EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL MÓDULO 6

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL MÓDULO 6

EJERCICIO 1:

De los siguientes conjuntos, decid si son abiertos o cerrados, y acotados o no acotados. ¿Hay alguno que sea compacto? ¿Y conexo?

(a) [–1,3] (b) [5,12) (c) (–∞,2] (d) (–12,2) ∪ {x : 3 < x < 7} (e) (2,4] ∪ (3,+∞) (f) (–∞,–5] ∪ [–2,1] ∪ [20,+∞) SOLUCIÓN:

(a) Se trata de un intervalo cerrado y acotado (ya que tiene cotas superiores e inferiores). Es también compacto porque es cerrado y acotado. Por ejemplo, x = –3 es una cota inferior (todos los números que están en el intervalo son mayores que –3) y x = 10 es una cota superior (todos los números del intervalo son más pequeños que 10). Como es un intervalo, está claro que es conexo. (b) Este intervalo no es ni abierto ni cerrado. Por una parte no es abierto ya que el 5 pertenece al intervalo pero cualquier intervalo abierto centrado en el 5, (5-r, 5+r) ya sale del intervalo. Por otra parte, el conjunto no es cerrado porque su complementario es (-

∞

, 5) U [12,

∞

), que no es abierto ya que ahora el 12 no tiene ningún intervalo abierto del tipo (12-r, 12+r) totalmente contenido en el conjunto. Por lo tanto, el conjunto [5, 12), a pesar de estar acotado (ejemplos de cotas: inferior, 4; superior, 14) no es un conjunto compacto. En cambio, sí que es conexo.

(c) Este conjunto es una semirrecta cerrada porque el punto 2 pertenece al conjunto; por lo tanto es un conjunto cerrado. No es compacto por no ser acotado: no hay ningún número que sea más pequeño que todos los del conjunto. En cambio, sí que es conexo: dados dos puntos cualesquiera (por ejemplo, x = –20 y x = –1), el segmento que los une queda completamente dentro del conjunto. (d) Este conjunto está formado por la unión de los intervalos (–12,2) y (3,7). Los dos intervalos de que consta la unión son abiertos, por lo tanto el conjunto resultante de la unión también será abierto (y, en consecuencia, no compacto). Por otra parte no es cerrado ya que su complementario es (-

∞

, 12] U [2, 3] U [7,

∞

) que no es abierto (por tanto (-12, 2) U (3, 7) no es compacto).Tampoco será conexo dado que si tomamos, por ejemplo, el punto x = 0 (que está en el primer intervalo) y el punto x = 5 (que está en el segundo), el segmento que los une sale fuera del conjunto: observad que para ir desde x = 0 hasta x = 5 se tiene que pasar por x = 2,5, que no pertenece al conjunto. (e) Si efectuamos la unión de los dos intervalos obtenemos la semirrecta abierta

(

2

,

+∞

)

. Por lo tanto, el conjunto resultante es un conjunto abierto. El conjunto no es acotado ya que no hay ninguna cota superior. Al no estar ni cerrado ni acotado es compacto. Al ser un intervalo abierto, el conjunto es conexo.

(f) Este último apartado es un cerrado porque los tres intervalos que componen la unión lo son. En cambio, no es acotado. ¿Por qué? Observad el primer intervalo: (–∞,–5]. Este intervalo sí que tiene cota superior (pensad, por ejemplo, en x = 1), pero no tiene inferior: ¿qué punto podéis escoger de forma que sea más pequeño que cualquier otro del conjunto? Obviamente, ninguno; en consecuencia, no es compacto. Por el mismo razonamiento que en (d) tampoco es conexo.

EJERCICIO 2:

Consideremos la operación intersección entre dos conjuntos A y B que nos da otro conjunto formado por todos aquellos elementos que están al mismo tiempo en A y en B. Esta operación, como sabéis, se define de la siguiente manera:

A∩ B = {x: x∈ A y x∈ B}

Ya hemos visto que la unión de dos intervalos abiertos siempre nos da un conjunto abierto. ¿Es también cierto que la intersección de dos intervalos abiertos puede dar un conjunto abierto? (Vedlo con algún ejemplo).

SOLUCIÓN:

Como habéis podido comprobar en la teoría, la operación de la unión entre conjuntos "conserva" el carácter de cerrado y de abierto:

- "si dos o más conjuntos son abiertos, su unión también", - "si dos o más conjuntos son cerrados, su unión también".

