GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA
DESCRIPTIVA
Geometría
Geometría
Descriptiva
Descriptiva
Autor:
Autor:
Víctor Vidal Barrena
Víctor Vidal Barrena
Universidad
Universidad
Nacional de Ingeniería
Nacional de Ingeniería
CAPÍTULO
CAPÍTULO
10
10
Intersección
Intersección
Entre
Entre
Poliedros
Poliedros
LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE
LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE
COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES
COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES
INTERSECCIONES
INTERSECCIONES
SON
SON
COMUNES
COMUNES
EN
EN
LAS
LAS
CONSTRUC-
CONSTRUC-CION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCONSTRUC-CION DE
CION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCION DE
MAQUINAS Y EN CUALQUIER CAMPO DE LA INGENIERIA.
MAQUINAS Y EN CUALQUIER CAMPO DE LA INGENIERIA.
PARA
PARA
LOS
LOS
SÓLIDOS
SÓLIDOS
LIMITADOS
LIMITADOS
POR
POR
SUPERFICIES
SUPERFICIES
PLANAS, LA INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS
PLANAS, LA INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS
SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO
SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO
CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE
CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE
INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE
INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE
RECTAS
UNIDAS,
QUE
FORMA
UN
POLIGONO
RECTAS
UNIDAS,
QUE
FORMA
UN
POLIGONO
IRREGULAR.
LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE
LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE
COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES
COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES
INTERSECCIONES
INTERSECCIONES
SON
SON
COMUNES
COMUNES
EN
EN
LAS
LAS
CONSTRUC-
CONSTRUC-CION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCONSTRUC-CION DE
CION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCION DE
MAQUINAS Y EN CUALQUIER CAMPO DE LA INGENIERIA.
MAQUINAS Y EN CUALQUIER CAMPO DE LA INGENIERIA.
PARA
PARA
LOS
LOS
SÓLIDOS
SÓLIDOS
LIMITADOS
LIMITADOS
POR
POR
SUPERFICIES
SUPERFICIES
PLANAS, LA INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS
PLANAS, LA INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS
SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO
SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO
CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE
CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE
INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE
INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE
RECTAS
UNIDAS,
QUE
FORMA
UN
POLIGONO
RECTAS
UNIDAS,
QUE
FORMA
UN
POLIGONO
IRREGULAR.
Después de localizar todos los puntos de intersección de
los poliedros, se conectan estos por líneas rectas que
complementan la intersección completa. El sentido de la
numeración puede ser horario o anti horario y se presentan
los
siguientes
casos:
1 MORDEDURA.
Cuando la introducción es parcial de uno de los poliedros con
respecto al otro. Los puntos de intersección se numeran
consecutivamente, comenzando con los puntos de intersección que
aparecen más próximos al observador (puntos visibles) y se invierte su
sentido para identificar los más lejanos al observador (puntos
invisibles) tal como se muestra en la figura adjunta.
2. PENETRACION.
Cuando uno de los poliedros esta introducido en el otro. Los
puntos de intersección se muestran primero una porción
consecutivamente, comenzando con los puntos visibles y se
invierte el sentido para identificar los puntos invisibles. Luego se
completa la numeración de los puntos de intersección en la otra
porción, siguiendo el mismo criterio anterior, tal como se muestra
La intersección de dos prismas consiste en determinar la ubicación de las
líneas de intersección de las superficies limitadas de los sólidos. Estas líneas
de intersección se obtienen encontrando los puntos de penetración existentes
de las aristas de un prisma con las superficies del otro, y luego, los puntos
de penetración de las aristas del segundo con la superficie del primero; tal
como se observa en la figura.
a) Por Mordedura.-
Cuando un prisma está contenido
parcialmente por el otro ( una sola poligonal)
b) Por Penetración.-
Cuando uno de los prisma esta
totalmente contenido en el otro.
1.- Cuando el prisma vertical esta contenido dentro del
prima oblicuo
• 2.- Cuando el prisma oblicuo esta contenido dentro del
prisma vertical
Los dos prismas deben cortarse por una serie de
planos cortantes que determinan los puntos de
intersección, y si los planos cortantes escogidos
son paralelos a las aristas del prisma la solución es
más sencilla. En la figura siguiente se dan las
vistas frontal y horizontal de dos prismas (vertical
e inclinado) se desea encontrar la intersección y
visibilidad de ambos.
•
En la figura
13.6
y en la vista horizontal se localizan los puntos
1, 3, 6, 7, 9
y
11
; intersección de una recta con un plano de
canto, luego proyectamos a estos puntos de intersección a la
vista frontal, cada una de ellas en sus aristas respectivas.
