Matemticas I. Ejercicios Tema 1.

(1)

Conjuntos num´

ericos. Sucesiones. Funciones

Conjuntos num´ericos

1. ¿Pertenece el n´umero real 2.15 al entorno de centro 2.2 y radio 0.1?

2. Representa gr´aficamente el conjunto de puntos tales que

(a) |x+ 6|<2 (b) |x+ 4|<0.5

3. Escribe tres cotas superiores del conjunto (2,−1). Escribe tambi´en tres cotas inferiores. ¿El n´umero 1 es cota superior de este conjunto? ¿Existe alguna cota superior menor que 1?

4. ¿Est´an acotados los siguientes conjuntos?

(a) 1,1/2,1/3, . . .

(b) (4,∞)

(c) SiK es una cota superior de un conjunto de números reales ¿lo es tambiénK+ 1? ¿yK−1? ¿Cuántas cotas superiores tiene un conjunto acotado?

5. Determina, si existe, el ´ınfimo de los siguientes conjuntos

(a) [1,5]

(b) (−3,1)∪(4,5) (c) [−3,4]∪[1,5] (d) (−∞,3)

6. SeaEel conjunto de números de la forma 3 + 1/n, dondenes un número natural distinto de cero. Determina si tiene máximo o m´ınimo y si tiene supremo o ´ınfimo.

7. SeaE el conjunto de números del intervalo (2,3) junto con los números del intervalo [4,5]. Deter-mina el máximo y el m´ınimo deE, si existen, as´ı como el supremo y el ´ınfimo, si existen.

8. Enuncia y dibuja los intervalos

(a) −3< x <5 (b) 2≤x≤6 (c) −4< x≤0 (d) x >5 (e) x≤2

9. Enuncia y dibuja los intervalos

(a) |x|<2 (b) |x|>3 (c) |x−3|<1

(2)

(d) |x−2|< d(d >0) (e) 0<|x+ 3|< d(d >0)

10. Calcula aybpara que 3b−2ai

4−3i sea real y tenga de m´odulo 1.

11. Calcular a para que 3−2ai

4−₃i

(a) Sea un n´umero imaginario puro (b) Sea un n´umero real

(c) Su afijo est´e sobre la bisectriz del primer cuadrante

12. Demuestra que todo número complejoz6=−1, con módulo 1 se puede escribir de modo único en la forma

1−xi

1 +xi

13. Calcula (1 + 4i)3_{, utilizando la f´}_{ormula del binomio de Newton y expresando el complejo en forma} m´odulo argumental.

14. Resuelve la ecuaci´onz6₋₉_z3_{+ 8 = 0}_.

15. Halla, en cada caso, los n´umeros complejos que verifican

(a) ¯z= 1

z

(b) |z−a|=|z−b|, siendoa, b∈C

(c) |z−1 +i|<2

16. Un triángulo equilátero tiene su centro en el punto (1,1) y uno de sus vértices es el punto (1,3). Hallar los otros dos vértices.

17. Calcula las ra´ıces de: (a) √3

−1 (b) √4

−1 (c)√6

−8 (d)√5

i

18. Describir geom´etricamente los conjuntos de puntosz∈C _{tal que:}

(a) |Rez| ≤1 |Imz| ≤1

(b) |z| ≤1 σ1≤arg(z)≤σ2, con−π < σ1< σ2≤π

19. Calcula √3

1−iexpresando los resultados en forma trigonom´etrica.

20. Determina el conjunto de n´umeros complejosz que verifican:

z+ ¯z=|z|.

21. Determina el conjunto de n´umeros complejos z que verifican: z3_¯_z ₌ ₋₁_. _{(Idea: utiliza la forma} m´odulo-argumento.)

(3)

(a) √6

−8 y presenta el resultado en forma binómica, módulo-argumento y trigonométrica; (b) el valor dextal que

3 =1−xi 1 +xi

23. Sea el n´umero complejo (en forma m´odulo-argumento)z= (2√2)3π

4:

(a) Calcula √3_z_.

(b) Transforma uno de los resultados anteriores a forma bin´omica y forma trigonom´etrica.

24. Obtén la forma binómica de los números complejos que verifican la ecuación:

z6+ 19z3−216 = 0.

25. Dado el n´umero complejo en forma m´odulo-argumento z = 162π

3 , calcula la forma cartesiana y

trigonom´etrica dez y la forma cartesiana de los diferentes valores de √4_z. _{Presenta los resultados}

exactos (sin hacer uso de expresiones decimales.)

26. Dado el n´umero complejo en forma m´odulo-argumento z = 8−π

4 , calcula la forma cartesiana y

trigonom´etrica dez. Presenta los resultados exactos (sin expresiones decimales).

27. Obtén en forma binómica y módulo-argumento los números complejos que verifican la ecuación:

z2+z+ 1 = 0.

28. (a) Obtén la forma cartesiana de los números complejos que verifican la ecuaciónz6_{+ 9}_z3_{+ 8 = 0.} (b) Siendow1, w2, w3, w4, w5, w6 los números complejos obtenidos en el apartado anterior, obtén

detalladamente la forma cartesiana del n´umero complejo:

w=w 2 1w23

w3

4w25

w5 6

3

.

29. Encuentra los n´umeros complejosztales que 3π

2 es el argumento de

z₊₁ z₊₂.

