Geometría Analítica

Morales Florencio Ana Gabriel Moreno Arellano Luis Adrian Ramírez Pacheco Yennevy

Rojas Martínez Diego

LOS SOMBREROS DE PAJA

301

GEOMETRIA ANALITICA

11/09/20

¿Quien lo invento? Y ¿Para que sirve?

 El Plano Cartesiano es una herramienta muy útil en muchas actividades diarias. Sirve como referencia en un plano cualquiera; por ejemplo, el plano (o el suelo) de nuestra cuidad.

 _{Se llama Plano Cartesiano porque lo inventó el filósofo y matemático René Descartes}

(1596-1650).

Características

 El Plano Cartesiano se construye dibujando dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se atraviesan una a la otra en sus respectivos ceros; este cruce en el cero se le llama origen y a cada una de las rectas se les llama ejes cartesianos o ejes coordenados.

En la recta horizontal los números positivos están a la derecha del origen y los negativos a la izquierda del origen. En la recta vertical los números positivos están arriba del origen y lo negativos abajo del origen. Además, también se pueden trazar rectas paralelas a los ejes y formar así una cuadrícula.

La utilidad y versatilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto sin confusiones con sólo dos números. Estos dos números se llaman coordenadas o par ordenado y el orden es (x,y).

-PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

-PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS

-PERÍMETROS Y ÁREAS

-LA FUNCIÓN LINEAL Y SU GRÁFICA

PARALELISMO, COINCIDENCIA Y

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS

-ECUACION PRINCIPAL Y ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

EJERCICIOS PROPUESTOS

POSICIÓN Y DIRECCIÓN DE UNA RECTA

CÁLCULO DE LA PENDIENTE, A PARTIR DE DOS PUNTOS

ECUACIÓN DE LA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

RESUME N

x

y

1

2 3 4

-4 -3

-2

-1

5

-5

2 3 4

-4 -3

-2 -1

1

(1,2

)

(3,4

)

(4½,2½

)

(-2,1)

(-5,3)

(-4,1½)

(- 1½,-2)

(- 4½,-1)

(-3,

-3) (5

,-4)

(2, -2½)

(3, -1½)

x

y

1

2 3 4

-4 -3

-2

-1

5

-5

2 3 4

-4 -3

-2 -1

1

(1½,

2)

(-4½, 3)

(-1½, -3)

(2, -1½)

(5,

1)

(3½, -3½)

(-4, -2)

IDENTIFICA LOS PUNTOS QUE SE INDICAN Y

LUEGO COMPRUEBA.

(-3,

3½)

x

y

x

x

y

y

P₁

P₂

P_M

y

+y

x

+x

ENTRE P₁ y P₂ TIENE COORDENADAS:

P

( ,

)

x

+x

y

+y

OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS

P

(

x

,

y

)

y

P

(

x

,

y

)

OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO ENTRE LOS PUNTOS P₁(2, 3) y

P₂ (6, 7)

SEGÚN FÓRMULA ANTERIOR:

P

( ,

)

x

+x

y

+y

ESTO

ES:

P

M

( ,

)

2

+6

2

3

+7

LUEGO:

P

(

4

,

5

)

x

y

P₁

P₂

P_M

2 6

3 7

4 5

x

y

2 4

2

6 8 10

4 6 8

-6 -4 -2 -10 -8

-6

-4

-2

3

3

6-2

=4

4

d

9

16





d

Según

Pitágoras:_{2 2 2}

3

4





d

=

5

=5

APLICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS, ES POSIBLE

DETERMINAR LA DISTANCIA

ENTRE DOS PUNTOS

¡SIRVE EL

TEOREMA DE

PITÁGORAS! ¡AH!

