Ejercicios de Programación Lineal

(1)

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan

dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que

rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo

A y como mínimo 60.000

en las del tipo B. Además queremos que la inversión

en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que

ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución

Es un problema de programación lineal.

Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

inversión

rendimiento

Tipo A

x

0,1x

Tipo B

y

0,08y

210000

0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R

1

R

2

R

3

R

4

La función objetivo es;

F(x, y)= 0,1x+0,08y

2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta

Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un

beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de

relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la

pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg.

de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125

tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben

vender al día para que sea máximo el beneficio?

Solución

En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

(2)

T. Vienesa

x

1.x

0,250x

250x

T. Real

y

1.y

0,500y

400y

150

50 Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y

Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de

transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero

solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80

euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que

utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la

escuela.

Solución

Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es

hacer mínima la función objetivo.

Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50

plazas que alquila la escuela.

Entonces se tiene x

, y

Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y

Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:

40x +50y

, que simplificada quedaría 4 x +5y

Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región

factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las

condiciones) son

La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y

4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de

hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La

mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La

(3)

compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160

toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste

diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe

trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.

Solución

Organizamos los datos en una tabla:

días

Alta

calidad

Calidad

media

Baja calidad

Coste diario

Mina A

x

1x

3x

5x

2000x

Mina B

y

2y

2000y

80

160

200 La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y

Las restricciones son:

5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a

trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es

necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas

y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En

total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la

empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por

mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener

el máximo beneficio y cual es este?

Sea x = nº electricistas

y = nº mecánicos

La función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones

6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea

ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La

(4)

ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras

que la ganancia del tipo P es de 40 euros.

El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe

ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.

Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias

sean máximas.

Solución

Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.

nº

Ganancia

Turista

x

30x

Primera

y

40y

Total

5000

30x +40y

La función objetivo es:

f(x, y)=30x +40y

Las restricciones:

Problemas de programación lineal

1

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

2

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2.

Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y

de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al

(5)

unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la

producción para obtener el máximo beneficio.

3

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3_{y un espacio no refrigerado de}

40 m3_{. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% d e refrigerado y no}

refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3_{de producto que}

necesita refrigeración y 4 000 m3_{de otro que no la necesita. El coste por}

kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

4

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

5

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los prec ios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

6

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos of ertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B . ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

(6)

7

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

8

Una escuela prepara una excursión para 400 alum nos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

PROBLEMA : PROBLEMA DE INVENTARIOS

PRODUCCION DE ELECTRODOMESTICOS

Una planta de producción fabrica refrigeradoras, cocinas y lavadoras. Durante cada

trimestre se dispone de 18000 horas de producción. Una refrigeradora requiere de 2

horas, una cocina 4 horas y un lavadora 3 horas de producción. Suponga que un

producto que permanezca al final de un trimestre (incluido el ultimo), supone un costo

de almacenamiento por unidad de $10 para las refrigeradoras, $8 para las cocinas y

$6 para las lavadoras. Se debe mantener un nivel de inventario de al menos de 150

unidades por cada producto. El cuarto trimestre no se producen refrigeradoras. La

compañía requiere un plan de fabricación que no exceda la limitación de horas de

fabricación disponible cada trimestre, que satisfaga la demanda de inventario trimestral

y que tenga un costo mínimo por unidades almacenadas al final de cada trimestre.

Nivel de Inventario : al menos 150 para cada trimestre. Inventario al Inicio de cada trimestre es cero.

(7)

Horas disponibles : 18 000 cada trimestre

Refrigeradora : 2 horas

Cocina : 4 horas

Lavadora : 3 horas

Cuarto trimestre no se producen refrigeradoras:

Costos de inventario: 10 $ / refrigeradora

18 00

4C

4

+ 3L

4



18 00

Relaciones de Producción:

Demanda de inventario:





Inventario

Final

Inventario

Inicial

Cantidad

oducida

Demanda











 











 











2

(2)

IC

2

+ C

3

- 1 200 = IC

3

(3)

IC

3

+ C

4

- 1 500 = IC

4

(4)

Con Lavadoras:

L

1

- 1 500 = IL

1

(1)

IL

1

+ L

2

- 2 000 = IL

2

(2)

IL

2

+ L

3

- 1 500 = IL

3

(3)

IL

3

+ L

4

- 2 500 = IL

4

(4)

Donde: IR2 =



+ IL

4

)

Programación Entera, Formulación

Pregunta 1: Problema de expansión de capacidad: Una compañía de servicio eléctrico esta

planeando ampliar su capacidad de generación durante los próximos 5 años. Su capacidad

actual es de 800 megavatios (MW), pero de acuerdo con sus propios pronósticos de la

demanda, va ha requerir la capacidad adicional que muestra la siguiente tabla:

AÑO

CAPACIDAD MINIMA

(MW)

(10)

1

880

2

960

3 1050

4 1160

5 1280

La compañía de servicio eléctrico podrá aumentar su capacidad de generación con la

instalación de unidades generadoras adicionales de 10, 50 ó 100 MW. El costo de instalación

de un generador depende de su tamaño y del año en el cual entre en servicio. La siguiente

tabla muestra el costo de adquisición de cada generador en el año i.

