Prof. Carolina Colman Página 1
EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS
RACIONALES ABSOLUTOS:
Vamos a clasificar los números racionales absolutos en dos conjuntos disjuntos DE y DP
(
D
E∩
D
P=
φ
).DE Qa
DP
Sea a/b el representante canónico de un número racional , es decir que a/b es irreducible:
1)
∈
D
⇔
b
=
2
α.
5
βb
a
E (es decir que el denominador admite como divisores primos sólo al 2 y/o
al 5)
Completar con
∈
o∉
E
D
...
2
1
...
D
E4
3
...
D
E20
3
...
D
E25
7
...
D
E10
1
...
D
E6
1
2)
∈
D
P⇔
b
a
su denominador b admite algún divisor primo distinto de 2 y de 5 (puede admitir al
2,al 5 y a otro)
Indicar si los siguientes racionales pertenecen a DE o a DP.
...
7
3
∈
...
15
4
∈
...
6
9
∈
...
10
3
∈
...
12
9
∈
...
5
3
∈
La clasificación que hicimos es una partición de Qa porque:
1)
D
E≠
φ
D
P≠
φ
2)
D
E∩
D
P=
φ
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Posibilidades en D
Eβ α
5
.
2
=
⇔
∈
D
b
b
a
E
1)
α
=
β
⇒
b
=
2
α.
5
α⇒
b
=
( )
2
.
5
α⇒
b
=
10
α ( es decir b es una potencia de 10)2)
α
<
β
⇒
∃
n
∈
N
/
n
=
β
−
α
α β α β α β β β β
10
2
.
5
.
2
2
.
5
.
2
2
.
2
.
5
.
2
2
.
5
.
2
n n
n n
n n
a
a
a
a
a
b
a
=
≈
=
=
=
+ (el denominador es una potencia de 10)
Ejemplo: 2 2 2 2 2
10
6
5
.
2
6
2
.
5
.
2
2
.
3
5
.
2
3
50
3
=
=
=
=
3)
α
>
β
⇒
∃
n
∈
N
/
n
=
α
−
β
α β α β α β α α α α
10
'
)
5
.
2
(
'
5
.
2
'
5
.
2
5
.
5
.
5
.
2
5
.
5
.
2
a
a
a
a
a
a
b
a
n n
n n
=
=
=
=
=
=
+Conclusión de los tres puntos anteriores:
Todo número racional que pertenece a DE se puede representar o expresar como una fracción
cuyo denominador es una potencia de 10.
Fracción decimal:
Se llama fracción decimal a todo número racional que puede expresarse mediante una fracción que tenga como denominador una potencia de 10.
6
7
no es fracción decimal ya que 6= 2x3
10
14
5
7
≈
es fracción decimal1000
225
5
.
5
.
2
5
.
3
5
.
2
3
40
9
2 3
2 2 3
2
=
≈
=
Expresiones decimales de las fracciones decimales:
E
D
b
a
∈
α10
'
a
b
a
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a’ = rn rn-1 ……r2 r1 r0 = r0 + r1.10 + r2.102 + ...+ rn.10n
α α α α α
10
10
.
...
10
10
.
10
10
.
10
10
.10
r
...
.10
r
.10
r
r
2 2 1 0 n n 2 2 1 0 n nr
r
r
r
b
a
≈
+
+
+
+
=
+
+
+
+
Puede pasar n>
α
.Ejemplo: n=3 y
α
=
2
50 3427 exp decimal 2 entera entera decimal 2 2 3 2 2 2 2 2 3 254
,
68
10
4
10
5
8
10
.
6
10
.
6
8
10
5
10
4
10
10
.
6
10
10
.
8
10
10
.
5
10
4
10
10
.
6
10
.
8
10
.
5
4
100
6854
50
3427
de decimal resión parte parte parte parte=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
≈
Puede pasar n <
α
.Ejemplo: n=2 y
α
=
3
375
,
0
10
5
10
7
10
3
10
10
.
3
10
10
.
7
10
5
10
10
.
3
10
.
7
5
1000
375
8
3
3 2 3 2 3 3 3 2=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
≈
decimal partePuede pasar n =
α
Ejemplo: n =
α
= 15
,
2
10
5
2
10
5
10
10
.
2
10
10
.
2
5
10
25
2
5
≈
=
+
=
+
=
+
=
2
5
es la fracción generatriz de 2,5.
