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Q C 3 0

05

1020115214

L I B B Q Hm. J S ^ r A D V E - R T E N C I A S , XBffltï x z / ^ j ? /> J /Û^s- eT , el p I a z o' o t r o s necesitarán el mismo libro

J-u.d. o, hbros son ,uyos y de la Universidad Si DA-Ñ A S U N L I B R O tiene* qiw sn^it,,;^

JJff

aJELIOTECA CENTRA!.

(5)

I N T R O D U C C I O N

En este semestre, continuaremos nuestro estudio de la Física en la

preparatoria, contando con la colaboración de tu maestro de clase y

-además con el apoyo de este folleto, en donde se incluyen los

conoci-mientos básicos necesarios estipulados para este curso.

Los temas a tratar se han dividido en cuatro capítulos.

En el primer capítulo analizaremos las 3 Leyes del Movimiento de

-Newton y sus aplicaciones, así como también, la Ley de la Gravitación

Universal .

En el segundo capítulo trata el movimiento de rotación de una

par-tícula y su analogía con el movimiento rectilineo, se introducirán

--nuevos conceptos como radián, aceleración centrípeta, fuerza centrípe^

ta y centrífuga.

Luego en el capítulo tercero se explicará la primera y segunda con^

dición de equilibrio utilizando así la suma vectorial.

Finalmente en el cuarto capítulo aplicaremos lo aprendido de

Está-tica del capítulo anterior, resolviendo problemas en donde se

involu-cran máquinas simples como palancas y poleas.

Entre cada tema se incluyen problemas resueltos con el fin de

com-plementar y aclarar los conocimientos expuestos, además de los ejerci_

cios y autoevaluaciones al final de cada capítulo.

SEMESTRE FEBRERO-JUNIO

1

? 3 2 Ü 3

DE 1984

0 B J E T I V O G E N E R A L

C A P I T U L O I

O B J E T I V O P A R T I C U L A R

O B J E T I V O S E S P E C I F I C O S

11 1 ""' ~ '"•'»'• r

-El alumno:

" E ^ ^ V S ^ ! P e 3° ' " " " V e l°C l d a d' ^ e a de acción

- Enunciará la primera Ley de Newton,

- Enunciará la segunda Ley de Newton,

- Definirá los conceptos newton y dina,

- Diferenciará entre peso y masa\

- Enunciará el concepto, cantidad de movimiento,

• Enunciará la tercera Ley de Newton,

- Enunciará la Ley de la Gravitación Universal de Newton,

(6)

C A P I T U L O 1

L E Y E S D E N E W T O N

1 . 0 . E n e s t e p r i m e r c a p í t u l o d e F í s i c a I I v a m o s a e s t u d i a r c u a t r o d e l a s l e y e s d e S i r I s a a c N e w t o n , F í s i c o y M a t e m á t i c o I n g l é s n a c i -d o e n 1 6 4 2 y m u e r t o 8 5 a ñ o s -d e s p u é s , la g r a n -d e z a -d e e s t e h o m b r e , m a n i f e s t a d a en v a l i o s a s a p o r t a c i o n e s a la c i e n c i a q u e d a p r e s e n -t e e n u n a f r a s e m o d e s -t a m e n -t e p r o n u n c i a d a e n su l e c h o d e m u e r -t e :

"Si v i m á s a l t o q u e l o s d e m á s f u e p o r q u e e s t u v e p a r a d o en l o s -h o m b r o s d e u n g i g a n t e "

Si b i e n N e w t o n e n u n c i o p o r p r i m e r a v e z d e u n m o d o p r e c i s o l a s l e y e s n a t u r a l e s d e l m o v i m i e n t o , c a b e s e ñ a l a r q u e la F í s i c a , o -e s p -e c í f i c a m -e n t -e , la m -e c á n i c a n o c o m -e n z ó c o n N -e w t o n . A l g u n o s l -e h a b í a n p r e c e d i d o en e s t o s e s t u d i o s , s i e n d o e l m á s d e s t a c a d o G a -l i -l e o G a -l i -l e i , q u i é n , e n s u s t r a b a j o s d e m o v i m i e n t o a c e -l e r a d o , h a b í a e s t a b l e c i d o l o s f u n d a m e n t o s p a r a la f o r m u l a c i ó n p o r N e w -t o n d e s u s l e y e s d e m o v i m i e n -t o .

D e f i n i c i o n e s :

P e s o ; M e d i d a d e la f u e r z a c o n q u e s o n a t r a í d o s l o s c u e r p o s p o r la g r a v e d a d .

M a s a : C a n t i d a d d e m a t e r i a c o n t e n i d a e n u n c u e r p o . V e l o c i d a d : Ra'pidez d e l c a m b i o d e p o s i c i ó n .

A c e l e r a c i ó n : R a p i d e z d e l c a m b i o d e v e l o c i d a d .

in¿b5.. a c c i ó n d e u n a f u e r z a : L í n e a i m a g i n a r i a e n la q u e se e £ p e c i f i c a l a d i r e c c i ó n d e u n a f u e r z a .

Ijiercia : O p o s i c i ó n q u e p r e s e n t a n l o s c u e r p o s a c a m b i a r s u e s t a -d o , y a s e a -d e r e p o s o o m o v i m i e n t o .

1 . 1 . P R I M E R A L E Y D E N E W T O N .

L a p r i m e r a l e y d e N e w t o n d e l m o v i m i e n t o establece q u e : " U n c u e r -p o e n re-poso o e n m o v i m i e n t o u n i f o r m e y r e c t i l í n e o -p e r m a n e c e r á e n r e p o s o o e n m o v i m i e n t o u n i f o r m e y r e c t i l í n e o a m e n o s q u e se l e -a p l i q u e u n -a f u e r z -a e x t e r i o r " .

E s t o f á c i l m e n t e l o p o d e m o s i m a g i n a r c o n u n e x p e r i m e n t o c o n o c i d o c o m o e x p e r i m e n t o d e i n e r c i a d e G a l i l e o .

c l i n a d o , ° s u b i r ¿ ¡ C " " t ' ^ » » * » -la m i s m l a 1 t u r a „ ?t r? P l 3 n° h 3 S t a a p r o x i m a d a m e n t e y Si al l l e g a r ¡ 1 f o n d o , ? * l n c l i n a c i™ d e l s e g u n d o p l a n o

1 - s o b r e u n ' p L n ^ , ' ^ c l T o S ^

s - i :

S E G U N D A L E Y D E N E W T O N .

A h o r a b i e n , el N e w t o n se d e f i n e c o m o la f u e r z a q u e al a p l i c a r s e

-c o \ st a n mt eC d° en SÍa:/ t:e a a2Ur " " ^ p r o d u c e ' u n a a c ^ c i ó n m / s e g ( e n a u s e n c i a d e f r i c c i ó n ) . D e a h í q u e l a s

u n i d a d e s d e l N e w t o n e n el s i s t e m a M K S s o n : q

1 N t = 1 K g x 1 m s e g

E n e l s i s t e m a C G S la u n i d a d d e f u e r z a e s la d i n a .

d eai ^ 7 fmoSl Ía f U!r Z a q U S aPl i c a d a f o r m a c o n s t a n t e a u n a m a s a d e 1 g r a m o l e p r o d u c e u n a a c e l e r a c i ó n c o n s t a n t e d e 1 c m / s e g 2

D e a h í q u e :

1 D i n a = 1 g x 1 -SE» s e g ¿

1 N t = 1 x 1 0 d i n a s

L a s e g u n d a l e y d e N e w t o n p u e d e e s c r i b i r s e e n f o r m a de e c u a c i ó n :

F a = —

m

11 a m a d a ^ " ^ r n a m^e m b r o S d e e c u a c i ó n p o r m o b t e n e m o s la l l a m a d a e c u a c i ó n d e f u e r z a s " la c u a l e s b a s e d e m u c h o s p r i n c i -p í o s d e m e c a n i c a .

F = m a

F u e r z a = m a s a x a c e l e r a c i ó n

(7)

D e s p r e c i a n d o la f r i c c i ó n , c a l c u l a r la f u e r z a n e c e s a r i a , p a r a a c e -l e r a r 3.5 m / s e g2, u n a m a s a d e 8 K g .

a) E n N e w t o n b ) E n d i n a s S o l u c i o n :

D a t o s : F = ?

a = 3.5 m / s e g m = 8 Kg .

S u b s t i t u y e n d o v a l o r e s en la e c u a c i ó n a ) F = m a

q u e d a :

2 F = 8 Kg x 3 . 5 m / s e g F = 28 N t

5 . , 1 x 10 d i n a s b ) c o m o 1 N t = 1 x 10 d i n a s ( T ~ Ñ t

28 ^ x ( l x l°5^ j -n a S ) = 28 x 105dinas = 2.8 x 10( = 2.8 x 10 dinas

1 . 3 . D I F E R E N C I A E N T R E P E S O Y M A S A .

