Lo que debes saber de Secundaria

Texto completo

(1)

El cuaderno Lo que debes saber de Secundaria, para 1. er curso de Bachillerato, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo:

César de la Prida Almansa Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN

César de la Prida Almansa EDITOR EJECUTIVO

Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos para que el alumno los traslade a su cuaderno.

BA CHILLERA T O

Lo que debes saber

de Secundaria

(2)

1

Números racionales ... 4

2

Potencias de números racionales ... 10

3

Sucesiones ... 14

4

Polinomios ... 18

5

Ecuaciones y sistemas ... 22

6

Proporcionalidad y porcentajes ... 28

7

Teorema de Pitágoras. Áreas ... 32

8

Teorema de Tales. Semejanza ... 38

9

Cuerpos geométricos. Área y volumen ... 44

10

Funciones ... 50

11

Funciones lineales y cuadráticas ... 54

12

Estadística ... 58

13

Probabilidad ... 64

Notación matemática ... 70

Índice

(3)

Números racionales

Números enteros

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por:

– Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … – El número cero: 0

– Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …

Fracciones

Una fracción es una expresión b

a en la que a y b son números enteros llamados numerador, a,

y denominador, b.

6

2 "

Numerador < Denominador

2

<

6 2 Fracción propia Representa un número menor que la unidad.

6

8 "

Numerador > Denominador

8

>

6 2 Fracción impropia Representa un número mayor que la unidad.

Dos fracciones, b a y

d

c , son equivalentes, y lo escribimos como b a

d

= c , si se cumple que:

a ? d = b ? c

4 7 y

9

8 " ?

? 7 9 63 4 8 32

=

) = " 63 ! 32

G No son equivalentes

3 4 y

6

8 " ?

?

4 6 24 3 8 24

=

) = " 24 = 24

G Sí son equivalentes

La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equivalente en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes.

Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el numerador y el denominador entre su máximo común divisor.

: ( , ) : ( , ) b

a

b a b

a a b

y x

y x m.c.d.

m.c.d.

= = " es la fracción irreducible de

b a .

?

? ? 45 3 5 60 2 3 5

2 2

=

= 3 " m.c.d. (45, 60) = 3 ? 5 = 15 "

: : 60

45

60 15 45 15

4

= = 3

G Fracción

irreducible

SABER

4

(4)

Números decimales

Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada a la derecha.

Decenas Unidades décimas centésimas milésimas diezmilésimas

3 7, 0 9 0 7

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

SABER

Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales.

5

7 " 7 5

20 1,4

G Decimal exacto

0

Un número decimal es periódico cuando tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente.

La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período.

15

2 " 2 15

20 0,133

G El 3 se repite periódicamente.

El período es 3.

50 5

Si el período empieza inmediatamente después

de la coma, es un decimal periódico puro. 3

5 " 5 3

20 1,666…

G Decimal periódico

20

puro

20

En caso contrario, es un decimal periódico mixto.

La cifra o cifras decimales que no se repiten se llaman anteperíodo.

15

16 " 16 15

100 1,066…

G Decimal periódico mixto

100 10

15

16 = 1,06 !

Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.

,

2 = 1 4142135…

G Decimal no exacto y no periódico Anteperíodo

Período

Números racionales

(5)

SABER HA CER Números racionales

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de -24 y 84.

PRIMERO. Descomponemos el valor absoluto de los números enteros en factores primos.

24 12 6 3 1

2 2 2 3

24 = 23 ? 3

84 42 21 7 1

2 2 3 7

84 = 22 ? 3 ? 7

SEGUNDO.

•   Para calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados al menor de los exponentes.

•   Para calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor de los exponentes.

Factores comunes F  2 y 3  Comunes con menor exponente  F 22 y 3 Factores no comunes F  7  Comunes con mayor exponente  F 23 y 3

m.c.d. (-24, 84) = m.c.d. (24, 84) = 22 ? 3 = 12 m.c.m. (-24, 84) = m.c.m. (24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números enteros

Calcula: (-3)

2

- 4 ? [(-6) ? (+5) - (-3)] - (-2)

2

(-3)2 - 4 ? [(-6) ? (+5) - (-3)] - (-2)2 =

PRIMERO. Resolvemos los paréntesis. F = (-3)2 - 4 ? (-30 + 3) - (-2)2 =

= (-3)2 - 4 ? (-27) - (-2)2 =

SEGUNDO. Resolvemos las potencias. F = 9 - 4 ? (-27) - 4 = TERCERO. Efectuamos los productos y las divisiones. F = 9 + 108 - 4 = CUARTO. Efectuamos las sumas y las restas. F = 117 - 4 =

= 113

Resolver operaciones combinadas con enteros

Descompón -68 en factores primos.

PRIMERO. Dividimos el valor absoluto del número entre los sucesivos números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…

tantas veces como sea necesario hasta obtener la unidad.

