(3x, 6y) = ( 1, 5): (2, y) = (6x, 6x 6y):

1. Realiza las siguientes operaciones con pares numéricos a) –5·

(

3 , −2

)

+ 3·

(

2 , −1

)

b)

[2·

(

1 , −2

)

+ 5·

(

−3 , 0

)]

− ½·

(

3 , 4

)

+ 6·

(

−1 , −8

)

c) 2·

(

3 , 2

)

−5·

(

−1 , 2

)

+ 3·

(

6 , 2

)

−

(

0 , 1

)

d) –3·

(

x , 2y

)

+ 3·

(

2x , y

)

+ 2·

(

0 , −1

)

− 3·

(

3 , −2

)

Solución. a. −5⋅

(

3,−2

) (

+3⋅ 2,−1

)

=

(

−5⋅3,−5⋅

( )

−2

)

+

(

3⋅2,3⋅

( )

−1

) (

= −15,10

) (

+ 6,−3

)

=

( )

(

−15+6 ,10+ −3

) (

= −9,7

)

= b. [2·

(

1 , −2

)

+ 5·

(

−3 , 0

)]

− ½·

(

3 , 4

)

+ 6·

(

−1 , −8

)

=

(

2 , −4

)

+

(

−15 , 0

)

−       2 , 2 3 +

(

−6 , −48

)

= =       − − =       − + − + − − + − − + , 50 2 41 ) 48 ( 2 0 ) 4 ( ), 6 ( 2 3 ) 15 ( 2 c. 2·

(

3 , 2

)

−5·

(

−1 , 2

)

+ 3·

(

6 , 2

)

−

(

0 , 1

)

=

(

6 , 4

)

−

(

−5 , 10

)

+

(

18 , 6

)

−

(

0 , 1

)

= =

(

6−(−5)+18−0, 4−10+6−1

) = (

29, −1

)

d. –3·

(

x , 2y

)

+ 3·

(

2x , y

)

+ 2·

(

0 , −1

)

− 3·

(

3 , −2

)

=

(

−3x , −6y

)

+

(

6x , 3y

)

+

(

0 , −2

)

−

(

9 , −6

)

= =

(

−3x+ 6x+ 0− 9 ,−6y+ 3y+ (−2)− (−9)

)

=

(

3x −9, −3y +7

)

2. Hallar x e y para que se cumplan las siguientes igualdades a) 3·

(

x , 2y

)

=

(

−1 , 5

)

b) –2·

(

−1, y

)

= 6·

(

x, x− y

)

Solución.

a. Por igualdad de pares numéricos: 3·

(

x, 2y

)

=

(

−1, 5

)

(

3x, 6y

)

= (−1, 5

)

:      = = − = − = 6 5 y : 5 y 6 3 1 x : 1 x 3 b. –2·

(

−1, y

)

= 6·

(

x, x− y

)

(

2, y

)

=

(6

x, 6x− 6y

)

:

     = = − = = = 18 7 x : y 6 7 x : y 6 x 6 y 3 1 y : y 6 2

3. Sea ABCD un cuadrado, N el punto medio del lado AD y O el centro del cuadrado. Razonar si las siguientes parejas de vectores tienen el mismo módulo dirección y sentido.

a) AN,BC b) AN,NO c) AO,CA d) AN,ND Solución.

a. AN,BC: Igual dirección, igual sentido, diferente módulo

(

BC =2AN

)

b. AN,NO: Distinta dirección, igual modulo.

c. AO,CA: Igual dirección, sentido opuesto, diferente módulo

(

CA =2AO

)

4. Sea ABCD un paralelogramo y O su centro. Razonar si las siguientes parejas de vectores son equipolentes. a) AB≈CD b) BA≈CD c) AB≈AD d) AO≈OC Solución.

Para que dos vectores sean equipolentes deben tener igual módulo dirección y sentido.

a. AB≈CD: No son equipolentes. Distinto sentido. b. BA≈CD: Si son equipolentes.

c. AB≈AD: No son equipolentes. Distinta dirección. d. AO≈OC: Si son equipolentes.