Fracción generatriz de una expresión decimal: es el racional que la generó
Ejercicios
1) Dados los siguientes racionales
200
3
;
8
17
;
626
13
.Determinar si son fracciones decimales y
en caso afirmativo hallar su expresión decimal.
2) Hallar el racional que generó cada una de las siguientes expresiones decimales: 0,013;
13,013; 0,2; 2,102; 22,01.
3) Colocar la coma para que en cada caso la cifra tres represente los milésimos: 1213 ;
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Racionales de D
PTeorema:
Un racional que pertenece a DP (cuyo denominador admite algún divisor primo distinto de 2 y 5)
no puede expresarse en forma de expresión decimal con un número finito de cifras decimales.
Sea
D
Pb
a
∈
,suponemos por absurdo que
finito número un es h decimales cifras h h h mm
r
r
r
r
r
b
a
0 1
1
...
,
−...
−=
Pero finito número un es h decimales cifras h h h mm
r
r
r
r
r
−1...
,
−1...
0∈
D
E (lo cual es absurdo)a
Q
b
a
∈
q
b
r
a
≠
∈
⇒
∈
≈
=
⇒
=
⇒
=
<
+
=
0
r
.
.
0
b
r
,
r
b.q
a
1 E
D
b
a
N
q
b
q
b
b
a
q
b
a
r
Si r
≠
0 , lo multiplicamos por 10 y lo dividimos entre b (hasta encontrar resto 0)10r l b r1 q1
2 1 1r
bq
10r
=
+
r1< bSi r1=0 E
en sustituyo
D
q
q
b
a
q
q
b
q
b
q
b
b
a
q
b
q
b
a
bq
r
bq
r
=
+
⇒
=
∈
+
=
⇒
+
=
=
⇒
=
⇒
⇒
1 11 1 1 1 1
,
10
10
.
.
10
.
.
10
10
Si r1
≠
0
, lo multiplicamos por 10 y lo dividimos entre b.10r1 l b
r2 q2
2 2
1
bq
r
10r
=
+
r2< bSi r2=0
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10
10
+
=
Sustituyo en 1
E
D
q
q
q
b
a
q
q
q
b
a
b
q
b
q
b
q
b
b
a
q
b
q
b
q
b
a
⇒
=
+
+
⇒
=
∈
+
+
=
⇒
+
+
=
2 1 22 1 2
2 1
2 2
1
,
10
10
10
.
10
.
.
10
.
10
.
.
Si al reiterar el procedimiento en algún paso el resto es igual a cero, entonces a/b es una fracción decimal y su expresión decimal tiene un número finito de números decimales, denominado expresión decimal exacta.
Si nunca se llega a un resto cero la expresión decimal tiene infinitas cifras decimales que necesariamente han de repetirse periódicamente porque como cada uno de los sucesivos restos son menores que b y sólo hay b-1 números naturales menores que b, dichos números empiezan a repetirse.
A partir de ese momento, comienzan a repetirse los sucesivos cocientes, que son las cifras de la expresión decimal. Se denomina como expresión decimal periódica.
Ejemplo:
∈
Q
a7
13
1) 13 l 7 q = 1 r = 6 2) 60 l 7 q1 = 8 r1 = 4 3) 40 l 7 q2 = 5 r2 = 5
6 1 4 8 5 5
4) 50 l 7 q3 = 7 r3 = 1 5) 10 l 7 q4 = 1 r4 = 3 6) 30 l 7 q5 = 4 r5 = 2
1 7 3 1 2 4
7) 20 l 7 q6 = 2 r6 = 6 A partir de este momento se comienzan a repetir
6 2
1
,
857142
857142
...
7
13
período
=
Otros ejemplos :
5 l 3
período
6
,
1
3
5
⌢
=
⇒
5 l 6período o anteperíod
3
8
,
0
6
5
⌢
=
⇒
20 1,6.... 50 0,83.... 2 20
2
6
,
Prof. Carolina Colman Página 6
1) 4
10
3
01
,
0
2
01
,
0
×
+
+
÷
2)
2
÷
10
4+
14
,
4
÷
5
+
1
,
2
×
0
,
1
+
0
,
1
2+
0
,
0001
Expresiones decimales (D
P)
Puras: son aquellas donde el período comienza enseguida de la coma decimal.