•
Para localizar los puntos
2, 12; 4, 10
y
5, 8
es necesario utilizar
planos cortantes. Por ejemplo para hallar el punto
2
trazamos
el plano cortante que pase por el plano de canto
ABFE
y que
contenga a la arista
BF
, y que corta al prisma inclinado en los
puntos
1
y
Xh
que proyectados y unidos en la vista frontal
corta a la arista
BF
en el punto de intersección
2
.
•
Para analizar la visibilidad se aplica las reglas visto en el
acápite
13.3
y se muestran en la siguiente tabla de visibilidad.
RECTA
VIS
PLANO
VIS
INT
VIS
H
F
F
a
-
ABFE
-
1
-BF
+
a - b
-
2
- b
+
BCGF
+
3
+
CG
+
b - d
+
4
+
DH
+
b - d
+
5
+
b
+
ADHE
-
6
-a
-
ADHE
-
7
-DH
+
a - c
-
8
-c
+
DCGH
+
9
+
CG
+
c - d
+
10
+
c
+
BCGF
+
11
+
BF
+
a - c
-
12
-TABLA DE VISIBILIDAD
Para hallar la intersección de una Pirámide y un
Prisma, se deben determinar los puntos perforantes
de las aristas de cada uno de los poliedros a su vez
con las superficies del otro poliedro. La figura de
la intersección se completa uniendo estos puntos
por su orden de numeración; tal como se observa
en la figura siguiente, por lo que se requiere un
trabajo minucioso y sistemático.
•
Para determinar los puntos de intersección; por ejemplo trazamos
un plano cortante que pase por la arista
“a”
del prisma y que corta a
la superficie plana
AVB
de la pirámide en dos puntos, la que
proyectados y unidos en el plano frontal interceptan a la arista
“a”
,
determinando el punto
1
de intersección.
•
Se repite este proceso hasta encontrar todos los puntos de
intersección se unen estos y se determina la visibilidad del conjunto
teniendo en cuenta la visibilidad de la tabla.
•
La unión de los puntos de intersección en las vistas horizontal y
frontal, son dos poligonales para el caso de Penetración, siendo la
primera poligonal
1,2,3,4,5,1
y la segunda poligonal
6,7,8,9,10,6
;
teniéndose en cuenta la visibilidad de los puntos de intersección
mostrados en la Tabla de visibilidad.
TABLA DE VISIBILIDAD
RECTA VIS PLANO VIS INT VIS H F H F H Fa
+
+
BVC
+
-
1
+
-VC
+
+
a – b
+
-
2
+
- b
+
+
CVD
+
+
3
+
+
c
+
+
CVD
+
+
4
+
+
VC
+
+
a – c
-
+
5
-
+
a
+
+
AVB
+
-
6
+
- b
+
+
AVB
+
-
7
+
-AV
+
+
b - c
+
+
8
+
+
c
+
+
AVD
+
+
9
+
+
AV
+
+
a - c
-
+
10
-
+
PROBLEMAS
RESUELTOS
INTERSECCION
DE PRISMA
Dado el prisma ABCD - A'B'C'D'
intersectarlo con el prisma XYZ - X'Y'Z'.
Determinar la intersección de los poliedros.
Mostrar la visibilidad de la intersección.
Construir
la
tabla
de
visibilidad.
A(3,4,30), B(8,4,35), C(13,4,30), D(8,4,25);
A'(19,21,30)
X(17,4,32), Y(20,4,26), Z(23,4,28);
X'(9,21,32)
Para hallar el punto
1 interceptamos la
arista XX’ con el
plano AA’BB’. La
arista corta al plano
en a y b (en F),
unimos a con b (en
H) y donde corte la
arista
XX’
se
encontrará el punto
1.
Siguiendo el mismo
procedimiento
se
hallan los demás
puntos.
Dado el prisma recto ABCD
–
A´B´C´D´
siendo AA´ una de sus aristas laterales,
interceptado en el prisma vertical truncado
RSTU
–
R´S´T´Ú´ para un plano inclinado
que parte del punto TF y con inclinación del
50%.
A(3.5,6,17), B(4.5,9,15), C(2,8,13.5),
D(1,5,15);
A´(14.5, 3.6, 17)
R(5.5, -,16.5), S(7.5, - , 20), T(11.5, 10, 16),
U(9.5, -, 12.5); R´(5.5, 1, 16.5)
Dado el prisma ABCDEF y ABCDEF.
Dado el prisma ABCDEF y ABCDEF.