Con este ejercicio queremos comprobar si ello también es cierto con la intersección para al caso de los intervalos abiertos (el caso de intervalo cerrado se resolvería de forma similar). Consideremos los siguientes intervalos: (–3,1) y (–2,3). ¿Cuál es su intersección? Son aquellos puntos que están al mismo tiempo en el primero y en el segundo intervalo. Si hacéis un dibujo, veréis claro que:

(–3,1) ∩ (–2,3) = {x : –3 < x < 1} ∩ {x: –2 < x < 3} = {x: –2 < x < 1} = (–2,1)

En este ejemplo hemos podido ver que de la intersección de dos abiertos ha salido otro abierto. Para demostrar el enunciado del ejercicio, en general tendríamos que considerar toda la posible casuística de intersecciones entre intervalos, lo cual complicaría la resolución del mismo.

EJERCICIO 3:

Si queremos representar el intervalo (2,4) como un entorno de la forma (x–r,x+r), ¿cuánto tienen que valer x (el centro del intervalo) y r (el radio del intervalo) para que representen el mismo intervalo? ¿Cuál es precisamente el punto x?

SOLUCIÓN:

Observad primero el siguiente dibujo:

Si queremos que los dos conjuntos representen el mismo intervalo, es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:







=

+

=

−

4

2

r

x

r

x

Lo que nos queda no es nada más que un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas (x y

r). Si se resuelve, se obtiene que x = 3 y r = 1. Observad que x es precisamente el punto medio del

EJERCICIO 4:

Para hacer a la representación gráfica de una función deben tenerse en cuenta una serie de pasos. La recopilación de los datos obtenidos en cada paso nos da una idea de cuál tiene que ser esta representación. Los pasos que hay que seguir son los siguientes:

(a) Dad el dominio de la función. (b) Encontrad los puntos de corte.

(c) Dad los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Calculad los máximos y los mínimos.

(e) Dad los intervalos de concavidad y convexidad. (f) Calculad los puntos de inflexión.

(g) Encontrad las asíntotas. Considerad la siguiente función:

2

4

)

(

x

x

x

f

=

−

Seguid todos los pasos anteriores (poniendo especial atención a los apartados (b) y (g)) y haced, finalmente, la representación gráfica de la función (el GNUPLOT os puede ayudar un poco).

SOLUCIÓN:

a) Dadas las características de la función, es evidente que los únicos problemas que podemos tener están en el denominador, cuando éste se anule. Por lo tanto, tenemos que el dominio de esta función son todos los reales menos el cero:

Dom f(x) = R \ {0}

b) Los puntos de corte de una función con los ejes nos da siempre una idea bastante aproximada de cómo quedará finalmente la gráfica. Los puntos de corte con el eje de abscisas se calculan igualando la función en 0 y aislando la x:

f(x) = 0
(x–4) / x2 = 0
x–4 = 0
x = 4

Como x = 4 pertenece al dominio de la función, tenemos que (4,0) es un punto de corte con el eje de las x (y, además, en esta función es el único). El punto de corte (que si hay, es único) con el eje

de ordenadas es siempre de la forma (0,f(0)). Como en nuestro ejemplo tenemos que x = 0 no es

un punto del dominio, ello nos indica que no hay puntos de corte con el eje de las y.

c) d) Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y los mínimos tenemos que encontrar primero los puntos estacionarios a partir de la primera derivada:

3 4 4 2 2 4 2

8

)

8

(

8

2

2

)

4

(

1

)

(

'

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

=

⋅

−

−

⋅

=

−

+

=

−

⋅

−

=

−

+

Esta primera derivada se anula para x = 8. Ahora hay que comprobar dónde la primera derivada es positiva y dónde negativa. Para ello señalamos en una recta los puntos que no están en el dominio y aquellos que anulan la derivada. En cada uno de los trozos se evalúa la derivada (en algún punto del trozo) y su signo:

Viendo los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, podemos concluir que en x = 8 hay un máximo. El valor de la función en este máximo es f(8) = 1/16.

d) e) f) Con la segunda derivada también podremos comprobar (aunque ya lo hemos hecho antes) que en x = 8 tenemos un máximo:

4 6 2 6 2 3 3 6 2 3

24

2

)

24

2

(

24

3

3

)

8

(

1

)

(

''

