NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES

NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES

3. Determina si los siguientes números son o no números racionales:

a) 7,555555… b) 3,034035036… c) 1,03034444444… d) 34,350350350351.

SOLUCIÓN:

a) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico.

b) Es un número irracional, aunque existe una forma de construir la parte decimal, sin embargo las infinitas cifras decimales no se repiten de forma periódica.

c) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico mixto.

d) Es un número racional, se trata de un número decimal exacto, tiene un número finito de cifras decimales.

4. Efectúa las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número decimal: a)

6 0 , 0

2 , 1 6 , 0

 

 _b)

5 , 1

6 , 0 3 , 0 4  

SOLUCIÓN: a)

28 6 168

90 6 90

108 60

90 6 10 12 9 6

6 0 , 0

2 , 1 6 ,

0 _{ }

    



 _b)

9 4 15 9

60

10 15 9 6

10 15 9 6 9 12

10 15 9 6 9 3 4

5 , 1

6 , 0 3 , 0

4 _

          

5. Determina si los siguientes números son racionales o irracionales: a) 1,23234234523456... b) 1,23232323... c) 1,234235236237... d) 1,23

SOLUCIÓN:

a) Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica.

b) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico puro.

c) Es un número irracional, tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica. d) Es un número racional, es un número decimal exacto.

6. Determina cuáles de los siguientes radicales son números irracionales: a) 8 b) 3₆₂₅ c)  ₉ d) 5

32 e) 4

9 5

SOLUCIÓN:

a) Es un número irracional. b) Es un número irracional.

c) Es un número racional,  93_.

d) Es un número racional, 5322

NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL

8. Dibuja, utilizando el teorema de Pitágoras, segmentos que tengan las siguientes longitudes: 30

, 8 ,

7 .

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que

 

3 2 3 4

7    , representamos en primer lugar el número real

3. Como 3 12 12

 

usamos 2 2

1 1

2  , obtenemos por el Teorema de Pitágoras que el punto D se corresponde con 2. Con triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, obtenemos el punto F que representa el

número real 3. Finalmente con el triángulo rectángulo de base 3 y altura 2 obtenemos el punto H

que proyectado sobre la recta real nos da el punto J que es 7.

Para representar 8, podemos tener en cuenta que 8 2222 , por tanto, si representamos un

triángulo rectángulo de base 2 y altura 2, obtenemos el punto C que proyectado sobre la recta real nos da el punto F que representaría al número real 8.

Construyendo el triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, obtenemos el punto C. La hipotenusa AC tiene longitud 5,

trasladando esa longitud con el compás sobre la recta real obtenemos el punto D que representa al número 5. Construyendo

ahora el triángulo rectángulo de base 5 y

altura 5 obtenemos el punto E. La longitud AE es

30. Con el compás

podemos trasladar esa longitud sobre la recta real y obtenemos el punto G que representa el valor deseado.

9. Construye una sucesión de 10 intervalos encajados que determine los siguientes números reales: e, 3, 2.

SOLUCIÓN:

Para obtener una sucesión de 10 intervalos encajados, necesitamos un total de 9 cifras decimales de cada número.

Una expresión decimal del número e con 10 cifras decimales es: 2,718281828. Por tanto la sucesión de 10 intervalos encajados que define el número e es: (2;3), (2,7; 2,8), (2,71; 2,72), (2,718; 2,719), (2,7182; 2,7183); (2,71828; 2’71829), (2,718281; 2’718282), (2,7182818; 2,7182819),

(2,71828182; 2,71828183), (2,718281828; 2’718281829).

Una expresión decimal del número 3 con 9 cifras decimales es: 1,732050807 Por tanto la sucesión

de intervalos encajados que define este número es: (1;2), (1,7; 1,8), (1,73; 1,74), (1,732; 1,733), (1,732; 1,7321), (1,73205; 1,73206), (1,73205; 1,732051), (1,7320508; 1,7320509),

(1,7320508; 1,73205081), (1,732050807; 1,732050808).

Una expresión decimal del número 2 con 9 cifras decimales es: 1,414213562. La sucesión de

intervalos encajados pedida es: (1;2), (1,4; 1,5), (1,41; 1,42), (1,414; 1,415), (1,4142; 1,4143), (1,41421; 1,41422), (1,414213; 1,414214), (1,4142135; 1,4142136), (1,41421356; 1,41421357), (1,414213562; 1,414213563).