25



d

x

y

LA

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS SE OBTIENE COMO

CONCLUSIÓN DEL

PROCESO

SIGUIENTE:

_x

1

x

y

y

d

x

-x

x

-x

y

-y

y

-y

Aquí, Según Pitágoras:

d

=

(

x

-

x

)

+

(

y

-

y

)

P

1

P

2

d

=

(

x

-x

)

+

(

y

-y

)

ESTA ES LA FÓRMULA GENERAL PARA

DETERMINAR LA

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

SEAN LOS PUNTOS P₁ y P_2,, DE COORDENADAS (x₁,y₁) y (x₂,y₂)

CÁLCULO DE LA DISTANCIA

ENTRE LOS PUNTOS P₁(2, 3) y P₂ (14, 8)

x

y

2 4 6 8 1

0

1 2

14 2

4 6 8

P₁(2,3)

P₂ (14, 8)

d

12

5

Según Pitágoras:

d

=

(

14 -

2

)

+

(

8 - 3

)

d

=

144

+

25

=

169

d=

13

=1

3

SEAN LOS PUNTOS :

A(-2, -4)

B( 3,

8)

C(6,

4)

EN UN PLANO, ESTO ES:

x

y

A

B

C

AL UNIR LOS VÉRTICES, MEDIANTE SEGMENTOS

DE RECTA, SE

DETERMINA EL

TRIÁNGULO ABC

ENTONCES, EL

PERÍMETRO DEL

TRIÁNGULO ABC SE OBTIENE SUMANDO LA MEDIDA DE SUS LADOS

AB, BC Y AC.

d

=

(

x

-

x

)

+

(

y

-

y

)

PARA EL CÁLCULO DE ESTAS MEDIDAS, SE APLICA LA FÓRMULA DE DISTANCIA:

Continúa ...

ENTRE LOS PUNTOS:

d

=

(

x

-x

)

+

(

y

-y

)

APLICANDO LA FÓRMULA:

(

3

-

-2

)

+

(

8

-

-4

)



AB

d

_

₅

_

₁₂

144

25







169



₁

3

-4)

B( 3,

8 )



BC

d

(

6 -

3

)

+

(

4 -

8

)

LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS:

2

2

₍

₄

₎

3







16

9







25



5

B( 3,

8 )

C(6,

4)

Continúa ...

Y CONSIDERANDO LOS PUNTOS:



AC

d

(

6

-

-2

)

+

(

4

-

-4

)

2

2

₈

8











64

64

A(-2, -4)

C(6,

4)



128

CON LO CUAL SE CONCLUYE QUE EL

PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO QUE

DETERMINAN LOS PUNTOS A,B,C, ES:

P=

₁₃

₊

₅

₊

P

=

11,31

11,31

29,31

Continúa ...

PARA RESOLVER EL PROBLEMA

DEL CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC ,

EXISTE UNA FÓRMULA QUE PERMITE DETERMINAR EL ÁREA DE CUALQUIER TRIÁNGULO

CUANDO LAS MEDIDAS DE SUS LADOS SE CONOCEN

ESTA

ES,

A



p



(

p



a

)



(

p



b

)



(

p



c

)

AQUÍ:

es la mitad del perímetro del triángulo

son las medidas de los respectivos lados del triángulo ABC.

c

b

a

,

,

p

Continúa ...

ASÍ, ENTONCES, CONSIDERANDO QUE LAS MEDIDAS DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO ABC, SON:

13

,

5

11.31

29.31

CON LA FÓRMULA DE

HERÓN:

)

(

)

(

)

(

p

a

p

b

p

c

p

AREA















SE

TIENE:

a



11

,

31

b



5

c



13

p



14

,

66

66

,

1

66

,

9

35

,

3

66

,

14









AREA

27,9

3

=

780.47

=

EN UN PLANO DE COORDENADAS, SE TIENEN LOS PUNTOS A(-3, -2) , B ( -2, 5) y C (7, -4)

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

A B

C

AL UNIR LOS VÉRTICES, MEDIANTE SEGMENTOS DE RECTA, SE DETERMINA EL

TRIÁNGULO ABC.

¡DETERMINA SU

PERÍMETRO Y LUEGO

COMPRUEBA!

¡DETERMINA SU ÁREA Y LUEGO COMPRUEBA!

Continúa ...

ENTRE LOS PUNTOS:

d

=

(

x

-

x

)

+

(

y

-

y

)

APLICANDO LA FÓRMULA:

(

-2 -

-3

)

+

(

5 -

-2

)



AB

d

_

₁

_

₇

49

1







50



7,07

A(-3,

-2) B_{5 )}( -2,



BC

d

(

7 -

-2

)

+

(

-4 -

5

)

LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS:

2

2

₍

₉

₎

9







81

81





_

₁₆₂

_

12,72

C(7, -4)

B( -2,

5 )

Continúa ...

