Física

(1)

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Q C 3 0

05 1020115214

L I B B Q Hm. J S ^ r A D V E - R T E N C I A S , XBffltï x z / ^ j ? /> J /Û^s- eT , el p I a z o' o t r o s necesitarán el mismo libro

J-u.d. o, hbros son ,uyos y de la Universidad Si DA-Ñ A S U N L I B R O tiene* qiw sn^it,,;^

JJff

aJELIOTECA CENTRA!.

(5)

I N T R O D U C C I O N

En este semestre, continuaremos nuestro estudio de la Física en la

preparatoria, contando con la colaboración de tu maestro de clase y

-además con el apoyo de este folleto, en donde se incluyen los

conoci-mientos básicos necesarios estipulados para este curso.

Los temas a tratar se han dividido en cuatro capítulos.

En el primer capítulo analizaremos las 3 Leyes del Movimiento de

-Newton y sus aplicaciones, así como también, la Ley de la Gravitación

Universal .

En el segundo capítulo trata el movimiento de rotación de una

par-tícula y su analogía con el movimiento rectilineo, se introducirán

--nuevos conceptos como radián, aceleración centrípeta, fuerza centrípe^

ta y centrífuga.

Luego en el capítulo tercero se explicará la primera y segunda con^

dición de equilibrio utilizando así la suma vectorial.

Finalmente en el cuarto capítulo aplicaremos lo aprendido de

Está-tica del capítulo anterior, resolviendo problemas en donde se

involu-cran máquinas simples como palancas y poleas.

Entre cada tema se incluyen problemas resueltos con el fin de

com-plementar y aclarar los conocimientos expuestos, además de los ejerci_

cios y autoevaluaciones al final de cada capítulo.

SEMESTRE FEBRERO-JUNIO

1 ? 3 2 Ü 3

DE 1984

0 B J E T I V O G E N E R A L

C A P I T U L O I

O B J E T I V O P A R T I C U L A R

O B J E T I V O S E S P E C I F I C O S

11 1 ""' ~ '"•'»'• r

-El alumno:

" E ^ ^ V S ^ ! P e 3° ' " " " V e l°C l d a d' ^ e a de acción

- Enunciará la primera Ley de Newton,

- Enunciará la segunda Ley de Newton,

- Definirá los conceptos newton y dina,

- Diferenciará _{entre peso y masa\}

- Enunciará el concepto, cantidad de movimiento,

• Enunciará la tercera Ley de Newton,

- Enunciará la Ley de la Gravitación Universal de Newton,

(6)

C A P I T U L O 1

L E Y E S D E N E W T O N

1 . 0 . E n e s t e p r i m e r c a p í t u l o d e F í s i c a I I v a m o s a e s t u d i a r c u a t r o d e l a s l e y e s d e S i r I s a a c N e w t o n , F í s i c o y M a t e m á t i c o I n g l é s n a c i -d o e n 1 6 4 2 y m u e r t o 8 5 a ñ o s -d e s p u é s , la g r a n -d e z a -d e e s t e h o m b r e , m a n i f e s t a d a en v a l i o s a s a p o r t a c i o n e s a la c i e n c i a q u e d a p r e s e n -t e e n u n a f r a s e m o d e s -t a m e n -t e p r o n u n c i a d a e n su l e c h o d e m u e r -t e :

"Si v i m á s a l t o q u e l o s d e m á s f u e p o r q u e e s t u v e p a r a d o en l o s -h o m b r o s d e u n g i g a n t e "

Si b i e n N e w t o n e n u n c i o p o r p r i m e r a v e z d e u n m o d o p r e c i s o l a s l e y e s n a t u r a l e s d e l m o v i m i e n t o , c a b e s e ñ a l a r q u e la F í s i c a , o -e s p -e c í f i c a m -e n t -e , la m -e c á n i c a n o c o m -e n z ó c o n N -e w t o n . A l g u n o s l -e h a b í a n p r e c e d i d o en e s t o s e s t u d i o s , s i e n d o e l m á s d e s t a c a d o G a -l i -l e o G a -l i -l e i , q u i é n , e n s u s t r a b a j o s d e m o v i m i e n t o a c e -l e r a d o , h a b í a e s t a b l e c i d o l o s f u n d a m e n t o s p a r a la f o r m u l a c i ó n p o r N e w -t o n d e s u s l e y e s d e m o v i m i e n -t o .

D e f i n i c i o n e s :

P e s o ; M e d i d a d e la f u e r z a c o n q u e s o n a t r a í d o s l o s c u e r p o s p o r la g r a v e d a d .

M a s a : C a n t i d a d d e m a t e r i a c o n t e n i d a e n u n c u e r p o . V e l o c i d a d : Ra'pidez d e l c a m b i o d e p o s i c i ó n .

A c e l e r a c i ó n : R a p i d e z d e l c a m b i o d e v e l o c i d a d .

in¿b5.. a c c i ó n d e u n a f u e r z a : L í n e a i m a g i n a r i a e n la q u e se e £ p e c i f i c a l a d i r e c c i ó n d e u n a f u e r z a .

Ijiercia : O p o s i c i ó n q u e p r e s e n t a n l o s c u e r p o s a c a m b i a r s u e s t a -d o , y a s e a -d e r e p o s o o m o v i m i e n t o .

1 . 1 . P R I M E R A L E Y D E N E W T O N .

L a p r i m e r a l e y d e N e w t o n d e l m o v i m i e n t o establece q u e : " U n c u e r -p o e n re-poso o e n m o v i m i e n t o u n i f o r m e y r e c t i l í n e o -p e r m a n e c e r á e n r e p o s o o e n m o v i m i e n t o u n i f o r m e y r e c t i l í n e o a m e n o s q u e se l e -a p l i q u e u n -a f u e r z -a e x t e r i o r " .

E s t o f á c i l m e n t e l o p o d e m o s i m a g i n a r c o n u n e x p e r i m e n t o c o n o c i d o c o m o e x p e r i m e n t o d e i n e r c i a d e G a l i l e o .

c l i n a d o , ° s u b i r ¿ ¡ C " " t ' ^ » » * » -la m i s m l a 1 t u r a „ ?t r? P l 3 n° h 3 S t a a p r o x i m a d a m e n t e y Si al l l e g a r ¡ 1 f o n d o , ? * l n c l i n a c i™ d e l s e g u n d o p l a n o

1 - s o b r e u n ' p L n ^ , ' ^ c l T o S ^

s - i :

S E G U N D A L E Y D E N E W T O N .

A h o r a b i e n , el N e w t o n se d e f i n e c o m o la f u e r z a q u e al a p l i c a r s e

-c o \ st a n mt eC d° en SÍa:/ t:e a a2Ur " " ^ p r o d u c e ' u n a a c ^ c i ó n m / s e g ( e n a u s e n c i a d e f r i c c i ó n ) . D e a h í q u e l a s

u n i d a d e s d e l N e w t o n e n el s i s t e m a M K S s o n : q

1 N t = 1 K g x 1 m s e g

E n e l s i s t e m a C G S la u n i d a d d e f u e r z a e s la d i n a .

d eai ^ 7 fmoSl Ía f U!r Z a q U S aPl i c a d a f o r m a c o n s t a n t e a u n a m a s a d e 1 g r a m o l e p r o d u c e u n a a c e l e r a c i ó n c o n s t a n t e d e 1 c m / s e g 2

D e a h í q u e :

1 D i n a = 1 g x 1 -SE» s e g ¿

1 N t = 1 x 1 0 d i n a s

L a s e g u n d a l e y d e N e w t o n p u e d e e s c r i b i r s e e n f o r m a de e c u a c i ó n :

F a = —

m

11 a m a d a ^ " ^ r n a m^e m b r o S d e e c u a c i ó n p o r m o b t e n e m o s la l l a m a d a e c u a c i ó n d e f u e r z a s " la c u a l e s b a s e d e m u c h o s p r i n c i -p í o s d e m e c a n i c a .

F = m a

F u e r z a = m a s a x a c e l e r a c i ó n

(7)

D e s p r e c i a n d o la f r i c c i ó n , c a l c u l a r la f u e r z a n e c e s a r i a , p a r a a c e -l e r a r 3.5 m / s e g2, u n a m a s a d e 8 K g .

a) E n N e w t o n b ) E n d i n a s S o l u c i o n :

D a t o s : F = ?

a = 3.5 m / s e g m = 8 Kg .

S u b s t i t u y e n d o v a l o r e s en la e c u a c i ó n a ) F = m a

q u e d a :

2 F = 8 Kg x 3 . 5 m / s e g F = 28 N t

5 . , 1 x 10 d i n a s b ) c o m o 1 N t = 1 x 10 d i n a s ( T ~ Ñ t

28 ^ x ( l x l°5^ j -n a S ) = 28 x 105dinas = 2.8 x 10( = 2.8 x 10 dinas

1 . 3 . D I F E R E N C I A E N T R E P E S O Y M A S A .

