algebraica
x=-3
Valor numérico€
B
(
x
)
=
x
+
1
2
x
+
6
€
A
(
x
)
=
2
x
−
5
x
2−
1
€
C
(
x
)
=
x
+
3
x
2−
9
•
Dos fracciones algebraicas son equivalentes si el
producto de sus medios es igual al producto de sus
extremos.
€
a
b
€
c
d
€
a
b
€
c
d
MEDIOS EXTREMOS€
a
⋅
d
=
b
⋅
c
EJEMPLO
3. Simplificación de fracciones
Comprueba si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes.
€
x
2x
2−
2
x
€
2
x
2
x
−
4
€
3
x
−
3
x
3−
x
€
3
x
€
x
2(2
x
−
4)
=
2
x
3−
4
x
2€
2
x
(
x
2−
2
x
)
=
2
x
3−
4
x
2€
(3
x
−
3)
⋅
x
=
3
x
2−
3
x
€
(
x
3−
x
)
⋅
3
=
3
x
3−
3
x
€
x
2(2
x
−
4)
=
2
x
3−
4
x
2 MEDIOS EXTREMOS MEDIOS EXTREMOS€
3
x
2−
3
x
≠
3
x
3−
3
x
SON EQUIVALENTES NO SON EQUIVALENTES
Cuando estudiasteis fracciones con números enteros aprendisteis que
“Si
se multiplican o dividen
el numerador y el denominador de una
fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción
equivalente
”
€
12
36
€
24
72
€
168
504
€
3
9
€
1
3
simplificar amplificar€
⋅
2
€
⋅
7
€
: 4
€
: 3
Simplificación de fracciones con números
enteros
Simplificar fracciones algebraicas
•
Si establecemos una equivalencia con las fracciones
algebraicas:
•
“Para simplificar fracciones algebraicas se divide el
numerador y denominador por un mismo polinomio no nulo”
€
15
x
3−
10
x
5
x
2−
25
x
€
30
x
4−
20
x
210
x
3−
50
x
2 € 30x5 −30x4 −20x3 +20x2 10x4 −60x3 +50x2€
3
x
2
−
2
x
−
5
simplificar amplificar€
⋅
2
x
€
⋅
(
x
−
1)
€
: 5
x
Simplificación de fracciones con números
enteros
•
Las fracciones con números enteros se simplificaban
descomponiendo numerador y denominador
para
buscar los factores comunes.
•
De la misma forma en fracciones algebraicas tenemos
que
factorizar numerador y denominador
para buscar
los factores que se repiten en numerador y denominador.
€
x
5−
3
x
4−
x
3+
3
x
2x
4−
x
3−
9
x
2+
9
x
€
x
5−
3
x
4−
x
3+
3
x
2€
x
2(
x
3−
3
x
2−
x
+
3)
Factorizamos el numerador:1 -1 -9 +9
1
€
x
4−
x
3−
9
x
2+
9
x
Factorizamos el denominador:€
x
(
x
3−
x
2−
9
x
+
9)
1 0 -9 0
1 0 -9
-3
1 -3 0
-3 +9
1 0
3
+3
1 -3 -1 3
1
1 -2 -3
-1 +3
-1
1 -3 0
1 0
3
3
1 -2 -3 0
EJEMPLO
Esta fracción, que no podemos simplificar más, es la fracción “irreducible”
€
=
x
⋅
x
⋅
(
x
−
1)(
x
+
1)(
x
−
3)
x
(
x
−
1)(
x
−
3)(
x
+
3)
=
€
x
5−
3
x
4−
x
3+
3
x
2x
4−
x
3−
9
x
2+
9
x
€
=
x
⋅
(
x
+
1)
x
+
3
=
x
2+
x
x
+
3
EJEMPLO
(continuación)Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones:
Las fracciones son equivalentes.