Capacidad del

Generador (MW)

AÑO

1

2

3

4

5

10

300 250 208 173 145

50

670 558 465 387 322

100

950 791 659 549 458

Una vez que un generador entra en servicio, su capacidad esta disponible para satisfacer la

demanda en los años subsiguientes. Formule el modelo de programación lineal que minimice

los costos de poner en servicio los generadores necesarios, satisfaciendo al mismo tiempo los

requisitos de capacidad mínima.

800 + 10x11+ 50x12 + 100x31 = cp1

cp1+10x12+50x22+100x32=cp2

cp2+10x13+50x23+100x33=cp3

cp3+10x14+50x24+100x34=cp4

cp4+10x15+50x25+100x35=cp5

cp1>=880 , cp2>=960 , cp3>=1050 , cp4>=1160 , cp5>= 1280

fo

min (300x11+250250+...+458X35)

(11)

PREGUNTA 3: Formulación

El departamento central de la policía esta

pensando en reubicar varias sub-estaciones de

la policía para obtener una mejor vigilancia en

áreas de alta criminalidad. Las ubicaciones

bajo consideración, junto con las áreas que

pueden ser cubiertas a partir de dichas

ubicaciones se dan en la tabla anexa. Formule

un modelo de programación de enteros que se

pudiera utilizar para encontrar el número

mínimo de localizaciones necesarias a fin de

proporcionar la cobertura para todas las áreas.

A b c

1

2 xa+ xb + xb + xg >=1

xb+xd>= 1

min

x1 + x2 +x3 …x7

PROBLEMA 5

Una competencia de relevos de 100 metros incluye a cuatro diferentes nadadores,

quienes nadan sucesivamente 25 metros de dorso, pecho, mariposa y libre. El

entrenador tiene seis nadadores muy veloces, cuyos tiempos esperados en segundo

para los eventos esperados individuales se dan en la tabla.

Ubicación potencial

De las sub-estaciones

Áreas

Cubiertas

A

1, 5, 7

B

1, 2, 5, 7

C

1, 3, 5

D

2, 4, 5

E

3, 4, 6

F

4, 5, 6

G

1, 5, 6, 7

(12)

Dorso

Pecho

Mariposa

Libre

Nadador 1

65

73

63

57 Nadador 2

67

70

65

58 Nadador 3

68

72

69

55 Nadador 4

67

75

70

59 Nadador 5

69

75

57 Nadador 6

75

70

66

59 Como deberá el entrenador asignar, los nadadores a los relevos a fin de minimizar la suma de

sus tiempos.

Xij, 1=si el nadador i =1,2,3,4,5,6 de estilo j=D,P,M,L es seleccionado

0=si el nadador i =1,2,3,4,5,6 de estilo j=D,P,M,L NO es seleccionado

fo

65x11+ 73x12 + 63x13 + 57x14 +

67x21 + 70x22+....59x64

sa

elegiendo al nadador por estilo

x11+x21+x31+x41+x51+x61=1

x12+x22+x32+x42+x52+x62=1

x13+x23+x33+x42+x52+x63=1

x14+x24+x34+x44+x52+x64=1

asign de un nadador por un solo estilo

x11+x12+x13+x14 =1

(13)

...

x61+x62+x63+x64=1

elección de 4 nadadores

x11+x12+x13+x14 + x21+x22+x23+x24 + x61+x62+x63+x64 = 4

PROBLEMA 6

Una empresa dedicada a la fabricación de pinturas para fuselaje de aviones posee 3

maquinas con diferentes capacidades. Poner en operación un día cada maquina, tiene

costos fijos y un costo de precio por galón. Las capacidades de cada maquina, son

como sigue:

Maquina

Costos Fijos

Costo del proceso

por Galón.

Capacidad Máxima

diaria en Galones.

1 $100

$5

2000

2 $200

$4

3000

3 $300

$3

4000

La empresa espera una demanda diaria de 3500 galones. El problema consiste en

determinar cual de las tres maquinas utilizar y cuantos galones debe producir cada

maquina de tal manera que la demanda quede satisfecha y el costo total sea el mas

pequeño posible.

(14)

Yi = numero de galones ha producir en maquina i

Min 100x1 + 200x2 + 300x3 + 5y1 + 4y2 + 4y3

sa

y1 <=2000x1 , y2<=3000x2 , y3=4000x3

y1+y2+y3=3500

PROBLEMA 7

La Mc Davis Consulting Co. se especializa en la preparación de programas de computadora

para el gobierno y la industria. Estos programas se escriben en uno de cuatro lenguajes de

programación: FORTRAN, Ensamblador, COBOL y APL. La compañía tiene tres programadores

que realizan esta labor y existen cinco trabajos de programación que deben terminarse lo más

pronto posible. No todos los programadores trabajan a la misma velocidad en todos los

lenguajes y se les paga en forma diferente con base en su experiencia. Cada uno de los

trabajos debe elaborarlo un solo programador. Los costos de terminación de cada tarea por

programador se muestran a continuación:

Programador

Trabajo 1

Trabajo 2

Trabajo 3

Trabajo 4

Trabajo 5

Joe

$100

$150

$200

$100

$50

Sue

80

200

100

80 Susan

200

250

150

100

A continuación se muestran el tiempo que necesita cada programador para terminar cada trabajo y el tiempo de que dispone después de realizar sus demás tareas.

Prog.

Trabajo 1

Trabajo 2

Trabajo 3

Trabajo 4

Trabajo 5

Tiempo

disponible

Joe

10

15

20

10

5

35 Sue

4

10

5

4

20

(15)

Xij=asignación del programador i al trabajo j

1=asigno / 0=no asigno

Min

(joe) = 100x11 + 150x12+200x13+100x14 + 50x15

..