C u a n d o se d e j a q u e c a i g a l i b r e m e n t e u n a m a s a " m " , es la f u e r z a de g r a v e d a d c o n s t a n t e h a c i a a b a j o la q u e o r i g i n a su a c e l e r a c i ó n cons-t a n cons-t e . Si la s e g u n d a ley d e N e w cons-t o n s e a p l i c a a e s cons-t e m o v i m i e n cons-t o , la f u e r z a F n o e s o t r a q u e el p e s o , " F g " , d e l c u e r p o y la a c e l e -r a c i ó n " aH es d e b i d a a la a c e l e r a c i ó n de la g r a v e d a d " g " . P a r a d -l o s c u e r p o s q u e c a e n , -la e c u a c i ó n d e -la f u e r z a , F = m a se e s c r i b e c o n s í m b o l o s d i f e r e n t e s :

Fg = m g

P e s o = m a s a x a c e l e r a c i ó n d e la g r a v e d a d

I m p o r t a n o t a r q u e el p e s o d e u n c u e r p o v i e n e d a d o p o r m gr t a n t o si

c a e l i b r e m e n t e c o m o si e s t á en r e p o s o (a = 0) » P e s o y f u e r z a t i e n e n a m b o s m a g n i t u d y d i r e c c i ó n y , p o r t a n t o , s o n

c a n t i d a d e s v e c t o r i a l e s . La m a s a , p o r o t r a p a r t e , es u n a c a n t i d a d e s c a l a r p u e s t o q u e s o l o t i e n e m a g n i t u d . L a d i f e r e n c i a e n t r e p e s o y m a s a e s t á i l u s t r a d a al i m a g i n a r n o s u n c u e r p o d a d o en el e s p a c i o l i b r e , a i s l a d o d e s u s d e m á s c u e r p o s y d e su a t r a c c i ó n g r a v i t a c i o -n a l . A l l í , el c u e r p o e-n r e p o s o t e -n d r í a m a s a , p e r o -n o t e -n d r í a pese En la e c u a c i ó n F g = m g p o d e m o s d e f i n i r V c o m o el p e s o p o r u n i d a d d e m a s a , de a h í quer tFg" e s i g u a l a la m a s a m u l t i p l i c a d a p o r el peso p o r u n i d a d d e m a s a .

E j e m p l o N o . 2 .

-C a l c u l a r el p e s o d e un c u e r p o q u e t i e n e u n a m a s a d e 1 Kg

S o l u c i ó n : F g = m g

D a t o s : Fg = ?

m = 1 K g .

g = 9 . 8 m / s e g '

Fg = 1 K g x 9 . 8 m / s e g Fg = 9 . 8 M ™

s e g¿ F g = 9 . 8 N t

E s t e r e s u l t a d o d e m u e s t r a q u e p a r a l e v a n t a r u n a m a s a d e u n k i l o g r a m o , se r e q u i e r e de u n a f u e r z a h a c i a a r r i b a d e 9 . 8 N e w t o n y q u e p e so y m a s a d i f i e r e n e n t r e sí n u m é r i c a m e n t e , "por u n c o e f i c i e n t e -i g u a l a la a c e l e r a c -i ó n d e b -i d a a la g r a v e d a d

C A N T I D A D D E M O V I M I E N T O .

El c o n c e p t o d e c a n t i d a d de m o v i m i e n t o " C M " r e l a c i o n a la m a s a y la v e l o c i d a d de un c u e r p o d e f i n i é n d o s e c o m o el p r o d u c t o d e e s t o s d o s v a l o r a s :

C a n t i d a d d e m o v i m i e n t o = m a s a x v e l o c i d a d C M = m v

D e a c u e r d o c o n e s t a d e f i n i c i ó n , t o d o s l o s c u e r p o s e n m o v i m i e n t o t i e n e n c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o , a s í p o r e j e m p l o u n a m a s a p e q u e ñ a , m o v i é n d o s e a u n a e l e v a d a v e l o c i d a d p u e d e t e n e r la m i s m a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o q u e u n a g r a n m a s a m o v i é n d o s e a b a j a v e l o c i d a d .

E j e m p l o N o . 3 .

-U n a m a s a d e 30 K g se m u e v e a u n a v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e 8 m / s e g . a) E n c o n t r a r su c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o .

b ) ¿ C o n q u é v e l o c i d a d i g u a l a r á e s a c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o u n a m a -sa de 1 2 k g ?

S o l u c i ó n : D a t o s : a ) m *

V »

C M »

30 K g 8 m / s e g ?

b ) y = ? m = 12 k g

C M « 2 4 0 Kg m / s e g

a) C M = m v

C M = 3 0 K g x 8 m / s e g C M = 2 4 0 K g m / s e g

b ) D e s p e j a n d o V de C M s m v q u e d a C M

m V

y c o m o C M • = 2 4 0 k g m / s e g k g m

(8)

La s e g u n d a L e y d e N e w t o n q u e d a m e j o r e s t a b l e c i d a en t é r m i n o s d e la c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o : "La v a r i a c i ó n d e la c a n t i d a d de m o v i -m i e n t o de un c u e r p o r e s p e c t o al t i e -m p o , es p r o p o r c i o n a l a la f u e r z a a p l i c a d a y t i e n e l u g a r s o b r e su l í n e a de a c c i ó n "

La e c u a c i ó n c o n p a l a b r a s e s :

v a r i a c i ó n en la c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o F u e r z a =

F =

t i e m p o t r a n s c u r r i d o V C M

La c a n t i d a d de m o v i m i e n t o en un p u n t o i n i c i a l se p u e d e e x p r e s a r c o m o el p r o d u c t o d e su m a s a y la v e l o c i d a d i n i c i a l .

m V o

y p a r a u n a p o s i c i ó n f i n a l s e r í a : m V

de a h í q u e la v a r i a c i ó n de la c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o " V C M " s e r á : V C M = m V - m V o

V C M = m ( V - V o ) V C M , q u e s u s t i t u i d a en F = — — r e s u l t a

p = m ( V V o ) ( E s t a e c u a c i ó n se p u e d e u s a r en l o s p r o b l e -m a s en q u e se i n v o l u c r e v e l o c i d a d i n i c i a l

" V o " y v e l o c i d a d f i n a l " V " ) y c o m o la a c e l e r a c i ó n es: a = V t e n t o n c e s :

F = m a

E j e m p l o N o . 4 .

-U n a u t o m ó v i l d e 2 5 0 0 K g se .nueve a u n a v e l o c i d a d d<,11> » ^ ^ f f f u e r z a a p l i c a d a d u r a n t e 5 s e g u n d o s a u m e n t a r a s u v e l o c i d a d h a s t a 5 0 m / s e g ?

S o l u c i ó n : D a t o s :

m = 2 5 0 0 K g V o = 1 0 m / s e g

t = 5 seg V = 50 m / s e g

P a r a r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a a p l i c a r e m o s la f ó r m u l a :

m ( V - V o ) t F =

S u b s t i t u y e n d o :

2 5 0 0 K g ( 5 0 m / s e g - 1 0 m / s e g )

F = 5 s e g

F = 2 0 , 0 0 0 K g m / s e g2 F = 2 0 , 0 0 0 N t

.5 . IMPULSO.

Si en la ecuación: p =

m

(V-Vo)

t

multiplicamos ambos miembros por t obtenemos:

Ft = m (V-Vo)

Ft = mV-mVo

impu 1 s o

U

y

C

m V - m V o

^

T

o

^

Z

n

^

i m P U l S

°

C u á l

es el

tidad d , movimiento r , ^ n H r

a m O S

'

6 8 l a v

«i«"=i<5n de la

can-' — i " - « ,

¿ s r z & s s z j m j s & s r z i

_{í y a r}

Ft » mV

™ • « ' • i h f i • 'úf

s í í s í ' c s ; : .

c

*

n t

j

4

;

a

r »

1

-

1

« » " » " «

-1 . . a . S ' Í S S t í

3 , 1 1

"

p

"

1

"

0

" "

g cm

seg"

* Ejemplo No.

5.-(Despreciar la fricción)

T n l T ^ l ' l T t l l o l l

d ' e ^ V

f U e r

"

d e 3 5

' * -

m a s a

Calcular:

b) f l o í

P

? 2 * s ¿ g .

E n C O n t r a r

la cantidad de movimiento,

c) A los 15 seg.