Intersectarlo con el prisma vertical
Intersectarlo con el prisma vertical
MNOPQ
MNOPQ
de
de
8
8
cm
cm
de
de
altura,
altura,
mostrar
mostrar
la
la
visibilidad
visibilidad
de
de
al
al
intersección
intersección
y
y
hacer
hacer
la
la
tabla de procedimiento. Resolver sin
tabla de procedimiento. Resolver sin
vistas auxiliares.
vistas auxiliares.
A(2, 5.5, 18), B(2, 8, 17), C(2, 9,
A(2, 5.5, 18), B(2, 8, 17), C(2, 9,
14), D(2, 7, 13),
14), D(2, 7, 13),
E(2, 5, 12), F(2, 4, 15); A’(11, 5, 18)
E(2, 5, 12), F(2, 4, 15); A’(11, 5, 18)
M(3, 10, 16.5), N(7, 10, 19), O(10, 10, 16),
M(3, 10, 16.5), N(7, 10, 19), O(10, 10, 16),
P(5,10, 11), Q(5, 10, 14.5).
P(5,10, 11), Q(5, 10, 14.5).
3 3 17 17 11 11
TABLA DE VIS
TABLA DE VIS
AA AA -- MMNNMMNN -- 11 - -+ + -+ + MMQQ MMQQ + + FF FF 99 OO OO CC CC AA AA BB BB MM MM -BBCC BBCC + + 1313 + + PPOOPPOO ++ 1414 ++ -- NNOONNOO -- NNOONNOO + + AAFFAAFF -- 1111 12 12 -10 10 -CC CC EE EE QQ QQ DD DD MM MM QQ QQ BB BB --+ + PPQQPPQQ 55 + + PPQQPPQQ -- EEFFEEFF + + PPQQPPQQ -- 77 8 8 + + 6 6 --+ + BBCCBBCC -- BBCCBBCC -- MMNNMMNN -- 33 -- 44 -- 22 -H H FF R REECCTTAA HH FF PPLLAANNOO H H FF IINNTT 15 15 5.5 5.5 2 2 55 13 13 18 18 10 10 14.5 14.5 17 17 16 16 15 15 DD DD ++ PPOOPPOO + + ++ EE EE ++ PPOOPPOO + + ++ FF FF ++ PPOOPPOO ++ ++ F FA
A
FFA
A
HH 7 7 H HB
B
C
C
FF 14 14 8 8 H HC
C
B
B
D
D
HH F FD
D
H HE
E
4 4E
E
F F H HF
F
F FF
F
H HA'
A'
A'
A'
FF 9 9 H HM
M
M
M
FF H HN
N
F FN
N
7 7O
O
HH F FO
O
11 11P
P
HHP
P
FFQ
Q
HHQ
Q
FF F FB
B
F FC
C
F FD
D
E
E
F F F FF
F
H HB
B
F
F
HH H HC
C
E
E
HH H HD
D
F FM
M
P
P
FFQ
Q
FFN
N
FFO
O
FF 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 12 12 13 13 14 14 1 1 3 3 9 9 6 6 7 7 5 5 2 2 10 10 4 4 8 8 1717 15 15 16 16 11 11 12 12 5 5 16.5 16.5 10 10 19 19 16 16 1818 18 18 OO OO ++ AAFFAAFF -- 1818 --P
P
C
C
-
-
3
3
P
P
C
C
-
-
2
2
P
P
C
C
-
-
1
1
SOLUCION
SOLUCION
INTERSECCION
INTERSECCION
DE PRISMA
DE PRISMA
PIRAMIDE
PIRAMIDE
Para hallar la intersección de una Pirámide y un Prisma,
Para hallar la intersección de una Pirámide y un Prisma,
se deben determinar los puntos perforantes de las aristas
se deben determinar los puntos perforantes de las aristas
de cada uno de los poliedros a su vez con las superficies
de cada uno de los poliedros a su vez con las superficies
del otro poliedro.
La pirámide
La pirámide
V-ABC
V-ABC
de 8cm de altura, cuya base es un
de 8cm de altura, cuya base es un
triángulo horizontal, siendo
triángulo horizontal, siendo
A
A
uno de sus vértices. El
uno de sus vértices. El
prisma
prisma
RST
RST
–R’S’T’
–R’S’T’
, siendo
, siendo
SS’
SS’
una arista lateral de este
una arista lateral de este
prisma. Determinar la intersección entre estos poliedros y
prisma. Determinar la intersección entre estos poliedros y
mostrar la visibilidad. Hacer la tabla de visibilidad. No
mostrar la visibilidad. Hacer la tabla de visibilidad. No
utilizar vistas auxiliares. Designar a la base de la Pirámide
utilizar vistas auxiliares. Designar a la base de la Pirámide
en sentido horario en el plano horizontal.
en sentido horario en el plano horizontal.