5. Sea ABC un triángulo. Si u ={AB} y v ={AC), representar: a) ur+rv b) vr−ur c) 2vr d) u

2 1 r

e) 2ur−vr Solución.

La solución se obtiene de forma gráfica.

6. Estudiar si los vectores AB y CD son equipolentes siendo A

(

1, 3

)

, B

(

4, 1

)

, C

(

−1, 1

)

, D

(

2, −1

)

.

Solución.

Si dos vectores son equipolentes tienen igual módulo dirección y sentido, en definitiva son IGUALES. La relación de equipolencia es una relación de igualdad.

   = = ⇔ ≈ 2 2 1 1 v u v u v ur r

( ) ( ) (

4,1 1,3 4 1,1 3

) (

3, 2

)

a b AB= −r= − = − − = − r

(

2, 1

) (

1,1

)

(

2

( )

1, 1 1

) (

3, 2

)

c d CD= −r= − − − = − − − − = − r CD AB= ⇒ Vectores equipolentes.

7. Demostrar que el cuadrilátero de vértices A

(

3, 2

)

, B

(

9, 4

)

, C

(

13, 8

)

y D

(

7, 6

)

es un paralelogramo.

Solución.

Si cuatro puntos forman un paralelogramo, entre ellos deben de existir parajes de vectores equipolentes

(

igual módulo dirección y sentido, es decir vectores paralelos de igual módulo y sentido

)

.

Para hacer este ejercicio, y puesto que no nos dan el orden de los puntos, es conveniente representar los puntos en unos ejes coordenados para poder establecer los posibles vectores

equipolentes.

Se pueden escoger varias parejas de vectores para comprobar si los cuatro puntos forman un paralelogramo, seleccionamos AD y BC . BC AD≈

( ) ( ) (

) ( )

( ) ( ) (

13,8 9 ,4 13 9,8 4

) ( )

4,4 :AD BC Equipolentes b c BC 4 , 4 2 6 , 3 7 2 , 3 6 , 7 a d AD _⇒ =     = − − = − = − = = − − = − = − = _r r r r Forman un paralelogramo

8. Calcular A para que los vectores AB y CD sean equipolentes siendo B

(

2, −1

)

, C

(

−3, 2

)

y D

(

−5, −3

)

.

Solución.

Sí AB≈CD⇔AB=CD. Supongamos que el punto a tiene por coordenadas

(

a1, a2

)

(

)

( )

(

5 3, 3 2

) (

2, 5

) (

: 2 a , 1 a

) (

2, 5

)

c d CD a 1 , a 2 a b AB 2 1 2 1 _{− − − = − −}     − − = − − − − − = − = − − − = − = r r r r

Igualando por componentes, se despejan las coordenadas de A.

( )

4,4 A 4 a : 5 a 1 : ª 2 4 a : 2 a 2 : ª 1 2 2 1 1 _{⇒ =}    = − = − − = − = −

9. Sean A

(

1, 2

)

, B

(

2, 3

)

, C

(

0, 4

)

. Determina D para que ABCD sea un paralelogramo. Halla la longitud de BC

Solución.

Si cuatro puntos forman un paralelogramo es porque entre ellos se pueden establecer parejas de vectores equipolentes. Para resolver el problema debemos mantener el orden de los puntos dentro del paralelogramo (ABCD).

Observando la figura se puede establecer que los vectores AB y DC son equipolentes, es decir, iguales

(

AB =DC

)

. Si suponemos que el punto D tiene por coordenadas

(

d1, d2

)

:

(

) ( )

(

) (

) ( ) (

1 2

)

2 1 2 1 d 4 , d 1 , 1 : d 4 , d d 4 , d 0 d c DC 1 , 1 2 3 , 1 2 a b AB _{= − −}     − − = − − = − = = − − = − = r r r r

Igualando por componentes, se despejan las coordenadas de A.