(9)

Solución:

Datos:

t = 12 seg

F = 35 Nt

m = 3 Kg

a) Ft = ?

b) CM

c )

d)

CM

12 seg

8 seg

20seg

a) Calculo del impulso "Ft"

Ft

= 35 N x 12 seg = 35 ff^r

x 1 2 s e

9 Ft = 4 20 Kg m/seg

b) Al calcular el impulso "Ft" hemos

calculado también la cantidad de

movimiento a los 12 segundos, ya

-que:

Ft = mV = CM

y Ft se obtuvo con t = 12 segundos

CM-

n

= 420 Kg m/seg

12seg

c) La cantidad de movimiento a los 8 segundos,

obvia-mente es menor a 420 Kg m/seg puesto que estos se

producen hasta los-12 segundos.

El impulso "Ft" efectuado en los primeros 8

segun-dos, que equivale a la cantidad de movimiento en •

dicho tiempo, es:

Ft = 35

—

Kg m

2— 7 X

seg = mV = CM

C M

0

= 280 Kg m/seg

8seg

d) La cantidad de movimiento, 20 segundos después de

iniciada la aplicación de la fuerza, más que

usan-do una fórmula, se resuelve razonanusan-do lo que envuel

ve el concepto de impulso y cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento "Ft" ( ya que Ft = mV) máxima que es la

-que se produce justo en el instante en -que se de]a de aplicar la

fuerza, es precisamente lo anteriormente calculada en el inciso

CM = Ft = 420Kg m /seg

Después de retirada la fuerza no existirá impulso alguno que cause

en

los siguientes segundos un aumento en la cantidad de movimiento

De tal

S o ? »

que pasados los 12

s e g u n d o s , la

cantidad de movimiento

de la bola permanecerá constante y equivalente a 420 Kg m/seg.

Si en seguida calculamos la velocidad en t

la fórmula:

Ft = mV

m

y sustituyendo valores

42 0 Kg m/seg

V

" 3 Kg

V = 140 m/seg

= 12 seg despejando "V" de

f

S

:

a h

°

r a

la aceleración durante el impulso con la

. _ V-Vo

a

-Sustituyendo

* - 1 4 0 - 0

a 1 2 —

a = 11.67 m / s e g

2

todo esto para finalmente describir lo ocurrido un tanto "idealiza

do ya que no se toma en cuentra la fricción. idealiza

H ^ Í H t I I ™ - ' r

r

™

i & s s v - n t t *

una velocidad d

e

fío'm/.

9

°

S d e 8

P

u é s

'

c u a

« * > ^ masa alcanza -

9

í^rt, . ?

1 4 0 m

/

, e i

3 < o sea, cuando se retira la fuerza aol i

cada, a partir de ese momento la masa se desplazará inf i n T Í ^ L n ? "

r I T ,

f U e r

"

9 U e S S a

velocidad constante^ "los

140 m/seg) ,egün la primera ley de Newton, llevando así una

Canti-dad de movimiento de 420 Kg m/seg que le suministro el impulso del

mismo valor durante esos 12 primeras segundos impulso del

. TERCERA LEY DE NEWTON

r r « n n n ^

a

, , Ü

Y

/

e N S W t

° 2

3 f Í r m a :

"

a t 0 d a f u e r z a d e

le co

-rresponde una de reacción igual y opuesta"

De las tres leyes del movimiento de Newton, es esta quizá, la

me-nos comprendida, esto probablemente se deba a que se usa ¿oco cara

n r ^ n

#

L ? n

0 b l e m a 8

;

S i n a m b a r 9

°

8 6 P r e s e n t a

en nuestra vida cotidia

eierc?.n5n S Z ,

P

° í

e j 6 m p l

°

a h o r a

'

t u

^ este momento estas

¿

lítr-t' fuerza sobre este folleto, tanto como él la ejerce

sobre ti, con la misma magnitud y en sentido contrario (suponiendo

con Í £ a

C

* T t ^

m

*

n

°

B )

' °

M é n d U r a n t e 6 1 Í m p a c t o

^e un ¿ S e

(10)

/VO So* ACC/OA/ -A// ACCIOH

y F

AJO JO AI ACC/OH A// /?£4CC/OAJ

F

Z

y r,'

SO AS ACC'O* y t**1

Fz / '

son acc/oaj y Ae^t f , y

F,'

No están representados ni el peso del bloque ni la fuerza ejercir

da sobre él por la superficie. Imaginemos primero el bloque en

-reposo. Las parejas de fuerzas de acción y reacción resultantes

están indicadas en la figura (Realménte las líneas de acción de

-todas las fuerzas se encuentran a lo largo de la cuerda. Los vec

tores fuerza han sido desplazados fuera de sus líneas d e acción

-para representarlos con más claridad). El vector F representa la

fuerza ejercida por el hombre, sobre la cuerda. SÚ reacción es

la fuerza igual y opuesta, ejercida sobre el hombre por la

-cuerda. El vector Y

2

.

Representa la fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque. Su

reacción es la fuerza igual y opuesta F

2

ejercida sobre la cuerda

por el bloque.

Es muy importante comprobar que las fuerzas F- y F

2

, <aunque son •

de sentido opuesto, tienen la misma magnitud tpor estar el bloque

en reposo), no constituyen la pareja de acción y reacción por la

sencilla r4zón de que ambas actúan sobre el mismo cuerpo (la cue

d a K mientras que una acción y su reacción actúan necesariamente

sobre cuerpos diferentes. El hecho de que el bloque se ponga en

movimiento, no cambia en nada las parejas de fuerzas d e acción y

reacción, o sea F

x

y F

l

son acción y reacción, al igual que F

2

y

lo son también del otro lado.

1.7 . LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.

Comunmente se cree que Newton descubrió la gravedad cuando

estan-do debajo de un manzano, le cayó una manzana en la cabeza. Lo

que Newton descubrió después de razonar este hecho fue la ley d

la gravitación universal que dice: «Dos cuerpos cualesquiera se _

atraen uno al otro con una fuerza que es al c ^ d r a d o

al producto de sus m a s a s e inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia que existe entre ellos"

Escrito en sínbolos algebraicos:

d

2

o ? r o V

F

v m

S

¿ 2

f

U e r Z a a t r a c c i 6 n

ejercida entre un cuerpo y

-otro m y m es la masa de cada uno de los 2 cuerpos y "d- es la

separación entre ellos (alfa "c* » «e

n n

=

1 o f r a

í,".

y a e s i a

presenta proporcionalidad)

g r i e g a r e

"

e s

?

r i b i r

como ecuación cambiando la l e t r a s por el

-de la g r a v i t a c i ó n ^ ,

C

°

n s t

3

n t e

^ » l l a m a d a constante n e w t o n i L

-ae ia gravitación, que según experimentos hechos equivale a:

G - 6.673231 x l o "

1 1

—

Kg seg

2

m e t r o s . " B ± d # ^ n e w t o n s' " V Y m 2 e n nk i l o g r a m o s " y d

Si se utiliza en sistemas CGS la constante G es:

Así:

6.673231 x 1 0 ~

8

c m

3

2 g seg

G

(11)

m.

-.3m

m.

Encontrar la fuerza de atracción mutua entre una masa de 60 Kg y

otra de 8 0 Kg separados .3m

Solución:

Datos:

F = ?

m

1

= 60 Kg

m

2

= 80 Kg

d = . 3m

Sustituyendo directamente en la

ecuación:

m

l

m

2 Encontraremos el resultado

F = 6.67 x l O "

1 1

m

3

Kg S'

^6 0 Kg x 8 0 Kc

3m'

F = 3.56 x 10~

6

Kg m / s e g

2

F = 3.56 x 10"

6

Nt

O sea:

F = .356 dinas

C A P I T U L O I

Autoeval uaci ón y E j e r c i c i o s

Despreciando la f r i c c i ó n , c a l c u l a r la fuerza necesaria para

producirle a una masa de 13kg, una a c e l e r a c i ó n de 4m/seg

2

.

52new.

Una masa de 15kg descansa sobre un plano horizontal l i s o

(sin f r i c c i ó n )

y

se hace actuar sobre el una fuerza h o r i z o n t a l ,

de 30new.

a) ¿Qué acelaración le produce?

b) ¿Qué d i s t a n c i a recorrerá en 10 segundos?

¿Qué carga debe ser capáz de soportar una cuerda si va ha ser

empleada en remolcar un automóvil de 1470kg de manera t a l que

se acelere a .15m/seg

2

?

220.5new.

Calcular el peso de una masa de 60kg.

a) En la t i e r r a

b) En un lugar cuya aceleración de la gravedad es 21m/seg

2

.

|P

(12)

m.

-.3m

m.