C u a n d o se d e j a q u e c a i g a l i b r e m e n t e u n a m a s a " m " , es la f u e r z a de g r a v e d a d c o n s t a n t e h a c i a a b a j o la q u e o r i g i n a su a c e l e r a c i ó n cons-t a n cons-t e . Si la s e g u n d a ley d e N e w cons-t o n s e a p l i c a a e s cons-t e m o v i m i e n cons-t o , la f u e r z a F n o e s o t r a q u e el p e s o , " F g " , d e l c u e r p o y la a c e l e -r a c i ó n " aH es d e b i d a a la a c e l e r a c i ó n de la g r a v e d a d " g " . P a r a d -l o s c u e r p o s q u e c a e n , -la e c u a c i ó n d e -la f u e r z a , F = m a se e s c r i b e c o n s í m b o l o s d i f e r e n t e s :

Fg = m g

P e s o = m a s a x a c e l e r a c i ó n d e la g r a v e d a d

I m p o r t a n o t a r q u e el p e s o d e u n c u e r p o v i e n e d a d o p o r m gr t a n t o si

c a e l i b r e m e n t e c o m o si e s t á en r e p o s o (a = 0) » P e s o y f u e r z a t i e n e n a m b o s m a g n i t u d y d i r e c c i ó n y , p o r t a n t o , s o n

c a n t i d a d e s v e c t o r i a l e s . La m a s a , p o r o t r a p a r t e , es u n a c a n t i d a d e s c a l a r p u e s t o q u e s o l o t i e n e m a g n i t u d . L a d i f e r e n c i a e n t r e p e s o y m a s a e s t á i l u s t r a d a al i m a g i n a r n o s u n c u e r p o d a d o en el e s p a c i o l i b r e , a i s l a d o d e s u s d e m á s c u e r p o s y d e su a t r a c c i ó n g r a v i t a c i o -n a l . A l l í , el c u e r p o e-n r e p o s o t e -n d r í a m a s a , p e r o -n o t e -n d r í a pese En la e c u a c i ó n F g = m g p o d e m o s d e f i n i r V c o m o el p e s o p o r u n i d a d d e m a s a , de a h í quer tFg" e s i g u a l a la m a s a m u l t i p l i c a d a p o r el peso p o r u n i d a d d e m a s a .

E j e m p l o N o . 2 .

-C a l c u l a r el p e s o d e un c u e r p o q u e t i e n e u n a m a s a d e 1 Kg

S o l u c i ó n : F g = m g

D a t o s : Fg = ?

m = 1 K g .

g = 9 . 8 m / s e g '

Fg = 1 K g x 9 . 8 m / s e g Fg = 9 . 8 M ™

s e g¿ F g = 9 . 8 N t

E s t e r e s u l t a d o d e m u e s t r a q u e p a r a l e v a n t a r u n a m a s a d e u n k i l o g r a m o , se r e q u i e r e de u n a f u e r z a h a c i a a r r i b a d e 9 . 8 N e w t o n y q u e p e so y m a s a d i f i e r e n e n t r e sí n u m é r i c a m e n t e , "por u n c o e f i c i e n t e -i g u a l a la a c e l e r a c -i ó n d e b -i d a a la g r a v e d a d

C A N T I D A D D E M O V I M I E N T O .

El c o n c e p t o d e c a n t i d a d de m o v i m i e n t o " C M " r e l a c i o n a la m a s a y la v e l o c i d a d de un c u e r p o d e f i n i é n d o s e c o m o el p r o d u c t o d e e s t o s d o s v a l o r a s :

C a n t i d a d d e m o v i m i e n t o = m a s a x v e l o c i d a d C M = m v

D e a c u e r d o c o n e s t a d e f i n i c i ó n , t o d o s l o s c u e r p o s e n m o v i m i e n t o t i e n e n c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o , a s í p o r e j e m p l o u n a m a s a p e q u e ñ a , m o v i é n d o s e a u n a e l e v a d a v e l o c i d a d p u e d e t e n e r la m i s m a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o q u e u n a g r a n m a s a m o v i é n d o s e a b a j a v e l o c i d a d .

E j e m p l o N o . 3 .

-U n a m a s a d e 30 K g se m u e v e a u n a v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e 8 m / s e g . a) E n c o n t r a r su c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o .

b ) ¿ C o n q u é v e l o c i d a d i g u a l a r á e s a c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o u n a m a -sa de 1 2 k g ?

S o l u c i ó n : D a t o s : a ) m *

V »

C M »

30 K g 8 m / s e g ?

b ) y = ? m = 12 k g

C M « 2 4 0 Kg m / s e g

a) C M = m v

C M = 3 0 K g x 8 m / s e g C M = 2 4 0 K g m / s e g

b ) D e s p e j a n d o V de C M s m v q u e d a C M

m V

y c o m o C M • = 2 4 0 k g m / s e g k g m

(8)

La s e g u n d a L e y d e N e w t o n q u e d a m e j o r e s t a b l e c i d a en t é r m i n o s d e la c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o : "La v a r i a c i ó n d e la c a n t i d a d de m o v i -m i e n t o de un c u e r p o r e s p e c t o al t i e -m p o , es p r o p o r c i o n a l a la f u e r z a a p l i c a d a y t i e n e l u g a r s o b r e su l í n e a de a c c i ó n "

La e c u a c i ó n c o n p a l a b r a s e s :

v a r i a c i ó n en la c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o F u e r z a =

F =

t i e m p o t r a n s c u r r i d o V C M

La c a n t i d a d de m o v i m i e n t o en un p u n t o i n i c i a l se p u e d e e x p r e s a r c o m o el p r o d u c t o d e su m a s a y la v e l o c i d a d i n i c i a l .

m V o

y p a r a u n a p o s i c i ó n f i n a l s e r í a : m V

de a h í q u e la v a r i a c i ó n de la c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o " V C M " s e r á : V C M = m V - m V o

V C M = m ( V - V o ) V C M , q u e s u s t i t u i d a en F = — — r e s u l t a

p = m ( V V o ) ( E s t a e c u a c i ó n se p u e d e u s a r en l o s p r o b l e -m a s en q u e se i n v o l u c r e v e l o c i d a d i n i c i a l

" V o " y v e l o c i d a d f i n a l " V " ) y c o m o la a c e l e r a c i ó n es: a = V t e n t o n c e s :

F = m a

E j e m p l o N o . 4 .

-U n a u t o m ó v i l d e 2 5 0 0 K g se .nueve a u n a v e l o c i d a d d<,11> » ^ ^ f f f u e r z a a p l i c a d a d u r a n t e 5 s e g u n d o s a u m e n t a r a s u v e l o c i d a d h a s t a 5 0 m / s e g ?

S o l u c i ó n : D a t o s :

m = 2 5 0 0 K g V o = 1 0 m / s e g

t = 5 seg V = 50 m / s e g

P a r a r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a a p l i c a r e m o s la f ó r m u l a :

m ( V - V o ) t F =

S u b s t i t u y e n d o :

2 5 0 0 K g ( 5 0 m / s e g - 1 0 m / s e g )

F = 5 s e g

F = 2 0 , 0 0 0 K g m / s e g2 F = 2 0 , 0 0 0 N t

.5 . IMPULSO.

Si en la ecuación: p =

m

(V-Vo)

t

multiplicamos ambos miembros por t obtenemos:

Ft = m (V-Vo)

Ft = mV-mVo

impu 1 s o

U

y

C

m V - m V o

^

T

o

^

Z

n

^

i m P U l S

°

C u á l

es el

tidad d , movimiento r , ^ n H r

a m O S

'

6 8 l a v

«i«"=i<5n de la

can-' — i " - « ,

¿ s r z & s s z j m j s & s r z i

í y a r

Ft » mV

™ • « ' • i h f i • 'úf

s í í s í ' c s ; : .

c

*

n t

j

4

;

a

r »

1

-

1

« » " » " «

-1 . . a . S ' Í S S t í

3 , 1 1

"

p

"

1

"

0

" "

g cm

seg"

* Ejemplo No.

5.-(Despreciar la fricción)

T n l T ^ l ' l T t l l o l l

d ' e ^ V

f U e r

"

d e 3 5

' * -

m a s a

Calcular:

b) f l o í

P

? 2 * s ¿ g .

E n C O n t r a r

la cantidad de movimiento,

c) A los 15 seg.

(9)

Solución:

Datos:

t = 12 seg

F = 35 Nt

m = 3 Kg

a) Ft = ?

b) CM

c )

d)

CM

CM

12 seg

8 seg

20seg

a) Calculo del impulso "Ft"

Ft

= 35 N x 12 seg = 35 ff^r

x 1 2 s e

9

Ft = 4 20 Kg m/seg

b) Al calcular el impulso "Ft" hemos

calculado también la cantidad de

movimiento a los 12 segundos, ya

-que:

Ft = mV = CM

y Ft se obtuvo con t = 12 segundos

CM-

n

= 420 Kg m/seg

12seg

c) La cantidad de movimiento a los 8 segundos,

obvia-mente es menor a 420 Kg m/seg puesto que estos se

producen hasta los-12 segundos.

El impulso "Ft" efectuado en los primeros 8

segun-dos, que equivale a la cantidad de movimiento en •

dicho tiempo, es:

Ft = 35

Kg m

2— 7 X

seg = mV = CM

C M

0

= 280 Kg m/seg

8seg

d) La cantidad de movimiento, 20 segundos después de

iniciada la aplicación de la fuerza, más que

usan-do una fórmula, se resuelve razonanusan-do lo que envuel

ve el concepto de impulso y cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento "Ft" ( ya que Ft = mV) máxima que es la

-que se produce justo en el instante en -que se de]a de aplicar la

fuerza, es precisamente lo anteriormente calculada en el inciso

CM = Ft = 420Kg m /seg

Después de retirada la fuerza no existirá impulso alguno que cause

en

los siguientes segundos un aumento en la cantidad de movimiento

De tal

S o ? »

que pasados los 12

s e g u n d o s , la

cantidad de movimiento

de la bola permanecerá constante y equivalente a 420 Kg m/seg.