FACTORES PRIMOS 68 68 : 2 F 34 34 : 2 F 17 17 : 17 F 1

2 2 17

SEGUNDO. Expresamos el número como  el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha, añadiendo el factor -1 si el número es negativo.

-68 = (-1) ? 2 2? 22

; ? 17 = (-1) ? 22 ? 17

Descomponer un número en factores primos

66

(6)

SABER HA CER

Resuelve aplicando la jerarquía de las operaciones. 2 ? : : 4

1 3 7

2 3

2 1 2

- + =

m.c.m. (2, 3) 6=

e o e o

>

PRIMERO. Resolvemos los paréntesis. 2 ? : : ? :

4 1

6 14

6 9

2 1

1

2 2

4 1

6 23

4

= - e + o e o= - e o e1o=

SEGUNDO. Resolvemos las multiplicaciones

y divisiones en el orden en que aparecen. ?

?

?

: : ?

2 4 6 1 23

4 1 2

24 23

4 1 2

24 1 23 4 2

24

= - = - = - = -92 =

TERCERO. Resolvemos las sumas y restas,

y se simplifica el resultado, si se puede. 24 48

24 92

24 44

24 44

6

= - =- 11

= - = -

Realizar operaciones combinadas de fracciones

Determinar el decimal que expresa una fracción

Determina el tipo de número decimal que expresan estas fracciones. a) 7

14 b)

25

19

c)

63 33

PRIMERO. Si el numerador es múltiplo del denominador,

la expresión decimal de la fracción es un número entero. a) 7

14 14 es múltiplo de 7

F Número entero

SEGUNDO. En caso contrario, si el denominador de la fracción

irreducible solo tiene como factores 2, 5 o ambos, es decimal exacto. b) 25

19 25 = 52. Solo factor 5

F Decimal exacto

TERCERO. Si contiene otros factores,

su expresión decimal es periódica. c) 63 33

21

= 11 21 = 3 ? 7. Factores distintos de 2 y 5

F Decimal periódico

Escribir números decimales en forma de fracción

Expresa 2,309 como una fracción.

PRIMERO. El denominador de la fracción será la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.

2,309

"

3 cifras decimales

"

Denominador = 1 000

SEGUNDO. El numerador de la fracción es la parte entera y decimal del número, sin la coma.

2,309

"

Numerador = 2 309 2 309, 1 000 2 309

=

Expresa el número 3 14 ,

$

como una fracción. Expresa el número 0 2317 ,

'

como una fracción.

PRIMERO. Llamamos A al número decimal y multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica.

A = 3 14,# 100 ? A = 100 ? 3,1414…

100A = 314,1414…

SEGUNDO. Restamos a ese resultado el número decimal periódico inicial y, después, despejamos A. La fracción resultante es la expresión fraccionaria del número decimal.

100A = 314,1414…

- A = 3,1414…

99A = 311 F A

99

= 311

PRIMERO. Llamamos A al número decimal y multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica y no periódica.

A = 0,231&7 10 000A = 2 317,317317…

SEGUNDO. Multiplicamos la igualdad inicial por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica y restamos los resultados obtenidos.

10A = 2,317317 10 000A = 2 317,317317…

- 10A = 2,317317…

9 990A = 2 315 F A

1 998 463 9 990 2 315

= =

Números racionales

(7)

PRA CTICAR

Números racionales

1. Resuelve las siguientes operaciones.

a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7) b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4) c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8) e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4) f ) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7

2. Resuelve las operaciones.

a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]

b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)]

c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]

d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)]

3. Efectúa estas operaciones combinadas.

a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)]

b) (+2)2 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)]

c) (+3)3 : [-5 + (-7) ? (-2)]

d) (-4)3 : [(-15) : 5 - (-45) : (-9)]

4. Encuentra los errores en estas igualdades.

a) (-3) + (-5) - (-8) = -3 - 5 - 8 =

= -8 - 8 = -(8 - 8) = 0 b) -9 - (-8) - (-7 - 2) = -9 + 8 + 7 - 2 =

= -1 + 7 - 2 =

= -6 - 2 = -8 c) 5 - [-6 + 7 - (-2)] = 5 + 6 - 7 + 2 =

= 11 - 5 = 6 d) 4 ? (-3) + (-5) ? (-2) = -12 - 10 = -22 e) 4 - 5 ? (-2) = (-1) ? (-2) = 2

5. Realiza la descomposición factorial de:

a) 3 850 b) -432 c) -561

6. Calcula el máximo común divisor de cada par de números.

a) 45 y -27 b) -28 y 21 c) -18 y 12

7. Halla el máximo común divisor.

a) 6, -8, 12 b) 16, 20, -28 c) 40, -10, 25

8. Si m.c.d. (x, 12) = 6, halla el valor de x.

9. Calcula el mínimo común múltiplo.

a) -12 y 18 b) 15 y -45 c) 27 y -18

10. Obtén el mínimo común múltiplo de los siguientes números.

a) 12, -9, 10 b) -4, 18, 27 c) -8, 30, 24

11. Halla dos números cuyo m.c.d. sea 6 y su m.c.m. sea 36.

12. Resuelve estos problemas.

a) Tres cuerdas de 4, 6 y 9 m, respectivamente, se quieren cortar en trozos iguales. ¿Cuál es la longitud de los mayores trozos que se pueden hacer?

b) Los libros de una estantería se pueden colocar en montones de 4, 6 y 9 libros sin que sobre ninguno.