Encontrar la fuerza de atracción mutua entre una masa de 60 Kg y

otra de 8 0 Kg separados .3m

Solución:

Datos:

F = ?

m

1

= 60 Kg

m

2

= 80 Kg

d = . 3m

Sustituyendo directamente en la

ecuación:

m

l

m

2 Encontraremos el resultado

F = 6.67 x l O "

1 1

m

3

Kg S'

^6 0 Kg x 80 Kc

3m'

F = 3.56 x 10"

6

Kg m / s e g

2

F = 3.56 x 10"

6

Nt

O sea:

F = .356 dinas

C A P I T U L O I

Autoevaluaci ón

y

E j e r c i c i o s

Despreciando la f r i c c i ó n , c a l c u l a r la fuerza necesaria para

producirle a una masa de 13kg, una a c e l e r a c i ó n de 4m/seg

2

.

52new.

Una masa de 15kg descansa sobre un plano horizontal l i s o

(sin f r i c c i ó n )

y

se hace actuar sobre el una fuerza h o r i z o n t a l ,

de 30new.

a) ¿Qué acelaración le produce?

b) ¿Qué d i s t a n c i a recorrerá en 10 segundos?

¿Qué carga debe ser capáz de soportar una cuerda si va ha ser

empleada en remolcar un automóvil de 1470kg de manera t a l que

se acelere a .15m/seg

2

?

220.5new.

Calcular el peso de una masa de 60kg.

a) En la t i e r r a

b) En un lugar cuya aceleración de la gravedad es 21m/seg

2

.

|P

(13)

6 . - Un a u t o m ó v i l d e 1 5 0 0 k g v i a j a n d o a una v e l o c i d a d de 1 8 m / s e g

c h o c a c o n t r a un árbol y s e d e t i e n e en u n a d i s t a n c i a d e 1.5m

¿Cuál es la f u e r z a f r e n a d o r a e j e r c i d a p o r el árbol s o b r e el

a u t o ?

7 . Una n a s a d e 1 8 k g s e m u e v e a una v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e

-1 2 m / s e g .

a ) E n c o n t r a r su c a n t i d a d de m o v i m i e n t o .

b ) C o n que v e l o c i d a d i g u a l a r á d i c h a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o u n a

m a s a d e 7 kg.

8.- Un c u e r p o d e 2 7 k g lleva u n a v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e 1 3 m / s e g > en

el

m o m e n t o e n q u e e m p i e z a a a c e l e r a r s e a 3 . 7 m / s e g . C a l c u l a r la

-cantidad de

m o v i m i e n t o 1 0 - s e g a d o s

de

i n i c i a d a su a c e l e

-r a c i ó n . | |

9 . ¿Qué v e l o c i d a d a l c a n z a r á u n a p a r t í c u l a de 1 . 5 k g , i n i c i a l m e n t e

en reposo, l u e g o d e que se le a p l i c ó u n a f u e r z a d e 7 5 n e w t o n d u

-r a n t e 8 s e g u n d o s . C a l c u l a -r t a m b i é n la v e l o c i d a d d e s p u é s d e 1 2

s e g u n d o s .

10.- U n a p e l o t a d e 1 0 0 g r a m o s , m o v i é n d o s e a una v e l o c i d a d d e 40n/seg

t o c a t i e r r a y s e h u n d e en e l l a 8cm. c o n s i d e r a n d o la a c e l e r a

-c i ó n -c o n s t a n t e d u r a n t e el i m p a -c t o , e n -c o n t r a r ,

a ) La f u e r z a " a p l i c a d a "

b ) El c a m b i o d e c a n t f d a d d e m o v i m i e n t o

11.- Dos masas de 2 x 1 0 kg están c o l o c a d a s a 2 m e t r o s d e s e p a r a c i ó n

e n c o n t r a r la f u e r z a g r a v i t a t o r i a e n t r e e l l a s .

R . = .667N .

II.- La f u e r z a g r a v i t a t o r i a e n t r e 2 g r a n d e s e s f e r a s i d é n t i c a s es de

1.3N c u a n d o están s e p a r a d a s 1 . 8 m e t r o s . C a l c u l a r la masa d e

--cada e s f e r a .

(14)

C A P I T U L O I I

f

O B J E T I V O P A R T I C U_L A R

Al termino del capítulo, el alumno aplicará los conceptos y ecuaciones del

mo-vimiento circular en la solución de problemas,

O B J E T I V O S E S P E C I F I C 0 S

• • ¿i

El alumno:

- Definirá desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular,

- Enunciará el concepto revolución,

- Mencionará la unidad de medida angular,

- Expresará el desplazamiento a»|ülar en gradoe, revoluciones y radianes.

- Deducirá ecuaciones para el desplazamiento ángular, velocidad angular y ace leración angular,

- Utilizará los conceptos anteriores en la resolución de problemas,

- Distinguirá los conceptos de "Fuerza Centrípeta1' y "Fuerza Centrífuga".

C A P I T U L O N O . 2

M O V I M I E N T O A N G U L A R

( C I N E M A T I C A DE LA R O T A C I O N )

r r : s

t

r :

s e n

: r

9 a r e n , o s d e e s t u d ! ¡ r

-r a -r en tornó a un eié •m O V l m i e n t° d e = u e r p o q u e se h a c e g i rar a d i c h o c u e r p o ' l a s c a u s a s qu e h i c i e r o n g l

-D ES P L A Z A M I E N T O A N G U L A R Y V E L O C I D A D A N G U L A R .

Í ^ R E F I R I - Z F - ' - F I " » - - " - " " « - " » ' " " » " : ; « ! '

de las r u e d a , rfí e j e m p l o , en el c a s o de la m a y o r í a 3 tan l í n e a ! 3 t m a q u i n a r a , los e j e s de r o t a c i ó n los r e p r e s e n

-a el p l -a n o d % ^ .3 1 1 5 C M t r " * « P. r » . . S i c. " r

PIANO OÍ ¿A

£jm OS

, • — - _ _ rtorActoh*

el e x t r p a " P Í e d r ¿ v u e l t a s , a m a r r a d a en

(15)

C A P I T U L O I I

f

O B J E T I V O P A R T I C U_L A R

Al termino del capítulo, el alumno aplicará los conceptos y ecuaciones del

mo-vimiento circular en la solución de problemas,

O B J E T I V O S E S P E C I F I C 0 S

• • ¿i

El alumno:

- Definirá desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular,

- Enunciará el concepto revolución,

- Mencionará la unidad de medida angular,

- Expresará el desplazamiento a»|ülar en gradoe, revoluciones y radianes. - Deducirá ecuaciones para el desplazamiento ángular, velocidad angular y ace

leración angular,

- Utilizará los conceptos anteriores en la resolución de problemas,

- Distinguirá los conceptos de "Fuerza Centrípeta1' y "Fuerza Centrífuga".

C A P I T U L O N O . 2

M O V I M I E N T O A N G U L A R

( C I N E M A T I C A DE LA R O T A C I O N )

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9 a r e n , o s d e e s t u d ! ¡ r

-r a -r en tornó a un eié •m O V l m i e n t° d e = u e r p o q u e se h a c e g i rar a d i c h o c u e r p o ' l a s c a u s a s qu e h i c i e r o n g l

-D ES P L A Z A M I E N T O A N G U L A R Y V E L O C I D A D A N G U L A R .

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de las r u e d a , rfí e j e m p l o , en el c a s o de la m a y o r í a 3 tan l í n e a ! 3 t m a q u i n a r a , los e j e s de r o t a c i ó n los r e p r e s e n

-a el pl-ano

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V

^

.

3 1 1 5 C M t r

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PIANO OÍ ¿A

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(16)

Un c u e r p o r í g i d o d e s c r i b e u n a r o t a c i ó n p a r a s i t o d a s l a s p a r t í c u l a s d e l c u e r p o se m u e v e n en c í r c u l o s , y l o » c e n t r o s d e -e s o s c í r c u l o s , f o r m a n p a r t -e d -e u n a l í n -e a r -e c t a q u ® s-e l l a m a , c o m o lo h e m o s d i c h o , e j e d e r o t a c i ó n .

l a r a el p l a n o d e la h o j a y se e n c u e n t r a en e l o r i g e n d e n u e s t r o m a r c o d e r e f e r e n c i a . Si t r a z a m o s l í n e a s r e c t a s d e s d e c u a l q u i e r p u n t o d e l c u e r p o a el e j e d e r o t a c i ó n , t o d a s e s a s l í n e a s " b a r r e r á n " el m i s m o á n g u l o al r o t a r l o en un i n t e r v a l o d e t i e m p o d a d o . A s í p u e s , p o d e m o s d e s c r i b i r la r o t a c i ó n d e un c u e r p o r í g i d o c o n s i d e r a n d o el m o v i m i e n t o d e c u a l q u i e r a d e l a s p a r t í c u l a s (tal c o m o la p a r t í c u l a P d e la f i g . a n t e r i o r ) q u e f o r m a n el c u e r p o .

