EC 2322 Detalles Reflexión PDF

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(1)Análisis clásico Geometría del problema de reflexión para el caso Descripción "clásica" del fenómeno de medios sin pérdidas. La onda incidente, al chocar con la interfaz que separa los dos medios, se divide, generando una onda reflejada en el medio 1 y. / Onda incii. una onda transmitida en el medio 2. El ángulo de transmisión es tal que:. T!L.. lerJL. lt. Onda transmitida. A, TU ~ v —i— = —-— => sen6r = -&?sen9¿ senG, vl.

(2) Análisis clásico Algunos conceptos y dudas derivables de la descripción clásica Conceptos • La amplitud del campo de la onda transmitida no puede ser mayor que la amplitud del campo de la onda incidente, ya que la onda transmitida es originada por la incidente. • La suma de las magnitudes de las densidades de potencia promedio de las ondas reflejada y transmitida es igual a la magnitud de la densidad de potencia promedio de la onda incidente. • Cuando hay reflexión total interna (incidencia con el ángulo crítico), no hay onda transmitida. • Cuando no hay onda reflejada (incidencia con el ángulo de Brewster), la densidad de potencia de la onda transmitida es máxima.. Dudas • ¿Son estos conceptos consistentes con los resultados numéricos obtenibles? • ¿Son estos conceptos consistentes con el Teorema de Poynting? • ¿Qué sucede cuando el ángulo de incidencia supera al ángulo crítico?.

(3) Análisis en régimen sinusoidal permanente Expresión de los campos en notación fasorial. É-. É. É. Coeficientes de reflexión y de transmisión Coeficientes de reflexión cos0¿ -recoso, . + TICOSO,. ^. j~^ .. —. 'n 2 cos0 ¿ Tl 2 COS0¿-f. Coeficientes de transmisión T,,=. 2r|2cos0z ^ J- + T12COS0,' "•*•. 2T12COS0Jr|2cos0¿ +11^080r. La Ley de Snell y los coeficientes de reflexión y de transmisión derivan de aplicar las condiciones de borde de continuidad de las componentes tangenciales de los campos en la interfaz que separa los medios. La solución en régimen sinusoidal permanente implica la existencia de los campos en todo instante. Esto rompe con la secuencialidad presente en la descripción clásica del fenómeno: la onda incidente no choca y se divide para origina?' las otras dos', las tres ondas existen para satisfacer las condiciones de borde en la interfaz. Si las ondas reflejada y transmitida no provienen, en este contexto, de la división de la onda incidente, ¿dónde se originan?, ¿cuál es la relación entre susamplitudes?.

(4) Estudio de transmisión. los. coeficientes. de. reflexión. y. de. Comportamiento del ángulo de transmisión El comportamiento del ángulo de transmisión juega un papel importante en el comportamiento de los coeficientes mencionados, y viene dado en función de la relación entre v2 y vl. Caso v? <vl: Qt <0¿: 0<Qt < sen"1 (v2 / v l ) para O < Q ¡ <n/2 Caso v9 >V]: 0f >9¿ Existe Q( = Qic, llamado ángulo crítico, para el cual sen9f = (v2 /v l )sen9 /c = l = > 9 ? = 7C/2 Entonces O < sen0í < 1 para O < 9¿ < Qic, mientras que v2 / vl > senG, > 1 para Qic < Q¿ < n 12, por lo que en este . _ caso 0 r es complejo y cosQt = — y-y((v 2 / vl)sen0;-) -1 es imaginario puro. En consecuencia, el ángulo de transmisión es real para O < 9¿ < 9/c y complejo para 9^ < 9¿ < n 12. En este último caso, esto implica que los coeficientes de reflexión y de transmisión son complejos, y además significa que la onda transmitida es una onda plana no uniforme..

(5) Estudio de transmisión. los. coeficientes. de. reflexión. y. de. Comportamiento de los coeficientes respecto al ángulo de incidencia • En primer lugar, para el caso v2 >v l 5 con ángulo de incidencia tal que Qic <6¿ <7t/2, todos los coeficientes son complejos. En particular, la magnitud de los coeficientes de reflexión es la unidad, puesto que sus numeradores y su denominadores son conjugados entre sí. • Para realizar el análisis correspondiente a los casos en que los coeficientes son reales, se calculó la derivada de los coeficientes de transmisión respecto al ángulo de incidencia, y luego se estudió el signo de la derivada y los valores que la anulan. Como existe una relación lineal entre los coeficientes de reflexión y de transmisión, no es necesario calcular las derivadas de los coeficientes de reflexión..

