3.6
3.6 Probabilidad
Probabilidad de
de eventos
eventos compuestos.
compuestos.
Muy a menudo queremos calcular las probabilidades para resultados experimentales que se forman como una Muy a menudo queremos calcular las probabilidades para resultados experimentales que se forman como una composición de dos o más eventos.
composición de dos o más eventos. Los eventos compuestos se pueden formar por uniones o interseccionesLos eventos compuestos se pueden formar por uniones o intersecciones de otros eventos, o por alguna combinación de los dos
de otros eventos, o por alguna combinación de los dos. Sean A y B dos eventos definidos en el espacio. Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S.
muestral S.
La intersección de los eventos A y B, denotada por
La intersección de los eventos A y B, denotada por
A
A
∩∩B
B
, es el evento de que ocurran ambos A y B., es el evento de que ocurran ambos A y B. La unió de eventos A o B, denotada porLa unió de eventos A o B, denotada por
A
A
∪∪B
B
, es el eve, es el evento de que ocurra nto de que ocurra A o B.A o B.Ejemplos donde se emplean estas reglas. Ejemplos donde se emplean estas reglas. Ejemplo 3.56
Ejemplo 3.56
Una caja contiene 15 bolas de billa
Una caja contiene 15 bolas de billar que están numeradas del 1 al 15. Se r que están numeradas del 1 al 15. Se saca una bola al azar y saca una bola al azar y el númeroel número registrado. Encuentre la probabilidad de que el número sea:
registrado. Encuentre la probabilidad de que el número sea: a)
a) Par Par b) b) Menor Menor de de 5 5 c) c) par par y y menor menor de de 5 5 d) d) par par o o menor menor de de 5.5. Solución:
Solución: a)
a) Hay 7 números: 2, 4, 6, 8, 10, 12, Hay 7 números: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, que son pares. Por lo tanto14, que son pares. Por lo tanto
15
15
7
7
= =p
p
b)b) Hay 4 números: 1, 2, 3, 4, qu8e son menores de 5. Hay 4 números: 1, 2, 3, 4, qu8e son menores de 5. Por lo quePor lo que
15
15
4
4
= =p
p
c)c) Hay 2 números: 2 y 4, que son pares y menores de 5. De ahí Hay 2 números: 2 y 4, que son pares y menores de 5. De ahí queque
15
15
2
2
= =p
p
d)d) Por la regla de adiciónPor la regla de adición
15
15
9
9
15
15
2
2
15
15
4
4
15
15
7
7
= = + + + + = =p
p
2
2
Reglas básicas de probabilidad Reglas básicas de probabilidad
A todo evento se le asigna una probabilidad, que se da en términos de números reales y debe cumplir A todo evento se le asigna una probabilidad, que se da en términos de números reales y debe cumplir con las siguientes condiciones:
con las siguientes condiciones: 1.
1. Las probabilidades son números reales entre 0 y 1Las probabilidades son números reales entre 0 y 1 2.
2. PP
((
S S))
==1
1
y y PP((
φ
φ
))
==0
0
..3.
3. Si los eventos A y Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes (ajenos), entoncesB son mutuamente excluyentes (ajenos), entonces
).
).
((
))
((
))
((
A
A
B
B
P
P
A
A
P
P
B
B
P
P
∪∪ == ++4.
4.
P
P
((
A
A
C C))
==1
1
−−P
P
((
A
A
))
5.
5. SiSi
A
A
⊆⊆B
B
, entonces, entoncesP
P
((
A
A
))
≤≤P
P
((
B
B
).
).
6.
6.
P
P
((
A
A
−−B
B
))
==P
P
((
A
A
))
−−P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
..7.
7. Si A y Si A y B representan B representan a dos evena dos eventos cualesquiera, tos cualesquiera, entoncesentonces
))
((
))
((
))
((
))
((
A
A
B
B
P
P
A
A
P
P
B
B
P
P
A
A
B
B
P
P
∪∪ == ++ −− ∩∩ A A BB A A BB A A BB A A B B A AEjemplo 3.57 Ejemplo 3.57
Una clase consta de 70 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de
Una clase consta de 70 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujereslas mujeres tienen ojos cafés. Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre o tenga ojos tienen ojos cafés. Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre o tenga ojos cafés.
cafés. Solución: Solución: A =
A = {La persona {La persona es un es un hombre} hombre} B = B = {La persona {La persona tiene ojos tiene ojos cafés}cafés}
3
3
1
1
30
30
10
10
))
((
A
A
== ==P
P
2
2
1
1
30
30
15
15
))
((
B
B
== ==P
P
( (
))
6
6
1
1
2
2
1
1
3
3
1
1
= = ⋅⋅ = = ∩ ∩B
B
A
A
P
P
Por la regla de adición: Por la regla de adición:
3
3
2
2
6
6
1
1
2
2
1
1
3
3
1
1
((
))
((
))
((
))
((
A
A
∪∪B
B
==P
P
A
A
++P
P
B
B
−−P
P
A
A
∩∩B
B
== ++ −− ==P
P
Ejemplo 3.58 Ejemplo 3.58
Suponiendo que el evento A = {El martes a la
Suponiendo que el evento A = {El martes a las 16:00 estará lloviendo} s 16:00 estará lloviendo} B = {El martes a las 16:00 estaráB = {El martes a las 16:00 estará despejado} y de a
despejado} y de acuerdo al cuerdo al observatorio nacionaobservatorio nacionall
P
P
((
A
A
))
==0
0
..
45
45
YYP
P
((
B
B
))
==0
0
..
3
3
¿Cuáles s
¿Cuáles son las on las probabilidades probabilidades a)a)
P
P
((
A
A
C C))
b)b)P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
c)c)P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
?? Solución:Solución: a)
a)
P
P
((
A
A
C C))
==1
1
−−P
P
((
A
A
))
==1
1
−−0
0
..
45
45
==0
0
..
55
55
Para calcular el inciso b) y c) debemos observar que los eventos A y B son mut
Para calcular el inciso b) y c) debemos observar que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, ya que eluamente excluyentes, ya que el tiempo no puede estar lluvioso
tiempo no puede estar lluvioso y despejado simultáneamente.y despejado simultáneamente. b)
b)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==P
P
((
φ
φ
))
==0
0
c)
c)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
==P
P
((
A
A
))
++P
P
((
B
B
))
==0
0
..
45
45
++0
0
..
3
3
==0
0
..