E l á n g u l o 0 e n la f i g . a n t e r i o r , es la p o s i c i ó n a n g u l a r d e la p a r t í c u l a P c o n r e s p e c t o a la p o s i c i ó n d e r e f e r e n c i a ,

t r a r i a m e n t e h e m o s e s c o g i d o c o m o s e n t i d o p o s i t i v o d e la r o t a c i ó n , el c o n t r a r i o a l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j . (así lo t o m a r e m o s -s i e m p r e e n e -s t e f o l l e t o ) .

D e f i n i r e m o s p r i m e r o a l g u n o s c o n c e p t o s r e l a c i o n a d o s c o n el m o v i m i e n t o a n g u l a r .

El r a d i á n ( r a d . ) e s la u n i d a d d e d e s p l a z a m i e n t o e n e l moví, m i e n t o a n g u l a r . C o m o e s el c e n t í m e t r o o e l m e t r o e n e l d e s p l a

-z a m i e n t o l i n e a l . U n a p a r t í c u l a e n r o t a c i ó n h a d e s p l a -z a d o u n ra d i á n c u a n d o h a r e c o r r i d o u n a d i s t a n c i a , i g u a l a la d i s t a n c i a d e d i c h a p a r t í c u l a , a su e j e d e r o t a c i ó n , o g r á f i c a m e n t e .

£j€ O* /JofACfM

d o n d e » « " es u n r a d i a n si la m a g n i t u d d e l a r c o "a" p « i d i s t a n c i a d e la p a r t í c u l a a su e j e d e r o t a c i ó n " r " . ^ * ^

c i e n t e ^ d e ' Í a m a a n i ^ ' h V ™ 9 r Í e g a q U G ^ p r e s e n t a el c o -c i e n t e d e la m a g n i t u d d e l p e r í m e t r o d e u n a -c i r -c u n f e r e n -c i a v su d i á m e t r o e q u i v a l e a 3 . 1 4 1 6 a p r o x i m a d a m e n t e . Y S U ~

p e r í m e t r o = j f = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 4 . . .

d i á m e t r o ( 3 . 1 4 1 6 ) S a b e m o s t a m b i é n q u e d o s r a d i o s h a c e n un d i á m e t r o ( D = 2 r ) . P r e g u n t a r a h o r a c u á n t o s r a d i a n e s t i e n e u n a c i r c u n f e r e n c i a e s c o m o p r e g u n t a r c u á n t o s a r c o s d e m a g n i t u d "r" ( c u á n t o ^

f o r m a n u n a c i r c u n f e r e n c i a . r a d i o s )

Si c o m o v i m o s 7f d i á m e t r o s h a c e n u n a c i r c u n f . r e n c i a , e n t o n c " o ^ l V ' l m " ' « * 1 2 °b l: ,d e r a d Í O S p a r a f o r m*r c i r c ú n f e r e n

cía, o s e a , 2 r a d i o s . d e a h í q u e u n a c i r c u n f e r e n c i a t e n g a ; ~

2 71 r a d i a n e s = 6 . 2 8 3 2 r a d i a n e s

y si q u e r e m o s s a b e r l o s g r a d o s p o r radia'n ( ® / r a d ) d i v i d i r e m o s ( l ^ l t T ) U n a c i r c u n f e r e n c i a ( 3 6 0 » ) e n t r e s u s r a d i a n e s

-360®

= 57 . 296® 2 f 1 r a d

o t r a u n i d a d d e d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e s la r e v o l u c i ó n .

(17)

Y a q u e s a b e m o s c o m o m e d i r u n d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r , v e a m o s a h o r a c o m o p o d r e m o s m e d i r la v e l o c i d a d c o n q u e p u e d e g i r a r un -c u e r p o al p o n e r s e e n r o t a -c i ó n e n t o r n o a u n e j e .

C o m o lo m e n c i o n a m o s a n t e r i o r m e n t e , si t r a z a m o s l í n e a s r e c -t a s d e s d e c u a l q u i e r p u n -t o d e u n c u e r p o q u e e s -t é e n r o -t a c i ó n , h a s ta su e j e , e s t a s l í n e a s b a r r e r á n e l m i s m o á n g u l o en u n i n t e r v a l o de t i e m p o t , e n t o n c e s si 9 e s t á e x p r e s a d o e n r a d i a n e s y el t i e m p o en s e g . p o d e m o s e n c o n t r a r la v e l o c i d a d a n g u l a r p r o m e d i o c o n -q u e g i r a e l c u e r p o m e d i a n t e la e c u a c i ó n :

0

-w = — (-w e s u n a l e t r a m i n u s c u l a g r i e g a q u e se l e e o m e g a ) .

o en p a l a b r a s :

A n g u l o g i r a d o

V e l o c i d a d a n g u l a r = t i e m p o t r a n s c u r r i d o

A s í l a s u n i d a d e s de la v e l o c i d á d a n g u l a r s o n :

r a d / s e g ; r e v / m i n ó r . p . m . ( r e v o l u c i o n e s p o r m i n u t o s ) Si c o m p a r a m o s ;

- Q d w = — c o n v = —

e c u a c i ó n d e la v e - e c u a c i ó n d e la V £ l o c i d a d p r o m e - - l o c i d a d p r o m e d i o d i o a n g u l a r . l i n e a l .

e n c o n t r a m o s q u e :

w e s a n á l o g a a v

\ 0 e s a n á l o g a a d

m á s a d e l a n t e h a l l a r e m o s q u e a m b o s m o v i m i e n t o s e s t á n i n t i m a m e n t e r e l a c i o n a d o s .

E j e m p l o : Se h a c e g i r a r un c u e r p o d u r a n t e 10 s e g . , t e n i e n d o un N o . 1 d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r de 2 4 0 r e v . , c a l c u l a r :

a) E l á n g u l o g i r a d o en r a d i a n e s .

b) La v e l o c i d a d a n g u l a r p r o m e d i o en r a d / s e g .

c) La v e l o c i d a d a n g u l a r p r o m e d i o en r e v / m i n ( r . p . m . )

R a z o n a m i e n t o :

Se c o n o c e :

9 - 2 4 0 r e v .

t = 10 s e g .

a) P a r a e x p r e s a r ^9 en r a d i a n e s u t i l i z a m o s la r e l a c i ó n e n t r e el r a d i a n y la r e v o l u c i ó n , e n t o n c e s :

1 r e v . = 27í rad

e x p r e s a d o c o m o q u e b r a d o de. e q u i v a l e n c i a .

¡2 lf r a d ) \ 1 r e v )

P o r lo t a n t o :

r e v - 2 4 0 r e v ( 2 ? ¿ t y - 4 8 0 rad

e n t o n c e s : 9 « 4 8 0 7T rad

b) P a r a e x p r e s a r la v e l o c i d a d a n g u l a r en r a d / s e g , e m p l e a

m o s la e c , ~ 9

w = —

S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s :

480ff rad

w

1 0 s e g

w « 4 8 Tf r a d / s e g

4 8 7f r a d / s e g

c) A h o r a c a l c u l e m o s la v e l o c i d a d a n g u l a r en r . p . m . ( r e v . p o r m i n u t o ) p a r a esto, d e b e m o s t r a n s f o r m a r 10 s e g a m i n c o n la s i g u i e n t e r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a .

60 s e g «= 1 m i n .

e x p r e s a d o c o m o q u e b r a d o :

m i n \ í 1 m i n \ \ 6 0 s e g / V 6 0 s e g /

y m u l t i p l i c a n d o p o r " 1 0 s e g . :

1 0

- ( f e s f f i - i g

m i n = — m i n b

9 y

e n t o n c e s e m p l e a n d o d e n u e v o la e c . w = t e n e m o s :

2 4 0 r e v 1 / 6 m i n t - - m i n

w 9 2 4 0 r e v

? m i n

w

1 , 4 4 0 r e v / m i n

(18)

E j e m p l o : U n a r u e d a de m a q u i n a r i a g i r a c o n u n a v e l o c i d a d a n g u l a r de N o . 2 26.<Tf r a d / s e g , c a l c u l a r su d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r en un

--t i e m p o d e 5 m i n . R a z o n a m i e n t o :

D a t o s

w = 2 6 ff r a d / s e g P a r a e n c o n t r a r el d e s p l a z a m i e n t o -e m p l -e a m o s la -e c u a c i ó n :

t = 5 m i n

9 9 = ? v =

-y d e s p e j a n d o 9 e n t o n c e s : 9 = w t

T r a n s f o r m a n d o los 5 m i n . a s e g . p o r m e d i o de la r e l a c i ó n el q u e b r a d o de e q u i v a l e n c i a :

60 seg = 1 m i n 60 s e g "v

l m i n

m u l t i p l i c a n d o p o r 5 m i n u t o s :

5 - " ( ^ L Ü F ) - 3 0 0 S E G

y s u s t i t u y e n d o :

0 = 26tf r a d / s e g x 3 0 0 s e g e n c o n t r a m o s el r e s u l t a d o :

9^°= 7 ,80 0 11 r a d

A h o r a si q u e r e m o s t r a n s f o r m a r 9 a r e v o l u c i o n e s u s a r e m o s el q u e b r a d o de e q u i v a l e n c i a .