V(8,9,14.5), A(3.5,1,11); R(1,1,14),
V(8,9,14.5), A(3.5,1,11); R(1,1,14),
S(3,4.5,17),
V
S
1 1 FR
4.5 7 11 14 14.5R
H 3.5 6 8 3A
FT
FB
F 14 13.5R
C
F F FA
HV
F H FT
S
FR
H HC
HS
S
18 17 20B
H HT
H HT
9 2.514 3 6 1 14.5 8 H
V
V
F HA
FA
11 3.5 1 20B
HB
FC
H FC
R
HR
F 17 4.5S
HS
F 2.5 FT
T
H 13.5 14 7S
H FS
FT
FR
T
H HR
181
2
3
1
2
3
4
5
6
4
5
6
8
7
7
8
9TABLA DE VISIBILIDAD
+ + + + + + + + - -+ + -+ + + + + -+ + -+ -+ + - -+ + -+ + -+ -INT + + + + H F -+ + -H F -+ + -H Fsolucion final
V- ABCD es una pirámide recta de base
cuadrada horizontal , siendo AC , una de
sus diagonales. Intersectarlo con el
prisma recto de base RST, donde SS es
una de sus aristas laterales. Mostrar la
visibilidad de la intersección y hacer la
tabla de procedimiento. Resolver sin
vistas auxiliares.
V(-, 11, -), A(6, 2, 15.5), C(14.5, 2, 18);
R(4, 3.5, 18), S(5.5, 8, 17), T(3, 6, 15);
S’(17, 6.5, 17).
R
H HS
T
H HT
HS
R
H FS
FT
R
F FS
T
FR
F 18.5 18 17 15.5 15 8 6 3.5 3 4 5.5 6 14.5 2 H F H F INT H F + + + - + -1 1 2 2 + + + - + -3 3 + + + + + + + + + + + + 4 4 5 5 + + - + - + 6 6 + + + - - + 7 7 + + + - + -8 8 + + + + + + + + + + + + + + - + - + 9 9 10SOLUCION FINAL
17Determinar la intersección de la Pirámide recta
V-PQRS, cuya base es un cuadrado horizontal;
el cual se intersecta con el Prisma ABC-A’B’C’,
donde BB’ es una de sus aristas laterales.
Mostrar la visibilidad de la intersección. Hacer
la tabla de visibilidad. Resolver sin vistas
auxiliares.
V(8.5, 10, 16), P(8.5, 1, 20);
A(2.5, 3.5, 17), B(3.5, 6.5, 15), C(1.5, 5,
13.5); B’(16, 6.5, 15)
Para hallar el punto 1
intersecar la arista VQ
con el plano BB’A’A.
La arista corta al plano
en b y c (en F) y donde
corte a la arista VQ, se
encuentra el punto 1.
Igual
procedimiento
para hallar los
puntos 2,3 y 4
Para hallar el punto
9, se desdobla el
plano
PVQ
en
YVQ y se halla la
intersección con la
arista AA’, con el
método
antes
descrito.
Hacer lo mismo
para hallar los
puntos 5, 6, 7, 8
La unión de
los
puntos
será:
1-5-7-2-9-1 y
3-6-8-4-10-3
AC es la diagonal de un cuadrado
horizontal, base de la pirámide recta
V-ABCD. RST - JKL son los extremos
triangulares de un prisma oblicuo siendo
RJ una de sus aristas laterales. Determine
la intersección de los poliedros y mostrar la
visibilidad de la intersección.
V(-,11,-), A(5,1,18.5), C(15,1,16.5)
R(1,8.5,18.5), S(5, 9.5, 17), T(3, 4.5,13.5),
J(14.5, 4, 21)
Hallar la Intersección de la pieza A con las piezas B
y C. Visibilidad
Dada la Pirámide
V
–
MNOP
que tiene por base un
cuadrilátero de perfil, interceptarlo con el Prisma vertical
de base
ABCDE
– A’B’C’D’E’
de
9.5 cm de altura. Mostrar
la visibilidad de la intersección y hacer la Tabla de
procedimiento. Resolver sin vistas auxiliares.
