EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS:

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(1)

Prof. Carolina Colman Página 1

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS

RACIONALES ABSOLUTOS:

Vamos a clasificar los números racionales absolutos en dos conjuntos disjuntos DE y DP

(

D

E

D

P

=

φ

).

DE Qa

DP

Sea a/b el representante canónico de un número racional , es decir que a/b es irreducible:

1)

D

b

=

2

α

.

5

β

b

a

E (es decir que el denominador admite como divisores primos sólo al 2 y/o

al 5)

Completar con

o

E

D

...

2

1

...

D

E

4

3

...

D

E

20

3

...

D

E

25

7

...

D

E

10

1

...

D

E

6

1

2)

D

P

b

a

su denominador b admite algún divisor primo distinto de 2 y de 5 (puede admitir al

2,al 5 y a otro)

Indicar si los siguientes racionales pertenecen a DE o a DP.

...

7

3

...

15

4

...

6

9

...

10

3

...

12

9

...

5

3

La clasificación que hicimos es una partición de Qa porque:

1)

D

E

φ

D

P

φ

2)

D

E

D

P

=

φ

(2)

Prof. Carolina Colman Página 2

Posibilidades en D

E

β α

5

.

2

=

D

b

b

a

E

1)

α

=

β

b

=

2

α

.

5

α

b

=

( )

2

.

5

α

b

=

10

α ( es decir b es una potencia de 10)

2)

α

<

β

n

N

/

n

=

β

α

α β α β α β β β β

10

2

.

5

.

2

2

.

5

.

2

2

.

2

.

5

.

2

2

.

5

.

2

n n

n n

n n

a

a

a

a

a

b

a

=

=

=

=

+ (el denominador es una potencia de 10)

Ejemplo: 2 2 2 2 2

10

6

5

.

2

6

2

.

5

.

2

2

.

3

5

.

2

3

50

3

=

=

=

=

3)

α

>

β

n

N

/

n

=

α

β

α β α β α β α α α α

10

'

)

5

.

2

(

'

5

.

2

'

5

.

2

5

.

5

.

5

.

2

5

.

5

.

2

a

a

a

a

a

a

b

a

n n

n n

=

=

=

=

=

=

+

Conclusión de los tres puntos anteriores:

Todo número racional que pertenece a DE se puede representar o expresar como una fracción

cuyo denominador es una potencia de 10.

Fracción decimal:

Se llama fracción decimal a todo número racional que puede expresarse mediante una fracción que tenga como denominador una potencia de 10.

6

7

no es fracción decimal ya que 6= 2x3

10

14

5

7

es fracción decimal

1000

225

5

.

5

.

2

5

.

3

5

.

2

3

40

9

2 3

2 2 3

2

=

=

Expresiones decimales de las fracciones decimales:

E

D

b

a

α

10

'

a

b

a

(3)

Prof. Carolina Colman Página 3

a’ = rn rn-1 ……r2 r1 r0 = r0 + r1.10 + r2.102 + ...+ rn.10n

α α α α α

10

10

.

...

10

10

.

10

10

.

10

10

.10

r

...

.10

r

.10

r

r

2 2 1 0 n n 2 2 1 0 n n

r

r

r

r

b

a

+

+

+

+

=

+

+

+

+

Puede pasar n>

α

.

Ejemplo: n=3 y

α

=

2

50 3427 exp decimal 2 entera entera decimal 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2

54

,

68

10

4

10

5

8

10

.

6

10

.

6

8

10

5

10

4

10

10

.

6

10

10

.

8

10

10

.

5

10

4

10

10

.

6

10

.

8

10

.

5

4

100

6854

50

3427

de decimal resión parte parte parte parte

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

Puede pasar n <

α

.

Ejemplo: n=2 y

α

=

3

375

,

0

10

5

10

7

10

3

10

10

.

3

10

10

.

7

10

5

10

10

.

3

10

.

7

5

1000

375

8

3

3 2 3 2 3 3 3 2

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

decimal parte

Puede pasar n =

α

Ejemplo: n =

α

= 1

5

,

2

10

5

2

10

5

10

10

.

2

10

10

.