(

1 r e v \ 2 re r a d )

peup e l q u e m u l t i p l i c a r e m o s l o s 7 , 8 0 0 T Í r a d i a n e s .

pea: lo t a n t o : 1

o g e a : 9 = 3 , 9 0 0 rev

7 ,800-«

r a d

( 2 ^

r

r I < ^

C 3 / 9 0 0 r e V

A C E L E R A C I O N A N G U L A R .

la f 5 r L l "l e r a C Í 6 n 1 1 , 1 6 3 1 f U S - el c u r s o d e F í s i c a I p o r a = V - v0

el t i e m p o ^ Í n d Í C a 6 1 C a m b Í O e n l a v e l o c i d a d d u r a n t e

-c o m o se E m e n t a * % °b j e t°S n o t a c i ó n t a m b i é n n o s i n t e r e s a c o n o c e r t u d i a r la a r p í o d i s m m u y e la v e l o c i d a d ; p o r t a n t o , t e n e m o s q u e e s v e l o c i d a d a ^ L T ^ S n g U l a r' 8 5 d " i r ' 6 1 * " « < > en la r

g i r a n d ^ ^ r L ' f o r m u í r r1 6 1 1 < • « • > * * - s i q u i e r o b . e t o

oC =

w

~

W o t

d o n d e : O C = a c e l e r a c i ó n a n g u l a r . w = v e l o c i d a d a n g u l a r f i n a l . w0 = v e l o c i d a d a n g u l a r i n c i a l . t = t i e m p o t r a n s c u r r i d o .

L a s u n i d a d e s d e la a c e l e r a c i ó n a n g u l a r s e r á n l a s de v e l o c i d a d e n9s e :rv r e n t Í e m P° ' A S Í' P°r ^ ^ o , si t ^ m ^ -r a d / H j " r a d/s e^ . l a a c e l e r a c i ó n a n g u l a r v e n d r í a e x p r e s a d a en c i 6 n a n g u l a r ? " " " q U e * * S X p r e S a l a a c e l e r a -«« * l a.a c e l e r a c i 6 n a n g u l a r e s u n i f o r m e , t e n e m o s , c o m o en el c a -p o r ^ m°V l m i e n t° l i n e a 1' l a v e l o c i d a d a n g u l a r m e d i a v i e n e d a d a

w = W o + w

2

a n a u l ^mLh a b r á S n° ía d 0' a h°r a l 3 S e c u a c i o n e s ^ e l m o v i m i e n t o a n g u l a r son s e m e j a n t e s a l a s d e l m o v i m i e n t o l i n e a l , la d e d u c c i ó n de o t r a s n u e v a s n o s l l e v a r á n al m i s m o d e s a r r o l l o d e F í s i c a I p a r a o

-c l u i r f i n a l m e n t e q u e : p o n

2 2

w = wo + 2 OC 9

(19)

En e s t a p a r t e d e l c a p i t u l o , a n t e s d e r e s o l v e r u n o s c u a n t o s e j e m p l o s ma's , v a m o s a r e d o n d e a r la s i m i l i t u d q u e e x i s t e e n t r e l a s e c u a c i o n e s d e l m o v i m i e n t o r e c t i l i n e o con las del movimiento angular c o l o c á n d o l a s

frente a frente.

d =vt e = w t

v = V o + a t

V =

V2= V o2+ 2 a d

W=Wo-f eC t

- W o + W

W = r—

W2= W O2 + 2OC e

d = V o t + at 9 = W o t +

a c = v

« t

F e « m

N o t a r e m o s q u e l a s f o r m u l a s d e a c e l e r a c i ó n y f u e r z a c e n t r í p e t a son

e x c l u s i v a s d e l m o v i m i e n t o a n g u l a r .

La f o r m u l a v = w r

r e l a c i o n a a m b o s m o v i m i e n t o s

Ej e m p l o N o . 3

L a r u e d a de c i e r t o a u t o m ó v i l e s t a g i r a n d o a u n a v e l o c i d a de 1 0ré v / s e g , en el i n s t a n t e e n q u e e l a u t o e m p i e z a a dis m i n u i r u n i f o r m e m e n t e su v e l o c i d a d h a s t a p a r a r s e . Si invi te 3 0 s e g en p a r a r , a ) ¿ C u á n t o s g i r o s c o m p l e t o s da l a *r u é a n t e s d e p a r a r s e ? , b ) Si e l r a d i o d e la r u e d a es 0 . 3 m , -¿ Q u é d i s t a n c i a r e c o c r e e l a u t o a n t e s d e p a r a r s e ? .

R a z o n a m i e n t o : a ) D a t o s

w . - 1 0r e7 / s e g

v~ 0

t « 3 0 s e g

Una de l a s f o r m a s de r e s o l v e r el nrnKi«»«, e n c o n t r a r en r e v / s e « la v e l o r í l f í p r o b l e m a e s :

l o s ú l t i m o s 30 s e g u n d o s d . s u m o v, p r°m e d i o ^ 1« r u e d a en 6 ae su m o v i m i e n t o c o n la f ó r m u l a .

w - w o+v

de a h í c o n 9 = w t

a ) w

-— „ 1 0 r « v / s e e + 0

w>=5rev/seg

b ) « - w t ~ 5r e v/ s e8 X3 0 s e g

9 * 1 5 0 r e v

\á m * . ( 2 n r r ) . vueltas dadaa perímetro de

por la rueda una circunferencia

d- (150)(2 x t).3m)

d - (150)(2x3.1416.x ,3)m

(20)

Ejemplo: Un automóvil de 4900mts, de peso esta tomando una curva en una esquina a N o . 4 u n a v e l o c i d a d d e 6 m / s e g , y m a r c h a a lo l a r g o d e u n a r c o de c i r

c u n f e r e n c i a e n la m a n i o b r a . Si el r a d i o d e l a r c o es 1 8 m . - ~ ¿ Q u é f u e r z a h o r i z o n t a l d e b e ser e j e r c i d a p o r e l p a v i m e n t o s o b r e l a s r u e d a s p a r a m a n t e n e r l o en la t r a y e c t o r i a c i r c u l a r ? .

es

R a z o n a m i e n t o : L a f u e r z a r e q u e r i d a e s la f u e r za centr í p e t a ,

v2 w

F c = m — , en d o n d e la m a s a es m = —

r g

Datos:

y la f ó r m u l

W = 4 9 0 0 n t

v = 6 m/ s e g

r = 18m

F r = ?

W 4 9 0 0 n t c n n i " T 9 . 8 m / s e g8 =5 0 0 k g

F =m

F = 5 0 0 k g x 3 6 m ^ / s e g2 18m

_ 5 0 0 x 3 6 . , o ^

18~" J

F = 1 0 0 0 n t s

E j e m p l o : A u n a b o l a a t a d a e n e l e x t r e m o d e u n h i l o se l e h a c e g i r a r e n N o* 5 u n c í r c u l o v e r t i c a l d e r a d i o r^ b a j o la a c c i ó n d e la g r a v e d a d ,

t a l c o m o se m u e s t r a e n l a f i g .

¿Cuál será la tensión d e l h i l o c u a n d o la b o l a e s t á e n e l p u n t o A d e la tra y e c t o r i a , si la v e l o c i d a d d e la b o l a en d i c h o p u n t o es v ? .

(A la s o l u c i ó n de e s t e t i p o d e p r o b l e m a s i n n ú m e r o s , se l l a m a d e d u c c i ó n m a t e m á t i c a ) .

R a z o n a m i e n t o

P a r a q u e la b o l a se m u e v a en un c í r c u l o d e b e h a b e r u n a ser ía%t e h a C Í a 6 1 C e n t r° d e l c í r c u l o ; é s t a d e b e ser i g u a l a la f u e r z a c e n t r í p e t a . D o s f u e r z a s c o n la -m i s -m a d i r e c c i ó n y s e n t i d o a c t ú a n s o b r e la b o l a e n el punto to p eas oa CdCe T 6 T> ^ - c i ó n ¿ e L g r a v e d a d

(o p e s o d e l c u e r p o ) . La s u m a d e e s t a s f u e r z a s es i g u a l a la f u e r z a c e n t r í p e t a .