(6) Estudio de transmisión. los. coeficientes. de. reflexión. y. Comportamiento de los coeficientes respecto al ángulo de incidencia Polarización paralela dT f/. dQ. cos0r. Polarización perpendicular. v (r| 1 cos0 / +r|2cos0 í ). : IVj. AV1. dR,, iry-i. dQ; Entonces. ^ > 9 y —*- > O si v2 > v, y O < 9,- < 9/c dQi ^. dQ; < R,, < 1 y. Entonces T'2. ^ < /? , < 1 y. 2r>2. < F, < 2. ' 7»TT. " < ° Y -¿r- < O si v2 < vj y O < 6;. < TI / 2 Entonces. > /?„ > -1 y -±i^_ > j,, > O '. ¿e.. s. <0y. Entonces ^ 2. T1. ' > R, > -1 y. 0<9í-<7C/2. > T, > O. de.

(7) Estudio de transmisión. los. coeficientes. de. reflexión. Conclusiones derivadas del estudio del comportamiento de los respecto al ángulo de incidencia. y. de. coeficientes. • Los coeficientes de transmisión y de reflexión estrictamente crecientes respecto a 9¿ cuando v2 > v l 9 y estrictamente decrecientes cuando v2 < Vj , para los ángulos de incidencia en que son reales. • En virtud de lo anterior, no existen ángulos de incidencia que maximicen o minimicen alguno de los coeficientes: los máximos y mínimos de éstos se encuentran en los puntos extremos de los intervalos de ángulo de incidencia en que los coeficientes son reales. Por lo tanto es falso que cuando hay reflexión nula la amplitud de la onda transmitida es máxima, y es falso que se minimiza (es decir, se anula) la onda transmitida cuando se incide con el ángulo crítico (reflexión total). • Se observa que es posible que los coeficientes de transmisión superen la unidad, por lo que es posible que la amplitud de la onda transmitida supere a la de la onda incidente. Por lo tanto, es falso que la magnitud de la densidad de potencia de la onda incidente sea igual a la suma de las magnitudes de las densidades de potencia de la onda transmitida y reflejada.. ¿Cómo se explican las contradiciones entre los supuestos (derivados del sentido común) y los resultados del análisis?.

(8) Aplicación del Teorema de Poynting al problema de reflexión Consideremos. un. volumen en. forma. ,{sr). de. paralelepípedo que contenga parte de los dos medios, tal como se muestra en la figura. Como los medios son lineales, no tienen fuentes ni tienen pérdidas, el. ©. promedio temporal del Teorema de Poynting para. \. © (Si). campos armónicos en este caso establece que:. (Si). MEDIO 1. jif(S).da = 0 s=bv. MEDIO 2. Dado que las ondas son planas y uniformes, y que los medios no tienen pérdidas, sus vectores de Poynting promedio son constantes.. @. Entonces los flujos a través de las superficies 1-2 y 3-4 se cancelan entre sí, y los flujos a través de 5 y 6 deben cancelarse para que el flujo total sea cero. Por lo tanto:. (Si}cosQi-(Sr)cosQi-(St)cosQt=0 Esta es la única relación entre (S¡}, (Sr) y (Sr), y se satisface aunque (Sr) sea mayor que (S¿} gracias a que cosO, < cos6f en estos casos, como sucede en el caso de Reflexión Total Interna, donde cosO, = O..

(9) Conclusiones • El análisis detallado de los coeficientes de reflexión y de transmisión revela que, para los ángulos de incidencia en que éstos son reales, los mismos se comportan monótonamente. Por lo tanto, es falso que existan ángulos de incidencia para los cuales se maximice o se minimice alguno de los coeficientes, y los máximos y mínimos de los coeficientes se obtienen en los extremos de los intervalos. Por otra parte, se observa que los coeficientes de reflexión y de transmisión crecen o decrecen al unísono. En particular, el ángulo crítico, el cual maximiza todos los coeficientes, es el extremo del intervalo en que los coeficientes son reales cuando v2 > Vj. • La amplitud de los campos transmitidos, y por ende su densidad de potencia promedio, pueden ser superiores a los correspondientes a la onda incidente. Si bien esto contradice observaciones basadas en el sentido común, se demuestra que no contradice al Teorema de Poynting. • La aplicación del Teorema de Poynting revela que el concepto de la "repartición de la potencia de la onda incidente" sólo aplica a las componentes del vector de Poynting normales a la interfaz entre los medios. Las componentes tangenciales del vector de Poynting existen de manera independiente, y son todas generadas por la fuente de los campos (la cual se supone alejada de la superficie). • Se recomienda difundir el presente análisis para tener un conocimiento más preciso de los procesos involucrados en el fenómeno de refracción de ondas planas uniformes..

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