75
75
La regla 3 es un tipo especial de reglas llamadas
La regla 3 es un tipo especial de reglas llamadas reglas aditivasreglas aditivas. Suponiendo que A, B, y C son ahora tres. Suponiendo que A, B, y C son ahora tres eventos mutuamente excluyentes, esto es, si ocurre alguno de ellos no pueden ocurrir los otros. Si pensamos en eventos mutuamente excluyentes, esto es, si ocurre alguno de ellos no pueden ocurrir los otros. Si pensamos en la probabilidad de
la probabilidad de
A
A
∪∪B
B
∪∪C
C
como el área de tres círculos que no se cruzan, es claro quecomo el área de tres círculos que no se cruzan, es claro que))
((
))
((
))
((
))
((
A
A
B
B
C
C
P
P
A
A
P
P
B
B
P
P
C
C
P
P
∪∪ ∪∪ == ++ ++ . Procediendo de . Procediendo de esta manera se obtiene:esta manera se obtiene:Ejemplo 3.59 Ejemplo 3.59
Si las probabilidades de que una agencia de automóviles venda 0, 1, 2, 3, 4 y 5 automóviles durante cierta Si las probabilidades de que una agencia de automóviles venda 0, 1, 2, 3, 4 y 5 automóviles durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05 ¿Cuáles son las probabilidades de que vendan de semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05 ¿Cuáles son las probabilidades de que vendan de 2 a 5 automóviles y de que vendan 5 o
2 a 5 automóviles y de que vendan 5 o más automóviles?más automóviles? Solución:
Solución:
Como estos eventos son mutuamente excluyentes, vemos que la agencia venderá de 2 a 5 automóviles con Como estos eventos son mutuamente excluyentes, vemos que la agencia venderá de 2 a 5 automóviles con probabilidad
probabilidad 0.15 0.15 + + 0.18 0.18 + + 0.12+ 0.12+ 0.05=0.5 0.05=0.5 Para Para calcular calcular la la probabilidad probabilidad de de que que vende vende 5 5 o o más amás automóviles,utomóviles, primero debemos calcular la probabilidad de ven
primero debemos calcular la probabilidad de vender a lo más cuatro automóviles:der a lo más cuatro automóviles:
0.05+ 0.1+ 0.15+ 0.18+ 0.12=0.6 por la regla 4, la probabilidad de que se vendan 5 o más automóviles es 0.05+ 0.1+ 0.15+ 0.18+ 0.12=0.6 por la regla 4, la probabilidad de que se vendan 5 o más automóviles es
))
((
1
1
))
((
A
A
P
P
A
A
P
P
C C == −− =1-0.6=0.4=1-0.6=0.4Si en particular, al aplicar la regla aditiva anterior se tiene que cada evento
Si en particular, al aplicar la regla aditiva anterior se tiene que cada evento
A
A
11 consta de un único resultado,consta de un único resultado, tenemos la siguiente regla general ptenemos la siguiente regla general para calcular probabilidades de espacios finitos:ara calcular probabilidades de espacios finitos: Si
Si k k eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es igual a laeventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es igual a la suma de sus respectivas probabilidades, esto es,
suma de sus respectivas probabilidades, esto es,
).
).
((
...
...
))
((
))
((
))
...
...
((
A A11 A A22 A AK K PP A A11 PP A A22 PP AAK K PEsta regla, la empleamos implícitamente para
Esta regla, la empleamos implícitamente para calcular las probabilidades de eventos igualmente prcalcular las probabilidades de eventos igualmente probables, yaobables, ya que si un evento
que si un evento A Aestá formado deestá formado de k k resultados de un total deresultados de un total dennresultados posibles, entonces cada uno de losresultados posibles, entonces cada uno de los resultados debe tener probabilidad
resultados debe tener probabilidad
n
n
1
1
, y como el evento está compuesto de
, y como el evento está compuesto de k k resultados,resultados,
n
n
k
k
n
n
n
n
n
n
A
A
P
P
((
))
==1
1
++1
1
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++1
1
== Observemos que estaObservemos que estap
p
robabilidad coincide con robabilidad coincide con nuestra primer nuestra primer definición definición dedeprobabilidad para eventos donde todos los pos
probabilidad para eventos donde todos los posibles resultados son igualmente ibles resultados son igualmente probables.probables.
Ejemplo 3.60 Ejemplo 3.60
Un estudio de mercado estima que las probabilidades de que una familia en cierta zona vea el noticiero de TV Un estudio de mercado estima que las probabilidades de que una familia en cierta zona vea el noticiero de TV Azteca es de 0.3, que vea el noticiero de Televisa es de 0.2 y de que vea ambos es de 0.02 ¿Cuál es la Azteca es de 0.3, que vea el noticiero de Televisa es de 0.2 y de que vea ambos es de 0.02 ¿Cuál es la probabilidad de que una familia vea al m
probabilidad de que una familia vea al menos uno de estos dos noticieros?enos uno de estos dos noticieros? Solución:
Solución:
Considerando que vea el noticiero de TV A
Considerando que vea el noticiero de TV Azteca es P(A)= 0.3, zteca es P(A)= 0.3, vea el noticiero de Televisa es P(B)= 0.2 y vea el noticiero de Televisa es P(B)= 0.2 y dede que vea ambos es de
que vea ambos es de
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
= 0.02 Notemos primero que como la probabilidad de que vean ambos= 0.02 Notemos primero que como la probabilidad de que vean ambosnoticieros es positiva, los eventos A y B no son mutuamente excluyentes. Por lo tanto se deben transmitir s noticieros es positiva, los eventos A y B no son mutuamente excluyentes. Por lo tanto se deben transmitir s diferente horario. Debemos calcular la probabilidad de que la familia vea uno de los dos o ambos noticieros, diferente horario. Debemos calcular la probabilidad de que la familia vea uno de los dos o ambos noticieros, esto es,
esto es,
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
. Por la regla anterior,. Por la regla anterior,P
P
((
A
A
−−B
B
))
==P
P
((
A
A
))
−−P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
3
3
++0
0
..
2
2
−−0
0
..
02
02
==0
0
..
48
48
Ejemplo 3.61 Ejemplo 3.61 Si
Si
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
==0
0
..
8
8
,,
P
P
((
A
A
))
==0
0
..
4
4
,,
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
3
3
. Encuentra:. Encuentra:a)
a)
P
P
((
A
A
C C))
b)b)P
P
(( B
B
))
c)c)P
P
((
A
A
∩∩B
B
C C))
d)d)P
P
((
A
A
C C ∩∩B
B
C C))
Solución: Solución: a)
a)
P
P
((
A
A
C C))
==1
1
−−P
P
((
A
A
))
==1
1
−−0
0
..
4
4
==0
0
..
6
6
b)
b)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
==P
P
((
A
A
))
++P
P
((
B
B
))
−−P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
sustituyendo esta reglasustituyendo esta regla3
3
..
0
0
))
((
4
4
..
0
0
8
8
..
0
0
== ++P
P
B
B
−−))
((
3
3
..
0
0
4
4
..
0
0
8
8
..
0
0
−− ++ ==P
P
B
B
7
7
..
0
0
))
((
B
B
==P
P
c)c)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
C C))
==P
P
((
A
A
))
−−P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
4
4
−−0
0
..
3
3
==0
0
..
1
1
d) Por la ley de Morgan,
d) Por la ley de Morgan,
((
A
A
∪∪B
B
))
C C ==A
A
C C ∩∩B
B
C C por lo tanto:por lo tanto:2
2
..
0
0
8
8
..
0
0
1
1
))
((
1
1
))
((
))
((
A
A
∩∩B
B
==P
P
A
A
∪∪B
B
== −−P
P
A
A
∪∪B
B
== −− ==P
P
C C C C C CEjemplo 3.62 Ejemplo 3.62
Suponga que A y B son eventos con
Suponga que A y B son eventos con P(A) P(A) = = 0.60 0.60 P(B) P(B) = = 0.30.3yy
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
2
2
Encuentre la probabilidad Encuentre la probabilidadde que:
de que: a) A a) A no ocurra no ocurra b) B b) B no ocuno ocurra rra c) A c) A o B o B ocurran ocurran d)No ocurran d)No ocurran A ni A ni B.B. Solución: Solución: a) a)
P
P
((
A
A
C C))
==1
1
−−P
P
((
A
A
))
==0
0
..
4
4
b) b)P
P
((
B
B
C C))
==1
1
−−P
P
((
B
B
))
==0
0
..