V(13,7,18.5), M(3,8.5,23), N(3,11,17), O(3,6,14), P(3,3,20);
A(3.5,11.5,19),
B(6.5,11.5,21),
C(11,11.5,18.5),
14.5 OH D 13 O 3.5 3 3 6 F P F 8.5 6.5 11 N 8.5 7 F F M 11.5 11 14 A F BF EF DF CF H V F 18.5 17 N H 19 20 21 H P A H H H E H B C 23 H M H V
GRAFICAMOS
LAS
COORDENADAS
Y UNIMOS
LOS PUNTOS
3 20 14 17 7 13 19 3 11
V
H FV
23 8.5 18.5 FM
HN
F HN
O
HO
F 6 FP
P
H 11.5 3.5 FA
HA
21B
HB
F 6.5C
H 11 FC
D
HD
F 14.5E
HE
F 8.5 FC
D
FE
FB
FA
FANALISIS DE LA
VISIBILIDAD
PV DEBAJO
ENTONCES ES
INVISIBLE EN
EL PLANO
HORIZONTAL
PV INVISIBLE
3 20 14 17 7 13 19 3 11
V
H FV
23 8.5 18.5 FM
HN
F HN
O
HO
F 6 FP
P
H 11.5 3.5 FA
HA
21B
HB
FC
H 11 FC
D
HD
F 14.5E
HE
F FC
D
FE
FB
FA
FANALISIS DE LA
VISIBILIDAD
NV VISIBLE
NV ARRIBA
ENTONCES ES
VISIBLE EN EL
PLANO
HORIZONTAL
3 20 14 17 7 13 19 3 11 V H F V 23 8.5 18.5 F M M H N F H N O H O F 6 F P PH 11.5 3.5 F A H A 21 B H B F 6.5 C H 11 F C D H D F 14.5 E H E F 8.5 F C D F E F B F A F
ANALISIS DE LA
VISIBILIDAD
OV DELANTE
OV DELANTE
ENTONCES ES
VISIBLE EN EL
PLANO
FRONTAL
3 20 14 17 7 13 19 3 11 V H F V 23 8.5 18.5 F M M H N F H N O H O F 6 F P PH 11.5 3.5 F A H A 21 B H B F 6.5 C H 11 F C D H D F 14.5 E H E F 8.5 F C D F E F B F A F
MV DETRAS
ENTONCES ES
INVISIBLE EN
EL PLANO
FRONTAL
3 20 14 17 7 13 19 3 11 V H F V 23 8.5 18.5 F M M H N F H N O H O F 6 F P PH 11.5 3.5 F A H A 21 BH B F 6.5 C H 11 F C D H D F 14.5 EH E F 8.5 F C D F E F B F A F
BB DETRAS
ENTONCES ES
INVISIBLE EN
EL PLANO
FRONTAL
VISIBILIDAD
DEL PRISMA
VERTICAL
3 20 14 17 7 13 19 3 11 V H F V 23 8.5 18.5 F M M H N F H N O H O F 6 F P PH 11.5 3.5 F A H A 21 B H B F 6.5 C H 11 F C D H D F 14.5 E H E F 8.5 F C D F E F B F A F
VISIBILIDAD
DEL PRISMA
VERTICAL
DD DELANTE
DD DELANTE
ENTONCES ES
VISIBLE EN EL
PLANO
FRONTAL
D
H
O
H
N
H
H
P
A
H
H
E
H
V
A
D
H
H
E
H
H
B
H
B
3
1
2
4
5
6
C C
H
H
7
8
9
10
11
12
13
14
H
M
CORRECTA DE LAS
INTERSECCIONES
3 20 14 17 7 13 19 3 11 V H F V 23 8.5 18.5 F M H N F H N O H O F 6 F P PH 11.5 3.5 F A H A 21 B F 6.5 C H 11 F D H D F 14.5 E H E F 8.5 F C D F E F B F A F 3 2 14 1 8 7 6 9 10 11 5 12 13 4 H B 8 10 7 3 12 1 C OV NV PV PV NV OV -+ + + -+ + + -+ + + + + + EEDD AAEE AABB BBCC CCDD CCDD
RECTA H F PLANO H F INT H F 1 2 3 4 5 6 7 10 9 8 11 12
LAS INTERSECCIONES DE RECTA CON PLANO DE
CANTO SE PROYECTAN EN FORMA RAPIDA
COMO LOS PUNTOS 1-3-7-8-10-12
1 EEDD + - -OV 14.5 OH D 13 8 O 12 3.5 3 F A 3 6 F P F D 8.5 6.5 F B EF 11 F F C 1 10 N 8.5 7 F F M 11.5 11 14 A F 3 7 D E B F F F CF H 9 BBCC AABB PV PV + + 11 - 12 - 10 -CCDD CCDD AAEE NV V F OV + + NV + 5 7 + + 8 6 + + 3 + 4 2 + 13 4 18.5 17 N H 19 20 21 H P A H 10 9 6H 2 1 14 3 7 8 H E 12 C 23 H M
TABLA DE VIS
PLANO H V RECTA H F H F INT H F 5 11 H BP C
- 1
6 9 11 5LAS INTERSECCIONES DE RECTA VERTICAL CON
PLANO SE UTILIZA PLANO CORTANTE HALLAMOS LOS
PUNTOS 5-11-6-9-4-13-2-14.