SA

10x11+15x12+20x13+10x14+5x15 <=35

….<=20

…..<=40

x11+x21+x31=1

x12+x22+x32= 1

x13+x23+x33= 1

PROBLEMA 8

Una compañía manufactura cajas de herramientas en tres plantas y la manda después por

barco a tres centros de distribución (los cuales son propiedad de la compañía). Los costos de

producción y distribución variable por unidad transportada entre las plantas y los centros de

distribución, así como la capacidad de producción mensual de las plantas, la demanda mensual

de cada centro de distribución, y los costos fijos mensuales por operar las plantas y centros de

distribución se muestran en la siguiente tabla:

Planta

Centro de

distribución A

Centro de

distribución B

Centro de

distribución C

Capacidad

Costos fijos

(16)

2 $27

$25

$29

600 2000

3 $30

$27

$26

600 1900

Demanda

500

500 Costo fijo

$500

$400

$600

La compañía está pasando por momentos económicos difíciles y la administración ha decidido cerrar una planta y un centro de distribución. Desde luego que la demanda del centro de distribución se perderá (no será satisfecho). Cuando un centro de distribución se cierra, nada llegará a él y los costos fijos no se tomarán en cuenta. Cuando se cierra una planta, nada se manufacturará ni saldrá de ella. Formule el modelo de programación entera para decidir qué planta y centro de distribución cerrar.

Xij = cantidad de cajas de herramientas de planta i=1,2,3 al Centro de distribucuib j=a,b,c

Cp=1=decisión de no cerrar la planta

0=caso contrario

cd=1=decisión de no cerrar la planta

0= caso contrario

oferta planta

x11+x12+x13=600cp1

x21+x22+x23=600cp2

x31+x32+x33=600cp3

demanda

x11+x21+x31=500cd1

x12+x22+x32=500cd2

x13+x23+x33=500cd3

cp1+cp2+cp3=2

cd1+cd2+cd3=2

fo

1700cp1+2000cp2+1900cp3 +

500cd1+500cd2+500cd3 +

(17)

25x11+30x12+27x13 +

27x21+25x22+29x23+

30x31+27x32+26x33

PROBLEMA 9

Un comerciante de equipos industriales se encuentra en una ciudad en la cual puede

comprar siete tipos de equipos, los pesos, utilidades, y cantidades mínimas y máximas

a comprar de los equipos se muestran en la siguiente tabla.

Equipo

Peso

(kg/unidad)

Utilidad

($/unidad)

Mínimo a

comprar

Máximo a

comprar

1

320 2500

1

3

2

400 3700

0

3

450 2600

2

4

400 2800

1

3

5

300 1900

0

2

6

360 3000

0

4

7

380 2700

1

4

Suponga que el comerciante dispone de un camión con capacidad de 3600 Kg. Además para los productos 2 y 5, existe un costo fijo de embarque (este costo es independiente de la cantidad embarcada, solo en caso de no embarcar dicho producto el costo fijo será cero); el costo fijo para el producto 2 es de $ 280 y para el producto 5 es de $ 350. Para el producto 6 el costo fijo es de $320, pero solo se aplica este costo si se embarcan 3 o más unidades de este producto. Formule un modelo adecuado para esta situación.

(18)

Xi = cantidad de equipos

Yi= 1=eligir equipo i=2,5,6 / caso contrario

Max = 2500x1 + 3700x2 + 2600x3..+2700x7 – 280y2 – 350y5 –320y7

Sa

320x1 + 400x2 +450x3 + 400x4..380x7<=3600 (peso maximo)

1<=x1<=3

x2<=3y2

2<=x3<=4

1<=x4<=3

x5<=2y5

x6<=4

1<=x7<=4

PROBLEMA 10

Hemos recibido las ofertas de tres compañías de teléfonos para suscribirnos a su servicio de

larga distancia hacia Estados Unidos, Telefónica cobrara una tarifa fija de 16 dólares al mes

más 0.25 centavos por minuto, Telmex cobrara 25 dólares al mes, pero reducirá el costo por

minuto a 0.21 centavos, en tanto que Nextel ofrece cobrar una tarifa fija mensual de 18

dólares y el costo por minuto es de 0.22 centavos. Generalmente hacemos un promedio de

200 minutos de llamadas de larga distancia al mes. Suponiendo que no se pague la tarifa fija a

menos que haga las llamadas y de que pueda dividir mis llamadas entre las tres compañías

según nos parezca o nos convenga, formular un modelo que nos ayude a determinar como

debo utilizar los servicios de las tres compañías para minimizar nuestra cuenta mensual de

teléfono?