7
7
c)c)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
==P
P
((
A
A
))
++P
P
((
B
B
))
−−P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
6
6
++0
0
..
3
3
−−0
0
..
2
2
==0
0
..
7
7
AALa probabilidad de un evento
La probabilidad de un evento A Aestá dada por la suma de las probabilidades de cada uno de los resultadosestá dada por la suma de las probabilidades de cada uno de los resultados que conforman
Ejemplo 3.63 Ejemplo 3.63
En un experimento se encuentra que En un experimento se encuentra que
3
3
1
1
))
((
A
A
==P
P
,,3
3
1
1
))
((
B
B
==P
P
,,15
15
7
7
))
((
A
A
∪∪B
B
==P
P
Encuentre la probabilidad deEncuentre la probabilidad de que: a)que: a)
P
P
((
A
A
C C))
b)b)P
P
((
B
B
C C))
c)c)P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
d)d)P
P
((
A
A
∩∩B
B
C C))
e)e)P
P
((
A
A
C C ∪∪B
B
C C))
Solución: Solución: a) a)
3
3
2
2
3
3
1
1
1
1
))
((
1
1
))
((
A
A
== −−P
P
A
A
== −− ==P
P
C C b) b)3
3
2
2
3
3
1
1
1
1
))
((
1
1
))
((
B
B
== −−P
P
B
B
== −− ==P
P
C C c) c)P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
))
((
))
((
))
((
))
((
A
A
B
B
P
P
A
A
P
P
B
B
P
P
A
A
B
B
P
P
∪∪ == ++ −− ∩∩5
5
1
1
))
((
15
15
7
7
3
3
1
1
3
3
1
1
))
((
))
((
3
3
1
1
3
3
1
1
15
15
7
7
= = ∩ ∩ − − + + = = ∩ ∩ ∩ ∩ − − + + = =B
B
A
A
P
P
B
B
A
A
P
P
B
B
A
A
P
P
d) d)P
P
((
A
A
∩∩B
B
C C))
15
15
2
2
5
5
1
1
3
3
1
1
))
((
))
((
−− ∩∩ == −− == ==
P
P
A
A
P
P
A
A
B
B
e) e)
P
P
((
A
A
C C ∪∪B
B
C C))
==5
5
4
4
5
5
1
1
1
1
))
((
1
1
))
((
A
A
∩∩B
B
== −−P
P
A
A
∩∩B
B
== −− ==P
P
C CEjemplo 3.64 Ejemplo 3.64
En una encuesta se clasificó a un gran número de adultos de acuerdo con si ellos juzgaban que necesitaban En una encuesta se clasificó a un gran número de adultos de acuerdo con si ellos juzgaban que necesitaban utilizar anteojos para corregir su visión de lectura y si los usaban para leer. En
utilizar anteojos para corregir su visión de lectura y si los usaban para leer. En la siguiente tabla se muestran lasla siguiente tabla se muestran las proporciones
proporciones que se encontraron en las que se encontraron en las cuatro categorías. (Observe que una proporción pequeñcuatro categorías. (Observe que una proporción pequeña de adultos,a de adultos, 0.02, usaba lentes cuando de
0.02, usaba lentes cuando de hecho ellos creían que no los hecho ellos creían que no los necesitaban.)necesitaban.)
... …….. ... ……..
Se determinó que Se determinó que Necesitaban usar anteojos Necesitaban usar anteojos
Sí Nó Sí Nó Sí Sí 0.44 0.44 0.140.14 No No 0.02 0.02 0.400.40 Tabla 1.3 Tabla 1.3 Solución: Solución:
Hay que determinar los totales de la tabla correspondientes y apoyarse en todos los valores para dar respuesta a Hay que determinar los totales de la tabla correspondientes y apoyarse en todos los valores para dar respuesta a cada inciso. cada inciso. Tabla 1.3 Tabla 1.3 ... …….. ... …….. Se determinó que Se determinó que Necesitaban usar anteojos Necesitaban usar anteojos
Sí Sí Nó Nó TotalTotal Sí Sí 0.44 0.44 0.14 0.14 0.580.58 No No 0.02 0.02 0.40 0.40 0.420.42 Total Total 0.46 0.46 0.54 0.54 11 Utiliza anteojos Utiliza anteojos para leer para leer Si de este g
Si de este gran grupo ran grupo se selecciona se selecciona un solo adulto,un solo adulto, encuentre la probabilidad de cada evento:
encuentre la probabilidad de cada evento: a)
a) El adulto cree que necesita anteojos.El adulto cree que necesita anteojos. b)
b) El adulto necesita El adulto necesita usar anteojos para usar anteojos para leer pero noleer pero no los usa.
los usa. c)
c) El adulto utiliza Anteojos para leer.El adulto utiliza Anteojos para leer.
Utiliza anteojos Utiliza anteojos
para leer
para leer a)a) El adulto cree que El adulto cree que necesita anteojos. necesita anteojos. = 0.44= 0.44
b) El
b) El adulto necesita adulto necesita usar anteojos para leer perousar anteojos para leer pero no los usa. = 0.14
no los usa. = 0.14 d)
Problemas que deberán de resolver los
Problemas que deberán de resolver los alumnos
alumnos
Ejercicios 3.13 Ejercicios 3.13
1. En un experimento tiramos un par de dados y contamos los puntos obtenidos. 1. En un experimento tiramos un par de dados y contamos los puntos obtenidos.
a)
a) Describe el espacio muestral.Describe el espacio muestral. Solución. Solución. (1,6)=7 (2,6)=8 (3,6)=9 (4,6)=10 (5,6)=11 (6,6)=12 (1,6)=7 (2,6)=8 (3,6)=9 (4,6)=10 (5,6)=11 (6,6)=12 (1,5)=6 (1,5)=6 (2,5)=7 (2,5)=7 (3,5)=8 (3,5)=8 (4,5)=9 (4,5)=9 (5,5)=10 (5,5)=10 (6,5)=11(6,5)=11 (1,4)=5 (1,4)=5 (2,4)=6 (2,4)=6 (3,4)=7 (3,4)=7 (4,4)=8 (4,4)=8 (5,4)=9 (5,4)=9 (6,4)=10(6,4)=10 (1,3)=4 (1,3)=4 (2,3)=5 (2,3)=5 (3,3)=6 (3,3)=6 (4,3)=7 (4,3)=7 (5,3)=8 (5,3)=8 (6,3)=9(6,3)=9 (1,2)=3 (1,2)=3 (2,2)=4 (2,2)=4 (3,2)=5 (3,2)=5 (4,2)=6 (4,2)=6 (5,2)=7 (5,2)=7 (6,2)=8(6,2)=8 (1,1)=2 (1,1)=2 (2,1)=3 (2,1)=3 (3,1)=4 (3,1)=4 (4,1)=5 (4,1)=5 (5,1)=6 (5,1)=6 (6,1)=7(6,1)=7 b)
b) Si A={2, 3, 4, 5, 6} y B={3, Si A={2, 3, 4, 5, 6} y B={3, 5, 7, 9, 11} describe los eventos5, 7, 9, 11} describe los eventos
A
A
C C,,
B
B
C C,,
A
A
∪∪B
B
,,
A
A
∩∩B
B
C C YYA
A
∩∩B
B
Solución: Solución: C C
A
A
= {7, 8, 9, 10, 11,12}
= {7, 8, 9, 10, 11,12}
C CB
B
= {2, 4, 6, 8, 10, 12}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12}
B
B
A
A
∪∪= {2,3, 4, 5, 6, 7, 9,
= {2,3, 4, 5, 6, 7, 9, 11}
11}
C CB
B
A
A
∩∩ = {2, 4, 6}= {2, 4, 6}B
B
A
A
∩∩ = {3, 5}= {3, 5} 2.2. Si A Y B Si A Y B son mutuamente exson mutuamente excluyentes cluyentes para los cuales para los cuales P(A)=0.3 y P(B)=0.45 determinar:P(A)=0.3 y P(B)=0.45 determinar: a)
a)
P
P
((
A
A
C C))
b)b)P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
c)c)P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
Solución. Solución. a).
a).