(

1,3

)

A 3 d : d 4 1 : ª 2 1 d : d 1 : ª 1 2 2 1 1 _{⇒ = −}    = − = − = − =

10. Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores a)

{

(

4, 12

)

,

(

2, 6

)

}

b)

{

(

1, 2

)

,

(

3, 4

)

}

c)

{

(

1, 0

)

,

(

0, 1

)

}

d)

{

(

1, 3

)

,

(

5, 4

)

,

(

−3, 7

)

}

Solución.

Un conjunto de n vectores es linealmente dependiente si existe n números, no todos nulos, que permiten plantear una combinación lineal entre ellos cuyo resultado sea el vector nulos. En el caso de

vectores de R2, el máximo número de vectores linealmente independientes es dos, y dos vectores serán linealmente dependientes si son proporcionales.

Si ur y vr son linealmente dependientes se cumplirá: 0 v u+β = αr r αur=−βrv ur vr α β − = ur=Kvr

(

) (

)

    = =    = = ⇔ = 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 u v v u K : Kv u Kv u v , v K u , u a. {(4, 12), (2, 6)}: 6 12 2 4_{= ⇒ Linealmente dependientes.} b.

{

(

1, 2

)

,

(

3, 4

)

}:

4 2 3 1_{≠ ⇒ Linealmente independientes.} c.

{

(

1, 0

)

,

(

0, 1

)

}:

1 0 0

1_{≠ ⇒ Linealmente independientes. Base canónica}

{ }

j , i r r . d.

{

(

1, 3

)

,

(

5, 4

)

,

(

−3, 7

)

}:

⇒ Por ser más de dos, linealmente dependientes.

11. ¿Son vr=

( )

1,2 y wr =

( )

−3,1 linealmente dependientes? Solución.

Para que dos vectores sean linealmente dependientes debe existir una combinación lineal no trivial entre ellos que sea cero.

0 w

v ₂

1 +α =

α r r

Operando con la expresión se demuestra que para que dos vectores sean dependientes, deben ser proporcionales. w v 2 1 r r α − = α : v w 1 2 r r α α − =

α1y α2 son constantes y su cociente también lo es, por tanto w K v r r ⋅ =

(

)

(

)

2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 w v w v w v K : w K v w v K : w K v : u , u w K v , v v ⇒ =              = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = r r 1 2 3 1 ≠

− ⇒ Vectores son linealmente independientes. Forma una base.

12. Determinar para que valor de λ el vector

(

3λ, 2

)

es linealmente dependiente del vector

(

2,4

)

Solución.

Para que dos vectores sean linealmente dependientes deben ser proporcionales.

(

3λ, 2

)

= k ·

(

2,4

)

Igualando por componentes

   = = λ k 4 2 : ª 2 k 2 3 : ª 1

De las segundas componentes se obtiene el valor de k, que sustituido en las primeras componentes permite calcular λ.

2 1 4 2 k= = : 2 1 2 3λ= : 3 1 = λ

13. Probar que B =

{

u1

r

, ur₂

}

es una base del plano vectorial, siendo ur₁=

(

4, 0

)

y ur₂=

(

5, 1

)

. Solución.

Para que un subconjunto de vectores sea base de un conjunto de vectores debe cumplir dos condiciones:

i. Debe ser un sistema generador, es decir, los vectores que forman la base, deben ser capaces de generar cualquier vector del conjunto mediante combinación lineal

ii. Los vectores que forman la base deben ser linealmente independientes.

i. Para demostrar que un subconjunto de vectores

{

ur₁,ur₂

}

es un sistema generador de un espacio vectorial

(

V2

)

hay que expresar los coeficientes de la combinación lineal

(

α1, α2

)

en función de las componentes de un vector genérico

(

vr

( )

x,y

)

del espacio vectorial

(

V2

)

.

