N de contacto:

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BOSCO Vereda LA ESMERALDA ~ TARQUI -HUILA

Decreto 1205 octubre 15 de 2002 Resolución 2865 de 3 de junio del 2016

Nombre: Grado: Octavo Área o asignatura: Matemáticas

Docente:

Jhon Jarol Cuenca Castrillón

N° de contacto: 312 3453224

Fecha de recepción: 10 de mayo

Semanas del 05/04 al 07/05

Metodología: se debe desarrollar la actividad planteada en la guía, usando la información planteada, leyendo detenidamente y usando los ejemplos para solucionar la actividad.

OPERACIONES ADITIVAS ENTRE POLINOMIOS

Las operaciones entre polinomios son útiles ya que son la base para todo el desarrollo del álgebra y, de ahí, las otras ramas de las matemáticas.

Adición y sustracción de monomios:

Para sumar o restar dos o más monomios se requiere que estos sean semejantes (igual parte literal). Para ello, se suman o se restan los respectivos coeficientes de cada monomio y a continuación se escribe la misma parte literal. A este proceso se le denomina reducción de términos semejantes.

Por ejemplo, al reducir los términos semejantes de los monomios 2𝑚3_𝑛4 _{y 6𝑚}3_𝑛4 _{se tiene:}

2𝑚3𝑛4+ 6𝑚3𝑛4 = (2 + 6)𝑚3𝑛4 = 8𝑚3𝑛4

Se debe tener en cuenta que solo se pueden reducir términos semejantes, es decir, al no tener igual parte literal no se puede realizar la adición o la sustracción.

Por ejemplo:

Aplicar reducción de términos semejantes en cada caso 1. 5𝑥 + 13𝑥 − 8𝑥 = (5 + 13 − 8)𝑥 = 10𝑥

2. 20𝑦 + 12𝑦 − 10𝑦 + 𝑦 − 3𝑦 = (20 + 12 − 10 + 1 − 3)𝑦 = 20𝑦

3. −7𝑚2 + 8𝑚2− 10𝑚2− 5𝑚2+ 𝑚2 = (−7 + 8 − 10 − 5 + 1)𝑚2 = 𝑚2

Si en una expresión aparecen términos semejantes y términos no semejantes, se deben asociar los términos semejantes y realizar la respectiva operación. Por ejemplo:

a) 5𝑥 + 8𝑦 − 3𝑥 + 2𝑦 = 5𝑥 − 3𝑥 + 8𝑦 + 2𝑦 = (5 − 3)𝑥 + (8 + 2)𝑦 = 2𝑥 + 10𝑦 b) 2𝑎 + 𝑏 + 3𝑎 − 8𝑏 + 5𝑐 − 𝑎 + 7𝑐 = 2𝑎 + 3𝑎 − 𝑎 + 𝑏 − 8𝑏 + 5𝑐 + 7𝑐 = (2 + 3 − 1)𝑎 + (1 − 8)𝑏 + (5 + 7)𝑐 = 4𝑎 − 7𝑏 + 12𝑐

También debemos tener en cuenta el conjunto numérico que se está trabajando, para realizar la operación indicada. Por ejemplo:

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BOSCO Vereda LA ESMERALDA ~ TARQUI -HUILA

Decreto 1205 octubre 15 de 2002 Resolución 2865 de 3 de junio del 2016

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para determinar las operaciones aditivas entre polinomios, se realiza lo que se indica a continuación:

Para sumar dos polinomios: primero, se escriben los polinomios y luego, se reducen los términos

semejantes de los polinomios dados.

Para restar dos polinomios: primero, se plantea la suma del primer polinomio con el opuesto del