BB MVN BB MVP - - -- - -CC + MVN - -CC + PVO + +1 EEDD + - -OV 14.5 OH D 13 O 12 3.5 3 F A 3 6 F P F D 8.5 6.5 F B EF 11 F F C 1 10 N 8.5 7 F F M 11.5 11 14 A F 3 7 D E B F F F C F H 9 BBCC AABB PV PV + + 11 - 12 - 10 -CCDD CCDD AAEE NV V F OV + + NV + 5 7 + + 8 6 + + 3 + 4 2 + 13 18.5 17 N H 19 20 21 H P 109 6H 2 1 14 3 7 8 H E 12 C 23 H M
TABLA DE VIS
PLANO H V RECTA H F H F INT H F 5 11 H B 6 9 11 5LAS INTERSECCIONES DE RECTA VERTICAL CON
PLANO SE UTILIZA PLANO CORTANTE HALLAMOS LOS
PUNTOS 5-11-6-9-4-13-2-14.
BB MVN BB MVP - - -- - -CC + MVN - -CC + PVO + + 4 A H 4 X Y Y X AA 14 13 AA + + MVN - -PVO + + 8 2 13 PC-2P C - 3
14 EE - OVN + -PVO EE - +V H M H 23 C 5 H B 12 11 E H 8 7 3 14 1 2 H 6 9 10 H A PH 21 20 19 H N 17 18.5 13 F V H F CF F F B E D 7 3 F A 14 11 11.5 M F F 7 8.5 N 10 C F F 11 E F B F 6.5 8.5 D F P F 6 3 A F 3 3.5 12 O 8 13 O H D 14.5 6 5 11
P C
- 1
Y X X 4 4 13 2 14 Y 9 1TABLA DE VIS
1 EEDD + - -OV CC + PVO + + PVO + AA EE - PVO + -BB PV + PV + -MVP AABB -BBCC -MVN - -BB + NV OV + CC + + CCDD CCDD + MVN -+ NV AA + EE -+ AAEE MVN -OVN + 9 + 13 + 14 -11 -12 -10 -5 -7 + 8 + 6 -3 + 4 -2 -INT RECTA H F PLANO H F H F PC-2P C - 3
SE UNEN LOS PUNTOS
OV + EEDD - 1 -14.5 OH D 13 O 12 3.5 3 F A 3 6 F P F D 8.5 6.5 F B F E 11 F F C 14 10 9 4 N 8.5 7 F F M 11.5 11 14 A F 2 5 3 6 D E B F F F C F H + 9 + PVO + CC AA + PVO EE - PVO BB PV PV MVP -AABB + BBCC + + 13 + 14 + -11 -12 - -10 - -BB - MVN NV V F OV CC CCDD + CCDD + MVN + NV AA EE AAEE + MVN + OVN -5 -+ 7 + 8 + + 6 - -+ 3 + 4 - -2 + -13 4 18.5 17 N H X 19 20 21 H P A H 109 6H 2 1 14 3 7 8 H E 11 12 B H5 C 23 H M H F
TABLA DE VIS
H VRECTA H F PLANO INT H F
13
1 11
7 8
OV + EEDD - 1 -14.5 OH D 13 O 12 3.5 3 F A 3 6 F P F D 8.5 6.5 F B F E 11 F F C 14 10 9 4 N 8.5 7 F F M 11.5 11 14 A F 2 5 3 6 D E B F F F CF H + 9 + PVO + CC AA + PVO EE - PVO BB PV PV MVP -AABB + BBCC + + 13 + 14 + -11 -12 - -10 - -BB - MVN NV V F OV CC CCDD + CCDD + MVN + NV AA EE AAEE + MVN + OVN -5 -+ 7 + 8 + + 6 - -+ 3 + 4 - -2 + -13 4 18.5 17 N H X 19 20 21 H P A H 10 9 6H 2 1 14 3 7 8 H E 11 12 B H5 C 23 H H F
TABLA DE VIS
H VRECTA H F PLANO INT H F
13
1 11
7 8
SOLUCION COMPLETA PARA OBSERVAR
POR MORDEDURA
La pirámide
V-PQR de 5.5cm de altura, cuya base es un
triángulo horizontal, inscrita en una circunferencia de
4.5cm de radio; la arista VR es recta de perfil y se dirige al
Sur. El prisma
ABC
–A’B’C’
, siendo
AA’
una arista lateral
de este prisma. Determinar la intersección entre estos
poliedros y mostrar la visibilidad. Hacer la tabla de
visibilidad. No utilizar vistas auxiliares. Designar a la base
de la Pirámide en sentido horario en el plano horizontal.