2

5

10

25

2

5

=

+

=

+

=

+

=

2

5

es la fracción generatriz de 2,5.

Fracción generatriz de una expresión decimal: es el racional que la generó

Ejercicios

1) Dados los siguientes racionales

200

3

;

8

17

;

626

13

.Determinar si son fracciones decimales y

en caso afirmativo hallar su expresión decimal.

2) Hallar el racional que generó cada una de las siguientes expresiones decimales: 0,013;

13,013; 0,2; 2,102; 22,01.

3) Colocar la coma para que en cada caso la cifra tres represente los milésimos: 1213 ;

(4)

Prof. Carolina Colman Página 4

Racionales de D

P

Teorema:

Un racional que pertenece a DP (cuyo denominador admite algún divisor primo distinto de 2 y 5)

no puede expresarse en forma de expresión decimal con un número finito de cifras decimales.

Sea

D

P

b

a

,suponemos por absurdo que

finito número un es h decimales cifras h h h m

m

r

r

r

r

r

b

a

0 1

1

...

,

...

=

Pero

finito número un es h decimales cifras h h h m

m

r

r

r

r

r

−1

...

,

−1

...

0

D

E (lo cual es absurdo)

a

Q

b

a

q

b

r

a



=

=

=

<

+

=

0

r

.

.

0

b

r

,

r

b.q

a

1 E

D

b

a

N

q

b

q

b

b

a

q

b

a

r

Si r

0 , lo multiplicamos por 10 y lo dividimos entre b (hasta encontrar resto 0)

10r l b r1 q1

2 1 1

r

bq

10r

=

+

r1< b

Si r1=0 E

en sustituyo

D

q

q

b

a

q

q

b

q

b

q

b

b

a

q

b

q

b

a

bq

r

bq

r

=

+

=

+

=

+

=

=

=

1 1

1 1 1 1 1

,

10

10

.

.

10

.

.

10

10

Si r1

0

, lo multiplicamos por 10 y lo dividimos entre b.

10r1 l b

r2 q2

2 2

1

bq

r

10r

=

+

r2< b

Si r2=0

(5)

Prof. Carolina Colman Página 5 2

10

10

+

=

Sustituyo en 1

E

D

q

q

q

b

a

q

q

q

b

a

b

q

b

q

b

q

b

b

a

q

b

q

b

q

b

a

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

2 1 2

2 1 2

2 1

2 2

1

,

10

10

10

.

10

.

.

10

.

10

.

.

Si al reiterar el procedimiento en algún paso el resto es igual a cero, entonces a/b es una fracción decimal y su expresión decimal tiene un número finito de números decimales, denominado expresión decimal exacta.

Si nunca se llega a un resto cero la expresión decimal tiene infinitas cifras decimales que necesariamente han de repetirse periódicamente porque como cada uno de los sucesivos restos son menores que b y sólo hay b-1 números naturales menores que b, dichos números empiezan a repetirse.

A partir de ese momento, comienzan a repetirse los sucesivos cocientes, que son las cifras de la expresión decimal. Se denomina como expresión decimal periódica.

Ejemplo:

Q

a

7

13

1) 13 l 7 q = 1 r = 6 2) 60 l 7 q1 = 8 r1 = 4 3) 40 l 7 q2 = 5 r2 = 5

6 1 4 8 5 5

4) 50 l 7 q3 = 7 r3 = 1 5) 10 l 7 q4 = 1 r4 = 3 6) 30 l 7 q5 = 4 r5 = 2

1 7 3 1 2 4

7) 20 l 7 q6 = 2 r6 = 6 A partir de este momento se comienzan a repetir

6 2

1

,

857142

857142

...

7

13

período

=

Otros ejemplos :

5 l 3

período

6

,

1

3

5

=

5 l 6

período o anteperíod

3

8

,

0

6

5

=

20 1,6.... 50 0,83.... 2 20

2

6

,

(6)

Prof. Carolina Colman Página 6

1) 4

10

3

01

,

0

2

01

,

0

×

+

+

÷

2)

2

÷

10

4

+

14

,

4

÷

5

+

1

,

2

×

0

,

1

+

0

,

1

2

+

0

,

0001

Expresiones decimales (D

P

)

Puras: son aquellas donde el período comienza enseguida de la coma decimal.