¿Cuál es la menor cantidad de libros que puede haber?

13. El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quieren poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula sus dimensiones y el número de baldosas.

14. Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en grupos de 8, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas fotografías tiene Alejandro?

15. Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30 minutos y otro con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos trenes a las 10:00 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.

16. Luis viaja a Barcelona cada 15 días y su hermana Marta lo hace cada 20 días. ¿Cuándo coincidirán de nuevo en Barcelona si la última vez que lo hicieron fue el 2 de octubre?

17. En una carretera han puesto farolas en ambos lados.

En un lado se han colocado cada 12 metros, y en el otro, cada 18 metros. Sabiendo que la primera farola de cada lado está situada a la misma altura,

¿qué distancia debemos recorrer para encontrar dos farolas colocadas una frente a la otra?

18. Di si son equivalentes los siguientes pares de fracciones.

a) 8 6 y

48

36 c)

4 5 y

8

15 e)

13 9 y

104 72

b) 12 15 y

48

60 d)

5 8 y

10

24 f ) 25 72 y

115 123

88

(8)

PRA CTICAR

19. Calcula el número que falta para que las fracciones sean equivalentes.

a) 6 3 9

4= c)

12

8 2

=4 b) 5

4 10

= 4 d)

9 18 4 8

=

20. Calcula la fracción irreducible.

a) 30

75 b)

48

182 c)

11 121

21. Haz las operaciones.

a) 2 1

6 3

5 4

3

+ - +7

e o e o

b) 3 7

5 4

5 6

7 - + +2

e o e o

c) 2 3 4

2 1

5 2

3 -> -e + o- 1H

d) 4 5

5 1

3 1

5 2

4 - + - 1

+ -

e o e o

e) 5 6

15

1 2

2 1

3 1

6

- + - - +5

e o e o

f ) 3 1

5 2

4 1

6 5

6

+ - - -7

e o e o

22. Haz estas operaciones.

a) 3 9

- +4 c) ( )

7

3 8

- + - e) ( )

3

4 6

- + -

b) 8 5

- -e 2o d) 45- -( 7) f ) -e-43o-2

23. Opera.

a) 3 1 2

9

- - -e 4o c) 4-e32-41o

b) 2

5 2

5

- - +e 3o d) - + -7 e 23+71o

24. Realiza las operaciones.

a) ? 6 5

3

1-2 d) ?

2 5 3

4 - 1

b) ?

2 7 3

5

- 4 e) ?

5 4

8 10

2 + -3

e o

c) 4 ?

2 3

9

- 7 f ) ?

9 7

5 12

4 3

- + -

e o e o

25. Realiza las siguientes operaciones.

a) ?

3 5

5 2

2 7

3

-e o-1 d) ? ?

3 7

5 4 2

3

- - 5

e o

> H

b) ?

3 5

5 2

2 7

3

-e - 1o e) e45-83?94o-54?2

c) ? ?

3 2 5

4 3

2 - 7

e o f ) -3?154 -e87?5-9o

26. Escribe un número decimal que cumpla las siguientes características.

a) Periódico puro, de período 5.

b) Exacto, con tres cifras decimales.

c) Periódico mixto, de anteperíodo 28.

d) Periódico puro, con período de 4 cifras.

e) Periódico mixto, con período 37.

f ) Exacto, con parte entera 2.

27. Halla la fracción generatriz.

a) 0,2 e) 0,01

b) 5,25 f ) 37,875

c) 95,7 g) 342,12

d) 8,0002 h) 0,0000003

28. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos.

a) 3,5 e) 0,0157 i) 1,256

b) 5,902 f ) 42,004 j) 10,523

c) 12,99 g) 42,78 k) 0,00097

d) 2,37 h) 0,8 l) 3,2572

29. Indica el tipo de decimal y calcula, si es posible, su fracción generatriz.

a) 15,3222… c) 15,233444… e) 15,333 b) 15,323232… d) 15,32 f ) 15

30. Escribe la fracción generatriz de estos números decimales.

a) 2,25 c) 22,5 e) 0,334334334...

b) 2,25 d) 2,25 f ) 8,57111...