V(9,8,14); A(1.5,4,11.5), B(3,5.5,14),
C(3,2.5,15.5), A’(14,3.5,9.5)
5.5 3.5 14 8 H
V
V
F 1.5 4 FA
A
H HB
FB
C
F 9.5 2.5 11.5 14 H FA'
A'
15.5GRAFICO DE LOS
PUNTOS
3 9 HV
FA
1.5 3 3.5 2.5 FC
F FB
5.5 4 8 9 14 FA'
V
9.5A
11.5 H 14 HB
15.5C
H HA'
HV
HV
F HR
HQ
HP
Q
FP
F FR
P
HQ
H HR
Q
FP
F FR
4 . 5 c mCONSTRUCCION DEL
TRIANGULO EQUILATERO
CON 6cm DEBAJO EN EL
PLANO FRONTAL SE
COMPLETA LA PROY.
DE LA PIRAMIDE
6 c m3 9 5.5 3.5 14 8
V
HV
F 1.5 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
H HR
Q
FP
F FR
HC
B
H FB
C
FPOR
PARALELISMO SE
COMPLETAN
LAS
PROYECCIONES
DEL PRISMA
3 9 5.5 3.5 14 8
V
HV
F 1.5 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
H HR
Q
FP
F FR
HC
B
H FB
C
FVISIBLE EN EL PLANO
HORIZONTAL POR ESTAR
ARRIBA
3 9 5.5 3.5 14 8
V
HV
F 1.5 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
H HR
Q
FP
F FR
HC
B
H FB
C
FAA DELANTE
VISIBLE EN EL PLANO
FRONTAL POR ESTAR
DELANTE
3 9 5.5 3.5 14 8
V
HV
F 1.5 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
H HR
Q
FP
F FR
HC
B
H FB
C
FRECTA H F PLANO H F INT H F CC + + PVR + + 1 + + 1
HALLAMOS EL PUNTO 1
TABLA DE VISIBILIDAD
CC + + + + 5 + +Y SU SALIDA EN EL PUNTO 5
1 QVR 5 53 9 5.5 3.5 14 8
V
H 1.5 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
H HR
Q
FP
F HC
B
H FB
C
FRECTA H F PLANO H F INT H F CC + + PVR + + 1 + + 1
TABLA DE VISIBILIDAD
CC + + + + 5 + + 1 QVR 5 5V
F X H F XR
F 4 4 + + QVR + + 4 + + BBHALLAMOS EL PUNTO 4
3 9 5.5 3.5 14 8
V
H 1.5 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
HQ
FP
F HC
B
H FB
C
F 1 5 5V
F F XR
4 4 X H HR
H Y Y F F 1 2 2HALLAMOS EL PUNTO 2
QVR QVR CC BB + + + + 5 + + + + 4 + + + + PVRTABLA DE VISIBILIDAD
PVR PLANO RECTA CC BB + + + + H F INT 1 + + + + 2 H F + + + + H F1 F 2.5 1.5 3
C
FP
F 9R
F 14Q
FC
FA
A
4 3.5 5.5 8 9.5 11.5 14 15.5 H 2 F FB
4A'
FV
A'
B
H HP
C
H 1 HV
2 H 5Q
HB
F CC BB + + QVR + + QVR + + 5 + + 4 + + + + PLANOTABLA DE VISIBILIDAD
CCB
H BBC
H RECTA + + PVR + + PVR H F H F + + + + 1 + + 2 H F INT + + 4 5 3 3 c b c d a a b d c eP C
HALLAMOS EL PUNTO 3
VR + + AABB + + 3 + + HR
METODO PARA
INTERSECTAR UNA RECTA
DE PERFIL
1 F 2.5 1.5 3
C
FP
F 9R
F 14Q
FC
FA
A
4 3.5 5.5 8 9.5 11.5 14 15.5 H 2 F FB
4A'
FV
A'
B
H HP
C
H 1 HV
2 H 5Q
HB
F CC BB + + QVR + + QVR + + 5 + + 4 + + + + PLANOTABLA DE VISIBILIDAD
CCB
H BBC
H RECTA + + PVR + + PVR H F H F + + + + 1 + + 2 H F INT + + 4 5 3 3 c c a a b c eP C