ORDENACIÓN EN R. INTERVALOS Y ENTORNOS.

12. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordénalos de menor a mayor: a)

2 7 , 12

1 , 4 3 , 3

2 _y

6

1 _b)

8 67 ' 1 , 7 6 ' 1 ,

,  

 y 1'698 c) 3,4,3,38,3,38,3,398 y 3,401

a) Reducimos a común denominador los números y tenemos:

12 8 3 2_{ ,}

12 9 4 3_{ ,}

12 1 _,

12 42 2 7_

,

12 2 6

1_{ por lo tanto}

2 7 4 3 3 2 6 1 12

1 _{    .}

b) 1,671,6781,698 c) 3,383,383,3983,43,401

13. Intercala tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes: a) 1,02,1,031 b) 3,02,3,032.

SOLUCIÓN:

a) 1,021,0231,0241,0251,031

b) 3,0323,03153,03143,03133,02

14. Realiza las siguientes operaciones con intervalos y representa el resultado obtenido: a) [-5,5] (0,6)

b) [-5,5] (0,6) c) (4,9](5,8] d) (4,9]∩(5,8] e) (-,0)(-1,4] f) (-,0)(-1,4] g) (-3,4](2,+) h) (-3,4](2,+)

SOLUCIÓN:

a) [-5,6) b) (0,5] c) (4,9] d) (5,8] e) (,4] f) (-1,0) g) (3,) h) (2,4]

VALOR ABSOLUTO

19. Efectúa las siguientes operaciones:

a) ||-4+7|-|7+4||-3| b) ||-4||-5|-|-20|| c) ||4| (-2) – 4 |-2||

SOLUCIÓN:

a) |3-11 3|=|3-33|=30. b) |4 5-20|=0 c) |-8-8|=16

20. Calcula: a) | 73| b) | 84| c) |e2| d) |e| SOLUCIÓN:

a) 3 7 b) 4 8 c) e-2 d) e

21. Resuelve las siguientes ecuaciones, en el caso de que tengan solución: a) |4x+5|=3 b) 5-|3+x|=8 c) |-4x+7|+8=10 d) |3x+5|=10

SOLUCIÓN:

a) |4x5|34x53 ó 4x534x2 ó 4x8x1/2 ó x2

c) |4x7|810|4x7|24x72 _{ó 4x724x5 ó} 4

/ 5 9

4   

 x x _ó x9/4

d) |3x5|103x510 ó 3x5103x5 ó 3x15x5/3 ó x5

22. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) |x3|7 b) |x4|8 c) |x1|2 d) |2x1|8

SOLUCIÓN:

a) |x3|77x3710x4x(10,4)

b) |x4|8x48 ó x48x12 ó x4x(,4)(12,)

c) |x1|22x123x1x[3,1]

d)|2x1|82x18 ó 2x182x7 ó 2x9x7/2 ó



 



2 /

9     



 x

x

APROXIMACIONES DECIMALES. ERRORES

26. Aproxima por truncamiento y por redondeo a las décimas, centésimas, milésimas y diezmilésimas de lo siguientes números reales utilizando la calculadora:

a) 5 b) 6 5 2 c) 7

SOLUCIÓN:

Truncamiento Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas

5 2,2 2,23 2,236 2,2360

2 5

6  12 12 12,002 12,0021





7 10,1 10,14 10,141 10,1415

Redondeo Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas

5 2,2 2,24 2,236 2,2361

2 5

6  12 12 12,002 12,0022





7 10,1 10,14 10,142 10,1416

27. Dados los siguientes números reales: a) 27 b) 3

3 c) 5 d) .6e Utiliza la calculadora para:

1. Aproximar por redondeo a las diez milésimas.

SOLUCIÓN:

Redondeo

diezmilésima Error absoluto Error relativo Intervalo de aproximación Orden del error relativo

27 5,1962 0,0000475 0,000009156



( 270,00005, 270,00005) 0,0009156 %

3

3 1,4422 0,0000495 0,000034370



( 33 _{0,00005, 3}3 _0,00005) 0,0034370

%



5 15,708 0,0000367 0,000002338



(5 0,00005, 5 0,00005) 0,0002338

% e

6 16,3097 0,0000090 0,000000553



(6e0,00005, 6e0,00005) 0,0000553

%

28. Utilizando la calculadora, redondea el resultado de las siguientes operaciones:

a) Con un error menor que 1 centésima b) Con un error menor que 1 diezmilésima 1) 5 274 2 2) 3312 61 3)