(
x
+
1)(
x
2−
x
)
=
x
3−
x
2+
x
2−
x
=
x
3−
x
x
⋅
(
x
2−
x
)
=
x
3−
x
Simplificación de fracciones con números
enteros
Para sumar o restar fracciones
con el mismo denominador
se suman o restan los numeradores y se deja el
denominador común
€
3
x
−
1
x
3−
2
+
−
2
x
+
1
x
3−
2
€
=
3
x
−
1
−
2
x
+
1
x
3−
2
=
x
x
3−
2
€
3x
−
1
x
3−
2
−
−
2
x
+
1
x
3−
2
€
=
3
x
−
1
+
2
x
−
1
x
3−
2
=
5
x
−
2
x
3−
2
SUMA DE FRACCIONES RESTA DE FRACCIONES•
Para sumar o restar dos fracciones algebraicas con
diferente denominador se expresan previamente las
fracciones con el
mismo denominador
y después se opera
como en el caso anterior.
Suma y diferencia de fracciones
algebraicas
€
112
€
112
Descomposición factorial de los denominadores:
€
3
16
€
5
14
Fracción A Fracción B€
16
=
2
4€
14
=
2
⋅
7
€
mcm
(16,14)
=
2
4⋅
7
Numerador A€
112 :16
(
)
⋅
3
=
21
Numerador B€
112 :14
(
)
⋅
5
=
40
€
21
€
40
Vamos a establecer un paralelismo entre fracciones de
números enteros y fracciones algebraicas
€
=
2
x
−
1
x
−
1
(
)
(
x
+
1
)
€
x
−
1
(
)
(
x
+
1
)
€
x
−
1
(
)
(
x
+
1
)
Descomposición factorial de los denominadores:
€
2
x
−
1
x
2−
1
Fracción A€
x
2−
3
x
−
1
Fracción B€
x
2−
1
=
(
x
−
1)
⋅
(
x
+
1)
€
x
−
1
Numerador A€
(
x
2−
1) : (
x
2−
1)
(
)
⋅
(2
x
−
1)
=
2
x
−
1
Numerador B€
(
x
2−
1) : (
x
−
1)
(
)
⋅
(
x
2−
3)
=
(
x
+
1)
⋅
(
x
2−
3)
=
x
3+
x
2−
3
x
−
3
€
2
x
−
1
€
x
3+
x
2−
3
x
−
3
€
+
€
=
x
3+
x
2−
x
−
4
x
−
1
(
)
(
x
+
1
)
4. Producto y cociente de fracciones
algebraicas
Al multiplicar fracciones algebraicas se obtiene una nueva
fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador es el producto de los
denominadores.
€
A
(
x
)
B
(
x
)
⋅
C
(
x
)
D
(
x
)
=
A
(
x
)
⋅
C
(
x
)
B
(
x
)
⋅
D
(
x
)
División de fracciones algebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas se multiplica la
primera por la inversa de la segunda.
€
A
(
x
)
B
(
x
)
:
C
(
x
)
D
(
x
)
=
A
(
x
)
B
(
x
)
⋅
D
(
x
)
C
(
x
)
=
A
(
x
)
⋅
D
(
x
)
B
(
x
)
⋅
C
(
x
)
PROBLEMA 85
Hassan vive en un pequeño poblado de Marruecos y le separan de la escuela tres campos de cultivo de trigo, avena y centeno, como indica la figura.
¿Cuál es la expresión algebraica que hace mínimo el trayecto recorrido por Hassan para llegar a la
PROBLEMA 89
Partiendo de un rectángulo dado se obtiene otro rectángulo duplicando la longitud de ambos lados. ¿La longitud de la diagonal del nuevo rectángulo también es el doble? Razona la respuesta.
x
4-13x
3+47x
2-35x
x
3-11x
2+35x-25
−
3
a
2a
2−
9
−
5
a
2
a
+
6
+
1
a
+
3
EJERCICIOFRACCIONES ALGEBRAICAS. 2014-2015