E n t o n c e s :

F c = T + W = m — r

Por c o n s i g u i e n t e , la t e n s i ó n de la c u e r d a es 2

T - - W

mv

- mg

T = m

(21)

O b s e r v a n d o la e c u a c i ó n q u e h e m o s d i v i d i d o p o d e m o s c o n c l u i r v a r i a s cosa; c u a n t o m á s g r a n d e sea la m a s a " m " , la v e l o c i d a d " v " m a y o r s e r á la tenl s i o n , c u a n t o m á s p e q u e ñ o s e a el r a d i o

Si — es i g u a l a g la t e n s i ó n es c e r o .

m a y o r s e r á la t e n s i ó n .

S i es m e n o r a g , la t e n s i ó n s e r á n e g a t i v a , e s t o s i g n i f i c a q u e p a r a e s a s c o n d i c i o n e s e l h i l o n o e s t i r a r á a la b o l a , s i n o q u e t e n d r í a q u e "empujarla1.1 h a c i a a r r i b a p a r a p o d e r m a n t e n e r l a en m o v i m i e n t o circu l a r y c o m o e s o no es p o s i b l e p u s t o q u e h i l o no es u n c u e r p o r i g i d o , di c h a b o l a d e j a r á su t r a y e c t o r i a c i r c u l a r .

Esta f i g u r a r e p r e s e n t a u n a p a r t í c u l a q u e d e s c r i b e u n a c u r v a y la macj nitud d e su v e l o c i d a d p e r m a n e c e c o n s t a n t e . I m a g í n e s e un a u t o m ó v i l que da u n a c u r v a y c u y o m e d i d o r d e v e l o c i d a d p e r m a n e c e i n v a r i a b l e . Jn a p r e n d i z d e F í s i c a d i r í a , a n t e é s t o , q u e la p a r t í c u l a n o t e n d r í a a c e l e r a c i ó n p u e s t o q u e t i e n e la i d e a d e q u e é s t a es s ó l o u n a c o n s e

-u e n c i a de -u n a v a r i a c i ó n en la m a g n i t -u d d e la v e l o c i d a d . P e r o e l o n c e p t o d e a c e l e r a c i ó n es m á s a m p l i o . N o o l v i d e m o s q u e s i e n d o la velocidad u n a c a n t i d a d v e c t o r i a l , si la m a g n i t u d d e la v e l o c i d a d n o varía, su d i r e c c i ó n si e s t á c a m b i a n d o , p u e s la p a r t í c u l a d e s c r i b e ana c u r v a y el v e c t o r v e s t á v a r i a n d o (la d i r e c c i ó n d e la tangeri

e a la c u r v a n o p e r m a n e c e c o n s t a n t e ) . Al v a r i a r la v e l o c i d a d , au_n ?ue s ó l o s e a en d i r e c c i ó n , t e n d r á q u e e x i s t i r u n a a c e l e r a c i ó n c a r a c

-e r í s t i c a así c o m o h a y u n a a c -e l -e r a c i ó n c a r a c t -e r í s t i c a c u a n d o v a r í a o l a m e n t e la m a g n i t u d d e la v e l o c i d a d .

or lo t a n t o p o d e m o s d e c i r q u e e l m o v i m i e n t o r e p r e s e n t a d o en la fi-gura a n t e r i o r es a c e l e r a d o .

^hora p o d e m o s d e f i n i r la a c e l e r a c i ó n q u e e s t á p r e s e n t e en é s t e m o v í [liento de la s i g u i e n t e f o r m a :

La v a r i a c i ó n en la d i r e c c i ó n de la v e l o c i d a d p r o d u c e u n a a c e l e r a c i ó n l l a m a d a : A c e l e r a c i ó n C e n t r í p e t a "

(22)

M O V I M I E N T O C I R C U L A R

FUERZA CENTRIPETA y ACELERACION CENTRIPETA

2. 3.VECTOR VELOCIDAD Y VECTOR ACELERACION.

-t r ^ n a n1^6 1 0 0 3 m e n' i o n a d o n u e s t r o e s t u d i o d e la C i n e m á t i c a s e ha t r i n g x d o c a s i e x c l u s i v a m e n t e a l o s m o v i m i e n t o s r e c t i l í n e o s . En t o s m o v i m i e n t o s , la v e l o c i d a d y 1* a c e l e r a c i ó n se t r a t a r o n c o m o t i d a d e s e s c a l a r e s y c a s i n u n c a - h i c i m o s m e n c i ó n a s u s d i r e c c i ó n , ^ s c i A " S °t r a S r l a b r a S ' n°S h S m O S « ^ o d e s u s m " m o s ' d e i a r ^ S S t U d i a r l o s m o v i m i e n t o s c u r v i l í n e o s n o p 7 » L t V • m®n c i o n a r v e l o c i d a d y la a c e l e r a c i ó n s o n c

d a d e s v e c t o r i a l e s debido a esto,, las m a n e j a r e m o ~ c o m o t a l e s . ~ S u p o n g a m o s q u e u n a p a r t í c u l a d e s c r i b a u n a t r a y e c t o r i a c u r v i l í n e a

Es p o s i b l e c a l c u l a r la v e l o c i d a d i n s t á n t a n e a d e la p a r t í c u l a . P a r a d e f i n i r la v e l o c i d a d c o m o v e c t o r v , es p r e c i s o i n d i c a r , ai m á s d e l a m a g n i t u d , s u direc.cion y s u s e n t i d o . L a d i r e c c i ó n de es t a n g e n t e a la t r a y e c t o r i a en c a d a p u n t o d e e s t a y s u s e n t i d o . a q u e l e n e l q u e la p a r t í c u l a s e e s t á m o v i e n d o .

P o r lo t a n t o , c o n o c i e n d o e l v e c t o r ^ en u n i n s t a n t e d a d o , s e c c e e l v a l o r d e la v e l o c i d a d i n s t á n t a n e a , la d i r e c c i ó n i n s t á n t a n e m o v i m i e n t o ( t a n g e n t e a la t r a y e c t o r i a ) y e l s e n t i d o d e l m o v i m i e e n e s e i n s t a n t e . En la f i g u r a e l v e c t o r v f u e t r a z a d o en va p u n t o s d e la t r a y e c t o r i a .

Estudiemos ahora la aceleración de la partícula:

C u a n d o u n a p a r t í c u l a d e s c r i b e u n a t r a y e c t o r i a c i r c u l a r , c o m o la -p i e d r a q u e g i r a a m a r r a d a e n el e x t r e m o d e u n a c u e r d a , se d i c e --q u e e s t a en m o v i m i e n t o c i r c u l a r .

Si a d e m á s d e e s t o , la m a g n i t u d d e la v e l o c i d a d d e l a p a r t í c u l a -p e r m a n e c e c o n s t a n t e , el m o v i m i e n t o es c i r c u l a r u n i f o r m e .

V e a m o s a h o r a c o m o p o d e m o s d e d u c i r u n a e x p r e s i ó n p a r a la a c e l e r a -c i ó n -c e n t r í p e t a . P r i m e r a m e n t e a n a l i z a r e m o s la v e l o -c i d a d e n 2 p u n t o s d i f e r e n t e s d e la t r a y e c t o r i a c i r c u l a r u n i f o r m e d e u n a p a r t í c ü

la . —

N O T A : E l c a m b i o d e v e l o c i -d a -d v1 t i e n e e s a p o s i c i ó n , p u e s t o q u e la v e l o c i d a d en A , v ^ s u m a d a v e c t o r i a l m e n t e a d i c h o c a m b i o t i e n e c o m o r e s u l

a t t a n t e V . ~ B

La v e l o c i d a d i n s t a n t á n e a se m u e s t r a en l o s p u n t o s , A y B en el e s -q u e m a (a) d e la f i g u r a a n t e r i o r .