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

=

−

⋅

−

−

+

⋅

=

−

+

−

=

⋅

−

=

−

Ahora, sustituyendo en el punto estacionario, vemos que f ''(8) < 0, lo cual también nos indica que es un máximo. Además, podemos usar la segunda derivada para encontrar los intervalos de concavidad y convexidad, así como los posibles puntos de inflexión. Primero encontramos aquellos puntos que anulan la segunda derivada:

12

x

0

24

x

2

0

x

24

x

2

4

=

→

−

=

→

=

−

Para ver si éste es un punto de inflexión y para encontrar los intervalos de concavidad y convexidad ponemos en la recta real los puntos que no están en el dominio (en nuestro caso, x = 0) y los que anulaban la segunda derivada (en nuestro caso, x = 12). En cada uno de los trozos que salen, se evalúa la segunda derivada (en algún punto del trozo) y su signo:

Por lo tanto, la función es cóncava en los intervalos (–∞,0) y (0,12), y convexa en el intervalo (12,+∞). De ello podemos deducir que x = 12 es un punto de inflexión, ya que la función pasa de cóncava a convexa.

g) Con el estudio de las asíntotas comprenderemos el comportamiento de la función en el infinito y en torno a los puntos que no son del dominio. Para el comportamiento en el infinito tenemos que calcular los siguientes límites:

Hacia +∞:

Calculamos primero el límite

0

x

x

x

4

x

lim

x

4

x

lim

2 2 2 x 2 x

=

−

→

∞

∞

=

−

∞ + → ∞ + →

Como nos ha dado un número real, eso nos indica que tenemos una asíntota horizontal en y = 0; cuando la x se va mucho hacia la derecha la función se acerca a cero (observad que el límite nos había dado cero).

Hacia -∞:

Siguiendo los mismos pasos que antes se llega a la misma conclusión. Hacia 0:

Si calculamos el límite cuando la x se acerca al cero de forma directa obtenemos que vale infinito (si sustituís obtendréis –4/0 = –∞), lo cual nos indica que hay una discontinuidad con asíntota

vertical. Para acabar de estudiar qué pasa en torno al punto, tenemos que calcular los límites

laterales. Si lo hacéis (poniendo, por ejemplo, x = 0,01 para el límite por la derecha y x = –0,01 para el límite por la izquierda), veréis que los dos límites laterales dan menos infinito.

Finalmente, reuniendo todas las informaciones que se han ido desarrollando, representad gráficamente la función y comprobad que todos los datos encajan perfectamente. Para ver bien la representación con el GNUPLOT tenéis que entrar los siguientes rangos:

plot [–50:50] [–0,3:0,1] (x–4)/x**2 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 -40 -20 0 20 40 (x-4)/x**2

Una vez hecha la representación gráfica podréis deducir que x = 8 es un máximo absoluto o global.

EJERCICIO 5:

En un país en vías de desarrollo se ha hecho un estudio que intenta explicar las causas de su subdesarrollo. Una de las primeras conclusiones que se ha sacado es la siguiente: "mientras la población crece de manera exponencial, la explotación de los recursos naturales del país crece de forma logarítmica. La función que explica el crecimiento de la población a lo largo del tiempo es

2

2

)

(

t

=

e

t+

f

y la de los recursos naturales g(t) = ln(t+7)". Explicad desde un punto de vista matemático (con las segundas derivadas), por qué estas frases explican el subdesarrollo del país. SOLUCIÓN:

Como ya hemos visto, la convexidad y la concavidad de una función nos indica cuál es la curvatura de una función, es decir, cómo es el crecimiento y el decrecimiento de la primera derivada. Por la forma de la curvatura, si una función es cóncava crecerá más lentamente que una función que sea

convexa a medida que la variable vaya creciendo mucho. Para verlo gráficamente, haced la representación gráfica de las funciones del enunciado con el GNUPLOT, con los siguientes rangos:

plot [–10:5] [–5:10] 2*exp(x+2), log(x+7)

Teniendo en cuenta eso, para explicar el enunciado del ejercicio tenemos que estudiar la concavidad y la convexidad de las dos funciones:

f(t) = 2et+2
f '(t) = 2et+2



f ''(t) = 2et+2

g(t) = ln(t+7)
f '(t) = (t+7) –1
f ''(t) = –(t+7) –2

Observad que la primera función es convexa siempre (la segunda derivada es siempre positiva) y la segunda es cóncava (la segunda derivada es negativa para tiempos positivos). Por lo tanto, siempre asociaremos "crecimiento exponencial" con "crecimiento rápido" y "crecimiento logarítmico" con "crecimiento lento".