P
P
((
A
A
C C))
= 0.7= 0.7 b)b)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
= 0.75= 0.75c)
c)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
= = 003. Sean A y B eventos de manera que
3. Sean A y B eventos de manera que
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
==0
0
..
8
8
,,
P
P
((
A
A
))
==0
0
..
4
4
,,
yyP
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
3
3
Encuentre:Encuentre:a)
a)
P
P
((
A
A
C C))
, , b)b)P
P
(( B
B
))
, c), c)P
P
((
A
A
∩∩B
B
C C))
, d), d)P
P
((
A
A
C C ∩∩B
B
C C))
Solución. a)
Solución. a)
P
P
((
A
A
C C))
= 0.6= 0.6 Solución. b)Solución. c)
Solución. c)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
C C))
=0.1=0.1 Solución. d)Solución. d)
P
P
((
A
A
C C ∩∩B
B
C C))
= 0.1= 0.1 4. Suponga que4. Suponga que
P
P
((
A
A
))
==0
0
..
3
3
,,P
P
((
B
B
))
==0
0
..
5
5
Si los eventos Si los eventos A y B sA y B son mutuamente excluyenon mutuamente excluyentes, encuentra lastes, encuentra lassiguientes probabilidades: siguientes probabilidades: a)
a)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
b)b)P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
Solución. a)
Solución. a)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
= 0= 0Solución . b)
Solución . b)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
= 0.8= 0.85. Suponga
5. Suponga
P
P
((
A
A
))
==0
0
..
4
4
yyP
P
((
B
B
))
==0
0
..
2
2
. Si los eventos A y B s. Si los eventos A y B son independientes, encuentra on independientes, encuentra las siguienteslas siguientesprobabilidades: probabilidades:
a)
a)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
b)b)P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
Solución. a)
Solución. a)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
= 0.2= 0.2Solución. b)
Solución. b)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
= 0.52= 0.526. Explica por
6. Explica por qué son incorrectas las siguientes afirmaciones:qué son incorrectas las siguientes afirmaciones:
a) Como Gonzalo estudio mucho para su examen, la probabilidad de que lo pase es 0.9 y la probabilidad de a) Como Gonzalo estudio mucho para su examen, la probabilidad de que lo pase es 0.9 y la probabilidad de
que
que lo lo repruebe repruebe es es 0.40.4 b)
b) La La probabilidad probabilidad de de que que Gonzalo Gonzalo llegue llegue al al CCH CCH Oriente Oriente en en microbús microbús es es 0.2, 0.2, la la probabilidad probabilidad de de queque Gonzalo llegue al CCH Oriente en bicicleta es 0.1 y la de que Gonzalo llegue en microbús o en bicicleta es Gonzalo llegue al CCH Oriente en bicicleta es 0.1 y la de que Gonzalo llegue en microbús o en bicicleta es 0.28.
0.28.
7. Una muchacha estima que durante una fiesta la probabilidad de que se le declare José es de 0.7, la 7. Una muchacha estima que durante una fiesta la probabilidad de que se le declare José es de 0.7, la
probabilidad de
probabilidad de que se que se le declare le declare Enrique es Enrique es de 0.4 de 0.4 y la y la probabilidad de probabilidad de que se que se le declaren le declaren ambos es ambos es de 0.2de 0.2 ¿Cuál es la probabilidad de que se le declare alguno de los dos durante la fiesta?
¿Cuál es la probabilidad de que se le declare alguno de los dos durante la fiesta? Solución.
Solución. La probabilidad de que se le declaLa probabilidad de que se le declare alguno de los dos durante la fiestare alguno de los dos durante la fiesta= 0.9= 0.9
8. De 64 empleados en la Gerencia Administrativa, 58 han hecho su declaración anual de impuestos 8. De 64 empleados en la Gerencia Administrativa, 58 han hecho su declaración anual de impuestos correctamente y 6 la han alterado. Hay 31 empleados con ingresos mayores a cinco salarios mínimos y 33 correctamente y 6 la han alterado. Hay 31 empleados con ingresos mayores a cinco salarios mínimos y 33 empleados con ingresos menores a cinco salarios mínimos. Si 31 de los 33
empleados con ingresos menores a cinco salarios mínimos. Si 31 de los 33 empleados con ingresos menores aempleados con ingresos menores a cinco salarios mínimos hicieron su declaración correctamente y si un inspector de hacienda escoge al azar a cinco salarios mínimos hicieron su declaración correctamente y si un inspector de hacienda escoge al azar a un empleado para revisar su declaración, ¿cuál es la probabilidad de que el inspector escoja un empleado con un empleado para revisar su declaración, ¿cuál es la probabilidad de que el inspector escoja un empleado con ingreso menor a cinco salarios
ingreso menor a cinco salarios mínimos y que haya alterado su mínimos y que haya alterado su declaración?declaración? Solución. p(
Solución. p(
9. Una muestra seleccionada de 314 estudiantes del CCH oriente de segundo semestre, a continuación se 9. Una muestra seleccionada de 314 estudiantes del CCH oriente de segundo semestre, a continuación se
muestran las calificaciones que los alumnos obtuvieron en
muestran las calificaciones que los alumnos obtuvieron en la asignatura de Matemáticas de prla asignatura de Matemáticas de primer semestre:imer semestre: A
A B B C C D D E E F F G G HH Sexo
Sexo NP NP NA NA 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 TotalTotal I
J J MM 21 21 34 34 12 12 23 23 18 18 17 17 14 14 11 11 150150 Total Total 38 38 55 55 34 34 55 55 30 30 35 35 41 41 26 26 314314 Tabla 1.4 Tabla 1.4
Como se observara a cada evento (Calificación) se le asigno una letra A, B, C, etc. de igual forma se le asigno Como se observara a cada evento (Calificación) se le asigno una letra A, B, C, etc. de igual forma se le asigno una letra al genero.
una letra al genero.
Indicar la probabilidad de
Indicar la probabilidad de los siguientes eventos:los siguientes eventos:
a) El estudiante en matemáticas 1 saco de calificación 7. a) El estudiante en matemáticas 1 saco de calificación 7. b) El estudiante en matemáticas 1 es m
b) El estudiante en matemáticas 1 es mujer.ujer. c) El estudiante en matemáticas 1 no se presento. c) El estudiante en matemáticas 1 no se presento.
d) El estudiante en matemáticas 1 saco de calificación 10. d) El estudiante en matemáticas 1 saco de calificación 10. e) El estudiante en matemáticas 1 es hombre.
e) El estudiante en matemáticas 1 es hombre.
f) El estudiante en matemáticas 1 es mujer y saco 8 de calificación. f) El estudiante en matemáticas 1 es mujer y saco 8 de calificación. g) El estudiante en matemáticas 1 es hombre y saco 9 de calificación. g) El estudiante en matemáticas 1 es hombre y saco 9 de calificación. h) El estudiante en matemáticas 1 es mujer y no acredito la asignatura. h) El estudiante en matemáticas 1 es mujer y no acredito la asignatura. i)
i) El estudiante en matemáticas 1 es El estudiante en matemáticas 1 es hombre y no se presento a claseshombre y no se presento a clases.. Solución.