ADEMÁS, CON LOS PUNTOS:



AC

d

(

7 -

-3

)

+

(-

4 -

-2

)

2 2

₍

₂

₎

10













100

4

104



_10,19

A(-3, -2)

C(7, -4)

P

=

7,07 + 12,72 +

_{10,19 =}

ASÍ, ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC ES:

29,98

Y CON LA FÓRMULA DE

HERÓN:

)

(

)

(

)

(

p

a

p

b

p

c

p

AREA















8

,

4

27

,

2

92

,

7

99

,

14









AREA

16,2

7

=

264,7

=

x

y

-2

4

2 6

2 4 6

-8 -6 -4 -2

UNA MANERA INGENIOSA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN

TRIÁNGULO, DIBUJADO EN UN PLANO, ES INSCRIBIRLO EN

UN RECTÁNGULO.

SEA EL TRIÁNGULO: P(-6, -2) , Q(-3, 4) y R (5, 1)

AL INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO, SE TIENE:

AHORA, EL ÁREA DEL

TRIÁNGULO PQR, SE OBTIENE CALCULANDO EL ÁREA DEL RECTÁNGULO Y

LUEGO RESTÁNDOLE LAS

ÁREAS DE LOS TRES

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

T1, T2 Y T3 QUE SE DETERMINARON

DEL RECTÁNGULO

ES: 11 • 6

=

66

DE LOS TRIÁNGULOS

T1 + T2 + T3 ES:

T1 T2

T3

12 + 9 + 16.5 =

37. 5

ASÍ, EL ÁREA:

POR LO TANTO, EL

ÁREA DEL

TRIÁNGULO PQR

ES:

66 -

37.5 =

x

y

-2

4

2 6

2 4 6

-8 -6 -4 -2

ANÁLOGAMENTE AL CASO ANTERIOR, SE PUEDE CALCULAR

EL ÁREA DE UN CUADRILÁTERO, CON AYUDA DE UN RECTÁNGULO.

¡INTÉNTALO CON EL

CUADRILÁTERO: A(-2, -3) , B(6,

0) , C (3, 4) y D (-5, 3) !

D C

A

B

¡LUEGO

COMPRUEBA!

Área del

rectángulo = 77 Área de T1 =

12

T1 T2

Área de T2 =

6

T 3

T4

Área de T3 =

2.5

Área de T4 =

9

ASÍ, EL ÁREA DEL

CUADRILÁTERO ABCD ES:

77 -

29.5

=

DETERMINAR LA DISTANCIA Y EL PUNTO MEDIO, ENTRE

LOS PUNTOS

SIGUIENTES:

1.- A(-4,-5) y

B (2,3)

2.- C(-3,6) y

D (9,1)

3.- E(1,-7) y F (10,5)

4.- G(-6,-2) y H (6,14)

5.- I(0,-4) y

J (3,0)

6.- K(-1,1) y

L (7,7)

DISTANCIA PUNTO MEDIO

1

0

1

3

16,2

7

2

0

5

1

0

(

1

,

-1

)

(

3

,

3½

)

(

5½

,

-1

₍

₀

)

_,

₆

₎

(

1½

,

-2

₍

₃

)

_,

₄

₎

CALCULAR EL PERÍMETRO Y EL ÁREA, DEL POLÍGONO QUE RESULTA AL UNIR LOS PUNTOS SIGUIENTES:

7.- A(-4,-5), B (2,3) y

C (1,-7)

8.- D(-3, 6), E (9,1) y

F (6, 0)

9.- G(-6,-2), H (6,14)

C(1,-7) y

D(-3,6)

10.- A(-4,-5), H (6,14)

F(6, 0) y

D(-3,6)

PERÍMETR O

ÁREA

25.4

2

26.9

7

49.1

8

48.2

6

25.9

6

17.4

7

127.

5

46

EL PLANO CARTESIANO PERMITE DIBUJAR DIVERSOS TIPOS DE LÍNEAS, RECTAS Y CURVAS .