EJERCICIO 6:

Calculad los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: a)

(

)

=

2

+

ln(

2

+

1

)

x

x

x

f

. b)

f x

( )

= −

(

x

1)

2

+

ln(

x

2

)

. SOLUCIÓN: a)

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada. Antes, sin embargo, observamos que aunque la función tiene una expresión logarítmica está definida en todo número real ya que 2

+

1

x

es siempre positivo, tanto para x positivas como negativas. Fácilmente se obtiene:

)

1

1

1

(

2

2

1

1

2

)

(

'

_{2 2}

+

+

=

+

+

=

x

x

x

x

x

x

f

.

Como lo que hay dentro del paréntesis siempre es positivo, el signo de la derivada se obtiene simplemente con el signo de x. Es decir, si x es positivo entonces f’(x) es positiva (y por tanto f(x) es creciente). Al contrario, si x es negativo entonces f’(x) es negativa (y por tanto f(x) es decreciente).

b)

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada. El dominio de la función vemos que es todo el conjunto de números reales excepto el

0

, fijaros que cuando x=0 no está definida la función logaritmo. La primera derivada es:

2

2

2(

1)

'( )

2(

1)

x

x

f x

x

x

x

− +

=

− + =

.

Como es un cociente, el signo de la derivada depende del signo del numerador y del denominador. Ahora bien, puesto que la parábola

x

2

− +

x

1

es siempre positiva con un vértice en

2

1

, tenemos que el numerador será siempre positivo. Y por tanto, el signo de la derivada dependerá únicamente del signo del denominador (de x, en este caso).

En consecuencia,

f x

'( )

<

0

para x<0 (intervalo de decrecimiento), si estudiamos el signo de la derivada en un valor cualquiera inferior a 0, como por ejemplo x=−1 obtenemos:

( ) ( ) ( )

(

)

6

0

1

1

1

1

2

1

2

<

−

=

−

+

−

−

−

=

−

'

f

.

Y

f x

'( )

>

0

para x>0 (intervalo de crecimiento), si estudiamos el signo de la derivada en un valor cualquiera superior a 0, como por ejemplo x=1 obtenemos:

( )

(

)

2

0

1

1

1

1

2

1

2

>

=

+

−

=

'

f

.

EJERCICIO 7:

Calculad los intervalos de concavidad y convexidad de la función

f

( )

x

=

x

4

−

4x

2.

SOLUCIÓN:

Para obtener los intervalos de concavidad y convexidad de una función dos veces derivable (como es este caso), estudiamos el signo de la segunda derivada.

2 2

'( )

4 (

2),

''( )

4(3

2).

f x

x x

f

x

x

=

−

=

−

Veamos los ceros de la segunda derivada:

3

x

2

= ⇔

2

x

2

=

2 / 3

⇔ = ±

x

2 / 3

. En cada uno del los trozos se evalúa:

La segunda derivada es pues negativa cuando

3

x

2

− <

2

0

, es a decir en el intervalo

(

−

2 / 3, 2 / 3)

y positiva en caso contrario. Consecuentemente, será cóncava (forma de U inversa) en

(

−

2 / 3, 2 / 3)

y convexa (forma de U) en caso contrario.

EXERCICI 8:

Considerad la función

f

(

x

)

=

(

x

2

+

a

)

e

x

,

donde

a

≥

0

.

a) Determinad los valores de “a” para los que la función tiene dos puntos estacionarios. b) Considerad

a

=

0

. Determinad el número de puntos estacionarios y clasificadlos en

2 / 3

−

2 / 3

''( 1)

0

c) Considerad

a

=

1

. Determinad el número de puntos estacionarios. Argumentad para cada punto estacionario hallado, mediante la primera derivada, si se trata de un máximo, un mínimo o no es un extremo.