(19)

Xi=cantidad de minitos

Min

16y1+25y2+18y3 + 25x1+-21x2+.22x3

sa

x1+x2+x3=200y1

x1+x2+x3=200y2

x1+x2+x3=200y3

PROBLEMA 11

Una compañía opera una planta en Lima con una capacidad anual de 30,000 unidades. El

producto se embarca a centros regionales de distribución localizados en Arequipa, Trujillo,

Iquitos. Debido a un incremento anticipado en la demanda, la compañía planea aumentar la

capacidad construyendo una nueva planta en una ò más de las ciudades siguientes: Piura,

Chiclayo, Tacna, Tarapoto. El costo fijo anual estimado y la capacidad anual de las cuatro

plantas propuestas son como sigue:

Planta propuesta

Costo fijo anual

Capacidad anual

Piura

US$ 175,000

10,000

Chiclayo

US$ 300,000

20,000

Tacna

US$ 375,000

30,000

Tarapoto

US$ 500,000

40,000

El grupo de planeación a largo plazo de la empresa a desarrollado pronostico de la

demanda prevista anual en los centros de distribución como sigue:

Centro de distribución

Demanda anual

Arequipa

30,000

Trujillo

20,000

(20)

El costo de embarque por unidad de cada una de las plantas a cada uno de los centros de

distribución aparece en la siguiente tabla:

Localización de la planta

Arequipa

Trujillo

Iquitos

Piura

5

2

3 Chiclayo

4

3

4 Tacna

9

7

5 Tarapoto

10

4

2 Lima

8

4

3 Formule un modelo de programación lineal entera que determine las nuevas plantas que

deberán construir.

Xij = producto embarcdo de la planta i al centro de distr j

Yi = 1=contruyo planta / 0 =caso contrario

Fo

Min

5x11+2x12+3x13+....+..3x53...+175000y1+300,000y2+375,000y3+500,000y4

sa

x11+x12+x13<=10,000 y1

x21+x22+x23<=20,000 y2

x31+x32+x33<=30,000 y3

x41+x42+x43<=40,000 y4

x51+x52+x53<=30,000

x11+x21+x31+x41+x51<=30,000

x12+x22+x32+x42+x52<=20,000

(21)

x13+x23+x33+x43+x53<=20,000

PROBLEMA 12

Una línea aérea piensa comprar Jet de pasajeros grandes, medianos y chicos. El precio de

compra será de $67 millones cada avión grande, $50 millones por cada uno mediano, $35

millones por cada avión chico. El consejo directivo ha autorizado un compromiso máximo de

$1500 millones para estas compras. Sin importar que aviones se compren, se espera que las

distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como para que los aviones se

utilicen, en esencia, a su capacidad máxima. Se estima que la ganancia neta anual (después de

restar los costos de recuperación de capital) será $4.2 millones para un avión grande, $3

millones si se trata de un avión mediano y $2.3 millones por cada avión chico.

Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados para operar 30

aviones nuevos. Si solo se comprar aviones chicos, las instalaciones de mantenimiento podrían

manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 1 1/3 aviones chicos y cada avión

grande equivale a 1 2/3 aviones chicos, en términos de la utilización de las instalaciones de

mantenimiento.

Esta información se obtuvo en un análisis preliminar del problema. Más adelante se llevara a

cabo un estudio mas detallado. Si se toman estos datos como una primera aproximación la

gerencia desea saber cuantos aviones de cada tipo debe comprar a fin de maximizar la

ganancia.

Xi= cantidad de aviones a comprar de tamaña i

Max 4.2x1 + 3x2 + 2.3x3

X1+x2+x3<=40 pilots

4/3 40 = 30

chicos =40

medianos 30

grades = 5y/3 de 40 = 24

(22)

x1/24 + x2/30 + x3/40 <=1

67x1 + 50x2+35x2 <=1500

pregunta 13

una empresa desea planear la producción de dos tipos de baterias para los meses de Julio ,

agosto, setiembre la demanda es

productos Julio

agosto Set

Oct

Bateria A

400

500

600

400 Bateria B

600

700

600 El inventario de A y B al final de junio es de 100 y 150 respectivamente, ademas al final del mes

de octubre se debe dispner de al menos 135 del Tipo B, los costos unitarios de baterias A es

80$ y 100$ de B, para cualquier mes, los costos de almacenamiento de A es 10$ y 8$ de B,

ambos productos ocupan el mismo espacio de almacen, la capacidad del almacen es 150

Las capacidades de producción son de 500 de tipo A y 600 tipo B

Generar un mpl para planificar la producción

Considerar que si sobrepasa la capacidad de almacenamiento hay un sobre costo de 50$ por

unidad

Xij = numero de unidades a producir en el mes i del producto j

Yij = inventario del mes i del producto j

Zij =numero de unidades por vender del mes i del producto j

Min 80(x1a+x2a+x3a+x4a) + 100(x1b+x2b+x3b+x4b)

+ 10 (y1a + y2a+y3a+y4a) + 8(y1b+y2b+y3b+y4b)

SA

(23)

100+x1a=za+y1a (julio)

y1a+x2a=z2a+y2a

y2a+x3a=z3a+y3a

y3a+x4a=z4a+y4a

producto b

100+x1b=zb+y1b (julio)

y1b+x2b=z2b+y2b

y2b+x3b=z3b+y3b

y3b+x4b=z4b+y4b

y4b>=135

almacen

y1a<=150 y1b<=150

y2a<=150 y2b=150

y3a<=150 y3b<=150

y4a<=150 y4b<=150

x1a<=500 x1b<=600

x2a<=500 x2b<=600

x3a<=500 x3b<=600

x4a<=500 x4b<=600

demanda

Z1a<=400 Z1b<=600

(24)

Z2a<=400 Z2b<=600

Z3a<=400 Z3b<=600

Z4a<=400 Z4b<=600

Duracion : 7 meses

Desviacion estandar : 0.97

1- hallar la duración esperada del proyecto con una probabilidad del 90%

p(x-7)/0.97 = 90% -> 90% = 1.28  x=8.24 meses

2- hallar la probabilidad de k el proyecto tenga un duración entre 5 y 8 meses

primero hallamos la probabilidad de 8

p(8-7)/.97=x  x=1.03 ..en la tabla hallamos la intersección para ubicar a que

porcentaje corresponde... 1.03 es 0.8484 es decir 84.84%

luego hallamos la probabilidad de 5

p(5-7)/.97=x  x=-2.06 ..en la tabla hallamos la intersección para ubicar a que

porcentaje corresponde... –2.06 es 0.0197 es decir 1.97%

por ultimo restamos las probabilidades ... 84.84 – 1.98 = 82.87... entonces la probabilidad

de k tenga una duración entre 5 y 8 meses es 82.87%

3- hallar un intervalo de confianza al 90%

100% - 90% = 10%.