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

LA IMPORTANCIA DE LOS GRÁFICOS RADICA EN QUE

PERMITEN DAR HA

CONOCER, MEDIANTE UN

IMPACTO VISUAL,

DIVERSAS SITUACIONES,

COMO SER: ESTADO DE UNA EMPRESA, COMPRA

VENTA DE PRODUCTOS,

MOVIMIENTO DE UN MÓVIL, ÍNDICES DE PRODUCIÓN, NACIMIENTO, MORTALIDAD, INTERESES,

PRECIPITACIONES Y OTROS

CASOS; QUE PERMITEN A

SIMPLE VISTA OBTENER

INFORMACIÓN VÁLIDA,

PARA LA TOMA DE

DESICIONES.

x

y

10 0 200 300 400

E F M A M J J A S

EN EL GRÁFICO DE LA FIGURA, SE INDICAN LOS MILES DE PARES DE CALZADO VENDIDOS POR

UNA FÁBRICA, ENTRE LOS

MESES DE ENERO Y SEPTIEMBRE DEL AÑO 2000.

M I L E S

MESES

LAS LÍNEAS PERMITEN

UNA MEJOR

APRECIACIÓN DE LA

SITUACIÓN.

¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MÁS BAJAS?

¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MEJOR?_{¿QUÉ PRODUCCIÓN DE CALZADO DEBE}

ASEGURAR LA EMPRESA PARA EL PRÓXIMO PERÍODO?

LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEA, QUE SE DIBUJAN EN UN

PLANO CARTESIANO, SE PUEDEN ESCRIBIR

ALGEBRAICAMENTE, DE ACUERDO A SU FORMA:

* LAS LÍNEAS RECTAS SE ESCRIBEN DE LA FORMA:

b

ax

x

f

(

)





,

a

,

b



IR

x

Y

ADEMÁS,

ES UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

A LA CUAL SE LE PUEDEN DAR DIFERENTES VALORES, PARA OBTENER RESPECTIVOS VALORES DE

f

(

x

)

EN UN PLANO CARTESIANO, LOS VALORES QUE SE LE VAYAN

ASIGNANDO A LA VARIABLE

x

)

(

x

f

A TODAS LAS EXPRESIONES

ALGEBRAICAS SE LES DENOMINA FUNCIONES.

)

(

x

f

y



EN PARTICULAR, A LAS

FUNCIONES

f

(

x

)



ax



b

Sea la función lineal:

5

2

)

(

x



x



f

En una tabla de valores; esto es:

3

2

)

(

x



x



f

x

(

x

,

f

(

x

))

1 4

2•1 - 3= -1

(1, -1) 2•4 -

3= 5

(4, 5)

x

y

1 4

-1 5

ASÍ, SU GRÁFICA ES:

5

2

)

(

x



x



f

¡OBSERV

A!

_f

₍

_x

₎

_

₃

_x

_

₄

4

3

)

(

x



x



f

x

(

x

,

f

(

x

))

0 5

3•0 - 4= -4

(0, -4) 3•5 -

4= 11

(5, 11)

5

2

)

(

x





x



f

5

2

)

(

x





x



f

x

(

x

,

f

(

x

))

-2•0 + 5= 5

0 (0, 5) -2•3 +

5= -1

3 (3, -1) SI: ENTONCES: SI: ENTONCES: GRAFICAMENTE ; ESTO ES:

x

y

4

3

)

(

x



x



f

5

2

)

(

x





x



f

EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:

3

)

(

x



x



f

1

2

)

(

x



x



f

3

)

(

x





x



f

1

2

)

(

x





x



f

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

¡LUEGO

COMPRUEBA!

_{¿QUÉ PUEDES}

CONCLUIR?

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 4 6

-4

-6 -2

EN EL PLANO, LAS LÍNEAS

SE DIBUJAN DE IZQUIERDA A DERECHA Y PRESENTAN UNA INCLINACIÓN

ASCENDENTE O

DESCENDENTE, DENOMINADA

COEFICIENTE DE

DIRECCIÓN O PENDIENTE DE LA RECTA, CUYO VALOR NUMÉRICO SE REPRESENTA CON LA LETRA m.

AL PUNTO DONDE LAS RECTAS CORTAN AL EJE DE LAS Y SE LE

DENOMINA

COEFICIENTE DE

POSICIÓN Y SU VALOR NUMÉRICO SE

REPRESENTA CON LA LETRA n.