(23)

l a d o s c o r r e s p o n d i e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s u n o a l o t r o y se p u e d e e s c r i b i r lo s i g u i e n t e :

8 . V ^

r v

P u e s t o q u e la v e l o c i d a d v e s v a r i a b l e (en d i r e c c i ó n ) y se d e b e a u n a a c e l e r a c i ó n , p u e d e u s a r s e la e c u a c i ó n v = a t , es d e c i r , v -e s r -e -e m p l a z a d a p o r at. D u r a n t e el t i e m p o t, el c u e r p o se m u e v e d e s d e A h a s t a B u n a d i s t a n c i a S = v t . P a r a á n g u l o s p e q u e ñ o s 0 , -la d i s t a n c i a m e d i d a a lo l a r g o d e l a r c o A B e s , a p r o x i m a d a m e n t e , i g u a l a la c u e r d a J3, a s í q u e , u n a c o r t a d i f e r e n c i a , S_ p u e d e s e r r e e m p l a z a d a p o r v t . A l h a c e r e s t a s d o s s u b s t i t u c i o n e s e n la -e c u a c i ó n a n t -e r i o r t -e n -e m o s :

=

r v

S u p r i m i e n d o a t. en a m b o s m i e m b r o s y d e s p e j a n d o "a" q u e d a y t r a s -p o n i e n d o a v , o b t e n e m o s la r e l a c i ó n .

r

^ 2

L u e g o , la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a e s t a d a d a p o r v / r . A c = v2

r

C u a n d o el á n g u l o 0 en la f i g u r a se h a c e m á s y m á s p e q u e ñ o , la -d i s t a n c i a _s -d e l a r c o se h a c e m á s y m á s c e r c a n a a la c u e r -d a , mieii t r a s q u e el c a m b i o en la v e l o c i d a d v 9 , e l c u a l d e la d i r e c c i ó n d e la a c e l e r a c i ó n ja, se a c e r c a m á s a la p e r p e n d i c u l a r A V . E n -el l í m i t e , c u a n d o 0 l l e g a a c e r o , la e c u a c i ó n ac = s e r á v e r d a

R

d e r a m e n t e e x a c t a y la a c e l e r a c i ó n es p e r p e n d i c u l a r a V . ( T o m e m o s en c u e n t a q u e la a c e l e r a c i ó n a n g u l a r ac n o se o b t i e n e e n t r e u n p a r d e p u n t o s s i n o e n un p u n t o e s p e c í f i c o ) .

P a r a q u e u n c u e r p o t e n g a a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a , e s n e c e s a r i o --q u e a c t ú e s o b r e él u n a f u e r z a --q u e p r o d u z c a é s t a a c e l e r a c i ó n . E s ta f u e r z a , r e s p o n s a b l e d e la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a d e l c u e r p o , se d e n o m i n a f u e r z a c e n t r í p e t a (Fe) y e s t á d i r i g i d a h a c i a el e j e d e r o t a c i ó n , e s t o lo p o d e m o s v i s u a l i z a r c o n el e j e m p l o d e la p,i£ d r a a m a r r a d a a la c u e r d a e n el c u a l d i c h a c u e r d a e s p o r la q u e -se t r a s m i t e la f u e r z a j a l a n d o la p i e d r a h a c i a el c e n t r o c o m o --F = m a e n t o n c e s:

2 v F e - m a o F e = m

c r

Si q u e r e m o s e x p r e s a r la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a en f u n c i ó n d e c a n t i d a d e s a n g u l a r e s , t e n d r e m o s q u e e n c o n t r a r l a r e l a c i ó n e n t r e v q u e se le l l a m a v e l o c i d a d t a n g e n c i a l y la v e l o c i d a d a n g u l a r w . S a b e m o s q u e :

d

d ^ , . radianes del arco 0 = — o s e a á n g u l o en r a d i a n e s = —.

r radio

Si d e s p e j a m o s la d i s t a n c i a d e la 2 a . e c u a c i ó n q u e d a : d = 0 r

y lo s u b s t i t u i m o s en la p r i m e r a q u e d a : 0 r _ 0

V t t r

T a m b i é n s a b e m o s q u e w = 0 e n t o n c e s c a m b i e m o s 0 p o r w en la e c u a c i ó n t t a n t e r i o r p a r a e n c o n t r a r q u e :

v = w r d e a h í q u e : 2 2 2

_ v _ w r 2

ac - — = — - — = w r

P o r lo t a n t o la f u e r z a c e n t r í p e t a en c a n t i d a d e s a n g u l a r e s e s :

2

F e = m r w

De e s t a f o r m a en t o d o m o v i m i e n t o c i c u l a r a c t ú a s o b r e el c u e r p o u n a f u e r z a c o n l a s c a r a c t e r í s t i c a s d a d a s a n t e r i o r m e n t e . E s e s t a f u e r z a c e n t r í p e t a la q u e o b l i g a a el c u e r p o a c a m b i a r c o n t i n u a m e n t e la di r e c c i o n d e su v e l o c i d a d d a n d o o r i g e n a la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a . " La f u e r z a c e n t r í p e t a p o d r á s e r e j e r c i d a s o b r e el c u e r p o c o m o lo h e m o s d i c h o p o r m e d i o d e u n a c u e r d a e s t i r a d a o a t r a v é s d e la a t r a c -c i ó n g r a v i t a -c i o n a l e n t r e la t i e r r a y e l -c u e r p o (en el -c a s o d e s a t é l i t e s a r t i f i c i a l e s ) , e t c . Si e s t a f u e r z a d e j a s e d e a c t u a r s o b r e el c u e r p o , su v e l o c i d a d p e r m a n e c e r í a c o n s t a n t e e n d i r e c c i ó n y el m o v i m i e n t o p a s a r í a a s e r r e c t i l í n e o . P r o b a b l e m e n t e y a n o t a s t e e s -to c u a n d o u n a p i e d r a q u e g i r a s u j e t a a u n h i l o , s e s i g u e m o v i e n d o s e g ú n la t a n g e n t e d e la c u r v a a l r o m p e r s e e l h i l o .

(24)

Sobre el cuerpo de masa m actúa la f u e r z a c e n t r í p e t a F e . E l c u e r p o -r e a c c i o n a s o b -r e el h i l o m a n t e n i é n d o l o e s t i -r a d o c o n u n a f u e -r z a --- F e d e n o m i n a d a f u e r z a c e n t r í f u g a .

En la f i g u r a , se m u e s t r a un c u e r p o g i r a n d o s u j e t o p o r u n h i l o . -L a f u e r z a c e n t r í p e t a F e , a c t ú a s o b r e el c u e r p o y e s e j e r c i d a p o r el h i l o . E l c u e r p o a c t ú a e n t o n c e s , t i r a n d o el h i l o c o n f u e r z a -- F e . E s t a s e r í a la f u e r z a c e n t r í f u g a , en e s t e c a s o . O b s e r v a q u e e s e s t a f u e r z a la r e s p o n s a b l e d e q u e el h i l o p e r m a n e z c a e s t i r a d o

(en la f i g u r a , el c u e r p o y el h i l o f u e r o n d i b u j a d o s s e p a r a d a m e n -t e p a r a m a y o r c l a r i d a d ) .

L a f u e r z a c e n t r í f u g a es u n c o n c e p t o a m p l i a m e n t e e m p l e a d o , en g e -n e r a l e-n f o r m a e r r o -n e a P r o b a b l e m e n t e e n c o n t r a r e m o s p e r s o n a s q u e al i n d i c a r l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e u n c u e r p o en m o v i m i e n t o c i r c u l a r , lo h a c e n a s í :

C o l o c a n la f u e r z a c e n t r í p e t a e j e r c i d a p o r u n h i l o p o r e j e m p l o , -c o m o si a -c t u a r a e n el -c u e r p o , y t a m b i é n s o b r e e l -c u e r p o u n a f u e r za c e n t r í f u g a d i r i g i d a h a c i a a f u e r a , q u e s e g ú n e s t a s p e r s o n a s -e q u i l i b r a r í a la f u -e r z a c -e n t r í p -e t a . E v i d -e n t -e m -e n t -e -e s t a f u -e r z a — c e n t r í f u g a q u e a c t ú a s o b r e el c u e r p o , no e x i s t e . Si e s t u v i e s e -a l l í -a n u l -a n d o l-a f u e r z -a c e n t r í p e t -a , el m o v i m i e n t o n o p o d r í -a s e r c i r c u l a r s i n o r e c t i l í n e o u n i f o r m e , c o m o s e e x i g e e n la P r i m e r a L e y d e N e w t o n . P o r o t r a p a r t e , c o m o lo e s t u d i a m o s e n e l c a p í t u -lo u n o , la f u e r z a d e a c c i ó n (en e s t e c a s o la f u e r z a c e n t r í p e t a ) y la f u e r z a d e r e a c c i ó n (la f u e r z a c e n t r í f u g a ) d e b e n e s t a r a p l i -c a d a s o b r e -c u e r p o s d i s t i n t o s y n o s o b r e e l m i s m o -c u e r p o .

0 s e a , la f u e r z a c e n t r í p e t a e s a p l i c a d a s o b r e e l c u e r p o p o r el h i l o , m i e n t r a s q u e la f u e r z a c e n t r í f u g a es a p l i c a d o s o b r e e l h i -lo p o r el c u e r p o .