3 2 13

SOLUCIÓN:

a) Para obtener un error menor que 1 centésima es decir 0,01 debemos redondear a la milésima pues en ese caso el error máximo que se comete es de 0,005:

1) 20,324 2) 18,762 3) 2,939

b) Para obtener un error menor que 1 diezmilésima es decir 0,0001 debemos redondear a la cienmilésima pues en ese caso el error máximo que se comete al redondear es de 0,00005:

1) 20,32391 2) 18,76188 3) 2,93888

29. Con ayuda de la calculadora, redondea los siguientes números con el número de cifras significativas que se indican:

a) 7 2 con cinco cifras significativas.

b) 20 con seis cifras significativas.

c)

30

7 _{con cuatro cifras significativas.}

SOLUCIÓN:

a) Como 7 21,2315377... entonces la aproximación por redondeo con cinco cifras

significativas es 1,2315.

b) Como 204,472135955... entonces la aproximación por redondeo con seis cifras

significativas es 4,47214. c) Como 0,23

20

7 _  _{entonces la aproximación por redondeo con seis cuatro cifras significativas}

es 0,2333.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

31. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica: a) (1,541064,34105):(3,871049,15104)

b) 5 6 5

10 45 , 3 ) 10 3405 , 1 10 234 , 7

(        

a)  5  5   4   5  4 10 02 , 13 : 10 ) 34 , 4 4 , 15 ( 10 ) 15 , 9 87 , 3 ( : ) 10 34 , 4 10 4 , 15 ( 494624 , 8 10 8494624 , 0 10 02 , 13 : 06 ,

11    

 .

b) 5 5 5

10 45 , 3 ) 10 13405 , 0 10 234 , 7

(         = (7,2340,13405)1053,45105= . 10 54197725 , 2 10 4197725 , 25 10 45 , 3 36805 ,

7   10  10  9



POTENCIAS Y RADICALES. PROPIEDADES

37. Realiza las siguientes operaciones con potencias: a) 2 2 2 2 1 4 3 1 5 4                                

 _b) 4 4 3 3 2

) 8 / 3 ( ) 3 4 ( : ) 5 3

(     c) _{1 4}

3 3 5 4 3    z y y z x z y x SOLUCIÓN:

a) _ 

                                            

   2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 5 4 1 4 3 1 5 4 . 5 3 2 5 3 5 9 3 25 5 9 3 3 4 5 25 16 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                   

b) 4 4 3 3 2 ₃4 ₂2 3 4_{3 2}2 3 3 ₆4 ₂12

3 2 2 5 3 3 4 4 8 5 3 3 8 4 5 3 ) 8 / 3 ( ) 3 4 ( : ) 5 3 (                 c)  x3 y4 z5 x3_z 

y3 y1_z4 y

4_z4_y4_z4 _0

38. Clasifica los siguientes radicales en racionales o irracionales: a)



3375

3 b)



268912

5 c)



2592

4 d)



180 e)

 5103 6 _f)  6250 5 SOLUCIÓN:

Efectuamos la descomposición factorial de cada uno de los radicandos para intentar sacar factores del radical:

a)



3375

3 _3 ₃3_53 _15

, luego es un número racional. b)



268912

5 _5 ₂4_75 _75 ₂4

, es por tanto un número irracional. c)



2592

4 _4 ₂5_34 _{6 2}4

, es un número irracional. d)



180  22_32_{5 6 5}

, es un número irracional. e)



5103

6 _6 ₃6_{7 3 7}6

, es un número irracional. f)



6250

5 _5 _255 _{5 2}5

, es un número irracional.

39. Ordena de mayor a menor los siguientes radicales: a) 8

16, 125, 4

49 b) 3 4

16 , 345 , 34 SOLUCIÓN:

Para ordenarlos debemos reducirlos a índice común:

a) Como m.c.m. (8,2,4)=8, reducimos los radicales a índice 8: 8

16, ₁₂₅8₁₂₅4 8_2,4414₁₀8, 4 8 2 8

2401 49

49  , luego

8

16>4₄₉> ₁₂₅

b) Como m.c.m.(3,2,4)=12, reducimos los radicales a índice 12:



34

luego: 416_334_ 345

40. Efectúa y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario: a)

5 5 5

5  b) 3

4 3 5

15 3

2 _{c) 3}

3 5 3 5  

d) 216 1503 29415 24 e)