3

)

(

x



x



f

1

2

)

(

x



x



f

3

)

(

x





x



f

1

2

)

(

x





x



f

EN LAS FUNCIONES

LINEALES

f

(

x

)



ax



b

EL VALOR DE LA PENDIENTE COINCIDE CON EL VALOR DEL COEFICIENTE

a

x

VALOR DEL COEFICINTE DE POSICIÓN COÍNCIDE CON EL TÉRMINO

b

1

2

-1

-2

-3

3 1

1

FUNCIÓN LINEAL

PENDIENT E (m)

COEF. DE

POSICIÓN (n)

COMPLETA LA TABLA CON EL VALOR DE LA

PENDIENTE Y EL COEFICIENTE DE POSICIÓN

DE CADA UNA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES: FUNCIÓN LINEAL PENDIENT E (m) COEF. DE POSICIÓN (n) 5 3 2 )

(x  x  f

3 2

1 )

(x   x  f

7 4

3 )

(x  x  f

1 7

5 )

(x   x  f

2 3

2 )

EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

7

3

)

(

x



x



f

1

3

)

(

x



x



f

5

3

)

(

x



x



f

¿QUÉ PUEDES DECIR DE SUS PENDIENTES? ¿POR QUÉ LAS RECTAS SON PARALELAS?

¿DÓNDE CORTAN, LAS RECTAS, AL EJE Y?

EN GENERAL, SIEMPRE QUE DOS O MÁS RECTAS PRESENTEN LA MISMA PENDIENTE Y

DISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN,

PODEMOS ASEGURAR QUE ESTAS SON

PARALELAS; ES DECIR, NUNCA SE

INTERSECTAN.

CUANDO DOS RECTAS COÍNCIDEN EN EL VALOR DE AMBOS COEFICIENTES

(PENDIENTE Y POSICIÓN), SE DICE QUE

ÉSTAS SON COINCIDENTES EN TODA SU EXTENSIÓN.

EJEMPLO:

9

2

)

(

x



x



f

5

2

)

(

x



x



f

m =

2

m =

2

n =

9

n =

-5

EJEMPLO:

4

3

)

(

x



x



f

m =

3

m =

3

n =

4

4

3

)

(

x



x



f

n =

4

AHORA, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

1

3

2

)

(

x



x



f

4

2

3

)

(

x





x



f

¿QUÉ PUEDES DECIR DE SUS PENDIENTES?

¿QUÉ POSICIÓN

PRESENTAN LAS RECTAS, UNA RESPECTO DE LA

OTRA?

¿FORMAN UN

ÁNGULO DE 90°?

EN GENERAL, SIEMPRE QUE EL VALOR DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA CORRESPONDA CON EL VALOR DEL OPUESTO AL INVERSO

MULTIPLICATIVO DE OTRA RECTA, PODEMOS

ASEGURAR QUE ESTAS SON PERPENDICULARES; ES DECIR, SE INTERSECTAN FORMANDO UN ÁNGULO DE 90°.

EJEMPLO:

2

4

3

)

(

x



x



f

7

3

4

)

(

x





x



f

3

4

m

=

m =

-4

3

NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS PENDIENTES, EL PRODUCTO ES

-1.

=

-1

3

4

-

₄

3

EN ADELANTE, LAS

FUNCIONES_{SE ESCRIBEN}

f

(

x

)



mx



n

n

mx

y





IGUALDAD RECIBE EL NOMBRE DE ECUACIÓN

PRINCIPAL DE LA RECTA.

PENDIENT

E (m) COEF. DE _{POSICIÓN (n)}

CUANDO UNA ECUACIÓN PRINCIPAL PRESENTA COEFICIENTES

FRACCIONARIOS, ES POSIBLE EVITARLOS APLICANDO PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES.

EJEMPL O:

SI:

4

3

2





x

y

·3

12

2

3

y



x





(



2

x

)

)

2

(

12

2

)

2

(

3

y





x



x







x

12

2

3

y



x



ESTO

ES:

2

x



3

y





12

·(-1)

A ESTA EXPRESIÓN DE LA RECTA, SE LE DENOMINA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

A PARTIR DE UNA ECUACIÓN GENERAL, TAMBIÉN ES POSIBLE DETERMINAR SU ECUACIÓN PRINCIPAL

12

3

2

x



y





SI:



(



2

x

)

)

2

(

12

)

2

(

3

2

x



y





x









x

x

y

12

2

3









)

3

1

(





x

y

3

2

4





ESTO

ES:

3

4

2





x

y

RECTA

CONSIDERANDO QUE LA PENDIENTE DE UNA RECTA SE REPRESENTA POR LA LETRA m, Y QUE EL COEFICIENTE DE POSICIÓN SE REPRESENTA POR LA LETRA n; COMPLETA, SEGÚN CORRESPONDA, LA TABLA SIGUIENTE:.

m

_n

1

3

2

3 4

3

 

 x y

7 3 3 

 x y

2

5

-

₁₂

2x - 3y

= 6

2 3

1 _

 x y

-3

4

3

x - 3y = -6

3x + 4y = 12

21x - 7y = 3

2 1 5

2 _

 x

y

4x - 10y = 5

-37

3

-2

2

3

2 3

2 _

 x y

x

y

x

x

y

y

P₁

P₂

LA PENDIENTE m DE UNA RECTA TAMBIEN SE PUEDE

OBTENER A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:

SEAN ESTOS: P

(

x

,

y

)

y

P

(

x

,

y

)

1

2

x

x



1

2

y

y





ASÍ

,

m

₌

1 2

x

x

y

y





EN UN PLANO, ESTO ES:

SE DEFINE A

LA PENDIENTE

DE LA RECTA

COMO EL

CUOCIENTE

ENTRE LA

MEDIDA DEL

CATETO

OPUESTO, AL

ÁNGULO , Y

LA MEDIDA DE

SU CATETO

ADYACENTE.

=

tg

(



es la

inclinación de la recta USANDO UNA CALCULADORA:



=

tg

SI

: P

(

1

,

4

)

y

P

(

5

,

12

)

ENTONCES, LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS P₁ y P₂

SE PUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA:

m =

1 2

1 2

x

x

y

y





ESTO ES:

m =

=

=

2

DETERMINA, LA

PENDIENTE DE LA RECTA

QUE PASA POR LOS PUNTOS

P₁ (3, 7) y P₂ (8, 22)

APLICANDO LA FÓRMULA:

m =

1 2

1 2

x

x

y

y





¡VEAMOS!

m =

=

m =3

x

y

LA ECUACIÓN DE UNA RECTA TAMBIÉN SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:

SEAN ESTOS PUNTOS : P₁ (1, 2) y P₂ (9, 7)

1

9

2

7

EN UN PLANO, ESTO ES:

P₁

P₂



y

SI SE UBICA EN LA RECTA UN PUNTO CUALQUIERA (x,y), SE DETERMINA UN NUEVO

TRIÁNGULO

RECTÁNGULO, CON LO CUAL SE PRESENTAN DOS ALTERNATIVAS

PARA EL CÁLCULO DE LA PENDIENTE; x - 1

9 - 1

y - 2

7 - 2

m =

₌

ESTO ES :

8

y

- 16 =

5

x

- 5

DE

DONDE:

5

x -

8

y

=

-11

x

ASÍ :

x

y

EN GENERAL, A PARTIR DE DOS PUNTOS , LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DE LO

SIGUIENTE:

SEAN LOS PUNTOS CONOCIDOS : P₁(x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂)

x

x

y

y

P₁

P₂

EN UN PLANO, ESTO ES:

x₂ - x₁

y₂ - y₁

AL UBICAR EN LA RECTA UN PUNTO CUALQUIERA (x,y),

SE DETERMINA

UN NUEVO

TRIÁNGULO RECTÁNGULO,

CON LO CUAL SE PRESENTAN DOS ALTERNATIVAS

PARA EL CÁLCULO

DE LA

PENDIENTE;

x



x - x₁

y - y₁

m =

=

y₂ - y₁

x₂ - x₁

DE DONDE SE

OBTIENE LA

FÓRMULA PARA

OBTENER LA

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

y

-

y

=

y

- y

x

- x

·(x

- x

)

y

ASÍ :

SEAN LOS PUNTOS : P₁(2, 3) y

P₂ (7, 9)

ENTONCES, SEGÚN LA

FÓRMULA:

y

-

y

=

y

- y

x

- x

·(x

- x

)

SE TIENE:

y

-

3

=

9

- 3

7

- 2

·(x

- 2)

ES:

y

-

3

=

6

5

·(x

- 2)

5y

-

15

=

6x

- 12

DE DONDE LA ECUACIÓN

GENERAL DE LA RECTA ES:

6x

- 5y = -3

¡COMPRUEBA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS : P₁(1, 6) y P₂ (5,

7) ES

x - 4y = -23

!