30. Obtén la forma cartesiana, el módulo y el argumento de los números complejos z que verifican la ecuación: z2₋_z_{+ 1 = 0.}

31. Obtén el módulo y el argumento de los números complejos z tales que z+ 1

z+ 2 es un n´umero real positivo

32. Calcula las soluciones de la ecuaci´on

z2−2z+ 2 = 0.

Siz1yz2son las soluciones,

(a) Calcula forma m´odulo argumento, trigonom´etrica y exponencial dez1. (b) Calcula las ra´ıces cuartas dez1.

Haz los c´alculos sin usar expresiones decimales.

33. Calcula expresando los resultados en forma trigonom´etrica de √3

(4)

Sucesiones de n´umeros reales

34. Demuestra que la sucesiones

an=

1

n+

1

n+ 1+· · ·+ 1

2n bn=

1

n+ 1+ 1

n+ 2+· · ·+ 1 2n

son ambas convergentes y al mismo l´ımite.

35. La sucesi´onan est´a definida por la ley

an₊₁=

n(n+ 2) (n+ 1)2 an

siendoa1= 2. Demuestra que es decreciente, est´a acotada y razona que es convergente.

36. Dada la sucesi´on definida por recurrencia en la forma

a1= 1 an+1=

p

k+an.

Se pide demostrar que si es o no convergente y calcular su l´ımite para los diferentes valores dek >0.

37. Demuestra que la sucesi´on

an=

n n2_{+ 1}+

n

n2_{+ 2}+· · ·+

n n2₊_n

tiene por l´ımite 1, acotando la sucesi´on entre otras dos que tengan el mismo l´ımite.

38. Calcula

lim

n→∞ √

n2_{+ 2}_n

√ n2₋₁

!n

39. Pon un ejemplo de una sucesi´onanconvergente a un n´umero realby tal que

lim

n→+∞ an+1

an 6

= 1.

40. Se sabe que si lim

n→+∞ an₊₁

an

= 1,an≥0 ∀n∈N, entonces

lim

n→+∞

n

√_a

n= 1.

Pon un ejemplo para demostrar que el rec´ıproco no es cierto.

41. Calcula lim

n→+∞

3

n

L( n n−1)

.

42. Sea la sucesi´on

a1= 3, an=

p

2 +an−₁ si n≥2

(5)

43. Calcula lim_n

→₊∞[1 +L(n

2

−5n+ 8)−L(n2+ 3n−9)]2n−₇ .

44. Escribe una sucesi´on que contenga todos los n´umeros racionales.

45. Considera la sucesi´on de n´umeros reales definida por:

xn₊₁=

1 4+x

2

n n∈N;x1>0

(a) Suponiendo quexn tiene como l´ımite un n´umero real, halla ´este.

(b) Demuestra quexnes una sucesi´on creciente.

(c) Determina para qu´e valores positivos dex1 la sucesi´onxnresulta convergente.

46. Considera la sucesi´onandefinida por recurrencia:

an+1= a

n

2 + 2

an

, ∀n∈N_, _a₁_>₀

(a) Demuestra que la sucesión está acotada inferiormente por 2. (b) Demuestra que la sucesión es decreciente.

(c) Justifica que la sucesi´onan es convergente y calcula su l´ımite.

47. Calcula detalladamente el siguiente l´ımite:

lim

n→∞

n2+ 1

1 +n+ 2n2

(1+

n2 1+n)

48. Calcula detalladamente el valor del siguiente l´ımite caso de que exista:

lim

n→∞

n−ncos2n+ 1

n2_{+ 1}

2 + lnn 2₋₁

n2_{+ 1}

.

49. Estudia el l´ımite de la sucesi´on xn= an

nk en función de los valores de los parámetrosaykreales. 50. Calcular los 10 primeros términos y el l´ımite de la sucesión siguiente

nL

4n+ 3 4n−3

51. Calcula razonadamente el l´ımite de la sucesi´onan=

3

nL n n−1

(6)

Funciones

52. Estudia la paridad de las siguientes funciones

senx+x+x3

x2_{+ cos}_x_{+ 4}

senx+ sen(3x) cos(2x) + 1

53. Estudia si las siguientes funciones son peri´odicas. En caso afirmativo calcular su per´ıodo.

f(x) = sinx+ cosx g(x) = senx+e−x

h(x) = sen(2x) + senx+ sen(x/2)

54. Se consideran las funciones

f(x) =x2 g(x) =ex

h(x) = Lnx k(x) = tgx

Calcula

(h◦f◦k)(x) (g◦k)(x) (k◦f◦g)(x)

55. Estudia la relaci´on entre la gr´afica de f(x) y las de f(x+β) yβf(x), siendoβ ∈R_{. Apl´ıcalo al}

caso def(x) =x2_.

56. Responde razonadamente las siguientes cuestiones:

(a) Seanf(x) yg(x) dos funciones pares. ¿Son pares las funcionesf(x) +g(x) yf(x)g(x)? (b) Seanf(x) yg(x) dos funciones impares. ¿Cómo son las funcionesf(x) +g(x) yf(x)g(x)? (c) Sea una función par y una función impar. ¿Qué se puede decir de las funcionesf(x) +g(x) y

f(x)g(x)?

57. Seanf(x) yg(x) dos funciones peri´odicas. ¿Son peri´odicas las funcionesf(x) +g(x) yf(x)g(x)?

58. Halla el dominio de las siguientes funciones

x2₊_x_{+ 1}

x3₋₃

p

x4₋₁ _cos

x+ 3

x2_{+ 1}

arcsen

x x+ 1