Solución. a). p(7) a). p(7) = 30/314= 30/314 Solución.
Solución. b). p(sea b). p(sea mujer) = mujer) = 12/31412/314 Solución.
Solución. c). p(no se c). p(no se presento) = 38/3presento) = 38/31414 Solución.
Solución. d). p(10) d). p(10) = 26/314= 26/314 Solución.
Solución. e). p(es e). p(es hombre) = hombre) = 150/314150/314 Solución.
Solución. f). p(es mf). p(es mujer y saco ujer y saco 8) = 18/3148) = 18/314 Solución.
Solución. g). p(es g). p(es hombre y hombre y saco 9) saco 9) = 14/3= 14/31414 Solución.
Solución. h). p(es mujer y h). p(es mujer y no acreditó la asigno acreditó la asignatura) = 27/314natura) = 27/314 Solución.
Solución. i). p(es hombre y no i). p(es hombre y no asistió a clasasistió a clases) = 21/314es) = 21/314
10. Un estudio de la conducta de un gran número de delincuentes adictos a las drogas después de recibir 10. Un estudio de la conducta de un gran número de delincuentes adictos a las drogas después de recibir tratamiento para su dependencia sugiere que la probabilidad de que sean condenados por reincidencia en un tratamiento para su dependencia sugiere que la probabilidad de que sean condenados por reincidencia en un periodo de dos años después del tratamiento po
periodo de dos años después del tratamiento podría depender de la educación del delincuente. Las propodría depender de la educación del delincuente. Las proporcionesrciones del número total de casos que caen en cuatro categorías de educación y condena por reincidencia se muestran en del número total de casos que caen en cuatro categorías de educación y condena por reincidencia se muestran en la siguiente tabla:
la siguiente tabla:
Educación
Educación Condenado Condenado No No condenadocondenado TotalesTotales 10 años o más 10 años o más 0.10 0.10 0.30 0.30 0.400.40 9 años o menos 9 años o menos 0.27 0.27 0.33 0.33 0.600.60 Totales Totales 0.37 0.37 0.63 0.63 01.0001.00 Tabla 1.5 Tabla 1.5
Condición 2 años después del Condición 2 años después del
tratamiento tratamiento
Suponiendo que se selecciona un solo delincuente del programa de tratamiento. Los siguientes son los eventos Suponiendo que se selecciona un solo delincuente del programa de tratamiento. Los siguientes son los eventos de interés:
de interés:
A: El delincuente
A: El delincuente tiene 10 años de etiene 10 años de educación ducación o más.o más.
B: El delincuente es condenado por reincidencia después de 2 años de completar el tratamiento. B: El delincuente es condenado por reincidencia después de 2 años de completar el tratamiento. Encuentra las probabilidades aproximadas para estos eventos:
Encuentra las probabilidades aproximadas para estos eventos: a)
a)
P
P
(( A
A
))
b)b)P
P
(( B
B
))
c)c)P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
d)d)P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
e)e)P
P
((
A
A
C C))
f)
f)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
C C g)g)P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
C CSolución a)
Solución a)
P
P
(( A
A
))
= 0.40= 0.40 Solución b)Solución b)
P
P
(( B
B
))
= 0.10= 0.10 Solución c)Solución c)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
= 0.37= 0.37 Solución d)Solución d)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
= 0.63= 0.63Solución e)
Solución e)
P
P
((
A
A
C C))
= 0.60= 0.60 Solución f)Solución f)
P
P
((
A
A
∪∪B
B
))
C C = 0.54= 0.54 Solución g)Solución g)
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
C C = 0.63= 0.633.6.3
3.6.3 Probabilidad c
Probabilidad condicional e
ondicional e independencia
independencia..
A veces la probabilidad de ocurrencia de
A veces la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de si ha un evento depende de si ha ocurrido o no un segundo evento. Supongaocurrido o no un segundo evento. Suponga que un investigador observa el género de una
que un investigador observa el género de una persona y si ésta puede ver o no los colores rojo y verde. Sea persona y si ésta puede ver o no los colores rojo y verde. Sea A elA el evento de que la persona sea daltónica, y el evento B, el
evento de que la persona sea daltónica, y el evento B, el que la persona sea un hombre. A trque la persona sea un hombre. A través del concepto deavés del concepto de frecuencia relativa, sabemos que
frecuencia relativa, sabemos que
P
P
(( A
A
))
es la proporción de personas en la población que son daltónicas, ees la proporción de personas en la población que son daltónicas, e incluye a hombres y mujeres. Ahora suponga que la persona es un hombre, y considere la proporción de incluye a hombres y mujeres. Ahora suponga que la persona es un hombre, y considere la proporción de hombres en la población que son daltónicos. Esta proporción podría o no ser igual que la probabilidad de A. En hombres en la población que son daltónicos. Esta proporción podría o no ser igual que la probabilidad de A. En este caso, puesto que el daltonismo es una característica vinculada al sexo masculino, la proporción de hombres este caso, puesto que el daltonismo es una característica vinculada al sexo masculino, la proporción de hombres daltónicos será mayor quedaltónicos será mayor que
P
P
(( A
A
))
, la proporción de personas en la población que son daltónicas., la proporción de personas en la población que son daltónicas. La probabilidad condicional se A, dado que ha ocurrido BLa probabilidad condicional se A, dado que ha ocurrido B, se denota como, se denota como
P
P
((
A
A
//
B
B
))
. La barra vertical se. La barra vertical se lee “dado” y los eventos que aparecen a la derecha de la barra son aquellos que se sabe han ocurrido. Las lee “dado” y los eventos que aparecen a la derecha de la barra son aquellos que se sabe han ocurrido. Las probabilidadesprobabilidades condicionales de A dado B, y condicionales de A dado B, y B dado A se definen a conB dado A se definen a continuación.tinuación.
Probabilidad condicional Probabilidad condicional
a)
a)
P
P
( (
A
A
B
B
))
, es decir, “Probabilidad de, es decir, “Probabilidad de A A, dado que ya ocurrió, dado que ya ocurrió B B” Simbolizado:” Simbolizado:( (
))
))
((
))
((
B B P P B B A A P P B B A A PP == ∩∩ Del mismo modoDel mismo modo
( (
))
))
((
))
((
A A P P B B A A P P A A B B P P == ∩∩ AAyy B Bson independientes si:son independientes si:
( (
))
((
))
))
((
))
((
A A P P B B P P B B A A P P B B A A P P == ∩∩ == O bienO bien( (
))
((
))
))
((
))
((
B
B
P
P
A
A
P
P
B
B
A
A
P
P
A
A
B
B
P
P
== ∩∩ ==Dos eventos son independientes si
Ejemplo 3.65 Ejemplo 3.65
Continuemos con el ejemplo de género y daltonismo. Suponga que la población en general consiste en 50% Continuemos con el ejemplo de género y daltonismo. Suponga que la población en general consiste en 50% hombres y 50% mujeres , de modo que
hombres y 50% mujeres , de modo que
P
P
((
B
B
))
==0
0
..