EN LA

ECUACIÓN :

y

-

y

=

y

- y

x

- x

·(x

- x

)

m

ESTO

ES:

y

_x

- y

= m

·(x

-

1

)

IGUALDAD QUE TAMBIÉN PERMITE DETERMINAR LA

ECUACIÓN DE UNA RECTA, A PARTIR DE UN PUNTO

CONOCIDO Y SU PENDIENTE CONOCIDA

EJEMPLO :

SI UNA RECTA PASA POR EL PUNTO (5, -2) y TIENE PENDIENTE m = 4;

ENTONCES:

DE ACUERDO A:

y

- y

= m

·(x

-

x

)

SE TIENE:

y

- -2

= 4

·(x

-

5)

DE DONDE LA ECUACIÓN

GENERAL DE LA RECTA ES:

4x

- y = 22

EN VIRTUD DE TUS AVANCES, EN LOS TEMAS CONSIDERADOS, INTENTA COMPLETAR LA TABLA DE DOBLE ENTRADA, A PARTIR DE LOS DATOS QUE SE APORTAN.

ECUACIÓ N GENERAL ECUACIÓ N PRINCIPA L

P₁(x₁, y₁)P₂(x₂, y₂)

(

6

,

2

) (

1

,

5

)

m

2

(

-1

,

3

)

-3

(

7

,

1

)

(

-3

,

4

) (

5

,

-2

)

(

4

,

0

) (

1

,

-1

)

3x + 5y = 28

3x + 4y = 7

x - 3y = 4

5 3 5 5 3 _   x y 22 3    x

y

3x + y = 22

4 3 1 4 3 _   x y

2x - y = -5

LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P₁(x₁, y₁) Y

UNA RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA

a

x

+ b

y

= c

APLICANDO LA FÓRMULA :

d

=

a

+ b

- c

a

+

b

LA DISTANCIA, ENTRE EL PUNTO P(2, 3) Y LA

RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA

5

x

+

12

y =

7

d

=

5

·

2

+ 12

· 3

- 7

5

+

12

d =

3

UNA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO, GRÁFICAMENTE, ES UNA RECTA QUE SE PUEDE EXPRESAR ALGEBRAICAMENTE EN FORMA DE

ECUACIÓN PRINCIPAL (y =

mx + n) Y/O EN FORMA DE ECUACIÓN GENERAL ( ax + by =c ).

DOS O MAS RECTAS SON PARALELAS SI Y SOLO SI TIENEN LA MISMA PENDIENTE Y DISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN.

EN EL PRESENTE PROGRAMA, TE HABRÁS DADO CUENTA QUE:

DOS O MÁS RECTAS PARALELAS QUE TIENEN EL MISMO COEFICIENTE DE POSICIÓN SON COINCIDENTES EN TODA SU EXTENCIÓN (es una misma recta)

DOS RECTAS SON PERPENDICULARES SI Y SOLO SI EL PRODUCTO ENTRE SUS PENDIENTES DA -1,

5

4

3

_



x

y

20

4

3

x



y



1 2   x y 3 2   x y x y 5 3

2x  y 

10 6

4x  y  x

ADEMÁS, LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE :

UN PUNTO CONOCIDO P₁(x₁,

y₁) Y SU PENDIENTE CONOCIDA m.

y

- y

= m

·(

x

-

x

)

DOS PUNTOS CONOCIDOS

P₁(x₁, y₁) Y P₂(x₂,

y₂)

y

-

y

=

y

- y

x

- x

·(

x

- x

)

d

=

a

+ b

- c

a

+

b

Y, LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P₁(x₁, y₁)

Y UNA RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA

a

x

+

b

y

= c

GRACIAS POR SU ATENCION

 Esperamos que este trabajo haya sido de su agrado.

 Es una creación muy dinámica en donde tratamos de explicar lo mejor posible cada uno de los temas sobre el plano cartesiano.

 Esperamos que te haya liberado de esas pequeñas dudas que aun tienes.

 Sin mas por el momento, el equipo “Los Sombreros de Paja, se despiden.

 Solo recuerda….

 “El aprendizaje es para todos, cada día es una nueva aventura”