Si en seguida calculamos la velocidad en t

la fórmula:

Ft = mV

m

y sustituyendo valores

42 0 Kg m/seg

V

" 3 Kg

V = 140 m/seg

= 12 seg despejando "V" de

f

S

:

a h

°

r a

la aceleración durante el impulso con la

. _ V-Vo

a

-Sustituyendo

* - 1 4 0 - 0

a 1 2 —

a = 11.67 m / s e g

2

todo esto para finalmente describir lo ocurrido un tanto "idealiza

do ya que no se toma en cuentra la fricción. idealiza

H ^ Í H t I I ™ - ' r

r

i & s s v - n t t *

una velocidad d

e

fío'm/.

9

°

S d e 8

P

u é s

'

c u a

« * > ^ masa alcanza -

9

í^rt, . ?

1 4 0 m

/

, e i

3 < o sea, cuando se retira la fuerza aol i

cada, a partir de ese momento la masa se desplazará inf i n T Í ^ L n ? "

r I T ,

f U e r

"

9 U e S S a

velocidad constante^ "los

140 m/seg) ,egün la primera ley de Newton, llevando así una

Canti-dad de movimiento de 420 Kg m/seg que le suministro el impulso del

mismo valor durante esos 12 primeras segundos impulso del

. TERCERA LEY DE NEWTON

r r « n n n ^

a

, , Ü

Y

/

e N S W t

° 2

3 f Í r m a :

"

a t 0 d a f u e r z a d e

le co

-rresponde una de reacción igual y opuesta"

De las tres leyes del movimiento de Newton, es esta quizá, la

me-nos comprendida, esto probablemente se deba a que se usa ¿oco cara

n r ^ n

#

L ? n

0 b l e m a 8

;

S i n a m b a r 9

°

8 6 P r e s e n t a

en nuestra vida cotidia

eierc?.n5n S Z ,

P

° í

e j 6 m p l

°

a h o r a

'

t u

^ este momento estas

¿

lítr-t' fuerza sobre este folleto, tanto como él la ejerce

sobre ti, con la misma magnitud y en sentido contrario (suponiendo

con Í £ a

C

* T t ^

m

*

n

°

B )

' °

M é n d U r a n t e 6 1 Í m p a c t o

^e un ¿ S e

(10)

/VO So* ACC/OA/ -A// ACCIOH

y F

AJO JO AI ACC/OH A// /?£4CC/OAJ

F

Z

y r,'

SO AS ACC'O* y t**1

Fz / '

son acc/oaj y Ae^t f , y

F,'

No están representados ni el peso del bloque ni la fuerza ejercir

da sobre él por la superficie. Imaginemos primero el bloque en

-reposo. Las parejas de fuerzas de acción y reacción resultantes

están indicadas en la figura (Realménte las líneas de acción de

-todas las fuerzas se encuentran a lo largo de la cuerda. Los vec

tores fuerza han sido desplazados fuera de sus líneas d e acción

-para representarlos con más claridad). El vector F representa la

fuerza ejercida por el hombre, sobre la cuerda. SÚ reacción es

la fuerza igual y opuesta, ejercida sobre el hombre por la

-cuerda. El vector Y

2

.

Representa la fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque. Su

reacción es la fuerza igual y opuesta F

2

ejercida sobre la cuerda

por el bloque.

Es muy importante comprobar que las fuerzas F- y F

2

, <aunque son •

de sentido opuesto, tienen la misma magnitud tpor estar el bloque

en reposo), no constituyen la pareja de acción y reacción por la

sencilla r4zón de que ambas actúan sobre el mismo cuerpo (la cue

d a K mientras que una acción y su reacción actúan necesariamente

sobre cuerpos diferentes. El hecho de que el bloque se ponga en

movimiento, no cambia en nada las parejas de fuerzas d e acción y

reacción, o sea F

x

y F

l

son acción y reacción, al igual que F

2

y

lo son también del otro lado.

1.7 . LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.

Comunmente se cree que Newton descubrió la gravedad cuando

estan-do debajo de un manzano, le cayó una manzana en la cabeza. Lo

que Newton descubrió después de razonar este hecho fue la ley d

la gravitación universal que dice: «Dos cuerpos cualesquiera se _

atraen uno al otro con una fuerza que es al c ^ d r a d o

al producto de sus m a s a s e inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia que existe entre ellos"

Escrito en sínbolos algebraicos:

d

2

o ? r o V

F

v m

S

¿ 2

f

U e r Z a a t r a c c i 6 n

ejercida entre un cuerpo y

-otro m y m es la masa de cada uno de los 2 cuerpos y "d- es la

separación entre ellos (alfa "c* » «e

n n

=

1 o f r a

í,".

y a e s i a

presenta proporcionalidad)

g r i e g a r e

"

e s

?

r i b i r

como ecuación cambiando la l e t r a s por el

-de la g r a v i t a c i ó n ^ ,

C

°

n s t

3

n t e

^ » l l a m a d a constante n e w t o n i L

-ae ia gravitación, que según experimentos hechos equivale a:

G - 6.673231 x l o "

1 1

Kg seg

2

m e t r o s . " B ± d # ^ n e w t o n s' " V Y m 2 e n nk i l o g r a m o s " y d

Si se utiliza en sistemas CGS la constante G es:

Así:

6.673231 x 1 0 ~

8

c m

3

2

g seg

G

(11)

m.

-.3m

m.

Encontrar la fuerza de atracción mutua entre una masa de 60 Kg y

otra de 8 0 Kg separados .3m

Solución:

Datos:

F = ?

m

1

= 60 Kg

m

2

= 80 Kg

d = . 3m

Sustituyendo directamente en la

ecuación:

m

l

m

2

Encontraremos el resultado

F = 6.67 x l O "

1 1

m

3

Kg S'

^6 0 Kg x 8 0 Kc

3m'

F = 3.56 x 10~

6

Kg m / s e g

2

F = 3.56 x 10"

6

Nt

O sea:

F = .356 dinas

C A P I T U L O I

Autoeval uaci ón y E j e r c i c i o s

Despreciando la f r i c c i ó n , c a l c u l a r la fuerza necesaria para

producirle a una masa de 13kg, una a c e l e r a c i ó n de 4m/seg

2

.

52new.

Una masa de 15kg descansa sobre un plano horizontal l i s o

(sin f r i c c i ó n )

y

se hace actuar sobre el una fuerza h o r i z o n t a l ,

de 30new.

a) ¿Qué acelaración le produce?

b) ¿Qué d i s t a n c i a recorrerá en 10 segundos?

¿Qué carga debe ser capáz de soportar una cuerda si va ha ser

empleada en remolcar un automóvil de 1470kg de manera t a l que

se acelere a .15m/seg

2

?

220.5new.

Calcular el peso de una masa de 60kg.

a) En la t i e r r a

b) En un lugar cuya aceleración de la gravedad es 21m/seg

2

.

|P

(12)

m.

-.3m

m.

Encontrar la fuerza de atracción mutua entre una masa de 60 Kg y

otra de 8 0 Kg separados .3m

Solución:

Datos:

F = ?

m

1

= 60 Kg

m

2

= 80 Kg

d = . 3m

Sustituyendo directamente en la

ecuación:

m

l

m

2

Encontraremos el resultado

F = 6.67 x l O "

1 1

m

3

Kg S'

^6 0 Kg x 80 Kc

3m'

F = 3.56 x 10"

6

Kg m / s e g

2

F = 3.56 x 10"

6

Nt

O sea:

F = .356 dinas

C A P I T U L O I

Autoevaluaci ón

y

E j e r c i c i o s

Despreciando la f r i c c i ó n , c a l c u l a r la fuerza necesaria para

producirle a una masa de 13kg, una a c e l e r a c i ó n de 4m/seg

2

.

52new.

Una masa de 15kg descansa sobre un plano horizontal l i s o

(sin f r i c c i ó n )

y

se hace actuar sobre el una fuerza h o r i z o n t a l ,

de 30new.

a) ¿Qué acelaración le produce?

b) ¿Qué d i s t a n c i a recorrerá en 10 segundos?

¿Qué carga debe ser capáz de soportar una cuerda si va ha ser

empleada en remolcar un automóvil de 1470kg de manera t a l que

se acelere a .15m/seg

2

?

220.5new.

Calcular el peso de una masa de 60kg.

a) En la t i e r r a

b) En un lugar cuya aceleración de la gravedad es 21m/seg

2

.

|P

(13)

6 . - Un a u t o m ó v i l d e 1 5 0 0 k g v i a j a n d o a una v e l o c i d a d de 1 8 m / s e g

c h o c a c o n t r a un árbol y s e d e t i e n e en u n a d i s t a n c i a d e 1.5m

¿Cuál es la f u e r z a f r e n a d o r a e j e r c i d a p o r el árbol s o b r e el

a u t o ?