5
5
yyP
P
((
B
B
C C))
==0
0
..
5
5
también consideremos que 4% de latambién consideremos que 4% de lapoblación son hombres daltónicos; es
población son hombres daltónicos; es decir,decir,
P
P
((
A
A
∩∩B
B
==0
0
..
4
4
. Por consiguiente, la probabilidad condicional. Por consiguiente, la probabilidad condicional08
08
..
0
0
50
50
..
0
0
04
04
..
0
0
))
((
((
))
//
((
== ∩∩ == == B B P P B B A A P P B B A A P PSi tuviéramos información adicional
Si tuviéramos información adicional de que la proporción de mujeres daltónicde que la proporción de mujeres daltónicas,as,
P
P
((
A
A
∩∩B
B
C C))
==0
0
..
002
002
,, entonces podría calcular la probabilidad condicional de que un individuo sea daltónico, dado que la persona es entonces podría calcular la probabilidad condicional de que un individuo sea daltónico, dado que la persona es una mujer,una mujer,
P
P
((
A
A
//
B
B
C C))
por medio de: por medio de:0
0
..
004
004
500
500
..
0
0
002
002
..
0
0
))
((
))
((
))
//
((
== ∩∩ == == C C C C C CB
B
P
P
B
B
A
A
P
P
B
B
A
A
P
P
Como se puede ver estas dos
Como se puede ver estas dos probabilidades condicionales no son iguales. La pprobabilidades condicionales no son iguales. La probabilidad de que una personarobabilidad de que una persona sea daltónica, dado que es hombre, es mucho mayor que la probabilidad de que una persona sea daltónica, dado sea daltónica, dado que es hombre, es mucho mayor que la probabilidad de que una persona sea daltónica, dado que es mujer.
que es mujer.
Ejemplo 3.66 Ejemplo 3.66
El profesor de encargado del departamento de deportes de un bachillerato señala que 35% de los estudiantes El profesor de encargado del departamento de deportes de un bachillerato señala que 35% de los estudiantes practican futbol, 15% practican atletism
practican futbol, 15% practican atletismo y 6% practican ambos deportes. Si se eso y 6% practican ambos deportes. Si se escoge al azar a un estudiantecoge al azar a un estudiante que ejercita futbol, ¿Cuál es la probabilidad de que practique atletismo?
que ejercita futbol, ¿Cuál es la probabilidad de que practique atletismo? Solución:
Solución: Denotemos con
Denotemos con F el evento de que un estudiante practiquF el evento de que un estudiante practique futbol y con A que practique atletismo. Así, lase futbol y con A que practique atletismo. Así, las probabilidades de
probabilidades de
P
P
((
F
F
))
==0
0
..
35
35
,,P
P
((
A
A
))
==0
0
..
15
15
P
P
((
F
F
∩∩A
A
))
==0
0
..
06
06
..De ahí que la probabilidad de que practique atletismo dado que juega futbol es: De ahí que la probabilidad de que practique atletismo dado que juega futbol es:
35
35
..
0
0
06
06
..
0
0
))
((
))
((
))
//
((
== ∩∩ ==F
F
P
P
A
A
F
F
P
P
F
F
A
A
P
P
Ejemplo 3.67 Ejemplo 3.67En una encuesta telefónica aplicada a
En una encuesta telefónica aplicada a 1000 adultos se preguntó a 1000 adultos se preguntó a los encuestados acerca del costo de unalos encuestados acerca del costo de una educación universitaria y la posible necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Se clasificó a los educación universitaria y la posible necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Se clasificó a los encuestados con base en si actualmente tenían un hijo en una universidad y si pensaban que la carga del encuestados con base en si actualmente tenían un hijo en una universidad y si pensaban que la carga del préstamo para la mayoría de los est
préstamo para la mayoría de los estudiantes universitarios era muy alta, adecuudiantes universitarios era muy alta, adecuada o muy baja. En la siguienteada o muy baja. En la siguiente tabla. tabla. Muy alta Muy alta (A) (A) Adecuada Adecuada (B) (B) Muy baja Muy baja (C) (C) Con
Con hijo hijo en en la la universidad universidad (D) (D) 0.35 0.35 0.08 0.08 0.010.01 Sin
Sin hijo hijo en en la la universidad universidad (E) (E) 0.25 0.25 0.20 0.20 0.110.11
Tabla 1.6 Tabla 1.6
1.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada tenga un hijo en la universidad?¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada tenga un hijo en la universidad? 2.
2. Dado que la persona encuestada tienen un hijo en la universidad, ¿Cuál es la probabilidad que él o ellaDado que la persona encuestada tienen un hijo en la universidad, ¿Cuál es la probabilidad que él o ella clasifiquen la carga del préstamo como “muy
clasifiquen la carga del préstamo como “muy alta”?alta”? 3.
Solución: Solución:
En la tabla 1.6 se dan las probabilidades para los seis eventos simples de las celdas de la tabla. Por ejemplo, la En la tabla 1.6 se dan las probabilidades para los seis eventos simples de las celdas de la tabla. Por ejemplo, la información en la esquina superior izquierda de la tabla es la probabilidad de que la persona
información en la esquina superior izquierda de la tabla es la probabilidad de que la persona encuestada tengaencuestada tenga un hijo en la universidad y considere que la carga del préstamo es muy alta
un hijo en la universidad y considere que la carga del préstamo es muy alta
((
A
A
∩∩D
D
))
.. 1.1. El evento de que la persona encuestada tenga un hijo en la universidad ocurrirá sin tener en cuenta suEl evento de que la persona encuestada tenga un hijo en la universidad ocurrirá sin tener en cuenta su respuesta a la pregunta relacionada con la carga del préstamo. Es decir, el evento D consiste en los eventos respuesta a la pregunta relacionada con la carga del préstamo. Es decir, el evento D consiste en los eventos simples del primer renglón:
simples del primer renglón:
P
P
((
D
D
))
==0
0
..
35
35
++0
0
..
08
08
++0
0
..
01
01
==0
0
..
44
44
En general, las probabilidades de eventos marginales como D y A se encuentran al sumar las En general, las probabilidades de eventos marginales como D y A se encuentran al sumar las probabilidades de la fila o column
probabilidades de la fila o columna que corresponda.a que corresponda.
2.
2. Para encontrar la probabilidad de A dado D, usamos la definición de probabilidad condicional:Para encontrar la probabilidad de A dado D, usamos la definición de probabilidad condicional:
80
80
..
0
0
44
44
..
0
0
35
35
..
0
0
))
((
))
((
))
//
((
== ∩∩ == == D D P P D D A A P P D D A A P P 3. Puesto que3. Puesto que
P
P
((
A
A
//
D
D
))
==0
0
..
80
80
yyP
P
((
A
A
))
==0
0
..
35
35
++0
0
..
25
25
==0
0
..
60
60
, los eventos A y D no deben ser , los eventos A y D no deben serindependientes. independientes.