Mixtas: cuando el período comienza después de un número finito de cifras decimales.

Puras:

3

5

Mixtas:

6

5

Si

b

a

es una fracción irreducible.

-Si b no admite como divisores primos ni al 2 ni al 5, entonces

b

a

genera una expresión decimal

periódica pura.

-Si b admite como divisores primos al 2 y/o al 5 y algún otro , entonces

b

a

genera una expresión

decimal periódica mixta.

Fracción generatriz de una expresión decimal periódica

1) Periódica Pura

=

2

,

34343434

...

b

a

a l b

a = 2b + r * r 2

con r

0

10r l b

10r = 3b + r1

r1 = 10r – 3b **

r1 3

con r1

0

10r1 l b

10r1 = 4b + r

* *

por

10(10r – 3b ) = 4b + r

100r – 30b = 4b + r

r 4

con r

0

100r – r = 30b + 4b

99r = 34b

r =

99

34b

(7)

Prof. Carolina Colman Página 7

a = 2b +

99

34b

99

232

99

232

.

99

34

2

=

=

+

=

b

a

b

b

a

En general:

...

,

mnmnmnmnmn

mn

E

b

a

=

a l b

a = b.E + r * r E

con r

0

10r l b

10r = b.m + r1

r1 = 10r – b.m **

r1 m

con r1

0

10r1 l b

10r1 = b.n + r

* *

por

10(10r – bm ) = bn + r

100r – 10bm = bn + r

r n

con r

0

100r – r = 10bm + bn

99r = (10m+n)b

r =

99

)

10

(

m

+

n

b

Sustituyo en * , entonces

a = b.E +

99

)

10

(

m

+

n

b

+

+

=

+

+

=

+

+

=

99

10

100

.

99

10

99

.

99

10

E

E

m

n

b

n

m

E

b

n

m

E

b

a

99

99

10

100

Emn

E

b

a

E

n

m

E

b

a

=

+

+

=

En el ejemplo anterior :

99

232

99

2

234

...

343434

,

2

=

=

Regla Práctica:

A una expresión decimal periódica pura le corresponde una fracción que tiene como numerador la diferencia entre el número formado por las cifras de la parte entera y el período menos el

número formado por las cifras de la parte entera y como denominador el números formado por tantas cifras 9 como cifras tenga el período.

Ejemplo:

999

28314

999

28

28342

....

342342342

,

(8)

Prof. Carolina Colman Página 8

Fracción generatriz de una expresión decimal mixta

p

m

E

b

a

,

=

a l b

a = b.E + r * r E

con r

0

10r l b

10r = b.m + r1 **

r1 m

con r1

0

10r1 l b

10r1 = b.p + r1

10r1 – r1 = b.p

9r1 = b.p

9

.

1

p

b

r

=

r1 p

Sustituyo en **

10r = bm +

9

. p

b

10r = b.

+

9

p

m

+

=

9

10

p

m

b

r

Sustituyo en *

a= b.E +

+

9

10

p

m

b

a = b.

+

+

90

10

p

m

E

90

10

p

m

E

b

a

+

+

=

90

)

10

(

10

100

90

)

1

10

(

)

10

100

(

90

9

90

E

m

p

E

m

b

a

p

m

E

b

a

p

m

E

b

a

=

+

+

=

+

+

=

+

+

+

90

Em

Emp

b

a

=

(9)

Prof. Carolina Colman Página 9

Ejemplo: 14,34521212121……..=

99000

1420176

99000

14345

1434521

=

Ejercicios:

I)A) Investigar sin efectuar las divisiones si los siguientes racionales admiten expresiones decimales exactas, periódicas puras o periódicas mixtas:

6

15

,

21

11

,

20

13

,

14

31

B) Determinar las expresiones decimales correspondientes verificando la parte anterior.

II) Determinar la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales periódicas: 5,0101010101….; 5,242424242424…..; 0,0111111111….; 2,222222222 ; 3,141414141414…..; 1,9999999999….; 2,19999999…….

Figure

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Referencias

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