SOLUCIÓN:

a) Para calcular los puntos estacionarios de la función

f

(

x

)

=

(

x

2

+

a

)

e

x

derivamos y igualamos a cero. Obtenemos

f

'

(

x

)

=

(

x

2

+

2

x

+

a

)

e

x

=

0

. Como la exponencial siempre es diferente de cero hemos de igualar el polinomio de grado 2 a 0. Sus raíces son:

x

=

(

−

±

−

a

) (

=

−

2

±

2

1

−

a

)

2

1

4

4

2

2

1

, y después de simplificar,

a

y

a

−

−

−

−

+

−

1

1

1

1

. Esto nos da dos valores diferentes y reales si

1

−

a

>

0

. Como suponemos que

a

≥

0

tenemos que f tiene dos puntos estacionarios si y sólo si

1

0

≤

a

<

.

b) Si a=0 obtenemos que los dos puntos estacionarios son

x

=

0

y

x

=

−

2

. Para clasificarlos usaremos la segunda derivada en estos puntos. Tenemos (recordad que a=0)

f

'

'

(

x

)

=

(

x

2

+

4

x

+

2

)

e

x. Si evaluamos

f

''

(

0

)

=

2

y

f

''

(

−

2

)

=

−

2

e

−2. Así,

0

=

x

es un mínimo y

x

=

−

2

es un máximo.

c) Si a=1 sólo tenemos un punto estacionario,

x

=

−

1

, y la función derivada nos da

0

)

1

(

)

1

2

(

)

(

'

x

=

x

2

+

x

+

e

x

=

x

+

2

e

x

>

f

para todo

x

≠

−

1

. Así, si la función tuviera

un máximo o un mínimo, debería de pasar de creciente a decreciente, o viceversa, cosa imposible ya que la derivada siempre es positiva.

EJERCICIO 9:

Considerad la función f(x) = 2x3–6x+1. Calculad los máximos y mínimos absolutos (si los hay) en los conjuntos siguientes:

(a) [–3,2] (b) (–3,2] (c) (0,2) (d) [–2,+∞)

SOLUCIÓN:

Para encontrar los máximos y mínimos cuando estamos restringidos a un determinado intervalo, siempre hay que empezar por el mismo lugar; si la función es derivable, calcular y clasificar los puntos estacionarios. En nuestro caso, está claro que la función es derivable y que los puntos estacionarios son x = –1 y x = 1:

f '(x) = 6x2–6 = 0
x = ±1

Una vez encontrados los puntos estacionarios, analizaremos si son máximos o mínimos. Para ello calculamos la segunda derivada y comprobamos su signo. Así, la segunda derivada es f’’(x) = 12x. Sustituyendo los puntos estacionarios en esta segunda derivada,

f ’(1) = 12>0 Por tanto x=1 es un mínimo local f ’(-1) = -12<0 Por tanto x=-1 es un máximo local

Podéis hacer la representación gráfica con el GNUPLOT para tener una idea más clara de la forma que tiene la gráfica de la función. Ahora ya podemos resolver los diferentes apartados:

(a) Como el intervalo donde tenemos que considerar la función es un compacto (ya que es cerrado y acotado), ya podemos deducir (a partir del teorema de Weiertrass) que seguro que tiene algún máximo (absoluto) y algún mínimo (absoluto). Empecemos por los máximos y después estudiaremos los mínimos.

MÁXIMOS: Recordad que x = –1 era un máximo local (de hecho es lo único que hemos

encontrado con la primera derivada). Como este punto sí que está dentro del intervalo que estamos considerando, será un posible candidato a ser máximo absoluto. Los otros candidatos son también los extremos del intervalo: x = –3 y x = 2. Para decidir cuál de los 3 puntos es el máximo absoluto tenemos que calcular sus imágenes: f(–3) = –35, f(–1) = 5, f(2) = 5. Observad que de los tres, dos tienen la misma imagen. Eso nos indica que el máximo absoluto no es único (de hecho la función no es estrictamente cóncava en el intervalo); hay dos: x = –1 y x = 2.

MÍNIMOS: De forma similar a los máximos, ahora tenemos que considerar los puntos x = 1

(para ser un mínimo local que está dentro del intervalo), x = –3 y x = 2 (éstos últimos, para ser extremos del intervalo). Calculamos primero las imágenes: f(–3) = –35, f(1) = –3 y f(2) = 5. El valor más pequeño se alcanza para x = –3. Éste es, por tanto, el mínimo absoluto de la función en el intervalo.

(b) Como ahora el intervalo no es un compacto (aunque está acotado, no es un intervalo cerrado), no podremos asegurar la existencia ni de máximos ni de mínimos absolutos. En estos casos se procede de una forma similar a la que hemos seguido en el apartado anterior, pero teniendo en cuenta que si la elección final que hacemos es aquel extremo que no está incluido en el intervalo, entonces tendremos que decir que no hay máximo (o mínimo) absoluto. Si aprovechamos los cálculos del apartado anterior (observad que la única diferencia es que el –3 no está en el intervalo), tenemos que:

MÁXIMOS: Del apartado (a) tenemos los candidatos x = –1 y x = 2. Como los dos están en

el intervalo, los dos son también máximos absolutos del apartado (b).