7 . Una n a s a d e 1 8 k g s e m u e v e a una v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e

-1 2 m / s e g .

a ) E n c o n t r a r su c a n t i d a d de m o v i m i e n t o .

b ) C o n que v e l o c i d a d i g u a l a r á d i c h a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o u n a

m a s a d e 7 kg.

8.- Un c u e r p o d e 2 7 k g lleva u n a v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e 1 3 m / s e g > en

el

m o m e n t o e n q u e e m p i e z a a a c e l e r a r s e a 3 . 7 m / s e g . C a l c u l a r la

-cantidad de

m o v i m i e n t o 1 0 - s e g a d o s

de

i n i c i a d a su a c e l e

-r a c i ó n . | |

9 . ¿Qué v e l o c i d a d a l c a n z a r á u n a p a r t í c u l a de 1 . 5 k g , i n i c i a l m e n t e

en reposo, l u e g o d e que se le a p l i c ó u n a f u e r z a d e 7 5 n e w t o n d u

-r a n t e 8 s e g u n d o s . C a l c u l a -r t a m b i é n la v e l o c i d a d d e s p u é s d e 1 2

s e g u n d o s .

10.- U n a p e l o t a d e 1 0 0 g r a m o s , m o v i é n d o s e a una v e l o c i d a d d e 40n/seg

t o c a t i e r r a y s e h u n d e en e l l a 8cm. c o n s i d e r a n d o la a c e l e r a

-c i ó n -c o n s t a n t e d u r a n t e el i m p a -c t o , e n -c o n t r a r ,

a ) La f u e r z a " a p l i c a d a "

b ) El c a m b i o d e c a n t f d a d d e m o v i m i e n t o

11.- Dos masas de 2 x 1 0 kg están c o l o c a d a s a 2 m e t r o s d e s e p a r a c i ó n

e n c o n t r a r la f u e r z a g r a v i t a t o r i a e n t r e e l l a s .

R . = .667N .

II.- La f u e r z a g r a v i t a t o r i a e n t r e 2 g r a n d e s e s f e r a s i d é n t i c a s es de

1.3N c u a n d o están s e p a r a d a s 1 . 8 m e t r o s . C a l c u l a r la masa d e

--cada e s f e r a .

(14)

C A P I T U L O I I

f

O B J E T I V O P A R T I C U_L A R

Al termino del capítulo, el alumno aplicará los conceptos y ecuaciones del

mo-vimiento circular en la solución de problemas,

O B J E T I V O S E S P E C I F I C 0 S

• • ¿i

El alumno:

- Definirá desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular,

- Enunciará el concepto revolución,

- Mencionará la unidad de medida angular,

- Expresará el desplazamiento a»|ülar en gradoe, revoluciones y radianes.

- Deducirá ecuaciones para el desplazamiento ángular, velocidad angular y ace leración angular,

- Utilizará los conceptos anteriores en la resolución de problemas,

- Distinguirá los conceptos de "Fuerza Centrípeta1' y "Fuerza Centrífuga".

C A P I T U L O N O . 2

M O V I M I E N T O A N G U L A R

( C I N E M A T I C A DE LA R O T A C I O N )

r r : s

t

r :

s e n

: r

9 a r e n , o s d e e s t u d ! ¡ r

-r a -r en tornó a un eié •m O V l m i e n t° d e = u e r p o q u e se h a c e g i rar a d i c h o c u e r p o ' l a s c a u s a s qu e h i c i e r o n g l

-D ES P L A Z A M I E N T O A N G U L A R Y V E L O C I D A D A N G U L A R .

Í ^ R E F I R I - Z F - ' - F I " » - - " - " " « - " » ' " " » " : ; « ! '

de las r u e d a , rfí e j e m p l o , en el c a s o de la m a y o r í a 3 tan l í n e a ! 3 t m a q u i n a r a , los e j e s de r o t a c i ó n los r e p r e s e n

-a el p l -a n o d % ^ .3 1 1 5 C M t r " * « P. r » . . S i c. " r

PIANO OÍ ¿A

£jm OS

, • — - _ _ rtorActoh*

el e x t r p a " P Í e d r ¿ v u e l t a s , a m a r r a d a en

(15)

C A P I T U L O I I

f

O B J E T I V O P A R T I C U_L A R

Al termino del capítulo, el alumno aplicará los conceptos y ecuaciones del

mo-vimiento circular en la solución de problemas,

O B J E T I V O S E S P E C I F I C 0 S

• • ¿i

El alumno:

- Definirá desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular,

- Enunciará el concepto revolución,

- Mencionará la unidad de medida angular,

- Expresará el desplazamiento a»|ülar en gradoe, revoluciones y radianes. - Deducirá ecuaciones para el desplazamiento ángular, velocidad angular y ace

leración angular,

- Utilizará los conceptos anteriores en la resolución de problemas,

- Distinguirá los conceptos de "Fuerza Centrípeta1' y "Fuerza Centrífuga".

C A P I T U L O N O . 2

M O V I M I E N T O A N G U L A R

( C I N E M A T I C A DE LA R O T A C I O N )

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-r a -r en tornó a un eié •m O V l m i e n t° d e = u e r p o q u e se h a c e g i rar a d i c h o c u e r p o ' l a s c a u s a s qu e h i c i e r o n g l

-D ES P L A Z A M I E N T O A N G U L A R Y V E L O C I D A D A N G U L A R .

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de las r u e d a , rfí e j e m p l o , en el c a s o de la m a y o r í a 3 tan l í n e a ! 3 t m a q u i n a r a , los e j e s de r o t a c i ó n los r e p r e s e n

-a el pl-ano

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^

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3 1 1 5 C M t r

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PIANO OÍ ¿A

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(16)

Un c u e r p o r í g i d o d e s c r i b e u n a r o t a c i ó n p a r a s i t o d a s l a s p a r t í c u l a s d e l c u e r p o se m u e v e n en c í r c u l o s , y l o » c e n t r o s d e -e s o s c í r c u l o s , f o r m a n p a r t -e d -e u n a l í n -e a r -e c t a q u ® s-e l l a m a , c o m o lo h e m o s d i c h o , e j e d e r o t a c i ó n .

l a r a el p l a n o d e la h o j a y se e n c u e n t r a en e l o r i g e n d e n u e s t r o m a r c o d e r e f e r e n c i a . Si t r a z a m o s l í n e a s r e c t a s d e s d e c u a l q u i e r p u n t o d e l c u e r p o a el e j e d e r o t a c i ó n , t o d a s e s a s l í n e a s " b a r r e r á n " el m i s m o á n g u l o al r o t a r l o en un i n t e r v a l o d e t i e m p o d a d o . A s í p u e s , p o d e m o s d e s c r i b i r la r o t a c i ó n d e un c u e r p o r í g i d o c o n s i d e r a n d o el m o v i m i e n t o d e c u a l q u i e r a d e l a s p a r t í c u l a s (tal c o m o la p a r t í c u l a P d e la f i g . a n t e r i o r ) q u e f o r m a n el c u e r p o .

E l á n g u l o 0 e n la f i g . a n t e r i o r , es la p o s i c i ó n a n g u l a r d e la p a r t í c u l a P c o n r e s p e c t o a la p o s i c i ó n d e r e f e r e n c i a ,

t r a r i a m e n t e h e m o s e s c o g i d o c o m o s e n t i d o p o s i t i v o d e la r o t a c i ó n , el c o n t r a r i o a l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j . (así lo t o m a r e m o s -s i e m p r e e n e -s t e f o l l e t o ) .

D e f i n i r e m o s p r i m e r o a l g u n o s c o n c e p t o s r e l a c i o n a d o s c o n el m o v i m i e n t o a n g u l a r .

El r a d i á n ( r a d . ) e s la u n i d a d d e d e s p l a z a m i e n t o e n e l moví, m i e n t o a n g u l a r . C o m o e s el c e n t í m e t r o o e l m e t r o e n e l d e s p l a

-z a m i e n t o l i n e a l . U n a p a r t í c u l a e n r o t a c i ó n h a d e s p l a -z a d o u n ra d i á n c u a n d o h a r e c o r r i d o u n a d i s t a n c i a , i g u a l a la d i s t a n c i a d e d i c h a p a r t í c u l a , a su e j e d e r o t a c i ó n , o g r á f i c a m e n t e .

£j€ O* /JofACfM

d o n d e » « " es u n r a d i a n si la m a g n i t u d d e l a r c o "a" p « i d i s t a n c i a d e la p a r t í c u l a a su e j e d e r o t a c i ó n " r " . ^ * ^

c i e n t e ^ d e ' Í a m a a n i ^ ' h V ™ 9 r Í e g a q U G ^ p r e s e n t a el c o -c i e n t e d e la m a g n i t u d d e l p e r í m e t r o d e u n a -c i r -c u n f e r e n -c i a v su d i á m e t r o e q u i v a l e a 3 . 1 4 1 6 a p r o x i m a d a m e n t e . Y S U ~

p e r í m e t r o = j f = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 4 . . .

d i á m e t r o ( 3 . 1 4 1 6 ) S a b e m o s t a m b i é n q u e d o s r a d i o s h a c e n un d i á m e t r o ( D = 2 r ) . P r e g u n t a r a h o r a c u á n t o s r a d i a n e s t i e n e u n a c i r c u n f e r e n c i a e s c o m o p r e g u n t a r c u á n t o s a r c o s d e m a g n i t u d "r" ( c u á n t o ^

f o r m a n u n a c i r c u n f e r e n c i a . r a d i o s )

Si c o m o v i m o s 7f d i á m e t r o s h a c e n u n a c i r c u n f . r e n c i a , e n t o n c " o ^ l V ' l m " ' « * 1 2 °b l: ,d e r a d Í O S p a r a f o r m*r c i r c ú n f e r e n

cía, o s e a , 2 r a d i o s . d e a h í q u e u n a c i r c u n f e r e n c i a t e n g a ; ~

2 71 r a d i a n e s = 6 . 2 8 3 2 r a d i a n e s

y si q u e r e m o s s a b e r l o s g r a d o s p o r radia'n ( ® / r a d ) d i v i d i r e m o s ( l ^ l t T ) U n a c i r c u n f e r e n c i a ( 3 6 0 » ) e n t r e s u s r a d i a n e s

-360®

= 57 . 296® 2 f 1 r a d

o t r a u n i d a d d e d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e s la r e v o l u c i ó n .