Ejemplo 3.68 Ejemplo 3.68
El departamento de servicio de una tienda de artículos electrónicos cuenta con ocho técnicos para atender las El departamento de servicio de una tienda de artículos electrónicos cuenta con ocho técnicos para atender las reparaciones a domicilio. De estos ocho
reparaciones a domicilio. De estos ocho técnicos cinco han recibido entrenamiento especial. Las evaluacionestécnicos cinco han recibido entrenamiento especial. Las evaluaciones De los clientes muestran
De los clientes muestran que el 80% de las reparaciones con técnicos entrenados son satisfactorias y que esteque el 80% de las reparaciones con técnicos entrenados son satisfactorias y que este porcentaje baja a
porcentaje baja a 60% cuando los técnicos no 60% cuando los técnicos no han tenido entrenamiento. han tenido entrenamiento. Si los técnicos se Si los técnicos se asignan al azar a asignan al azar a loslos diferentes trabajos de reparación, ¿Cuál es la probabilidad de ser atendido por un técnico que ha recibido diferentes trabajos de reparación, ¿Cuál es la probabilidad de ser atendido por un técnico que ha recibido entrenamiento y que efectué una reparación
entrenamiento y que efectué una reparación satisfactoria?satisfactoria? Solución:
Solución:
Denotemos por A al evento que el técnico enviado ha sido entrenado y por B al evento que la reparación sea Denotemos por A al evento que el técnico enviado ha sido entrenado y por B al evento que la reparación sea satisfactoria. La probabilidad condicional de que la reparación sea satisfactoria dado que el técnico ha sido satisfactoria. La probabilidad condicional de que la reparación sea satisfactoria dado que el técnico ha sido entrenado es
entrenado es
P
P
((
B
B
//
A
A
))
==0
0
..
8
8
y la probabilidad de que el técnico enviado esté entrenado y efectúe unay la probabilidad de que el técnico enviado esté entrenado y efectúe unareparación satisfactoria es reparación satisfactoria es
0
0
..
8
8
0
0
..
5
5
8
8
5
5
))
//
((
))
((
))
((
A
A
∩∩B
B
==P
P
A
A
⋅⋅P
P
B
B
A
A
== ⋅⋅ ==P
P
Problemas que deberán de resolver los
Problemas que deberán de resolver los alumnos
alumnos
Ejercicios 3.14 Ejercicios 3.14
1. El apoyo de los electores para establecer límites a la duración de los periodos políticos influye de sobre 1. El apoyo de los electores para establecer límites a la duración de los periodos políticos influye de sobre
manera en muchas partes de Estados Unidos. Una encuesta realizada por el
manera en muchas partes de Estados Unidos. Una encuesta realizada por el Field InstituteField Institute enen ClaiforniaClaifornia mostró que los electores favorecen la propuesta de establecimiento de límites del periodo en cuestión por un mostró que los electores favorecen la propuesta de establecimiento de límites del periodo en cuestión por un margen de 2 a 1. En la tabla 1.7
margen de 2 a 1. En la tabla 1.7 se dan los resultados de se dan los resultados de esta encuesta deesta encuesta de n=347 n=347 electores registrados:electores registrados:
A
A favor favor (F) (F) En En contra contra (A) (A) Sin Sin opinión opinión (N) (N) TotalTotal Republicano
Republicano (R) (R) 0.28 0.28 0.10 0.10 0.02 0.02 0.400.40 Demócrata
Demócrata (D) (D) 0.31 0.31 0.16 0.16 0.03 0.03 0.500.50 Otro
Otro (O) (O) 0.06 0.06 0.04 0.04 0.00 0.00 0.100.10 Total
Total 0.65 0.65 0.3 0.3 0.05 0.05 1.001.00
Tabla 3.7 Tabla 3.7
Si de este grupo de 347 personas se extrae un individuo al azar, calcule las probabilidades siguientes: Si de este grupo de 347 personas se extrae un individuo al azar, calcule las probabilidades siguientes: a) a)
P
P
(( R
R
))
b)b)P
P
((F
F
))
c)c)P
P
((
R
R
∩∩F
F
))
d)d)P
P
((
F
F
//
R
R
))
e) e)P
P
((
F
F
//
D
D
))
f)f)P
P
((
F
F
//
O
O
))
g)g)P
P
((
D
D
//
A
A
))
h)h)P
P
((
N
N
//
O
O
))
Solución a). Solución a).P
P
(( R
R
))
= 0.40= 0.40 Solución b). Solución b).P
P
((F
F
))
= 0.65= 0.65 Solución c). Solución c).P
P
((
R
R
∩∩F
F
))
= 0.28= 0.28 Solución d). Solución d).P
P
((
F
F
//
R
R
))
= 0.28/0.40= 0.28/0.40 Solución e). Solución e).P
P
((
F
F
//
D
D
))
= 0.31/0.50= 0.31/0.50 Solución f). Solución f).P
P
((
F
F
//
O
O
))
= 0.06/0.10= 0.06/0.10 Solución g). Solución g).P
P
((
D
D
//
A
A
))
= 0.16/0.30= 0.16/0.30 Solución h). Solución h).P
P
((
N
N
//
O
O
))
= 0.0/0.10= 0.0/0.102. Un nutriólogo clasifica a un grupo de jóvenes con respecto a su peso y su actividad deportiva. La proporción 2. Un nutriólogo clasifica a un grupo de jóvenes con respecto a su peso y su actividad deportiva. La proporción
en diferentes categorías
en diferentes categorías aparece en la aparece en la tabla 1.8tabla 1.8 Sobrepeso
Sobrepeso Peso Peso Normal Normal Bajo Bajo Peso Peso TotalTotal Hace
Hace deporte deporte 0.04 0.04 0.08 0.08 0.18 0.18 0.300.30 No hace deporte
No hace deporte 0.21 0.21 0.44 0.44 0.05 0.05 0.700.70 Total
Tabla 3.8 Tabla 3.8 a)
a) ¿Cuál es la probabilidad de ¿Cuál es la probabilidad de que un joven seleccionado al azar prque un joven seleccionado al azar practique deporte?actique deporte? b)
b) Si un joven seleccionado al azar padece sobre peso, ¿Cuál es la probabilidad de que también practiqueSi un joven seleccionado al azar padece sobre peso, ¿Cuál es la probabilidad de que también practique deporte?
deporte? c)
c) Los eventos A hace deporte Los eventos A hace deporte y B sobre peso son y B sobre peso son independientes?independientes? Solución
Solución a). a). p = p = 0.30.3 Solución
Solución b). b). p = p = 0.040.04 Solución c).
Solución c). no son no son independientesindependientes
3. Una empresa produce dos tipos de zapatos denominados A: de vestir y B: casual. La probabilidad de que A 3. Una empresa produce dos tipos de zapatos denominados A: de vestir y B: casual. La probabilidad de que A
tenga cero defectos es
tenga cero defectos es
P
P
((
A
A
))
==0
0
..
68
68
, B cero defectos es, B cero defectos esP
P
((
B
B
))
==0
0
..
55
55
y de que no haya ningún defecto eny de que no haya ningún defecto enambos es
ambos es
P
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
32
32
a) Encuentra la probabilidad condicional de que B ocurra dado que A ocurrió. a) Encuentra la probabilidad condicional de que B ocurra dado que A ocurrió. b) Encuentra la probabilidad condicional de qu
b) Encuentra la probabilidad condicional de que B no ocurra dado que A ocurrió.e B no ocurra dado que A ocurrió. c) Encuentra la probabilidad condicional de que B ocurra dado que A no ocurrió. c) Encuentra la probabilidad condicional de que B ocurra dado que A no ocurrió.