MÍNIMOS: Del anterior apartado tenemos el candidato x = –3. Como no está en el intervalo,

podemos decir que la función, en el intervalo (–3,2], no tiene mínimo absoluto.

(c) En primer lugar tenemos que observar que el intervalo tampoco es un compacto. Por lo tanto, no podemos asegurar, a priori, la existencia ni de ningún máximo ni de ningún mínimo absoluto.

MÁXIMOS: Tenemos que probar sólo los extremos del intervalo como candidatos a

máximos absolutos dado que no hay ningún máximo local que esté dentro del intervalo (el punto x = –1 no está dentro de (0,2)). Sin embargo, como los extremos del intervalo no están tampoco incluidos, llegamos a la conclusión de que no hay máximos absolutos.

MÍNIMOS: El mínimo local que ya habíamos encontrado, x = 1, sí que está dentro del

intervalo. Tenemos que calcular la imagen en este mínimo local y en los extremos del intervalo. Si el valor más pequeño se alcanza en los extremos, no habrá mínimo absoluto (los extremos no están incluidos). Si el valor más pequeño se alcanza en x = 1, éste será el mínimo absoluto. Calculamos, pues, las imágenes: f(0) = 1, f(1) = –3 y f(2) = 5. Por lo tanto, x = 1 es el mínimo absoluto.

(d) Cuando estamos trabajando con una semirrecta debemos seguir también los mismos pasos, pero teniendo en cuenta que para evaluar el extremo donde está el infinito tenemos que calcular un límite. Si la elección final es el extremo donde está el infinito, entonces diremos que no hay máximo (o mínimo absoluto).

MÁXIMOS: Recordad que x = –1 era un máximo local. Como este punto sí que está dentro

del intervalo, será un posible candidato a ser máximo absoluto. Los otros candidatos son los extremos del intervalo: x = –2 (que está incluido en el intervalo) y x =+ ∞. Para decidir cuál de los 3 puntos es el máximo absoluto tenemos que calcular sus imágenes: f(–2) = –3, f(–1) = 5 y

+∞

=

+

−

=

+∞

∞ + →

2

6

1

)

(

3

x

x

lim

f

x

Da más infinito porque la máxima potencia, que es 3, está multiplicada por un número positivo. Por lo tanto, el valor mayor se alcanza, claramente, para x = +∞. Eso nos indica que el máximo absoluto no existe.

MÍNIMOS: De forma similar a los máximos, ahora tenemos que considerar los puntos x = 1

(por ser un mínimo local que está dentro del intervalo), x = –2 y x =+ ∞. Calculamos primero las imágenes: f(–2) = –3, f(1) = –3 y

f

(

+∞

)

=

+∞

. El valor más pequeño se alcanza para x = –2 y también para x = 1. Estos dos son, por lo tanto, los mínimos absolutos de la función en el intervalo.

EJERCICIO 10:

La concavidad y la convexidad de una función la podemos usar para determinar la unicidad de los máximos y de los mínimos (respectivamente). Usando únicamente la segunda derivada, ¿podemos asegurar que los puntos estacionarios de las siguientes funciones son máximos (o mínimos) absolutos?

1

)

(

(b)

1

7

)

(

(a)

2 2

+

=

−

+

=

x

x

x

f

x

x

x

f

SOLUCIÓN:

(a) Para encontrar los puntos estacionarios calculamos la primera derivada e igualamos a cero,

0

7

2

)

(

'

=

+

=

x

x

f

El único punto estacionario de la función es

x

=

−

7

/

2

. Para mirar si es un mínimo o un máximo absoluto usaremos la segunda derivada. Hay que decir en primer lugar que la función es dos veces derivable y que, además, f''(x) = 2. Como la segunda derivada es estrictamente positiva en todas partes, tenemos que la función es estrictamente convexa. Por lo tanto, el punto x =

–

7/2 es el único mínimo absoluto de la función.

(b) Para encontrar los puntos estacionarios calculamos la primera derivada e igualamos a cero,

0

)

1

(

1

)

1

(

2

)

1

(

)

(

'

_{2 2} 2 2 2 2

=

+

−

=

+

⋅

−

+

=

x

x

x

x

x

x

x

f

.