(17)

Y a q u e s a b e m o s c o m o m e d i r u n d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r , v e a m o s a h o r a c o m o p o d r e m o s m e d i r la v e l o c i d a d c o n q u e p u e d e g i r a r un -c u e r p o al p o n e r s e e n r o t a -c i ó n e n t o r n o a u n e j e .

C o m o lo m e n c i o n a m o s a n t e r i o r m e n t e , si t r a z a m o s l í n e a s r e c -t a s d e s d e c u a l q u i e r p u n -t o d e u n c u e r p o q u e e s -t é e n r o -t a c i ó n , h a s ta su e j e , e s t a s l í n e a s b a r r e r á n e l m i s m o á n g u l o en u n i n t e r v a l o de t i e m p o t , e n t o n c e s si 9 e s t á e x p r e s a d o e n r a d i a n e s y el t i e m p o en s e g . p o d e m o s e n c o n t r a r la v e l o c i d a d a n g u l a r p r o m e d i o c o n -q u e g i r a e l c u e r p o m e d i a n t e la e c u a c i ó n :

0

-w = — (-w e s u n a l e t r a m i n u s c u l a g r i e g a q u e se l e e o m e g a ) .

o en p a l a b r a s :

A n g u l o g i r a d o

V e l o c i d a d a n g u l a r = t i e m p o t r a n s c u r r i d o

A s í l a s u n i d a d e s de la v e l o c i d á d a n g u l a r s o n :

r a d / s e g ; r e v / m i n ó r . p . m . ( r e v o l u c i o n e s p o r m i n u t o s ) Si c o m p a r a m o s ;

- Q d w = — c o n v = —

e c u a c i ó n d e la v e - e c u a c i ó n d e la V £ l o c i d a d p r o m e - - l o c i d a d p r o m e d i o d i o a n g u l a r . l i n e a l .

e n c o n t r a m o s q u e :

w e s a n á l o g a a v

\ 0 e s a n á l o g a a d

m á s a d e l a n t e h a l l a r e m o s q u e a m b o s m o v i m i e n t o s e s t á n i n t i m a m e n t e r e l a c i o n a d o s .

E j e m p l o : Se h a c e g i r a r un c u e r p o d u r a n t e 10 s e g . , t e n i e n d o un N o . 1 d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r de 2 4 0 r e v . , c a l c u l a r :

a) E l á n g u l o g i r a d o en r a d i a n e s .

b) La v e l o c i d a d a n g u l a r p r o m e d i o en r a d / s e g .

c) La v e l o c i d a d a n g u l a r p r o m e d i o en r e v / m i n ( r . p . m . )

R a z o n a m i e n t o :

Se c o n o c e :

9 - 2 4 0 r e v .

t = 10 s e g .

a) P a r a e x p r e s a r ^9 en r a d i a n e s u t i l i z a m o s la r e l a c i ó n e n t r e el r a d i a n y la r e v o l u c i ó n , e n t o n c e s :

1 r e v . = 27í rad

e x p r e s a d o c o m o q u e b r a d o de. e q u i v a l e n c i a .

¡2 lf r a d ) \ 1 r e v )

P o r lo t a n t o :

r e v - 2 4 0 r e v ( 2 ? ¿ t y - 4 8 0 rad

e n t o n c e s : 9 « 4 8 0 7T rad

b) P a r a e x p r e s a r la v e l o c i d a d a n g u l a r en r a d / s e g , e m p l e a

m o s la e c , ~ 9

w = —

S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s :

480ff rad

w

1 0 s e g

w « 4 8 Tf r a d / s e g

4 8 7f r a d / s e g

c) A h o r a c a l c u l e m o s la v e l o c i d a d a n g u l a r en r . p . m . ( r e v . p o r m i n u t o ) p a r a esto, d e b e m o s t r a n s f o r m a r 10 s e g a m i n c o n la s i g u i e n t e r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a .

60 s e g «= 1 m i n .

e x p r e s a d o c o m o q u e b r a d o :

m i n \ í 1 m i n \ \ 6 0 s e g / V 6 0 s e g /

y m u l t i p l i c a n d o p o r " 1 0 s e g . :

1 0

- ( f e s f f i - i g

m i n = — m i n b

9 y

e n t o n c e s e m p l e a n d o d e n u e v o la e c . w = t e n e m o s :

2 4 0 r e v 1 / 6 m i n t - - m i n

w 9 2 4 0 r e v

? m i n

w

1 , 4 4 0 r e v / m i n

(18)

E j e m p l o : U n a r u e d a de m a q u i n a r i a g i r a c o n u n a v e l o c i d a d a n g u l a r de N o . 2 26.<Tf r a d / s e g , c a l c u l a r su d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r en un

--t i e m p o d e 5 m i n . R a z o n a m i e n t o :

D a t o s

w = 2 6 ff r a d / s e g P a r a e n c o n t r a r el d e s p l a z a m i e n t o -e m p l -e a m o s la -e c u a c i ó n :

t = 5 m i n

9 9 = ? v =

-y d e s p e j a n d o 9 e n t o n c e s : 9 = w t

T r a n s f o r m a n d o los 5 m i n . a s e g . p o r m e d i o de la r e l a c i ó n el q u e b r a d o de e q u i v a l e n c i a :

60 seg = 1 m i n 60 s e g "v

l m i n

m u l t i p l i c a n d o p o r 5 m i n u t o s :

5 - " ( ^ L Ü F ) - 3 0 0 S E G

y s u s t i t u y e n d o :

0 = 26tf r a d / s e g x 3 0 0 s e g e n c o n t r a m o s el r e s u l t a d o :

9^°= 7 ,80 0 11 r a d

A h o r a si q u e r e m o s t r a n s f o r m a r 9 a r e v o l u c i o n e s u s a r e m o s el q u e b r a d o de e q u i v a l e n c i a .

(

1 r e v \ 2 re r a d )

peup e l q u e m u l t i p l i c a r e m o s l o s 7 , 8 0 0 T Í r a d i a n e s .

pea: lo t a n t o : 1

o g e a : 9 = 3 , 9 0 0 rev

7 ,800-«

r a d

( 2 ^

r

r I < ^

C 3 / 9 0 0 r e V

A C E L E R A C I O N A N G U L A R .

la f 5 r L l "l e r a C Í 6 n 1 1 , 1 6 3 1 f U S - el c u r s o d e F í s i c a I p o r a = V - v0

el t i e m p o ^ Í n d Í C a 6 1 C a m b Í O e n l a v e l o c i d a d d u r a n t e

-c o m o se E m e n t a * % °b j e t°S n o t a c i ó n t a m b i é n n o s i n t e r e s a c o n o c e r t u d i a r la a r p í o d i s m m u y e la v e l o c i d a d ; p o r t a n t o , t e n e m o s q u e e s v e l o c i d a d a ^ L T ^ S n g U l a r' 8 5 d " i r ' 6 1 * " « < > en la r

g i r a n d ^ ^ r L ' f o r m u í r r1 6 1 1 < • « • > * * - s i q u i e r o b . e t o

oC =

w

~

W o t

d o n d e : O C = a c e l e r a c i ó n a n g u l a r . w = v e l o c i d a d a n g u l a r f i n a l . w0 = v e l o c i d a d a n g u l a r i n c i a l . t = t i e m p o t r a n s c u r r i d o .