10% / 2 = 5%

 hallamos primero para 90% + 5%  95% k en la tabla es 1.64

p(x-7)/.97=1.64  x=8.59

 hallamos para 5%  k en la tabla es -1.64

p(x-7)/.97= - 1.64  x=5.40

(25)

4- que se adelante 1 meses

(6 – 7)/.97 = -1.03 = 15.15%  50% - 15.15% = 34.85%

5- que se atrase 2 mes

(9– 7)/.97 = x  x=2.06 = 98.03%

 98.03% - 50%

---

1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?

MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD

REGULAR 50% 50% $ 5

SÚPER 75% 25% $ 6

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar?

x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones Max Z = 5x1 + 6x2 …….(1)

Sujetos a:

1500x1 + 1000x2 < 3000 …….. (2)

2250x1 + 500x2 < 2000 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

2. (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que las más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla más cara?

MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA POR

SEMANA

BARATA 80% 20% $10 POR KILO

CARA 50% 50% $ 15 POR KILO

Solución:

x1 = la Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos x2 = la Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos Max Z = 10x1 + 15x2 …….(1)

Sujetos a:

1440x1 + 240x2 < 1800 …….. (2)

3. (Dediciones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la

(26)

primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?

PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 UTILIDAD A 2 5 $ 70 POR KILO B 4 3 $50 POR KILO Solución:

x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2 …….(1)

Sujetos a:

2x1 + 4x2 < 100 ……... (2)

4. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que se recibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad máxima. Solución:

Sujetos a:

2x1 + 4x2 < 100 …….. (2)

5. (Decisiones sobre Producción). Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina, como se indica a continuación:

PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 HRS MÁQUINA 3 UTILIDAD A 2 4 3 $250 POR KILO B 5 1 2 $300 POR KILO

Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total.

Solución:

Sujetos a:

2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3)

3x1 + 2x2 < 190 ... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

6. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compañía a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total. Solución: PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 HRS MÁQUINA 3 UTILIDAD A 2 4 3 $600 POR KILO

(27)

B 5 1 2 $300 POR KILO

Sujetos a:

2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3)

7. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante es forzado por

la competencia a reducir el margen de utilidad del producto B. ¿Cuánto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el programa de producción? (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).

Solución: PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 HRS MÁQUINA 3 UTILIDAD A 2 4 3 $600 POR KILO B 5 1 2 $ X POR KILO

x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades

pero en éste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora la UTILIDAD del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lo tanto queda:

Max Z = 250x1 + 150x2 …….(1)

(El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a:

2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3)

8. (Decisiones sobre inversión) Un gerente de Finanzas tiene $ 1´ 106 de un fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios más efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidad invertida puede estar en bonos hipotecarios. Más aún, lo mínimo que puede ponerse en bonos hipotecarios es de %100,000. Determine las cantidades de la dos inversiones que maximizarán la inversión total.

Solución:

x1 = la Cantidad de la inversión en bonos conservadores x2 = la Cantidad de la inversión en bonos hipotecarios Max Z = x1 + x2 …….(1)

Sujetos a:

(0.06)(1,000,000)x1 + (0.1)(1,000,000)x2 < (1,000,000)(0.25) ……... (2) x2 > 100,000 ……... (3)

x1, x2 > 0

9. (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 acre pies en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre:

CULTIVOS COSTO DE PLANTAR DEMANDA

HORAS-HOMBRE

UTILIDAD

PRIMERO $20 5 $ 100

(28)

Solución:

x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies Max Z = 100x1 + 300x2 …….(1)

x1 + x2 < 100 ... (2) esta ecuación se debe a que sólo tiene 100 acre pies para los cultivos 5x1 + 20x2 < 1350…... (3)

20x1 + 40x2 < 3000 ...(4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

10. (Decisiones sobre plantación de cultivos) En el ejercicio anterior, determine la porción del terreno que deberá plantearse con cada cultivo si la utilidad por concepto del segundo cultivo sube a $ 450 por acre. Solución:

CULTIVOS COSTO DE PLANTAR DEMANDA

HORAS-HOMBRE

UTILIDAD

PRIMERO $20 5 $ 100

SEGUNDO $40 20 $ 450

x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies Max Z = 100x1 + 450x2 …….(1)

5x1 + 20x2 < 1350…... (2)

20x1 + 40x2 < 3000 ...(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

11. (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen:

 al menos 0.5 miligramos de tiamina

 al menos 600 calorías

PRODUCTO TIAMINA CALORIAS

A 0.2 mg 100

B 0.08 mg 150

Solución:

Variables:

x1 = la Cantidad mas Barata del producto A x2 = la Cantidad mas Barata del Producto B Max Z = x1 + x2 …….(1)

Sujeto a:

0.2x1 + 0.08x2 > 0.5…... (2) (al menos)

100x1 + 150x2 > 150 ...(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

12. (Putificación del mineral) Una compañía posee dos minas, P y Q. En el cuadro siguiente se muestra la producción de los elementos por cada tonelada producida por ambas minas respectivamente:

MINAS COBRE ZINC MOLIBDENO COSTO POR TON. DE OBTENCIÓN DE

MINERAL

P 50 lb 4 lb 1 lb $ 50

Q 15 lb 8 lb 3 lb $ 60

La compañía debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de los metales que se muestran a continuación:

 87,500 libras de cobre

(29)

 5,000 libras de molibdeno

¿Cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mínimo?