Aquí los puntos estacionarios son x =

–

1 y x = 1. Calculemos ahora la segunda derivada:

(

)

(

)

3 2 3 4 2 2 2 2 2

)

1

(

6

2

)

1

(

2

)

1

(

2

1

)

1

(

2

)

(

''

+

−

=

+

⋅

+

⋅

⋅

−

−

+

−

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

Observad, en primer lugar, que esta segunda derivada está definida para todo valor de x (el denominador no se anula nunca) y que, por lo tanto, la función inicial f es dos veces derivable. La derivada segunda no es ni siempre positiva ni siempre negativa (por ejemplo, f''(1) < 0 y f''(3) > 0). Por consiguiente, no podemos asegurar si los puntos estacionarios son un máximo (o mínimo) absoluto mirando únicamente la concavidad y la convexidad. Tendríamos que seguir los pasos desarrollados en el ejercicio anterior: hacer un estudio local de los puntos estacionarios y comparar el valor de la función en los extremos.

EJERCICIO 11: (Este ejercicio es un problema económico donde la dificultad principal es saber

encontrar la función objetivo que se debe optimizar. Estaría en la misma línea que el 4.1 de la página 31 del módulo. En todo caso, recomendamos mirar primero el 4.1, que es más simple, y después éste).

Una conocida empresa dedicada a la fabricación y distribución de bebidas de cola ha decidido cambiar su tradicional envase por otro que tenga forma cilíndrica. También ha decidido que la capacidad de este nuevo envase sea de un tercio de litro, es decir, 0,33 litros (= 330 cm3). Teniendo en cuenta esta restricción y que el coste de cada envase viene determinado por la cantidad de material usado en su fabricación, ¿qué dimensiones debe tener el envase para que el coste de cada uno de ellos sea mínimo?

SOLUCIÓN:

Consideramos que el recipiente cilíndrico tiene la siguiente forma,

La superficie de éste recipiente de forma cilíndrica es la siguiente:

h

r

r

SUPERFÍCIE

=

2

π

2

+

2

π

donde r es el radio de la base del envase y h su altura. Como la capacidad del recipiente tiene que ser de 0,33 litros, tenemos la igualdad que sigue:

3 2

330 cm

h

r

VOLUMEN

=

π

=

Si despejamos la variable h de esta última ecuación

2

330

r

h

π

=

y la sustituimos en la función de la superficie, nos queda la siguiente función: h

r

660

r

2

)

r

(

f

SUPERFÍCIE

=

=

π

2

+

Para minimizar los costes en la fabricación del envase tendremos que calcular el mínimo de la función f anterior. La única restricción que deberemos tener en cuenta al resolver el problema es que r tiene que ser siempre positivo (las distancias son siempre positivas).

Una vez calculado el valor del radio r (en cm) que minimiza esta función, tendremos que calcular la altura h (también en cm) a partir de la ecuación del volumen. Ahora ya estamos en disposición de resolver el problema de optimización. En primer lugar nos hace falta derivar la función f y después encontrar los valores de r que anulan la derivada (los puntos estacionarios):

Calculamos la primera derivada,

2

660

4

)

(

'

r

r

r

f

=

π

−

Igualando a cero y despejando,

cm

r

r

r

3

,

745

2

330

0

660

4

−

₂

=

→

=

3

=

π

π

Vemos ahora si es un máximo o un mínimo con el signo de la segunda derivada:

MÍNIMO

f

r

r

f

_



=

+

>

→













→

+

=

0

2

330

1320

4

2

330

''

1320

4

)

(

''

₃ 3

π

π

π

π

Por lo tanto, tenemos que r = 3,745 es un mínimo local. Ahora tenemos que ver si es el mínimo absoluto que buscamos. Para eso hay que considerar los extremos del intervalo donde tenemos restringido el problema. La única restricción que hemos considerado es que r ≥ 0, por lo que el intervalo donde estudiamos el problema es [0,+∞). Como el valor de r queda dentro del intervalo, los posibles candidatos a mínimos absolutos son: r = 0, r = 3,745 y r = +∞. Finalmente, calculamos las imágenes y decidimos: f(0) = +∞, f(3,745) = 264,357 y f(+∞) = +∞. Por tanto, r = 3,745 es el único mínimo absoluto y, por consiguiente, la solución del problema.