7 6 4 135 45         f) 4 6 5 2 5 5 3 5 5 3   

 _g) 3 3 3 3₄₀

7 1 216 7 1 320 135

2   

SOLUCIÓN:

a) 5 2 5

5 5 10 25 5 5 ) 10 5 5 ( 5 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

5            

b)      

15 15 3 2 15 15 3 2 15 15 3 2 15 3 2 15 3 2 15 3

2 6 9 512 11 36 636 2036 33 36 6 20 33

12 9 5 6

3 4 3 3 5 3 4 3 5 5 5 3 2 15 5 3 2 3 15 5 3 3

2 36 6 17 33 36 6 17 33 36 6 20 33 33

 



c)      

        6 6 6 6 2 6 3 2 15 2 8 2 3 15 2 5 3 5 ) 3 5 ( 3 5 3 5 3 5 3 5          2 ) 15 4 ( 2 2 15 2 2 2 2 ) 15 2 8 ( 2 2 15 2

8 6 5 6 5 6 8 6 6 6

6 6 6 15 4 2 15 4 2     .

d) 216 1503 29415 24 63 5263 72615 226

6 2 6 ) 30 21 5 6 ( 6 30 6 21 6 5 6

6        

 . e) 12 7 7 12 2 6 3 6 7 12 2 3 7 12 2 12 3 7 6 4 5 5 3 5 3 135 45 135 45 135 45                                     . f)            ) 5 5 ( 4 ) 5 5 )( 6 5 2 ( 3 20 5 12 4 6 5 2 5 5 3 5 5 3              ) 5 5 ( 4 5 4 20 3 20 5 12 ) 5 5 ( 4 ) 30 5 6 5 10 10 ( 3 20 5 12               25 5 ) 5 5 )( 5 3 5 5 2 ( 5 5 5 3 5 5 2 ) 5 5 ( 4 20 3 20 5 8               20 3 25 15 5 5 5 15 20 25 5 5 3 25 15 5 5 10 10 4 3 5 15 5

3  



g) 3 3  3  3  3  33 6  3 3 3 3₅₂3

7 1 3 2 7 1 5 2 3 5 2 40 7 1 216 7 1 320 135 2 7 6 5 7 72 5 7 2 7 6 5 4 5

63  3   3  3 

41. Racionalizar los denominadores de: a)

7 5

7 5



 _b)

5 3 2

7 3 5



 _c)

3 5

49 2

5

7 _d)

5 4

) 3 ( 5

250 . 1 ) 3 (

 

x x

SOLUCIÓN:

a) 6 35

2 35 2 12 2

7 35 2 5 7

5

) 7 5 )( 7 5 (

7 5

7

5 _{ }

   

   

 

 



b)

7

5 7 3 14 15 5 30 5

12

) 5 3 2 )( 7 3 5 ( 5 3 2

7 3

5   

 

 

 



c)



7 55

2 493 

7 55 3 ₄₉2

249  5

5 3 ₇4

27 

7 55 3 ₇

14  5

5 3 ₇

2 

53₇5 15

2

d)



(x3) 12504

5 (5 x3) 

(x3)5 24

5 (5 x3) 

(x3) 24 5_(x3)4

(x3)  2

4 5_(x3)4

42. Simplifica las siguientes expresiones: a)

4 2 3

5 125 4

a

a _{b) x}3 _yx4_x3_y3 c) 

  



₃4_ay5_24_ay8_2y4_a

SOLUCIÓN:

a) ₄ 4

2 2

4 2 4 2 2

4 2 4 2

3 3

4 2 3

25 4 25 4 5 4

5 5 20

5 5 4

5 125 4

a a

a a a

a a

a a a

a a

a

a _{    }

b) _x3 _yx4 _x3_y3 12_x612_y4_x412_x9_y9 12_x19_y13 _xy12_x7_y

c) 34 5 24 8 2 4 _3 _{4 }2 24 _2 4 _(3 _{4 }2 2_2 )4 _ 4





  



 _{ay  ay  y a y ay y a y a y y y y a y a y y}

LOGARITMOS

47. Halla utilizando la definición y sin el uso de la calculadora los siguientes logaritmos: a) log0,000001 b)



log10000000 c) log3243 d)



log₂1024

e) log72.401 f) 4 1

log1/2 g)