2 2 1 1u u v r r r α + α =

( )

x,y =α₁

( )

4,0 +α₂

( )

5 ,1 ⇒    α = α + α = y 5 4 x 2 2 1

Hay que despejar α1 y α2 en función de x e y    = α = α + α y x 5 4 2 2 1 _{: 4 5y x} 1+ = α

:

4 y 5 x 1 − = α

{ur₁, ur₂} es un sistema generador de V2, cualquier vector

(

x, y

)

de V2 se puede expresar como combinación lineal de ur₁ y ur₂, siendo los coeficientes de la combinación lineal:

    = α − = α y4 y 5 x 2 1

ii. Por tratarse de vectores de V2, si no son proporcionales, serán linealmente independientes.

( )

4,0 k u

( )

5,1

ur₁ ≠ ⋅r₂ ⇒ Linealmente independientes. 1

ur y ur₂ forman una base de V2.

14. Probar que B =

{

vr₁, vr₂

}

es una base del plano vectorial, siendo rv₁=

(

−1, 2

)

y vr₂=

(2

, 1

)

. En caso afirmativo, expresar ar

(

3, −1

)

en función de la base.

Solución.

Para que un subconjunto de dos vectores sea una base de V2, debe cumplir dos condiciones: 1ª Deben formar un sistema generador de V2. ∀

(

x, y

)

∈ V2_{, deben existir dos números reales}

α1 y α2 que permiten expresarlo como combinación lineal de los vectores que forman el sistema generador.

(

x, y

)

= α1·

(

−1, 2

)

+ α2·

(

2, 1

)

Igualando por componentes, hay que despejar α1 y α2 en función de x e y.    α + α = α + α − = 2 1 2 1 2 y 2 x

Resolviendo por sustitución: Despejando de la primera ecuación α1 y sustituyendo en la 2ª, se obtiene α2 2 1=−x+2α α

(

x 2 2

)

2 2 y= ⋅ − + α +α : 5 y x 2 2 + = α Conocido α2 se calcula α1. 5 y 2 x 5 y x 2 2 x 1=− + + =− + α

Cualquier vector

(

x, y

)

de V2 puede ser generado mediante combinación lineal por los vectores 1

v

r

5 y 2 x 1=− + α 5 y x 2 2 = + α

2º Los vectores deben ser linealmente independientes. En V2, si dos vectores no son proporcionales, son linealmente independientes.

( )

1,2 k v

( )

2,1 v₁ r₂ r ⋅ ≠ 1 v r

y vr₂ forman una base de V2.

Para expresar ar

(

3, −1

)

en función de la base, bastará con sustituir las componentes de ar en las expresiones de α1 y α2.

( )

₁ 5 1 2 3 1 =− − ⋅ + − = α

( )

1 5 1 3 2 2 = − + ⋅ = α a r = −1·vr₁ + 1·vr₂ 15. ¿Son linealmente dependiente los vectores u1

r = (1,5), u2 r = (2,3) y u3 r = (1,−2)? En caso afirmativo escribir ur₂ como combinación lineal de ur₁1 y u3

r

. Solución.

En el conjunto de vectores del plano

(

V2

)

, el máximo número de vectores linealmente independientes es dos, por lo tanto, tres vectores serán linealmente dependientes.

En un conjunto de vectores linealmente dependientes, uno de ellos, puede expresarse como combinación lineal de los demás, con la única condición de que su coeficiente en la combinación lineal no sea cero.

2 1

2 x u y u

ur = ⋅r + ⋅r

Sustituyendo por sus componentes e igualando, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

( )

2,3 =x⋅

( )

1,5 +y⋅

(

1,−2

)

   = =    − = + = 1 y 1 x solviendo Re : y 2 x 5 3 : ª 2 y x 2 : ª 1 2 1 2 u u ur =r +r

16. Expresar cr=

( )

−1,8 como combinación lineal de vr=

( )

1,2 ywr =

( )

−3,1 . Solución. w v c r r r ⋅ β + ⋅ α =

(

)

( ) (

)

   + = − = − − + ⋅ = − β α 2 8 : Componente 2ª β 3 α 1 : Componente 1ª : 1 , 3 β 2 1, α 8 , 1

Resolviendo el sistema se obtienen los coeficientes de la combinación lineal. 7 10 β 7 23 α= =

El vector cr se puede expresar como.