Finalmente, como ya sabemos qué vale el radio r, sólo hay que encontrar qué vale h a partir de la ecuación del volumen:

cm

r

h

330

1320

7

,

49

3 2

=

=

=

π

π

EJERCICIO 12:

Una empresa tiene la siguiente función de demanda,

q

P

=

25

−

10

Sabemos que el coste variable sigue la función

( )

2

4q

q

q

CV

=

−

y un coste fijo de 5, calcular.

a) La elasticidad precio de la función de demanda para P=10

SOLUCIÓN:

a) Recordemos que la función de elasticidad se encuentra como

)

(

' x

f

y

x

x y

=

⋅

∈

En este caso la función es,

q

=

2

.

5

−

0

.

1

P

( )

D

' P

(

)

P

D

P

p D

=

⋅

∈

por tanto,

P

P

P

P

P

P

p D

−

−

=

−

−

=

−

⋅

−

=

∈

25

1

.

0

5

.

2

1

.

0

)

1

.

0

(

1

.

0

5

.

2

Así, para un precio de P=10,

6

.

0

15

10

₌

₋

)

−

=

∈

Dp

por tanto, es una elasticidad inelástica, ya que |∈y x |< 1. Es decir, un incremento en el precio

produce una variación relativamente más pequeña en la cantidad demandada.

b) La función objetivo, la función a optimizar, en este caso es la función de beneficios totales. Como los beneficios se calculan como la diferencia entre ingresos y costes, nos planteamos encontrarlos primero.

Para encontrar la función de ingresos sabemos que IT(q)=P(q)q, por tanto, de la función de demanda despejamos el precio y encontramos

P

=

25

−

10

q

. Así,

(

)

2

10

25

10

25

)

(

q

q

q

q

q

IT

=

−

⋅

=

−

Para encontrar la función de costes totales sumamos el coste variable y el coste fijo,

(

4

)

5

)

(

)

(

q

=

CV

q

+

CF

=

q

−

q

2

+

CT

Por tanto,

( )

( )

( )

6

24

5

5

4

10

25

)

(

2 2 2

−

+

−

=

−

+

−

−

=

−

=

q

q

q

BT

q

q

q

q

q

CT

q

IT

q

BT

Una vez encontrada la función objetivo iniciamos el proceso de optimización. Primero encontramos los puntos estacionarios, posibles óptimos, derivando e igualando a cero,

( )

(

BT

q

)

'

=

−

12

q

+

24

=

0

→

q

=

2

Y ahora analizamos la segunda derivada,

( )

(

BT

q

)

''

=

−

12

<

0

→

q

=

2

es un máximo.

Por tanto ya hemos obtenido que la producción que maximiza los beneficios es q=2, que nos permitiría obtener unos beneficios máximos de

BT

(

2

)

=

19

.

En los países de dieta mediterránea, el aceite de oliva constituye uno de los elementos más importantes de su cocina. En los diferentes estudios que se han llevado a cabo sobre la integración europea, se ha podido comprobar que, dependiendo del precio p (en euros) de la margarina, la demanda de aceite (en miles de litros) sigue dos patrones bien diferentes según si el país es mediterráneo o no:

País mediterráneo: D(p) = 2p-1 País no mediterráneo: D(p)=2ep

Estudiad la variación que tiene la demanda de aceite con las variaciones del precio de la margarina según el tipo de país y suponiendo que el precio de la margarina es actualmente de 6 euros/kilo. ¿Qué conclusión podéis sacar?

SOLUCIÓN:

Para estudiar la variación de una magnitud respecto a otra debemos usar la elasticidad. Calculemos la elasticidad en los dos casos:

p p p p D p D

e

e

p

p

D

e

p

eo:

mediterrán

no

País

p

p

p

D

p

p

eo:

mediterrán

País

2

2

)

(

'

2

2

1

2

)

(

'

1

2

, ,

⋅

=

⋅

=

∈

−

⋅

−

=

⋅

−

=

∈

Si evaluamos la elasticidad para p = 6 obtenemos que la elasticidad en los países mediterráneos es 1.091, y en los países que no tienen dieta mediterránea es 6. La conclusión que podemos sacar es que, en los países donde se usa más la margarina para cocinar (países no mediterráneos), un cambio de precio en ésta implica un aumento mayor en el consumo de aceite que en países donde el uso de la margarina es más minoritario (países mediterráneos) y donde ya se usa una gran cantidad de aceite para cocinar.