L a s u n i d a d e s d e la a c e l e r a c i ó n a n g u l a r s e r á n l a s de v e l o c i d a d e n9s e :rv r e n t Í e m P° ' A S Í' P°r ^ ^ o , si t ^ m ^ -r a d / H j " r a d/s e^ . l a a c e l e r a c i ó n a n g u l a r v e n d r í a e x p r e s a d a en c i 6 n a n g u l a r ? " " " q U e * * S X p r e S a l a a c e l e r a -«« * l a.a c e l e r a c i 6 n a n g u l a r e s u n i f o r m e , t e n e m o s , c o m o en el c a -p o r ^ m°V l m i e n t° l i n e a 1' l a v e l o c i d a d a n g u l a r m e d i a v i e n e d a d a

w = W o + w

2

a n a u l ^mLh a b r á S n° ía d 0' a h°r a l 3 S e c u a c i o n e s ^ e l m o v i m i e n t o a n g u l a r son s e m e j a n t e s a l a s d e l m o v i m i e n t o l i n e a l , la d e d u c c i ó n de o t r a s n u e v a s n o s l l e v a r á n al m i s m o d e s a r r o l l o d e F í s i c a I p a r a o

-c l u i r f i n a l m e n t e q u e : p o n

2 2

w = wo + 2 OC 9

(19)

En e s t a p a r t e d e l c a p i t u l o , a n t e s d e r e s o l v e r u n o s c u a n t o s e j e m p l o s ma's , v a m o s a r e d o n d e a r la s i m i l i t u d q u e e x i s t e e n t r e l a s e c u a c i o n e s d e l m o v i m i e n t o r e c t i l i n e o con las del movimiento angular c o l o c á n d o l a s

frente a frente.

d =vt e = w t

v = V o + a t

V =

V2= V o2+ 2 a d

W=Wo-f eC t

- W o + W

W = r—

W2= W O2 + 2OC e

d = V o t + at 9 = W o t +

a c = v

« t

F e « m

N o t a r e m o s q u e l a s f o r m u l a s d e a c e l e r a c i ó n y f u e r z a c e n t r í p e t a son

e x c l u s i v a s d e l m o v i m i e n t o a n g u l a r .

La f o r m u l a v = w r

r e l a c i o n a a m b o s m o v i m i e n t o s

Ej e m p l o N o . 3

L a r u e d a de c i e r t o a u t o m ó v i l e s t a g i r a n d o a u n a v e l o c i d a de 1 0ré v / s e g , en el i n s t a n t e e n q u e e l a u t o e m p i e z a a dis m i n u i r u n i f o r m e m e n t e su v e l o c i d a d h a s t a p a r a r s e . Si invi te 3 0 s e g en p a r a r , a ) ¿ C u á n t o s g i r o s c o m p l e t o s da l a *r u é a n t e s d e p a r a r s e ? , b ) Si e l r a d i o d e la r u e d a es 0 . 3 m , -¿ Q u é d i s t a n c i a r e c o c r e e l a u t o a n t e s d e p a r a r s e ? .

R a z o n a m i e n t o : a ) D a t o s

w . - 1 0r e7 / s e g

v~ 0

t « 3 0 s e g

Una de l a s f o r m a s de r e s o l v e r el nrnKi«»«, e n c o n t r a r en r e v / s e « la v e l o r í l f í p r o b l e m a e s :

l o s ú l t i m o s 30 s e g u n d o s d . s u m o v, p r°m e d i o ^ 1« r u e d a en 6 ae su m o v i m i e n t o c o n la f ó r m u l a .

w - w o+v

de a h í c o n 9 = w t

a ) w

-— „ 1 0 r « v / s e e + 0

w>=5rev/seg

b ) « - w t ~ 5r e v/ s e8 X3 0 s e g

9 * 1 5 0 r e v

\á m * . ( 2 n r r ) . vueltas dadaa perímetro de

por la rueda una circunferencia

d- (150)(2 x t).3m)

d - (150)(2x3.1416.x ,3)m

(20)

Ejemplo: Un automóvil de 4900mts, de peso esta tomando una curva en una esquina a N o . 4 u n a v e l o c i d a d d e 6 m / s e g , y m a r c h a a lo l a r g o d e u n a r c o de c i r

c u n f e r e n c i a e n la m a n i o b r a . Si el r a d i o d e l a r c o es 1 8 m . - ~ ¿ Q u é f u e r z a h o r i z o n t a l d e b e ser e j e r c i d a p o r e l p a v i m e n t o s o b r e l a s r u e d a s p a r a m a n t e n e r l o en la t r a y e c t o r i a c i r c u l a r ? .

es

R a z o n a m i e n t o : L a f u e r z a r e q u e r i d a e s la f u e r za centr í p e t a ,

v2 w

F c = m — , en d o n d e la m a s a es m = —

r g

Datos:

y la f ó r m u l

W = 4 9 0 0 n t

v = 6 m/ s e g

r = 18m

F r = ?

W 4 9 0 0 n t c n n i " T 9 . 8 m / s e g8 =5 0 0 k g

F =m

F = 5 0 0 k g x 3 6 m ^ / s e g2 18m

_ 5 0 0 x 3 6 . , o ^

18~" J

F = 1 0 0 0 n t s

E j e m p l o : A u n a b o l a a t a d a e n e l e x t r e m o d e u n h i l o se l e h a c e g i r a r e n N o* 5 u n c í r c u l o v e r t i c a l d e r a d i o r^ b a j o la a c c i ó n d e la g r a v e d a d ,

t a l c o m o se m u e s t r a e n l a f i g .

¿Cuál será la tensión d e l h i l o c u a n d o la b o l a e s t á e n e l p u n t o A d e la tra y e c t o r i a , si la v e l o c i d a d d e la b o l a en d i c h o p u n t o es v ? .

(A la s o l u c i ó n de e s t e t i p o d e p r o b l e m a s i n n ú m e r o s , se l l a m a d e d u c c i ó n m a t e m á t i c a ) .

R a z o n a m i e n t o

P a r a q u e la b o l a se m u e v a en un c í r c u l o d e b e h a b e r u n a ser ía%t e h a C Í a 6 1 C e n t r° d e l c í r c u l o ; é s t a d e b e ser i g u a l a la f u e r z a c e n t r í p e t a . D o s f u e r z a s c o n la -m i s -m a d i r e c c i ó n y s e n t i d o a c t ú a n s o b r e la b o l a e n el punto to p eas oa CdCe T 6 T> ^ - c i ó n ¿ e L g r a v e d a d

(o p e s o d e l c u e r p o ) . La s u m a d e e s t a s f u e r z a s es i g u a l a la f u e r z a c e n t r í p e t a .

E n t o n c e s :

F c = T + W = m — r

Por c o n s i g u i e n t e , la t e n s i ó n de la c u e r d a es 2

T - - W

mv

- mg

T = m

(21)

O b s e r v a n d o la e c u a c i ó n q u e h e m o s d i v i d i d o p o d e m o s c o n c l u i r v a r i a s cosa; c u a n t o m á s g r a n d e sea la m a s a " m " , la v e l o c i d a d " v " m a y o r s e r á la tenl s i o n , c u a n t o m á s p e q u e ñ o s e a el r a d i o

Si — es i g u a l a g la t e n s i ó n es c e r o .

m a y o r s e r á la t e n s i ó n .

S i es m e n o r a g , la t e n s i ó n s e r á n e g a t i v a , e s t o s i g n i f i c a q u e p a r a e s a s c o n d i c i o n e s e l h i l o n o e s t i r a r á a la b o l a , s i n o q u e t e n d r í a q u e "empujarla1.1 h a c i a a r r i b a p a r a p o d e r m a n t e n e r l a en m o v i m i e n t o circu l a r y c o m o e s o no es p o s i b l e p u s t o q u e h i l o no es u n c u e r p o r i g i d o , di c h a b o l a d e j a r á su t r a y e c t o r i a c i r c u l a r .

Esta f i g u r a r e p r e s e n t a u n a p a r t í c u l a q u e d e s c r i b e u n a c u r v a y la macj nitud d e su v e l o c i d a d p e r m a n e c e c o n s t a n t e . I m a g í n e s e un a u t o m ó v i l que da u n a c u r v a y c u y o m e d i d o r d e v e l o c i d a d p e r m a n e c e i n v a r i a b l e . Jn a p r e n d i z d e F í s i c a d i r í a , a n t e é s t o , q u e la p a r t í c u l a n o t e n d r í a a c e l e r a c i ó n p u e s t o q u e t i e n e la i d e a d e q u e é s t a es s ó l o u n a c o n s e

-u e n c i a de -u n a v a r i a c i ó n en la m a g n i t -u d d e la v e l o c i d a d . P e r o e l o n c e p t o d e a c e l e r a c i ó n es m á s a m p l i o . N o o l v i d e m o s q u e s i e n d o la velocidad u n a c a n t i d a d v e c t o r i a l , si la m a g n i t u d d e la v e l o c i d a d n o varía, su d i r e c c i ó n si e s t á c a m b i a n d o , p u e s la p a r t í c u l a d e s c r i b e ana c u r v a y el v e c t o r v e s t á v a r i a n d o (la d i r e c c i ó n d e la tangeri

e a la c u r v a n o p e r m a n e c e c o n s t a n t e ) . Al v a r i a r la v e l o c i d a d , au_n ?ue s ó l o s e a en d i r e c c i ó n , t e n d r á q u e e x i s t i r u n a a c e l e r a c i ó n c a r a c

-e r í s t i c a así c o m o h a y u n a a c -e l -e r a c i ó n c a r a c t -e r í s t i c a c u a n d o v a r í a o l a m e n t e la m a g n i t u d d e la v e l o c i d a d .

or lo t a n t o p o d e m o s d e c i r q u e e l m o v i m i e n t o r e p r e s e n t a d o en la fi-gura a n t e r i o r es a c e l e r a d o .

^hora p o d e m o s d e f i n i r la a c e l e r a c i ó n q u e e s t á p r e s e n t e en é s t e m o v í [liento de la s i g u i e n t e f o r m a :

La v a r i a c i ó n en la d i r e c c i ó n de la v e l o c i d a d p r o d u c e u n a a c e l e r a c i ó n l l a m a d a : A c e l e r a c i ó n C e n t r í p e t a "

(22)

M O V I M I E N T O C I R C U L A R

FUERZA CENTRIPETA y ACELERACION CENTRIPETA

2. 3.VECTOR VELOCIDAD Y VECTOR ACELERACION.