segundo y luego, se reducen los términos semejantes. Por ejemplo: 1. Sumar 3𝑥2_{𝑦 + 8𝑦}3_{+ 5𝑥𝑦}2 _{con 7𝑥}2_{𝑦 − 3𝑦}3_{+ 𝑥𝑦}2 (3𝑥2_{𝑦 + 8𝑦}3_{+ 5𝑥𝑦}2_{) + (7𝑥}2_{𝑦 − 3𝑦}3_{+ 𝑥𝑦}2_{) = (3𝑥}2_{𝑦 + 7𝑥}2_{𝑦) + (8𝑦}3_{− 3𝑦}3_{) + (5𝑥𝑦}2_{+ 𝑥𝑦}2₎ = (3 + 7)𝑥2𝑦 + (8 − 3)𝑦3+ (5 + 1)𝑥𝑦2 = 10𝑥2 + 5𝑦3+ 6𝑥𝑦2 2. Sumar 5𝑎 − 2𝑏 + 3𝑐 con −7𝑎 + 9𝑏 − 2𝑐 (5𝑎 − 2𝑏 + 3𝑐) + (−7𝑎 + 9𝑏 − 2𝑐) = (5𝑎 − 7𝑎) + (−2𝑏 + 9𝑏) + (3𝑐 − 2𝑐) = (5 − 7)𝑎 + (−2 + 9)𝑏 + (3 − 2)𝑐 = −2𝑎 + 7𝑏 + 𝑐 3. Restar 7𝑝4𝑞3− 3𝑝2𝑞 + 5𝑝3𝑞2 de 6𝑝3𝑞2− 8𝑝2𝑞 + 5𝑝4𝑞3 (7𝑝4_𝑞3_{− 3𝑝}2_{𝑞 + 5𝑝}3_𝑞2_{) − (6𝑝}3_𝑞2_{− 8𝑝}2_{𝑞 + 5𝑝}4_𝑞3_{) = 7𝑝}4_𝑞3_{− 3𝑝}2_{𝑞 + 5𝑝}3_𝑞2_{− 6𝑝}3_𝑞2_{+ 8𝑝}2_{𝑞 − 5𝑝}4_𝑞3 = 7𝑝4𝑞3− 5𝑝4𝑞3− 3𝑝2𝑞 + 8𝑝2𝑞 + 5𝑝3𝑞2− 6𝑝3𝑞2 = (7 − 5)𝑝4_𝑞3_{+ (−3 + 8)𝑝}2_{𝑞 + (5 − 6)𝑝}3_𝑞2 = 2𝑝4𝑞3+ 5𝑝2𝑞 − 𝑝3𝑞2

Cuando se restan los polinomios, se debe tener en cuenta que al polinomio al cual se le antepone el signo negativo (−), se le cambian los signos de cada término en el momento de realizar la operación.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BOSCO Vereda LA ESMERALDA ~ TARQUI -HUILA

Decreto 1205 octubre 15 de 2002 Resolución 2865 de 3 de junio del 2016

En las ocasiones donde el resultado de una operación es 1 o −1 y llega alguna o algunas variables, este se deja sin escribirle el coeficiente, es decir:

1𝑥𝑦2 _{= 𝑥𝑦}2 _{−1𝑎𝑏 = −𝑎𝑏 1𝑚}3_𝑛5_{𝑝 = 𝑚}3_𝑛5_{𝑝 1𝑎 = 𝑎}

La suma y resta de polinomios también se puede realizar ordenando los polinomios en forma

descendente y ubicando los términos semejantes uno debajo del otro, luego, se realizan las sumas o restas de los coeficientes de los términos semejantes, así:

1. Sumar 10𝑥3_{+ 5𝑥}2_{− 3𝑥 con 2𝑥}3_{− 𝑥}2_{+ 3𝑥} 10𝑥3 + 5𝑥2 − 3𝑥 2𝑥3 _{− 𝑥}2 _{+ 3𝑥} 12𝑥3 _{+ 4𝑥}2 _{+ 0} 2. Sumar −8𝑚2+ 𝑚3− 5𝑚 con −12𝑚3+ 𝑚2 − 7𝑚 𝑚3 _{− 8𝑚}2 _{− 5𝑚} −12𝑚3 _{+ 𝑚}2 _{− 7𝑚} −11𝑚3 _{− 7𝑚}2 _{− 12𝑚} 3. Restar 5𝑎4_{− 15𝑎}2_{+ 7 con 8𝑎}4_{+ 6𝑎}2_{− 3} 5𝑎4 − 15𝑎2 + 7 −8𝑎4 _{− 6𝑎}2 _{+ 3} −3𝑎4 _{− 21𝑎}2 _{+ 10} 4. Restar −𝑦5+ 6𝑦3− 25 con −2𝑦5+ 𝑦3+ 8𝑦2− 11 −𝑦5 + 6𝑦3 _{− 25} 2𝑦5 _{− 𝑦}3 _{− 8𝑦}2 _{+ 11} 𝑦5 _{+ 5𝑦}3 _{− 8𝑦}2 _{− 14} ACTIVIDAD 1:

1. Relacione con una línea los monomios de la columna 1 con su semejante en la columna 2.

Columna 1 Columna 2 −3𝑚3𝑝 −9 4𝑥 3_𝑦𝑧 −9 4𝑚 2_𝑛7 −1,5𝑎3𝑏5𝑐 −12𝑥6𝑦4𝑧2 −1 5𝑚 3_𝑝 8𝑎3𝑏5𝑐 −1,23𝑚2_𝑛7 −35𝑥3𝑦𝑧 75 4 𝑥 6_𝑦4_𝑧2 −0,53𝑥2𝑦 0,07𝑥2𝑦

2. Aplicar reducción de términos semejantes a) 3𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑥 − 8𝑦 + 20𝑧 = b) 4𝑥 − 8𝑥2+ 5 − 14𝑥 − 6𝑥2+ 21 = c) 5 4𝑚 + 8 12𝑚 2₋1 2𝑚 − 5 6𝑚 2₊3 8𝑚 + 4 3𝑚 2 ₌ d) 5𝑎𝑏 − 8𝑏 + 12𝑎 + 𝑎𝑏 − 5𝑐 + 3𝑏 − 5𝑎𝑏 − 8𝑎 − 6𝑐 = 3. Sumar o restar los siguientes polinomios

a) (5𝑎 − 8𝑏 + 12𝑎𝑏) + (14𝑏 − 𝑎𝑏 + 6𝑎) = b) (12𝑥2 − 8𝑥 + 10) + (23𝑥 − 12 + 5𝑥2) =

c) (3𝑚𝑛2_{− 20𝑚}2_{𝑛 + 5𝑚𝑛) − (9𝑚𝑛}2_{+ 15𝑚}2_{𝑛 − 11𝑚𝑛) =}

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BOSCO Vereda LA ESMERALDA ~ TARQUI -HUILA

Decreto 1205 octubre 15 de 2002 Resolución 2865 de 3 de junio del 2016

OPERACIONES MULTIPLICATIVAS ENTRE POLINOMIOS

Para realizar multiplicaciones entre polinomios, es necesario tener en cuenta la propiedad de la potenciación para potencias de igual base.

Para multiplicar dos o más potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes.

𝑎𝑛 _{∙ 𝑎}𝑚 _{= 𝑎}𝑛+𝑚

Se debe multiplicar la parte numérica aplicando la ley de los signos y en la parte literal se aplica la propiedad en las variables que son iguales, es decir, se suman los exponentes.

Multiplicación de monomios:

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base, por ejemplo:

(3𝑥2_{) ∙ (−4𝑥}5_{) = 3 ∙ (−4)𝑥}2_{∙ 𝑥}5_{= −12𝑥}2+5 _{= −12𝑥}7 (−5𝑚6_{) ∙ (−8𝑚}3_{) = (−5) ∙ (−8)𝑚}6_{∙ 𝑚}3₌

Se multiplican los coeficientes, en la parte literal se suman los exponentes de las variables que son iguales, cabe recordar que cuando la variable no tenga exponente, entonces lleva el 1, es decir, � = �1_.

Además si tiene variables comunes, entonces no se pueden sumar los exponentes, luego se dejan las mismas variables.

Multiplicación de un monomio por un polinomio:

La multiplicación de monomios por polinomios consiste en multiplicar el término del monomio por cada uno de los términos que contiene el polinomio.

Multiplicación entre polinomios:

El producto de polinomios se obtiene multiplicando cada término del primero por el segundo y reduciendo luego los términos semejantes. De este modo obtenemos el polinomio resultante. Por ejemplo:

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BOSCO Vereda LA ESMERALDA ~ TARQUI -HUILA

Decreto 1205 octubre 15 de 2002 Resolución 2865 de 3 de junio del 2016

5 En este caso se debe tener en cuenta que después de realizar la multiplicación de cada término del primer polinomio con cada término del segundo polinomio, se debe reducir términos que sean semejantes si es posible.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para realizar la división entre expresiones algebraicas es importante tener en cuenta la propiedad del cociente de potencias de igual base:

Para dividir dos potencias de igual base, se debe la base y se restan los exponentes

𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

División entre monomios

El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes, y la parte literal es el cociente de las partes literales aplicando la división entre monomios. Por ejemplo:

1.