31. Opera, utilizando las fracciones generatrices.

a) 1,3 + 3,4 d) 4,5 + 6,7 b) 10,25 - 5,7 e) 3,46 + 4,295 c) 1,36 + 8,25 f ) 3,21 + 4,312

32. Realiza las operaciones.

a) 1,25 ? 2,5 c) 3,76 ? 4,8 b) 0,03 : 2,92 d) 1,25 : 2,25

33. Utilizando las fracciones generatrices, comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades.

a) 1,9 = 2 b) 1,3 : 3 = 0,4 c) 1,89 + 0,11 = 2 d) 0,11 - 0,1 = 0 e) 0,3 + 0,6 = 1

34. ¿Cuál es la vigésima sexta cifra decimal que obtenemos al expresar

9 999

128 en forma decimal?

Razona tu respuesta.

! # %

% ! #

# # #

! ! %

# ! !

! ! !

! ! # #

# # # #

! ! !

! ! !

! ! !

! !

! !

! !

Números racionales

(9)

Potencias de números racionales

Potencias de exponente un número entero positivo

Una potencia de exponente un número entero positivo es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales.

a

n

= a ? a ? a ? … ? a si n > 0

n veces

14444244443

3

4

= 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 ? ? 5 2

5 2

5 2

125 8 5

2

3

= =

e o

4 veces 3 veces

En una potencia de base un número racional y exponente entero positivo:

•   Si la base es un número positivo, la potencia es siempre positiva.

•   Si la base es un número negativo, la potencia es positiva si el exponente es par,  y negativa si es impar.

(-2)

5

= (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = -32

? ? ?

? ? ?

? ? ?

( ) ( ) ( ) ( ) 3

2

3 2

3 2

3 2

3 3 3 3

2 2 2 2

81 16 3

2

4

- = - - - - = - - - -

e o e o e o e o e o =

Potencias de exponente un número entero negativo

Una potencia de exponente un número entero negativo es igual al cociente entre la unidad y dicha potencia con el exponente positivo.

a a

n

1

=

n

-

si a ! 0

3

-2

3

1 9 1

=

2

= (-3)

-2

( 3 ) 1

9 1

=

2

- =

( 2 ) 1

8 1

8 ( 2) -

3

=

3

1

- =

- =-

-

: 3

2 1

27 8

1 1

27 8

8 27 3

2

3 3

= = = =

-

f

e

p

o

: 3

2 1

27 8

1 1

27 8

8 27 3

2

3 3

- =

-

= -

= - =-

-

e

e

e o

o

o

144424443 1442443

Fimpar

F

par

SABER

10

SABER

(10)

Potencias de exponente 0, 1 y -1

Para cualquier valor de a (a ! 0) siempre se cumple que:

a

a a

a 1

1

0 1

1

=

= a =

-

*

3

0

= 1

3 1

3

3

-1

=

1

= 1 1

3 4

0 f p

=

(-3)

0

= 1

( 3 ) 1

3 1

3 ( 3) -

1

=

1

1

- =

- =-

-

3 4 3 4

1 f p

=

Propiedades de las potencias

1. Potencia de un producto: ( a b ? )

n

= a

n

? b

n

? ? ?

( 2 4 )

3

= 2 4

3 3

= 8 64 = 512

? ? ?

( 3 ) ( )

5

1 3

5 1

27 1 125

27

3

125

3

3

- = - =- =-

-

-

-

= G e o

2. Potencia de un cociente: ( : ) a b

b a

b

n n

a

n n

= d n =

( : ) a b

b a

a

n n

b

n n

= =

-

d n

-

10 7

10 7

1 000

3

343

3 3

= =

f p

5 4

5 4 1

4 5

4 5

64

3 3 3

125

3 3

= = = =

-

f p

f p

f p

( ) 3

1

3 1

81

4

1

4

-

4

= -

f p

=

( ) 3

1

1 3

1 81 81

4

4

-

4

= - = =

-

f p

3. Multiplicación de potencias de la misma base: a a

n

?

m

= a

n m+

( - 4 ) (

2

? - 4 ) = - ( 4 )

2 1+

= - ( 4 )

3

=- 64

3 ? 1

3 1

3 1

3

1 3

2 3 2 3 1

= = =

- + - -

e o e o e o

_ i

e o

4. Cociente de potencias de la misma base: a a

n

:

m

= a

n m-

( - 2 ) : (

5

- 2 )

3

= - ( 2 )

5 3-

= - ( 2 )

2

= 4

2 : 3

2 3

2 3

2 3

243

2 3 2 3 5

32

= = =

- - - -

e o e o e o e o

5. Potencia de una potencia: ( ) a

n m

= a

n m?

( ) 3

1

3 1

3

1 3 81

2 2 2 2? 4

- = - = - = -

4

=

- - -

f e o p e o e o

SABER SABER

Potencias de números racionales

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