0 c 7 w 10 v 23 ó w 7 10 v 7 23 c= r+ r r+ r− r= r

17. Comprobar que los vectores

(

1, 3

)

y

(

2, −1

)

forman una base de V2. Hallar las coordenadas del vector

(

1, 10

)

en dicha base.

Solución.

En el plano (R2) el máximo número de vectores linealmente independientes es dos, por lo tanto, tres vectores serán linealmente dependientes.

( ) (

)

   β − α = β + α = β − α β + α = 3 10 2 1 : 3 , 2 10 , 1

Resolviendo el sistema se calculan los valores de α y β.

(

3 10

)

1 7 21 3: 3 3 10 1 2 10 3 1 2 _{3 10} − = − ⋅ = β = α ⇒ = α ⇒ = − α + α    →     = β − α = β + α _β=α−

( )

1,10 =3⋅

( ) (

1,3 − 2,−1

)

18. Sea A

(

1,1

)

, B

(

3,4

)

. Determina un punto M' para que BA 3 2 ' AM = . Solución. Si M’ =

(

x’, y’

)

(

)

(

1 3,1 4

) (

2, 3

)

b a BA 1 ' y , 1 ' x a ' m ' AM − − = − − = − = − − = − = r r r r Sustituyendo en la igualdad

(

)

(

2, 3

)

3 2 1 ' y , 1 ' x BA 3 2 ' AM = ⇒ − − = ⋅ − −

igualando por componentes

(

)

(

)

( )

( )

            − − = ⇒      − = − ⋅ = − − = − ⋅ = − − − ⋅ = − − ⇒ = , 1 3 1 ' M 1 ' y : 3 3 2 1 ' y 3 1 ' x : 2 3 2 1 ' x 3 2, 3 2 1 ' y , 1 ' x BA 3 2 ' AM

19. Mediante el cálculo vectorial hallar el punto medio del segmento AB , siendo A

(

3,−2

)

y B

(

−2,5

)

.

Solución.

Si M es el punto medio de AB , se debe cumplir la siguiente relación simple: AM

2 AB=

Para establecer la relación simple hay que fijarse también en los sentidos de las vectores. Si m1 y m2 son las coordenadas del punto M:

( )

(

) (

)

( )

(

m 3,m 2

) (

m 3,m 2

) (

: 5,7

)

2

(

m 3,m 2

)

a m AM 7 , 5 2 5 , 3 2 a b AB 2 1 2 1 2 1 + − ⋅ = −     + − = − − − = − = − = − − − − = − = r r r r

Igualando por componentes de despejan las coordenadas de M.

(

)

(

)

     =      = + = = − = − 2 3 , 2 1 M : 2 3 m : 2 m 2 7 : ª 2 2 1 m : 3 m 2 5 : ª 1 2 2 1 1

20. Hallar las coordenadas de un punto N tal que NB 2 1

AN= , siendo A(1,4) y B(3,5) Solución.

Sean n1 y n 2 las coordenadas del punto N.

(

n 1,n 4

)

a n AN=r−r= ₁− ₂− NB=b−nr=

(

3−n₁,5−n₂

)

r Sustituyendo en la igualdad:

(

1 2

)

(

3 n1,5 n2

)

2 1 4 n , 1 n − − = − − 2⋅

(

n₁−1,n₂−4

) (

= 3−n₁,5−n₂

)

Igualando por componentes:

(

)

(

)

     =     = = − = − ⋅ = = − = − ⋅ 3 13 , 3 5 N : 3 13 n : 13 n 3 : n 5 4 n 2 : ª 2 3 5 n : 5 n 3 : n 3 1 n 2 : ª 1 2 2 2 2 1 1 1 1

21. Sea ar el vector de componentes

(

−1,2

)

, sabiendo que tiene por extremo el punto Q

(

−1,−2

)

, calcular las coordenadas del origen del vector. Cual es el módulo del vector ar. Si b

r

=

(

1/2,−1

)

hallar x para que el vector a x b

r r

⋅ = Solución.