12𝑚6𝑛10 3𝑚4𝑛

= (

12 3

) (

𝑚6𝑛10 𝑚4𝑛

) = 4𝑚

6−4

_𝑛

10−1

_{= −9𝑚}

2

_𝑛

9

2.

−27𝑥 8_𝑦3 3𝑥3𝑦2

= (

−27 3

) (

𝑥8𝑦3 𝑥3𝑦2

) = −9𝑥

8−3

_𝑦

3−2

_{= −9𝑥}

5

_𝑦

1

_{= −9𝑥}

5

_𝑦

3.

−2𝟒𝒂 11 −𝟔𝑎8

= (

−2𝟒 −𝟔

) (

𝒂𝟏𝟏 𝒂8

) = 𝟒𝒂

𝟏𝟏−𝟖

_{= 9𝒂}

3

Se divide la parte numérica y se aplica la propiedad en la parte literal, teniendo en cuenta que sea la misma base.

División de un polinomio entre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio respetivo. Luego, se siguen las reglas de división entre monomios.

1.

25𝑏 6_−15𝑏10_+35𝑏11 5𝑏4

=

25𝑏6 5𝑏4

−

15𝑏10 5𝑏4

+

35𝑏11 5𝑏4

= 5𝑏

6−4

_{− 3𝑏}

10−4

_{+ 7𝑏}

11−4

= 5𝑏

2

− 3𝑏

6

+ 7𝑏

7

2.

𝟏𝟔𝑥𝟒−1𝟐𝒙1𝟐 𝟐𝒙𝟑

=

𝟏𝟔𝒙𝟒 𝟐𝒙𝟑

−

1𝟐𝒙𝟏𝟐 2𝒙𝟑

= 𝟖𝒙

𝟒−𝟑

_{− 𝟔𝒙}

1𝟐−𝟑

= 𝟖𝑥 − 𝟔𝒙

𝟗

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BOSCO Vereda LA ESMERALDA ~ TARQUI -HUILA

Decreto 1205 octubre 15 de 2002 Resolución 2865 de 3 de junio del 2016

6

3.

𝟑𝟐𝒚7−1𝟔𝒚𝟒−𝟖𝒚𝟓+4𝑦6 4𝒚𝟐

=

𝟑𝟐𝒚𝟕 𝟒𝒚𝟐

−

1𝟔𝒚𝟒 𝟒𝒚𝟐

−

𝟖𝒚𝟓 𝟒𝒚𝟐

+

𝟒𝒚𝟔 𝟒𝒚𝟐

= 𝟖𝒚

𝟕−𝟐

_{− 𝟒𝒚}

4−𝟐

_{− 𝟐𝒚}

𝟓−𝟐

_{+ 𝟏𝑦}

𝟔−𝟐

= 𝟖𝒚

𝟓

− 𝟒𝒚

𝟐

− 𝟐𝒚

𝟑

+ 𝒚

𝟒 ACTIVIDAD 2

Multiplicar los siguientes polinomios

1. (−14𝑚

7

) ∙ (8𝑚

6

) =

2. (−23𝑎

3

𝑏

7

) ∙ (−13𝑎

7

_𝑏

5

_{) =}

3. (2𝑦

6

) ∙ (−3𝑦

6

+ 7𝑦

4

) =

4. (6𝑧

8

) ∙ (10𝑧

4

_{− 5𝑧}

5

_{− 9𝑧}

2

_{) =}

5. (5𝑥

3

− 2𝑥

2

) ∙ (3𝑥

5

_{+ 6𝑥}

4

_{) =}

Realizar la división entre las siguientes expresiones

6.

42𝑚 8_𝑞7 2𝑚5𝑞3

=

7.

33𝑥 12_𝑦8_𝑧9 3𝑥9𝑦4𝑧2

=

8. 2𝟏𝒂 2𝟒_+49𝑎1𝟐 𝟕𝑎10

=

9. 18𝒑 𝟒_−36𝑝7_+42𝑝5 𝟔𝑝2

=

10. 27𝒉 1𝟒_−18ℎ15_+45ℎ1𝟐_{−𝟔𝟑𝒉}𝟏𝟔_{+𝟖𝟏𝒉}𝟏𝟑 𝟗𝒉11

=