-t r ^ n a n1^6 1 0 0 3 m e n' i o n a d o n u e s t r o e s t u d i o d e la C i n e m á t i c a s e ha t r i n g x d o c a s i e x c l u s i v a m e n t e a l o s m o v i m i e n t o s r e c t i l í n e o s . En t o s m o v i m i e n t o s , la v e l o c i d a d y 1* a c e l e r a c i ó n se t r a t a r o n c o m o t i d a d e s e s c a l a r e s y c a s i n u n c a - h i c i m o s m e n c i ó n a s u s d i r e c c i ó n , ^ s c i A " S °t r a S r l a b r a S ' n°S h S m O S « ^ o d e s u s m " m o s ' d e i a r ^ S S t U d i a r l o s m o v i m i e n t o s c u r v i l í n e o s n o p 7 » L t V • m®n c i o n a r v e l o c i d a d y la a c e l e r a c i ó n s o n c

d a d e s v e c t o r i a l e s debido a esto,, las m a n e j a r e m o ~ c o m o t a l e s . ~ S u p o n g a m o s q u e u n a p a r t í c u l a d e s c r i b a u n a t r a y e c t o r i a c u r v i l í n e a

Es p o s i b l e c a l c u l a r la v e l o c i d a d i n s t á n t a n e a d e la p a r t í c u l a . P a r a d e f i n i r la v e l o c i d a d c o m o v e c t o r v , es p r e c i s o i n d i c a r , ai m á s d e l a m a g n i t u d , s u direc.cion y s u s e n t i d o . L a d i r e c c i ó n de es t a n g e n t e a la t r a y e c t o r i a en c a d a p u n t o d e e s t a y s u s e n t i d o . a q u e l e n e l q u e la p a r t í c u l a s e e s t á m o v i e n d o .

P o r lo t a n t o , c o n o c i e n d o e l v e c t o r ^ en u n i n s t a n t e d a d o , s e c c e e l v a l o r d e la v e l o c i d a d i n s t á n t a n e a , la d i r e c c i ó n i n s t á n t a n e m o v i m i e n t o ( t a n g e n t e a la t r a y e c t o r i a ) y e l s e n t i d o d e l m o v i m i e e n e s e i n s t a n t e . En la f i g u r a e l v e c t o r v f u e t r a z a d o en va p u n t o s d e la t r a y e c t o r i a .

Estudiemos ahora la aceleración de la partícula:

C u a n d o u n a p a r t í c u l a d e s c r i b e u n a t r a y e c t o r i a c i r c u l a r , c o m o la -p i e d r a q u e g i r a a m a r r a d a e n el e x t r e m o d e u n a c u e r d a , se d i c e --q u e e s t a en m o v i m i e n t o c i r c u l a r .

Si a d e m á s d e e s t o , la m a g n i t u d d e la v e l o c i d a d d e l a p a r t í c u l a -p e r m a n e c e c o n s t a n t e , el m o v i m i e n t o es c i r c u l a r u n i f o r m e .

V e a m o s a h o r a c o m o p o d e m o s d e d u c i r u n a e x p r e s i ó n p a r a la a c e l e r a -c i ó n -c e n t r í p e t a . P r i m e r a m e n t e a n a l i z a r e m o s la v e l o -c i d a d e n 2 p u n t o s d i f e r e n t e s d e la t r a y e c t o r i a c i r c u l a r u n i f o r m e d e u n a p a r t í c ü

la . —

N O T A : E l c a m b i o d e v e l o c i -d a -d v1 t i e n e e s a p o s i c i ó n , p u e s t o q u e la v e l o c i d a d en A , v ^ s u m a d a v e c t o r i a l m e n t e a d i c h o c a m b i o t i e n e c o m o r e s u l

a t t a n t e V . ~ B

La v e l o c i d a d i n s t a n t á n e a se m u e s t r a en l o s p u n t o s , A y B en el e s -q u e m a (a) d e la f i g u r a a n t e r i o r .

(23)

l a d o s c o r r e s p o n d i e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s u n o a l o t r o y se p u e d e e s c r i b i r lo s i g u i e n t e :

8 . V ^

r v

P u e s t o q u e la v e l o c i d a d v e s v a r i a b l e (en d i r e c c i ó n ) y se d e b e a u n a a c e l e r a c i ó n , p u e d e u s a r s e la e c u a c i ó n v = a t , es d e c i r , v -e s r -e -e m p l a z a d a p o r at. D u r a n t e el t i e m p o t, el c u e r p o se m u e v e d e s d e A h a s t a B u n a d i s t a n c i a S = v t . P a r a á n g u l o s p e q u e ñ o s 0 , -la d i s t a n c i a m e d i d a a lo l a r g o d e l a r c o A B e s , a p r o x i m a d a m e n t e , i g u a l a la c u e r d a J3, a s í q u e , u n a c o r t a d i f e r e n c i a , S_ p u e d e s e r r e e m p l a z a d a p o r v t . A l h a c e r e s t a s d o s s u b s t i t u c i o n e s e n la -e c u a c i ó n a n t -e r i o r t -e n -e m o s :

=

r v

S u p r i m i e n d o a t. en a m b o s m i e m b r o s y d e s p e j a n d o "a" q u e d a y t r a s -p o n i e n d o a v , o b t e n e m o s la r e l a c i ó n .

r

^ 2

L u e g o , la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a e s t a d a d a p o r v / r . A c = v2

r

C u a n d o el á n g u l o 0 en la f i g u r a se h a c e m á s y m á s p e q u e ñ o , la -d i s t a n c i a _s -d e l a r c o se h a c e m á s y m á s c e r c a n a a la c u e r -d a , mieii t r a s q u e el c a m b i o en la v e l o c i d a d v 9 , e l c u a l d e la d i r e c c i ó n d e la a c e l e r a c i ó n ja, se a c e r c a m á s a la p e r p e n d i c u l a r A V . E n -el l í m i t e , c u a n d o 0 l l e g a a c e r o , la e c u a c i ó n ac = s e r á v e r d a

R

d e r a m e n t e e x a c t a y la a c e l e r a c i ó n es p e r p e n d i c u l a r a V . ( T o m e m o s en c u e n t a q u e la a c e l e r a c i ó n a n g u l a r ac n o se o b t i e n e e n t r e u n p a r d e p u n t o s s i n o e n un p u n t o e s p e c í f i c o ) .

P a r a q u e u n c u e r p o t e n g a a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a , e s n e c e s a r i o --q u e a c t ú e s o b r e él u n a f u e r z a --q u e p r o d u z c a é s t a a c e l e r a c i ó n . E s ta f u e r z a , r e s p o n s a b l e d e la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a d e l c u e r p o , se d e n o m i n a f u e r z a c e n t r í p e t a (Fe) y e s t á d i r i g i d a h a c i a el e j e d e r o t a c i ó n , e s t o lo p o d e m o s v i s u a l i z a r c o n el e j e m p l o d e la p,i£ d r a a m a r r a d a a la c u e r d a e n el c u a l d i c h a c u e r d a e s p o r la q u e -se t r a s m i t e la f u e r z a j a l a n d o la p i e d r a h a c i a el c e n t r o c o m o --F = m a e n t o n c e s:

2 v F e - m a o F e = m

c r

Si q u e r e m o s e x p r e s a r la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a en f u n c i ó n d e c a n t i d a d e s a n g u l a r e s , t e n d r e m o s q u e e n c o n t r a r l a r e l a c i ó n e n t r e v q u e se le l l a m a v e l o c i d a d t a n g e n c i a l y la v e l o c i d a d a n g u l a r w . S a b e m o s q u e :

d

d ^ , . radianes del arco 0 = — o s e a á n g u l o en r a d i a n e s = —.

r radio

Si d e s p e j a m o s la d i s t a n c i a d e la 2 a . e c u a c i ó n q u e d a : d = 0 r

y lo s u b s t i t u i m o s en la p r i m e r a q u e d a : 0 r _ 0

V t t r

T a m b i é n s a b e m o s q u e w = 0 e n t o n c e s c a m b i e m o s 0 p o r w en la e c u a c i ó n t t a n t e r i o r p a r a e n c o n t r a r q u e :

v = w r d e a h í q u e : 2 2 2

_ v _ w r 2

ac - — = — - — = w r

P o r lo t a n t o la f u e r z a c e n t r í p e t a en c a n t i d a d e s a n g u l a r e s e s :

2

F e = m r w

De e s t a f o r m a en t o d o m o v i m i e n t o c i c u l a r a c t ú a s o b r e el c u e r p o u n a f u e r z a c o n l a s c a r a c t e r í s t i c a s d a d a s a n t e r i o r m e n t e . E s e s t a f u e r z a c e n t r í p e t a la q u e o b l i g a a el c u e r p o a c a m b i a r c o n t i n u a m e n t e la di r e c c i o n d e su v e l o c i d a d d a n d o o r i g e n a la a c e l e r a c i ó n c e n t r í p e t a . " La f u e r z a c e n t r í p e t a p o d r á s e r e j e r c i d a s o b r e el c u e r p o c o m o lo h e m o s d i c h o p o r m e d i o d e u n a c u e r d a e s t i r a d a o a t r a v é s d e la a t r a c -c i ó n g r a v i t a -c i o n a l e n t r e la t i e r r a y e l -c u e r p o (en el -c a s o d e s a t é l i t e s a r t i f i c i a l e s ) , e t c . Si e s t a f u e r z a d e j a s e d e a c t u a r s o b r e el c u e r p o , su v e l o c i d a d p e r m a n e c e r í a c o n s t a n t e e n d i r e c c i ó n y el m o v i m i e n t o p a s a r í a a s e r r e c t i l í n e o . P r o b a b l e m e n t e y a n o t a s t e e s -to c u a n d o u n a p i e d r a q u e g i r a s u j e t a a u n h i l o , s e s i g u e m o v i e n d o s e g ú n la t a n g e n t e d e la c u r v a a l r o m p e r s e e l h i l o .