Solución
Solución a). a). p(B|A) p(B|A) = 0.32/0.68= 0.32/0.68 Solución b). p(B
Solución b). p(Bcc|A) |A) = = 0.36/0.680.36/0.68 Solución
Solución c). c). p(B|Ap(B|Acc) = 0.23/0.32) = 0.23/0.32
4. Sean A y B tales
4. Sean A y B tales
P
P
((
A
A
))
==0
0
..
3
3
P
P
((
B
B
))
==0
0
..
5
5
yyP
P
((
A
A
∩∩B
B
))
==0
0
..
15
15
verifica que:verifica que:a)
a)
P
P
((
A
A
//
B
B
))
==P
P
((
A
A
))
b)b)P
P
((
A
A
//
B
B
C C))
==P
P
((
A
A
))
c)c)P
P
((
B
B
//
A
A
))
==P
P
((
B
B
))
d)d)P
P
((
B
B
//
A
A
C C))
==P
P
((
B
B
))
Solución
Solución a). a). p(A|B) p(A|B) = = 0.15/0.5 0.15/0.5 = = 0.3 0.3 = = p(A)p(A) Solución
Solución b). b). p(A| p(A| BBcc) ) = = 0.15/0.5 = 0.15/0.5 = 0.3 0.3 = = p(A)p(A) Solución
Solución c). c). p(B|A) p(B|A) = 0.15/0.3 = 0.15/0.3 = = 0.5 = 0.5 = p(B)p(B) Solución
Solución c). c). p(B|Ap(B|Acc) = 0.15/0.3 ) = 0.15/0.3 = = 0.5 = 0.5 = p(B)p(B)
5. La probabilidad de que el vuelo de Guadalajara a Tijuana salga a tiempo es 0.75, y la probabilidad de que 5. La probabilidad de que el vuelo de Guadalajara a Tijuana salga a tiempo es 0.75, y la probabilidad de que
este vuelo salga a tiempo y llegue a tiempo
este vuelo salga a tiempo y llegue a tiempo es 0.58. ¿Cuál es la probabilidad de es 0.58. ¿Cuál es la probabilidad de que habiendo salido a tiempo,que habiendo salido a tiempo, llegue a tiempo?
llegue a tiempo? Solución
Solución p p = = 058/075058/075
6. La probabilidad de que la ca
6. La probabilidad de que la campaña publicitaria dempaña publicitaria de El Tri El Tri para un concierto sea buena es 0.7, y la probabilidad para un concierto sea buena es 0.7, y la probabilidad de que la campaña publicitaria sea buena y que se agoten las localidades es 0.56 ¿Cuál es la probabilidad de de que la campaña publicitaria sea buena y que se agoten las localidades es 0.56 ¿Cuál es la probabilidad de que se agoten las localidades sabiendo que
que se agoten las localidades sabiendo que la campaña fue buena?la campaña fue buena? Solución. p= 0.56/0.7
Solución. p= 0.56/0.7
7. Un maestro de Matemáticas piensa que la probabilidad es 0.6 de que un examen final por escrito que recibe 7. Un maestro de Matemáticas piensa que la probabilidad es 0.6 de que un examen final por escrito que recibe estará bien resuelto. Si la probabilidad es 0.51 de que este examen este bien resuelto y reciba una buena estará bien resuelto. Si la probabilidad es 0.51 de que este examen este bien resuelto y reciba una buena calificación. ¿Cuál es la probabilidad de
calificación. ¿Cuál es la probabilidad de que un examen final que un examen final bien resuelto reciba una buena bien resuelto reciba una buena calificación?calificación? Solución.
8. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de los números que aparecen arriba exceda de 8. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de los números que aparecen arriba exceda de
10, dado que uno de ellos es 6? 10, dado que uno de ellos es 6? Solución.
Solución. p = p = (1/36)/(3/36) =1/3(1/36)/(3/36) =1/3
Probabilidad conjunta y Teorema de
Probabilidad conjunta y Teorema de Bayes.
Bayes.
Ejemplo 3.69 Ejemplo 3.69
Suponiendo que tenemos dos maquinas, I y II, que fabrican zapatos. Sea
Suponiendo que tenemos dos maquinas, I y II, que fabrican zapatos. Sea
M
M
11 el suceso de fabricación deel suceso de fabricación de zapatos de la maquina I, yzapatos de la maquina I, y
M
M
22 el suceso por el que los zapatos se fabrican en la máquina II. Sea D el sucesoel suceso por el que los zapatos se fabrican en la máquina II. Sea D el suceso que representa un zapato sin dque representa un zapato sin defecto; entonces:efecto; entonces: 2 2 1 1 DM DM DM DM D D == ∪∪
Además, si el 10% de los zapatos que hace la maquina I tienen defecto, y el 20% de
Además, si el 10% de los zapatos que hace la maquina I tienen defecto, y el 20% de los zapatos hechos por lalos zapatos hechos por la maquina II tienen defecto, resulta:
maquina II tienen defecto, resulta:
10
10
..
0
0
))
//
((
D D M M 11 == P P60
60
..
0
0
))
((
M
M
11 ==P
P
90
90
..
0
0
))
//
((
D
D
M
M
11 ==P
P
C C20
20
..
0
0
))
//
((
D D M M 22 == P P40
40
..
0
0
))
((
M M 22 == P P80
80
..
0
0
))
//
((
D
D
M
M
22 ==P
P
C CEs decir la probabilidad de fabricar un zapato sin defecto es: Es decir la probabilidad de fabricar un zapato sin defecto es:
86
86
..
0
0
))
40
40
..
0
0
)(
)(
80
80
..
0
0
((
))
60
60
..
0
0
)(
)(
090
090
(.
(.
))
((
D
D
C C == ++ ==P
P
Puesto que
Puesto que
M
M
11yy
M
M
22son mutuamente excluyentes, se tiene:
son mutuamente excluyentes, se tiene:
) ) ( ( ) ) // ( ( ) ) ( ( ) ) // ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( D D PP DM DM 11 PP DM DM 22 PP D D M M 11 PP M M 11 PP D D M M 22 PP M M 22 P P == ++ == ×× ++
Si la maquina uno fabrica el 60% de los zapatos,
Si la maquina uno fabrica el 60% de los zapatos, entonces:
entonces:
60
60
..
0
0
))
((
M
M
11 ==P
P
PP((
M M 22))
==0
0
..
40
40
D D M M 11∩∩ D D M M 22∩∩ 1 1M
M
M
M
22 1 1A
A
A A22A
A
33E
E
Teorema
Teorema 1.6 1.6 Probabilidad TProbabilidad Totalotal
Sea E un evento en un espacio muestral S y sean
Sea E un evento en un espacio muestral S y sean
A
A
11,,
A
A
22,...
,...
A
A
nneventos mutuamente excluyentes cuya unióneventos mutuamente excluyentes cuya unión es S. Entonces: es S. Entonces:))
//
((
))
((
...
...
))
//
((
))
((
))
//
((
))
((
))
((
E
E
P
P
A
A
11P
P
E
E
A
A
11P
P
A
A
22P
P
E
E
A
A
22P
P
A
A
nnp
p
E
E
A
A
nnP
P
== ++ ++ ++La ecuación del teorema se llama Probabilidad Total. Se La ecuación del teorema se llama Probabilidad Total. Se hace énfasis
hace énfasis en que en que los eventoslos eventos
A
A
11,,
A
A
22,...
,...
A
A
nnsonsonmutuamente excluyentes por pares y su unión es todo S, es mutuamente excluyentes por pares y su unión es todo S, es decir, que los