Mixtas: cuando el período comienza después de un número finito de cifras decimales.
Puras:
3
5
Mixtas:
6
5
Si
b
a
es una fracción irreducible.
-Si b no admite como divisores primos ni al 2 ni al 5, entonces
b
a
genera una expresión decimal
periódica pura.
-Si b admite como divisores primos al 2 y/o al 5 y algún otro , entonces
b
a
genera una expresión
decimal periódica mixta.
Fracción generatriz de una expresión decimal periódica
1) Periódica Pura
=
2
,
34343434
...
b
a
a l b
⇒
a = 2b + r * r 2con r
≠
010r l b
⇒
10r = 3b + r1⇒
r1 = 10r – 3b **r1 3
con r1
≠
010r1 l b
⇒
10r1 = 4b + r⇒
* *por
10(10r – 3b ) = 4b + r
⇒
100r – 30b = 4b + rr 4
con r
≠
0
100r – r = 30b + 4b⇒
99r = 34b⇒
r =99
34b
Prof. Carolina Colman Página 7
a = 2b +
99
34b
⇒
99
232
99
232
.
99
34
2
=
⇒
=
+
=
b
a
b
b
a
En general:
...
,
mnmnmnmnmn
mn
E
b
a
=
a l b
⇒
a = b.E + r * r Econ r
≠
010r l b
⇒
10r = b.m + r1⇒
r1 = 10r – b.m **r1 m
con r1
≠
010r1 l b
⇒
10r1 = b.n + r⇒
* *por
10(10r – bm ) = bn + r
⇒
100r – 10bm = bn + rr n
con r
≠
0
100r – r = 10bm + bn⇒
99r = (10m+n)b⇒
r =99
)
10
(
m
+
n
b
Sustituyo en * , entonces
a = b.E +
99
)
10
(
m
+
n
b
⇒
−
+
+
=
+
+
=
+
+
=
99
10
100
.
99
10
99
.
99
10
E
E
m
n
b
n
m
E
b
n
m
E
b
a
99
99
10
100
Emn
E
b
a
E
n
m
E
b
a
=
+
+
−
⇒
=
−
⇒
En el ejemplo anterior :
99
232
99
2
234
...
343434
,
2
=
−
=
Regla Práctica:
A una expresión decimal periódica pura le corresponde una fracción que tiene como numerador la diferencia entre el número formado por las cifras de la parte entera y el período menos el
número formado por las cifras de la parte entera y como denominador el números formado por tantas cifras 9 como cifras tenga el período.
Ejemplo:
999
28314
999
28
28342
....
342342342
,
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Fracción generatriz de una expresión decimal mixta
p
m
E
b
a
⌢
,
=
a l b
⇒
a = b.E + r * r Econ r
≠
0
10r l b
⇒
10r = b.m + r1 **r1 m
con r1
≠
010r1 l b
⇒
10r1 = b.p + r1⇒
10r1 – r1 = b.p⇒
9r1 = b.p⇒
9
.
1p
b
r
=
r1 p
Sustituyo en **
10r = bm +
9
. p
b
⇒
10r = b.
+
9
p
m
⇒
+
=
9
10
p
m
b
r
Sustituyo en *
a= b.E +
+
9
10
p
m
b
⇒
a = b.
+
+
90
10
p
m
E
90
10
p
m
E
b
a
+
+
=
⇒
90
)
10
(
10
100
90
)
1
10
(
)
10
100
(
90
9
90
E
m
p
E
m
b
a
p
m
E
b
a
p
m
E
b
a
=
+
+
⇒
=
−
+
−
+
⇒
=
+
+
−
+
90
Em
Emp
b
a
−
=
Prof. Carolina Colman Página 9
Ejemplo: 14,34521212121……..=
99000
1420176
99000
14345
1434521
−
=
Ejercicios:
I)A) Investigar sin efectuar las divisiones si los siguientes racionales admiten expresiones decimales exactas, periódicas puras o periódicas mixtas:
6
15
,
21
11
,
20
13
,
14
31
B) Determinar las expresiones decimales correspondientes verificando la parte anterior.
II) Determinar la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales periódicas: 5,0101010101….; 5,242424242424…..; 0,0111111111….; 2,222222222 ; 3,141414141414…..; 1,9999999999….; 2,19999999…….