(24)

Sobre el cuerpo de masa m actúa la f u e r z a c e n t r í p e t a F e . E l c u e r p o -r e a c c i o n a s o b -r e el h i l o m a n t e n i é n d o l o e s t i -r a d o c o n u n a f u e -r z a --- F e d e n o m i n a d a f u e r z a c e n t r í f u g a .

En la f i g u r a , se m u e s t r a un c u e r p o g i r a n d o s u j e t o p o r u n h i l o . -L a f u e r z a c e n t r í p e t a F e , a c t ú a s o b r e el c u e r p o y e s e j e r c i d a p o r el h i l o . E l c u e r p o a c t ú a e n t o n c e s , t i r a n d o el h i l o c o n f u e r z a -- F e . E s t a s e r í a la f u e r z a c e n t r í f u g a , en e s t e c a s o . O b s e r v a q u e e s e s t a f u e r z a la r e s p o n s a b l e d e q u e el h i l o p e r m a n e z c a e s t i r a d o

(en la f i g u r a , el c u e r p o y el h i l o f u e r o n d i b u j a d o s s e p a r a d a m e n -t e p a r a m a y o r c l a r i d a d ) .

L a f u e r z a c e n t r í f u g a es u n c o n c e p t o a m p l i a m e n t e e m p l e a d o , en g e -n e r a l e-n f o r m a e r r o -n e a P r o b a b l e m e n t e e n c o n t r a r e m o s p e r s o n a s q u e al i n d i c a r l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e u n c u e r p o en m o v i m i e n t o c i r c u l a r , lo h a c e n a s í :

C o l o c a n la f u e r z a c e n t r í p e t a e j e r c i d a p o r u n h i l o p o r e j e m p l o , -c o m o si a -c t u a r a e n el -c u e r p o , y t a m b i é n s o b r e e l -c u e r p o u n a f u e r za c e n t r í f u g a d i r i g i d a h a c i a a f u e r a , q u e s e g ú n e s t a s p e r s o n a s -e q u i l i b r a r í a la f u -e r z a c -e n t r í p -e t a . E v i d -e n t -e m -e n t -e -e s t a f u -e r z a — c e n t r í f u g a q u e a c t ú a s o b r e el c u e r p o , no e x i s t e . Si e s t u v i e s e -a l l í -a n u l -a n d o l-a f u e r z -a c e n t r í p e t -a , el m o v i m i e n t o n o p o d r í -a s e r c i r c u l a r s i n o r e c t i l í n e o u n i f o r m e , c o m o s e e x i g e e n la P r i m e r a L e y d e N e w t o n . P o r o t r a p a r t e , c o m o lo e s t u d i a m o s e n e l c a p í t u -lo u n o , la f u e r z a d e a c c i ó n (en e s t e c a s o la f u e r z a c e n t r í p e t a ) y la f u e r z a d e r e a c c i ó n (la f u e r z a c e n t r í f u g a ) d e b e n e s t a r a p l i -c a d a s o b r e -c u e r p o s d i s t i n t o s y n o s o b r e e l m i s m o -c u e r p o .

0 s e a , la f u e r z a c e n t r í p e t a e s a p l i c a d a s o b r e e l c u e r p o p o r el h i l o , m i e n t r a s q u e la f u e r z a c e n t r í f u g a es a p l i c a d o s o b r e e l h i -lo p o r el c u e r p o .

CAPITULO NO. 2

EJERCICIOS Y AUTOEVALUACION "

Convertir 800 rev. a :

a) grados

b) radianes

Convertir 1500 radianes a :

a) revoluciones

b) grados

Convertir 1200 rpm a rad/seg.

Una rueda permanece girando 16 segundos, desplazándose así

1800 rev. Encontrar la velocidad promedio en:

a) r . p . m .

b) rad/seg

Calcular el desplazamiento angular en rad/seg. durante 10 mi

ñutos de una rueda que mantiene una velocidad angular de

270 rad/seg.

Un automóvil parte desde el reposo y 15 segundos más tarde

al-canza una velocidad de 40 m/seg. Si el radio de sus llantas

es de 35 cm. Encontrar:

a) desplazamiento angular en rev.

b) velocidad angular promedio en rad/seg.

c) aceleración angular en rad./seg.

Una bola atada a la punta de una cuerda de 1 m. de largo está

girando en una circunferencia, con un ritmo de 3 rev/seg.

Cal-cular la aceleración centrípeta.

Un vehículo de 2,000 kg. viaja a 30 m/seg. en torno a una cur

va de 400 m . de radio. Calcular:

(25)

9.- Una masa de 500 g. está atkda al extremo de una cuerda y gira

en una circunferencia de 1.2 m. de radio con una rapidez de

-3 m/seg. Calcular: |

a) la aceleración centrípeta

b) fuerza centrípeta

10.- A una bola de 100 g. atada al extremo de un hilo se le hace gi

rar en un círculo con plano vertical de 18 cm. de diámetro.

¿Cuál será la tensión de la bola en la posición más elevada de

su trayectoria si la velocidad angular en ese punto es de

-200 rad/seg.

CAPITULO' I I I

E S T A T I C A

(la. y 2a. CONDICION DE EQUILIBRIO)

3 . 0 . INTRODUCCION:

En este capitulo nos toca estudiar aquella parte de la mecá

nica que se encarga del estuéio de todos los cuerpos que se e n

-cuentran en equilibrio, y que recibe el nombre de E s t á t i c a .

Aqui podemos decir que un cuerpo se encuentra en equilibrio

si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el, es

cero

y , « ^

que este cuerpo no gire, así podemos concluir que existen

dos

-condiciones para que un cuerpo esté en equilibrio.

La Primera condición de equilibrio consiste en que "La suma

de todas las fuerzas que actúan en-un cuerpo sea cero, ésto es,

que la fuerza resultante de dichas fuerzas sea cero*.

£ F = O la.

Condición de Equilibrio

La segunda condición de equilibrio consiste en que el

cuer-po no gire, ahora bien, en Física, el giro de un cuercuer-po es

cono-cido como momento y se representa por la letra griega ^ (TAO).

Dicho momento es el resultado de la aplicación de una fuerza si

esta hace rotar al cuerpo, por lo tanto, podemos concluir que la

segunda condición de equilibrio consiste en que "La suma de t o

-dos los momentos que actúan sobre un cuerpo sean cero".

Z fc = O 2a. Condición de Equilibrio

A continuación, detallaremos detenidamente cada una de d i —

chas condiciones de equilibrio.

3.1. Primera Condición de Equilibrio:

(26)

9.- Una masa de 500 g. está atkda al extremo de una cuerda y gira

en una circunferencia de 1.2 m. de radio con una rapidez de

-3 m/seg. Calcular: |

a) la aceleración centrípeta

b) fuerza centrípeta

10.- A una bola de 100 g. atada al extremo de un hilo se le hace gi

rar en un círculo con plano vertical de 18 cm. de diámetro.

¿Cuál será la tensión de la bola en la posición más elevada de

su trayectoria si la velocidad angular en ese punto es de

-200 rad/seg.

CAPITULO' I I I

E S T A T I C A

(la. y 2a. CONDICION DE EQUILIBRIO)

3 . 0 . INTRODUCCION:

En este capitulo nos toca estudiar aquella parte de la mecá

nica que se encarga del estuéio de todos los cuerpos que se e n

-cuentran en equilibrio, y que recibe el nombre de E s t á t i c a .

Aqui podemos decir que un cuerpo se encuentra en equilibrio

si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el, es

cero y , « ^

que este cuerpo no gire, asi podemos concluir que existen

dos

-condiciones para que un cuerpo esté en equilibrio.

La Primera condición de equilibrio consiste en que "La suma

de todas las fuerzas que actúan en-un cuerpo sea cero, ésto es,

que la fuerza resultante de dichas fuerzas sea cero*.

£ F = O la.

Condición de Equilibrio

La segunda condición de equilibrio consiste en que el

cuer-po no gire, ahora bien, en Física, el giro de un cuercuer-po es

cono-cido como momento y se representa por la letra griega ^ (TAO).

Dicho momento es el resultado de la aplicación de una fuerza si

esta hace rotar al cuerpo, por lo tanto, podemos concluir que la

segunda condición de equilibrio consiste en que "La suma de t o

-dos los momentos que actúan sobre un cuerpo sean cero".

Z fc = O 2a. Condición de Equilibrio

A continuación, detallaremos detenidamente cada una de d i —

chas condiciones de equilibrio.

3.1. Primera Condición de Equilibrio:

Figure

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