8 27

log2/3 h) log3(81)

i) log0,10,0001 j)



log0, 3

1000

27 k) log1/40,25 l)



log1/ 2

125 1000 SOLUCIÓN:

a)



log 0,000001log106 _{ 6}

b)



log10000000log107 _7

c)



log₃243log₃35 _5

d)



log₂1024 log₂210_10

e)



log₇2401log₇74 _4

f)



log_{1/ 2}1

4 log1/ 2

1 2

   _

2

2

g)



log_{2 / 3}27

8 log2 / 3

33

23 log2 / 3

3 2

   _

3

log_{2 / 3} 2 3

   _

3

 3

i) 10 4. 1 log 000 . 10 1 log 0001 , 0 log 4 10 / 1 10 / 1 1 ,

0  

      

j) log (0,3) 3.

10 3 log 3 10 log 27 000 . 1

log 0,3 3

3 3 , 0 3 3 , 0 3 ,

0   

              

k) 2 2.

1 log 10 5 log 100 25 log 25 , 0 log 2 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 /

1  

             

l) 2 3.

1 log 10 5 log 1000 125 log 3 2 / 1 3 2 / 1 2 /

1  

            

48. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener: a) 5 625 log 3 27 log 256 log 5 3 2 3 3

2   b) 5 ₃

7 2 ₁₀

001 , 0 log 125 1 log 1

ln  

e

c) 2ln(5 )

16 8 log 6 36 log 7 6 2 5

6_  _  e d)

001 , 0 10 log ln 5 3 _e e SOLUCIÓN:

a)       

5 625 log 2 1 3 log 27 log 256 log 3 1 5 625 log 3 27 log 256 log 5 3 2 3 3 2 5 3 2 3 3 2     

 log 5

2 1 5 log 2 1 3 log 3 2 3 log 2 log 3 1 5 4 5 3 3 3 8 2 . 12 25 4 1 2 3 2 3 3 8      

b)         3 

5 5 7 2 3

5

7 2 ₁₀ ln1 ln log1 log 125 log0,001 log 10

001 , 0 log 125 1 log 1 ln e e      

  _log10

3 1 10 log 5 log 2 1 0 ln 7 2

0 e ₅ 3 3

42 89 3 1 3 2 3 7 2        .

c)   

  



  2ln(5 )

16 8 log 6 36 log 7 6 2 5 6 e      

log 36 log 6 log 8 log 616 2(ln5 ln 7) 2 2 5 6 6 e      

 log 16 2ln5 14lne

6 1 2 log 6 log 2 5 6

log₆ 2 _{6 2} 3 ₂

. 6 71 5 ln 2 14 5 ln 2 6 4 3 2 5

2      

 d) . 48 5 3 5 1 ) 3 1 1 ( 2 1 10 log 10 log 5 1 ) ln (ln 2 1 001 , 0 log 10 log ln 2 1 001 , 0 10 log ln 3 3 5 3 5 3           e e e e e e

49. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de: a) log572 b) log6745 c) log217

a) log5 2,66. 72 log 72

log5  

b) log6 3,69 745 log 745

log6  

c) log2 4,09. 17 log 17

log₂  

50. Si log7x0,7, log7y1,2 y log7101,183, calcula, usando las propiedades de los logaritmos: a)

3

2 5

3 7

7

log _

  

  

y x

xy _b)

3

2 5

log

y x

y x

SOLUCIÓN:

a) 

  



 _{  }

    



 _

     

  

2 5 7 3

7 7 7 2

5 7 3 7 3

2 5

3

7 log

2 1 log log 7 log 3 1 log

7 log 3 1 7

log xy x y x y x y

y x

xy





  



 _{   }

 2

7 5 7 7

7 log log

2 1 log 3 log 1 3 1

y x

y

x

    



 _{   }

 7x yy 7x log7y

2 2 log 2 5 log 3 log 1 3 1

783 , 0 ) 2 , 1 7 , 0 2 5 2 , 1 3 7 , 0 1 ( 3

1 _{     }

 .

b)   6 





2 5 3

2 5

log log

6 1 log

log x y xy

y x

y x

y x

y x





2 1 log 5 1 log 6 1 log log

log log 6

1 5 2 

  



 _{  }

 

 

 x y x y x y x y

Como 0.59

183 , 1

7 , 0 10 log

log log

7

7 _{ }

 x

x y 1,014

183 , 1

2 , 1 10 log

log log

7

7 _{ }

 y

y

Entonces:



(*)1

6 0,59 1 51,014

1

20,5921,014

 