Sea PQ un representante del vector ar, nos piden calcular las coordenadas de P. p

q PQ ar= =r−r

( ) (

−1,2 = −1,−2

) (

− p1,p2

)

Igualando por componentes:

(

0, 4

)

P : 4 p : p 2 2 : ª 2 0 p : p 1 1 : ª 1 2 2 1 1 _{= −}    − = − − = = − − = − Módulo de ar:

( )

1 2 5 a a ar = ₁2 + 2₂ = − 2+ 2 =

Para que se cumpla la igualdad a x b

r r

⋅

= , se debe cumplir por componentes:

(

)

(

)

( )

    − = ⇒ − ⋅ = ⋅ = − − ⋅ = − x 2 1 x 2 : ª 2 2 1 x 1 : ª 1 : 1 , 2 1 x 2 , 1

22. Mediante el cálculo vectorial comprobar sí están alineados los puntos A(−1,3) B(3,5) y C(1,6).

Solución.

Para que tres puntos estén alineados, los vectores que se forman entre ellos deben ser proporcionales. AC k AB= ⋅

( )

(

3 1,5 3

) ( )

4,2 a b AB= −r= − − − = r

( )

(

1 1,6 3

) ( )

2,3 a c AC=r−r= − − − =

( )

( )

    = = = = ⋅ = 3 2 k : k 3 2 : ª 2 2 k : k 2 4 : ª 1 : 3 , 2 k 2 , 4

23. Calcular las coordenadas de los vértices de un triángulo, sabiendo que los puntos medios de sus lados son M

(

1, 4

)

N

(

−1, 2

)

y P

(

−4, 1

)

.

Solución.

Aplicando la definición de punto medio se obtienen dos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, un sistema por componente.

M punto medio de AB ⇒

( )

   = + = +       = + = +       _{+ +} = 4 b a 2 b a : 2 2 b a 1 2 b a : 2 b a , 2 b a 2 , 1 M 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 N punto medio de

(

)

   = + − = +       = + − = +       _{+ +} = − ⇒ 4 c b 2 c b : 2 2 c b 1 2 c b : 2 c b , 2 c b 2 , 1 N BC 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 P punto medio de

(

)

   = + − = +       = + − = +       _{+ +} = − ⇒ 2 c a 8 c a : 1 2 c a 4 2 c a : 2 c a , 2 c a 1 , 4 P AC 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

Con las primera componentes se obtiene un sistema y con las segundas otro.

     − = + − = + = + 8 c a 2 c b 2 b a 1 1 1 1 1 1      = + = + = + 2 c a 4 c b 4 b a 2 2 2 2 2 2

Para la resolución del sistema recomiendo el método de Gauss.

{

}

=           − − − = − = =           − −      − = + − = + = + 10 1 1 0 2 1 1 0 2 0 1 1 E E E 8 1 0 1 2 1 1 0 2 0 1 1 : asociada Matriz : 8 c a 2 c b 2 b a 1 3 3 1 1 1 1 1 1 M M M M M M

{

}

:b 4 2 6 b 2 b a : 6 c : 12 c 2 2 c b 2 b a : 12 2 0 0 2 1 1 0 2 0 1 1 E E E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 =    − = − = + − =      − = − = + = +           − − = + = = M M M

{

a₁+4=2:a₁=−2

{

}

=           − − = − = =                = + = + = + 2 1 1 0 4 1 1 0 4 0 1 1 E E E 2 1 0 1 4 1 1 0 4 0 1 1 : asociada Matriz : 2 c a 4 c b 4 b a 1 3 3 2 2 2 2 2 2 M M M M M M

{

}

:b 3 4 1 b 4 b a : 1 c : 2 c 2 4 c b 4 b a : 2 2 0 0 4 1 1 0 4 0 1 1 E E E ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 =    = + = + =      = = + = +           = + = = M M M 1 a : 4 3 a₂ + = ₂ = Solución: A =

(

−2, 1

)

: B =

(

4, 3

)

; C =

(

−6, 1

)

24. De un paralelogramo se conocen los vértices consecutivos A

(

−9,−5

)

, B

(

−7,−6

)

. Calcular las coordenadas de los puntos C y D, sí el centro del paralelogramo es M

(

−5,−1

)

.