Solución: Variables:

x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en libras x2 = la Cantidad de Mineral de la MINA Q en libras Max Z = 50x1 + 60x2 …….(1)

50x1 + 15x2 < 87,500 ... (2) (COBRE) 4x1 + 8x2 < 16,000…... (3) (ZINC) x1 + 3x2 < 5000 ...(4) (MOLIBDENO) x1, x2 > 0 lo que queda planteado

13. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un depa, de química industrial, almacena, al menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de vasos

almacenados no debe exceder de 1200. Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y muéstrelo con un gráfica.

x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ...(3) x1 + x2 < 1200 ...(4) x1, x2 > 0

14. (Espacio de Almacenamiento) En el ejercicio anterior, supongamos que los vasos del primer tamaño ocupan 9 in2 del anaquel y los del segundo 6 in2. El área total de anaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de 62.8 ft2. Determine las cantidades posibles de los vasos y muéstrelo con una gráfica. Solución:

Variables:

x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ...(3) x1 + x2 < 1200 ...(4) 9x1 + 6x2 < 62.8 ...(5) x1, x2 > 0

15. (Planeación Dietética) Una persona está pensando reemplazar en su dieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne contiene un promedio de casi de 7 gramos de proteína mientras que una onza de frijoles de soya (verde) contiene casi 3 gramos de proteína. Si requiere que si consumo de proteína diaria que obtiene de la carne y de los frijoles de soya combinados debe ser al menos de 50 gramos. ¿Qué combinación de éstos nutrientes formarán un dieta aceptable?

x1 = la Cantidad de Carne

x2 = la Cantidad de Frijoles de Soya Min Z = x1 + x2 …….(1)

Sujeto a:

7x1 + 3x2 > 50 ...(5) x1, x2 > 0

16. (Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F1 y F2 disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pez de cada especia está dado en el cuadro siguiente:

(30)

especies F1 F2 Peso Promedio

S 2 Unidades 3 Unidades 3 libras

T 3 Unidades 1 Unidades 2 libras

If there are six hundred of F1 and three hundred of F2 everyday. How do you debit supply the pool for what the total weight of fishes are at least 400 pounds?

Solución:

x1 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primavera en Unidades x2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T) en Primavera en Unidades Max Z = x1 + x2 …….(1)

Sujetos a:

2x1 + 3x2 < 600 …….. (2) 3x1 + 1x2 < 300 ……….(3)

3x1 + 2x2 > 400 lo que queda Planteado x1, x2 > 0

17. Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una

mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Libras por Libra de Alimento

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb)

Maíz 0.001 0.09 0.02 0.2

Harina de Soya 0.002 0.6 0.06 0.6

Los requisitos de alimento de los cerdos son: 1. Cuando menos 1% de calcio

2. Por lo menos 30% de proteína 3. Máximo 5% de fibra

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar?

x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento

x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1)

Sujetos a:

0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3)

0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) ... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

18. Un pequeño banco asigna un máximo de $20,000 para préstamos personales y para automóviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales ¿Cómo deben asignarse los fondos?

Solución:

x1 = la Cantidad Fondos de préstamos personales x2 = la Cantidad fondos de préstamos para automóvil Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1)

Sujetos a:

(0.14)(20,000)x1 + (0.12)(20,000)x2 < 20000 …….. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000) ……….(3)

x1 > (0.01)(0.12)(20,000) ... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

(31)

19. Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en la estaciones

de trabajo son:

Minutos por Unidad de Minutos por Unidad de

Estación de Trabajo HiFi-1 HiFi-2

1 6 4

2 5 5

3 4 6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 1 x2 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 2 Min Z = x1 + x2 …….(1)

Sujetos a:

6x1 + 4x2 < (0.1)(480) …….. (2) 5x1 + 5x2 < (0.14)(480) ……….(3)

4x1 + 6x2 > (0.12)(480) ... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

20. Una compañía de productos electrónicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrónicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismo componente. La

disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del modelo 1 de Radio x2 = la Cantidad de producción del modelo 2 de Radio Max Z = 30x1 + 20x2 …….(1)

Sujetos a: x1 < 60 …….. (2)

10x1 + 8x2 < 800 ……….(3)

x2 < 75 ... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

21. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquina. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:

Minutos Por Unidad

Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia

1 10 6 8 $2

2 5 20 15 $3

Nota: Determine la combinación óptima de los productos. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar?

x1 = la Cantidad de Unidades del Producto 1 x2 = la Cantidad de Unidades del Producto 2 Min Z = 2x1 + 3x2 …….(1)

Sujetos a:

10x1 + 5x2 < 10 …….. (2) 6x1 + 20x2 < 10 ……….(3)

(32)

22. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio

y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos de publicidad de $1000 por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25 más venta que cada minutos de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisión.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?

x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: 5x1 + 100x2 < 1000 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (25)(x2) ……….(3) x1, x2 > 0

23. Una compañía elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima en los índices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de los productos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de la materia prima a los dos productos.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B Max Z = 20x1 + 40x2 …….(1)

Sujetos a:

2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) x1 > (0.6)(60) ……….(3) x1, x2 > 0

24. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sobreros son

exclusivamente del segundo tipo. La compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 por el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para maximizar la ganancia.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1 x2 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 2 Max Z = 8x1 + 5x2 …….(1)

Sujetos a:

150x1 + 200x2 < 500 …….. (2) x1 > (2)(200) ……….(3) x1, x2 > 0

25. Una empresa pequeña, cuenta con dos máquina para elaborar dos productos. Cada producto tiene

que pasar por la máquina A y después por la máquina B. El producto 1 requiere 3 horas de la máquina A y 2 de la máquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la máquina B. La capacidad de las máquina A y B son 500 y 650 horas semanales respectivamente. El producto a deja 350 pesos y el segundo producto B deja 600 pesos por utilidades. Analice usted la situación de la operación de esta, dado que por escasez de materia prima no puede producir más de 21 unidades del producto.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B Max Z = 350x1 + 600x2 …….(1)

Sujetos a:

3x1 + 1x2 < 500 …….. (2) 2x1 + 2x2 < 650 …….. (3)

(33)

x1 + x2 < 21 ……...….(4) x1, x2 > 0

26. el grupo "IMPEXA", desea hacer publicidad para su productos en tres diferentes medios: radio, televisión y revista. El objetivo principal es alcanzar tantos clientes como sea posible. Han realizado un estudio y el resultado es:

Durante el día Durante la noche Radio Revistas

Número de clientes potenciales que puede alcanzar por unidades de publicidad

450,000 800,000 675,000 200,000

500,000 1,000,000 650,000 250,000

"IMPEXA" no quiere gastar más de $1,200,00. Además en publicidad por televisión no desean gastar más de 750 mil pesos. Se desean comprar tres unidades de televisión durante el día y 2 unidades durante la noche. Plantee el problema como un modelo de programación lineal.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR?

x1 = la Cantidad de clientes Potenciales por día x2 = la Cantidad de clientes Potenciales por noche x3 = la Cantidad de clientes por Radio

x4 = la Cantidad de clientes por revistas Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1)

Sujetos a: (RESTRICCIONES DE BALANCE) x1 + x2 + x3 + x4 < 1,200,000 x1 + x2 < 750,000 x1 > 450,000 x1 < 500,000 x2 > 800,000 x2 < 1,000,000 x3 > 375,000 x3 < 650,000 x4 > 200,000 x4 < 250,000 3x1 < 2x2

27. La señora Morales tiene una dieta a seguir, la cual reúne los siguientes requisitos alimenticios.

 Al menos 4 mg. de vitamina A

 Al menos 6 mg. de vitamina B

 A lo más 3 mg. de vitamina D

Así mismo, la dieta está formada por pan, queso, buebo, y carne. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo:

Contenido en mg por gramo de producto

PRODUCTO COSTO VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA D

PAN QUESO BUEBOS CARNE 40 31 19 53 0.20 0.15 0.15 0.30 0.18 0.10 0.40 0.35 0.10 0.14 0.15 0.16 Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a comprar de PAN x2 = la Cantidad a comprar de QUESO x3 = la Cantidad a comprar de HUEVO x4 = la Cantidad a comprar de CARNE Min W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4…….(1) Sujetos a:

(34)

0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 > 6 0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 > 3 x1, x2, x3, x4 > 0

28. (Inversiones) A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4 proyectos con sus

respectivos costos en un período de tres años, así como la utilidad total. El requiere maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000; $24,000; y $30,000 en cada uno de los años siguientes:

PROYECTO UTILIDAD TOTAL COSTO

AÑO 1 COSTO AÑO 2 COSTO AÑO 3 X1 X2 X3 X4 100 90 75 80 6 2 9 5 14 8 19 2 5 14 18 9 Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar?

x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento

x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1)

Sujetos a:

0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3)

0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) ... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

Disponibilidad:

Las cantidades disponibles por año se asignan a las diferentes variables o proyectos bajo estas restricciones para optimizar o

maximizar la utilidad total.

29. Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino tiene dos planes de inversión a saber: El primero en el programa de tierras de riego, el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión al fin del año, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, para el término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le permita al banco maximizar la inversión total en un sexenio, si la inversión es de $ 100 millones.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR?

xiR = la Cantidad de inversión de riesgo a una año i xiT = la Cantidad de inversión Temporal en 2 años i donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1)

Sujetos a: (RESTRICCIONES DE BALANCE) x1R + x1T < 100,000 x2R + x2T < 1.30x1R x3R + x3T < 1.30x2R + 1.65x1T x4R + x4T < 1.30x3R + 1.65x2T x5R + x5T < 1.30x4R + 1.65x3T x6R < 1.30x5R + 1.65x4T x1T, xR > 0

30. Una compañía de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión. Su presupuesto limita los gastos de publicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $15 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $90. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. Los datos históricos muestran que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 30 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?

x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2 …….(1)

(35)

Sujetos a:

15x1 + 90x2 < 1500 …….. (2) x2 > (2)(x1)

x1 > (30)(x2) ……….(3) x1, x2 > 0

31. Una Tienda de animales ha determinado que cada Hámster debería recibirla menos 70 unidades de proteína. 100 unidades de carbohidratos y 20 unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. ¿Qué mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo mínimo para la tienda? Alimento Proteínas (Unidades / Onza) Carbohidratos (Unidades / Onza) Grasa (Unidades / Onza) Costo (Onza) A B C D E F 20 30 40 40 45 30 50 30 20 25 50 20 4 9 11 10 9 10 2 3 5 6 8 8 Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a mezclar de A x2 = la Cantidad a mezclar de B x3 = la Cantidad a mezclar de C x4 = la Cantidad a mezclar de D x5 = la Cantidad a mezclar de E x6 = la Cantidad a mezclar de F Min W = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 8x5 + 8x6…….(1) Sujetos a: 20x1 + 30x2 + 40x3 + 40x4 + 45x5 + 30x6 < 70 ... PROTEÍNA 50x1 + 30x2 + 20x3 + 25x4 + 50x5 + 20x6 < 100 --- CARBOHIDRATOS 4x1 + 9x2 + 11x3 + 10x4 + 9x5 + 10x6 < 20 --- GRASA x1, x2, x3, x4 > 0

32. Una compañía manufacturera local produce cuatro deferentes productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes:

Maquinado Pulido Ensamble Producto I Producto II Producto III Producto IV 3 2 2 4 1 1 2 3 2 1 2 1

La compañía dispone semalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos II y III, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. ¿cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total?

Considere que las piezas incompletas como un modelo de Programación Lineal. Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujetos a:

(36)

1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 x1, x2, x3, x4 > 0

33. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquina. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas:

Máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 1 2 2 3 3 2 4 1 2 2

El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las máquina 1 y 2 es $10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos os productos en las máquina 1 y 2 son 500 y 380. si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 en $65, $70, $55 y $45, formule el problema como modelo de programación lineal para maximizar el beneficio neto total.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto 1 x2 = la Cantidad a fabricar del producto 2 x3 = la Cantidad a fabricar del producto 3 x4 = la Cantidad a fabricar del producto 4 Max W = 65x1 + 70x2 + 55x3 + 45x4…….(1) Sujetos a:

2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 < 500 3x1 + 2x2 + 1x3 + 2x4 < 380 x1, x2, x3, x4 > 0

34. La compañía Delta tiene maquinaria especializada en la industria de plástico. La compañía se dispone a iniciar operaciones el próximo mes de enero y cuenta con $300,000 y diez máquinas. La operación de cada máquina requiere de $4,000.00 al inicio de una mes para producir y al fin del mes la cantidad de $9,000.00 sin embargo, para cada dos máquinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de $3000.00 pagando al principio del mes. La compañía se propone planear su producción, empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, al máximo número de máquina en operación.

Al principio de cada mes la compañía tiene disponibles tres alternativas para adquirir maquinaria. En la primera alternativa puede comprar máquina de $20,000.00 cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es, si al principio de cada mes "t" se pide y paga la maquinaria, está se entregará al principio del mes t + 1.

En la segunda alternativa, se puede comprar en $15,000.00 cada maquinaria, pero el periodo de entrega es en dos meses. La última alternativa s comprar en $10,000.00 cada máquina con un periodo de entrega en tres meses.

Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la política de compra de maquinaria, producción y pago de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes siete tenga el máximo número de máquina en operación.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100

(37)

x4 < 25

x1, x2, x3, x4 > 0

35. Una compañía de productos químicos que labora las 24 horas del día tiene las siguientes necesidades de personal técnico y especializado

Periodo Hora del día Personal técnico Personal Especializado

1 2 3 4 5 6 6 – 10 10 –14 14 – 18 18 –22 22 – 02 02 - 06 20 40 80 45 25 10 8 12 15 9 3 2

Observe que el periodo 1 sigue al periodo 6. Considere que cada persona en la compañía labora 8 horas consecutivas. Suponga que Xt y Zt, denotan el número de personas técnicas y especializadas,

respectivamente, que empiezan a trabajar al inicio del periodo t en cada día. En esta compañía, el acuerdo sindical establece que en todo momento debe haber por lo menos tres veces el número de personal técnico que de personal especializado. Establezca un modelo de programación lineal pata determinar el mínimo número de personal técnico y especializado para satisfacer las necesidades diarias de trabajo en el compañía.

Solución:

xiR = la Cantidad de personal técnico

xiT = la Cantidad de personalidad especializado donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Min Z = x1 + x2 Sujetos a: 20x1 + 8x2 > 60 40x1 + 12x2 > 120 80x1 + 15x2 > 240 45x1 + 9x2 > 3(45) 25x1 + 3x2 > 75 10x1 + 2x2 > 30

36. Ferrocarriles Nacionales de México tiene al inicio del próximo año la siguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el país:

Trimestre 1 2 3

Locomotoras Diesel 750 800 780

La gerencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda mediante la combinación de las siguientes alternativas:

a. Uso de la existencia de locomotoras diesel en estado de trabajo

b. Compra de locomotoras al extranjero las cuales pueden entregarse al principio de cualquier trimestre c. Reparar locomotoras en los talleres nacionales con carácter normal. El tiempo re reparación es de 6

meses.

d. Reportar locomotoras en los talleres nacionales con carácter urgente. El tiempo de reparación es de 3 meses.