HR
METODO PARA
INTERSECTAR UNA RECTA
DE PERFIL
CON UN PLANO OBLICUO
HALLAMOS EL PUNTO 6
d d b 6 6 VR + + AACC - + 6 - + VR + + AABB + + 3 + +3 9 5.5 3.5 14 8
V
H 1.5 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
HQ
FP
F HC
B
H FB
C
F 1 5 5V
F F XR
4 4 X H HR
Y F F 1 2 2TABLA DE VISIBILIDAD
a c d eP C
d 6 a b c 6 3 3 H Y + + - + + + + + H F + + + + 3 + + AABB + + VR + + + + + + CC VR BB QVR AACC QVR 5 + + - + 6 + + 4 H F + + + + CC BB H RECTA H F + + PVR PVR PLANO 1 + + 2 INTSOLUCION COMPLETA
1 F 2.5 1.5 3
C
FP
F 9R
F 14Q
FC
FA
A
4 3.5 5.5 8 9.5 11.5 14 15.5 H 2 F FB
4A'
FV
A'
B
H HP
C
H 1 HV
2 H 5Q
HB
F CC BB + + QVR + + QVR + + 5 + + 4 + + + + PLANOTABLA DE VISIBILIDAD
CCB
H BBC
H RECTA + + PVR + + PVR H F H F + + + + 1 + + 2 H F INT + + 4 5 3 3 HR
6 6 VR + + AACC - + 6 - + VR + + AABB + + 3 + +UNIMOS LOS PUNTOS DE
ACUERDO A LA TABLA
3 9 5.5 3.5 14 8
V
H 4 11.5 FA
HA
HB
FB
HC
C
F 9.5 2.5 14 HA'
A'
F 15.5P
HQ
HQ
FP
F HC
B
H FB
C
F 5V
F F XR
4 X H HR
Y F F 1 2 2TABLA DE VISIBILIDAD
a c d eP C
d 6 a b c 6 3 3 H Y + + - + + + + + H F + + + + 3 + + AABB + + VR + + + + + + CC VR BB QVR AACC QVR 5 + + - + 6 + + 4 H F + + + + CC BB H RECTA H F + + PVR PVR PLANO 1 + + 2 INTSOLUCION COMPLETA
4 5 1F 2.5 1.5 3
C
FP
F 9R
F 14Q
FC
FA
A
4 3.5 5.5 8 9.5 11.5 14 15.5 H 2 F FB
4A'
FV
A'
B
H HP
C
H HV
2 HQ
HB
F CC BB + + QVR + + QVR + + 5 + + 4 + + + + PLANOTABLA DE VISIBILIDAD
CCB
H BBC
H RECTA + + PVR + + PVR H F H F + + + + 1 + + 2 H F INT + + HR
6 6 VR + + AACC - + 6 - + VR + + AABB + + 3 + + 3 3 4 5 1 5 1SOLUCION PARA OBSERVAR
POR MORDEDURA
F
P
FR
Q
C
FA
H 2 F FB
4A'
FV
A'
B
H HP
C
H HV
2 HQ
HB
FB
HC
HR
6 6 3 3 4 5 1 5 1A
HSOLUCION PARA OBSERVAR
POR MORDEDURA
F 5P
F 1C
R
Q
F 2V
R
FA
FB
2 HA
B
HC
H HP
1 6 3 4A'
H FV
6 HA'
B
FC
3 4 H 5 HQ
B
H HF 5
P
1C
R
Q
F 2V
R
FA
FB
2 HA
B
HC
H HP
1 6 3 4A'
H FV
6 HA'
B
FC
3 4 H 5 HQ
B
H H F F FABC es la base de una pirámide cuyo
vértice es V. RST es la base de un prisma
y SS, es una arista lateral. Hallar la
intersección de los poliedros y mostrar la
visibilidad de la intersección.
V(8, 10, 14.5) A(3.5, 2, 11) B(6, 2, 20)
C(13.5, 2, 14) R(1, 2, 14)S(2.5, 5.5, 17)
T(2.5, 3.5, 18) S’(14, 8, 14.5)
V
S
FR
R
HA
FT
FB
FR
C
F F FA
HV
F H FT
S
FR
H HC
HS
S
HT
H HT
14 13.5 18 17 20 1 2 3.5 10 5.5 8 11 14 14.5 3.5 6 8 2.5 HH