Solución.

Conocidas las coordenadas de A, B y M y aplicando la definición de punto medio a los segmentos AC y BD se calculan las coordenadas de C y D. M punto medio de

(

)

      + = + =       _{+ +} = ⇒ 2 c a m 2 c a m : 2 c a , 2 c a m , m M AC 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1

( ) ( )

( ) ( )

C

(

1,3

)

3 5 1 2 c 1 9 5 2 c : a m 2 c a m 2 c 2 1 2 2 2 1 1 1 − = ⇒    = − − − ⋅ = − = − − − ⋅ =    − = − = M punto medio de

(

)

      + = + =       _{+ +} = ⇒ 2 d b m 2 d b m : 2 d b , 2 d b m , m M BD 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1

( ) ( )

( ) ( )

D

(

7 ,4

)

4 6 1 2 d 3 7 5 2 d : b m 2 d b m 2 d 2 1 2 2 2 1 1 1 _{⇒ = −}    = − − − ⋅ = − = − − − ⋅ =    − = − =

25. Hallar b para que los puntos A

(

−2,5

)

, B

(

3,0

)

y C

(

b,7

)

estén alineados, para el valor de b calculado, estudiar la posición relativa de los puntos.

Solución.

Si tres puntos están alineados, los vectores formados entre ellos deben ser proporcionales. AC K AB= ⋅

( )

(

) (

)

( )

(

) (

) (

)

(

)



(

)

 ⋅ = − + ⋅ = + ⋅ = −     + = − − − = − = − = − − − = − = 2 K 5 4 b K 5 : 2 , 4 b K 5 , 5 : 2 , 4 b 5 7 , 2 b a c AC 5 , 5 5 0 , 2 3 a b AB r r r r

De la segunda componente se despeja K, con este valor en la primera componente se despeja b. 2 5 K=−

(

b 4

)

:b 6 2 5 5=− + =−

Posición relativa. Con los vectores con origen común

(

AB=K⋅AC

)

, la posición relativa se estudia en función del valor de K.

• Si K < 0, los vectores tienen distinto sentido, el origen de ambos (A) esta entre los otros dos puntos (B y C)

• Si K > 1, AB es de mayor longitud que AC , C está entre A y B.

• Si 0 < K < 1, AC es de mayor longitud que AB , B está entre A y C.

26. Calcular las coordenadas de los puntos que dividen al segmento PQ en tres partes iguales, siendo A

(

1,3

)

y B

(

2,8

)

.

Solución.

Para calcular M y N se establecen relaciones simples en las que habrá que tener en cuenta las longitudes y los sentidos de los vectores.

• Calculo de M: AB=3⋅AM

(

b1−a1,b2−a2

) (

=3m1−a1,m2−a2

)

Igualando por componentes:

(

)

(

)

     =       = + ⋅ = + = − = − = + ⋅ = + = − ⋅ = − 3 14 , 3 4 M : 3 14 3 8 3 2 3 b a 2 m : a m 3 a b : ª 2 3 4 3 2 1 2 3 b a 2 m : a m 3 a b : ª 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 • Calculo de N: AB=3⋅NB

(

b1−a1,b2 −a2

) (

=3b1−n1,b2−n2

)

Igualando por componentes:

(

)

(

)

     =       = ⋅ + = + = − = − = ⋅ + = + = − ⋅ = − 3 19 , 3 5 N : 3 19 3 8 2 3 3 b 2 a n : n b 3 a b : ª 2 3 5 3 2 2 1 3 b 2 a n : n b 3 a b : ª 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1