MATEMÁTICA FINANCIERA. Préstamos Comerciales

(1)

MATEM´

ATICA FINANCIERA

PR´ESTAMOS

Luis Alcal´a

UNSL

Segundo Cuatrimeste 2016

Luis Alcal´a (UNSL) PR´ESTAMOS Mat. Financiera - 2016 1 / 17

Pr´

estamos

Definici´on

Se llamapr´estamoa la operaci´on financiera consistente en la entrega de una cantidad dada de dinero (C0), el principal(o deuda), por parte de

una persona (f´ısica o jur´ıdica), llamada prestamista o acreedor, a otra persona (f´ısica o jur´ıdica), llamada prestatario o deudor, quien se compromete aamortizar el principal

Observaci´on

Se llamaamortizaci´onal proceso financiero mediante el cual se cancela, generalmente de manera gradual, una deuda con pagos peri´odicos, los cuales pueden ser iguales o diferentes.

Pr´

estamos

De todo el espectro posible de esquemas de reembolsos de préstamos, sólo estudiaremos dos variantes, de acuerdo a cómo son cobrados los intereses:

1 Pr´estamos comerciales: son los pr´estamos donde se aplica la tasa

directamente sobre el capital inicial (durante el per´ıodo de tiempo pactado para el préstamo) y el monto de las cuotas del reembolso se calculan dividiendo este monto por el número de términos

2 Préstamos a interés sobre saldos: son los préstamos donde la tasa

se aplica sobre lo que se conoce como capital pendiente, que es el dinero que efectivamente se debe despu´es de cada pago.

Pr´

estamos Comerciales

En la Argentina, el sistema de pr´estamo comercial es usado principalmente por peque˜nos comercios y algunas instituciones financieras

Estos sistemas no reconocen los pagos parciales efectuados, lo que lleva a que no exista equivalencia financiera y el flujo de capitales que amortiza la deuda.

Analicemos la siguiente situaci´on:

Ejemplo (1)

Una tienda anuncia que sólo cobra un recargo del 20% anual sobre las compras en cuotas. Ud. realiza una compra por $1.000, y desea pagarla en 12 cuotas mensuales y consecutivas. La dueña de la tienda le plantea el siguiente esquema de pagos: “Son $1.000, más un recargo del 20%, nos da $1.200; ahora lo dividimos por el número de cuotas, lo que nos da doce

(2)

Pr´

estamos Comerciales

A partir del ejemplo es claro que los elementos que conforman un pr´estamo comercial son:

1 Importe del pr´estamo (o deuda): C₀

2 Tasa de inter´es (directa)p-per´ıodica cobrada: δ(p) 3 _Duraci´_{on de la operaci´}_{on (expresada en a˜}_nos): _t 4 N´umero de cuotas: n

5 _{Monto de cada uno de los pagos:} _a

El monto de cada uno de losn pagos es determinado por la expresi´on

a:= C0 1 +δ

(p)pt

n (1)

Pr´

estamos Comerciales

La cuenta que hizo la due˜na de la tienda del Ejemplo 1

a= 1.000 (1 + 0,2)

12 =

1.200 12 = 100

Si consideramos la renta generada y calculamos su valor actual con la tasa mensual equivalentei(12)= 12√

1 + 0.2−1 = 0,015309, obtenemos 100 " 1−(1 + 0,015309)−12 0,015309 # = 1088,650758

Esto nos da la primera advertencia: con la tasa del pr´estamo comercial, la renta generada y el desembolso del pr´estamo no son financieramente equivalentes.

Pr´

estamos Comerciales

Por razones de claridad (y sin p´erdida de generalidad), podemos suponer que el n´umero de cuotasn coincide con la cantidad de

p-per´ıodos que caben ent a˜nos para alg´unp de los habituales, es decir,p∈ {1,2,3,4,6,12,52,360,365}.

Por lo tanto asumiremos quep·t=n

Vamos a demostrar que el valor actual de la renta es siempre mayor que el desembolso del pr´estamo para n≥2 y δ(p)>0

Es decir, a " 1− 1 +δ(p)−n δ(p) # >C₀ para todo C0>0.

Pr´

estamos Comerciales

a " 1− 1 +δ(p)−n δ(p) # = C0 1 +δ (p)n n " 1− 1 +δ(p)−n δ(p) # = C0 n 1 +δ(p)n−1 δ(p) | {z } >n >C0

Por ladesigualdad de Bernoulli, dado que para todo enteron≥2 y para todo n´umero realx >0, se cumple que

(1 +x)n >1 +nx

Por lo tanto

(1 +x)n₋₁

x >n

(3)

Pr´

estamos Comerciales

Por otro lado, la tasa q-peri´odica i(q) a la cual la renta den t´erminos a

tiene un valor actual deC₀ es siempre mayor que la tasa directa

q-peri´odica δ(q) _{equivalente a la tasa (directa) declarada pues}

a " 1− 1 +δ(q)−qt δ(q) # >C₀=a " 1− 1 +i(q)−qt i(q) #

de donde obtenemos que

1− 1 +δ(q)−qt

δ(q) >

1− 1 +i(q)−qt i(q)

por lo que se puede concluir que

i(q)> δ(q)

Pr´

estamos Comerciales

Verifiquemos esto en el ejemplo que venimos trabajando.

Primero, encontramos la tasa efectiva mensual de la renta generada por el esquema de pagos, i.e., la tasa i(12) _{que verifica}

100 " 1− 1 +i(12)−12 i(12) # = 1000

Como ya sabemos, es necesario usar m´etodos num´ericos para hallarla:

i(12)= 0,02922854>0,01530947 =δ(12)

Lo que nos una tasa anual i = 0,412999>0,2 =δ

Finalmente, los t´erminos de la renta tendr´ıan que ser de $91,86 para que a la tasa declarada el valor actual de la renta sea $1.000, pues

Pr´

estamos a Inter´

es Sobre Saldos

Los elementos que componen un pr´estamo a inter´es sobre saldos son:

1 C₀: el importe del pr´estamo, llamadoprincipalodeuda

2 _n_{: n´}_{umero de}_cuotas_{en las que se devolver´}_{a el pr´}_{estamo m´}_{as los}

intereses generados.

3 a₁,a₂, . . . ,a_n: t´erminos amortizativos, son lo pagos acordados que

el prestatario realiza a fin de cancelar el pr´estamo m´as los intereses.

4 t₀,t₁,t₂, . . .t_n: losplazos en los que el capital se transfiere de una

parte a otra;t₀ es el momento en el cual el prestamista le entrega la cantidadC₀ al prestatario y el resto corresponde a los t´erminos amortizativos, en los que el prestatario devuelve el capital m´as intereses

5 i₁,i₂, . . . ,i_n: lastasas de inter´esque se aplican en cada uno de los

per´ıodos (i_k corresponde al inter´es cobrado en el per´ıodok, que comienza en t_k−1 y termina en tk)

Pr´

estamos a Inter´

es Sobre Saldos

En un pr´estamo t´ıpico, dados: C0, la sucesi´on de tiempost0,t1, . . .tn

y la sucesi´on de intereses i1,i2, . . . ,in, el problema es determinar el

monto de los pagos que deber´a abonar el prestatario

Estos pagos deben generar un flujo de fondos que sea financieramente equivalente a la candidad prestada C0

C0= a1 1 +i1 + a2 (1 +i1) (1 +i2) +· · ·+ an (1 +i1) (1 +i2)· · ·(1 +in) = n X j=1 aj Qj k=1(1 +ik) (2)

Cada t´ermino amortizativoak tiene en principio dos componentes: 1 _{cuota de inter´}_es

(4)

Pr´

estamos a Inter´

es Sobre Saldos

a_k |{z} T´ermino amortizativo Es lo que efectivamente paga el prestatario = Cuota de inter´es Se encarga de cancelar los intereses z}|{ I_k + A_k |{z} Cuota de capital Se encarga ir cancelando el capital adeudado (3)

Pr´

estamos a Inter´

es Sobre Saldos

De la definici´on de cuota de inter´es se deduce

I_k = (saldo al principio del per´ıodo anterior)×(inter´es del per´ıodo) = (saldo al momentok−1)×i_k (4)

Por definici´on de cuota de capital, para cancelar el pr´estamo, debe ocurrir que

C0 =A1+A2+· · ·+An (5)

El monto adeudado en k es conocido como capital pendiente C_k, la cantidad de dinero que se adeuda luego de pagar a_k.

Como per´ıodo a per´ıodo deben cancelarse los intereses generados, para cada 1≤k ≤n se cumple que

C_k :=C₀−A₁−A₂− · · · −A_k =A_k₊₁+A_k₊₂+· · ·+A_n (6)

Pr´

estamos a Inter´

es Sobre Saldos

De las ecuaciones anteriores puede deducirse la siguiente relaci´on recursiva

Ck =Ck−1−Ak, k = 1, . . . ,n (7)

Otra forma para calcular el capital pendiente enk resulta de la siguiente observaci´on: lo que se debe al momento k debe ser igual a lo que se deb´ıa en el per´ıodo anterior,k−1, capitalizado al per´ıodo

k, menos el pago realizado:

C_k =C_k−1(1 +ik)−ak, k = 1, . . . ,n (8)

Tambi´en podemos calcular el capital pendiente al momento k

actualizando todos los pagos restantes

Ck = n X j=k aj Qj h=k(1 +ih) , k = 1, . . . ,n (9)

Pr´

estamos a Inter´

es Sobre Saldos

Ahora podemos reescribir la ecuación (4) para la cuota de interés en términos del capital pendiente al per´ıodo anterior

I_k =C_k−1ik (10)

Esta es la raz´on por la cual decimos que estos sistemas de pr´estamos cobran los interesessobre saldos.

Se llamatotal amortizadoal per´ıodok a la suma de las cuotas de amortizaci´on pagadas hasta ese per´ıodo

M_k =A₁+A₂+· · ·+A_k (11)

Para todo 0≤k ≤n debe cumplirse la siguiente igualdad

C₀ =C_k +M_k

Aqu´ı est´a impl´ıcito que M₀ = 0.

(5)

Pr´

estamos a Inter´

es Sobre Saldos

Si los intereses cobrados al prestamista permanecen constantes

i1=i2 =· · ·=in =i

el c´alculo del monto de cada uno de los t´erminos amortizativos se simplifica, al suponer constante alguna de las partes de (3)

ak =Ik+Ak, k = 1, . . . ,n

Esto da origen a tres tipos de pr´estamos dentro de los que cobran los intereses sobre saldos

1 _Pr´_{estamo Franc´}_es_{: t´}_{erminos amortizativos}_a_k _constantes 2 _Pr´_{estamo Alem´}_an_{: cuotas de capital} _A_k _constantes 3 _Pr´_{estamo Americano}_{: cuotas de inter´}_es_I_k _constantes