Números Reales

(1)

1 NÚMEROS REALES

P A R A E M P E Z A R

Representa los números enteros 5, 8, 2, 7 y 3.

Escribe un ejemplo de cada una de las interpretaciones de fracción.

Partes de una cantidad:1

5de los alumnos de mi clase usa gafas.

Cociente indicado de dos números enteros:3

4 3 : 4 0,25.

Un operador:1

5de los alumnos de mi clase usa gafas, si en mi clase somos 25 alumnos, 1

5 25 5 alumnos usan gafas.

Halla tres fracciones equivalentes a —1

3 2 6

— con los numeradores mayores que el de ella, y otras tres con los denominadores menores que el de ella.

Con numeradores mayores:2 7 4 2 ;

1 3

0 6

8 ;

1 4

4 8

4

Con denominadores menores: 1 6

8 ;

1 4

2 ;1

3

Imagina que el recorrido del puente del Alamillo es un segmento de 250 metros de longitud. Si el Ayun-tamiento de Sevilla ha decidido colocar 7 papeleras a lo largo del mismo, ¿cómo lo dividirías en partes iguales?

Dividiendo un segmento de 250 m en 6 partes iguales, utilizando el teorema de Tales.

Números racionales y números irracionales

P A R A P R A C T I C A R

Escribe en forma decimal los siguientes números racionales.

a) 7

4 b)

1 3

2 0

3

c) 6

2 7

5 6

d) 3

8

a) 1,75 b) 4,1 c) 27,04 d) 0,375

Indica de qué tipo son los siguientes números racionales sin hacer la división.

a) 1 9 7 9

b) 1

9 7 0

c) 1

9 8 0

d)

16 1

00

a) Periódico puro b) Periódico mixto c) Decimal exacto d) Decimal exacto

Escribe en forma decimal estos números.

a) 8

9 b)

1 6

7

c) 1

1 2 1

d) 1

7

a) 0,888… b) 2,8333… c) 1,090 909… d) 0,142 857 142 857… 1.3

1.2 1.1 4 3 2 1

–7 –5 –2 0 3 8

(2)

Escribe la fracción irreducible correspondiente a cada número.

a) 0,4) b) 10,4) c) 1,04) d) 0,001)

a) 4

9 b) 104

9 10

9₉4 c) 104

9

0 10

9₉4₀ 4₄7₅ d) 9

1 00

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Calcula: 0,83) 0,8 : 0,36)

Se escriben todos los decimales como fracción.

0,83) 83 9

0 8

7₉5₀ 5₆

0,8 1

8 0 4₅

0,36) 3 9 6 9 ₁4₁

Se efectúan las operaciones con las fracciones y se pasa el resultado a forma decimal.

5₆ 4₅:4 5

5 6

4 5

14

1

₆5 1₅1 25₃ ₀66 ₃4₀ 1 1,36)

Haz las siguientes operaciones, pasando previamente a fracción todos los números que aparecen.

a) 1,26) 1,5 b) 9,25 9 0,1) c) 10,3) 0,3) : 0,03) d) 0,518

)

1 1 5 8

0,83)

a) 126 9

0 12

1₁5₀ 1₉1 ₀4 1₁5₀ 1₁9₀

b) 9 1

2 0 5 0

1₉ 9 3 4

7

1 3 4

3

c) 103 9

10

3₉: 9 3

9

9₉3 11 9 6 ₃2

d) 5 9

1 9 8 9

1 1 5 8

83₉₀8

5₉1₉8₉

1₁5₈ ₉75₀

5₉1₉8₉

5₆ 5₆

0

Indica cuáles de los siguientes números son racionales y clasifícalos. Explica por qué los restantes no son racionales.

a) 1,010 010 001… c) 1,223 334 444… e)

3

b) 1,010 101… d) 3,0222… f)

38

a) Irracional. No es periódico, entre los unos aparecen 1, 2, 3,… ceros. b) Racional periódico puro.

c) Irracional. No es periódico, aparecen dos doses, tres treses… d) Racional periódico mixto.

e) Irracional, 3 no es un cuadrado exacto. f) Racional, es el número natural 2.

Sin escribirlos en forma de fracción, ordena los siguientes números de menor a mayor. 2,3; 2,3); 2,32); 2,325); 2,32)

Se pueden ordenar comparando las cifras decimales.

2,3 2,3333… 2,3232… 2,325 25… 2,3222… El orden es 2,3 2,32)2,32)2,325)2,3.

(3)

Ordena los siguientes números de menor a mayor, pasándolos a forma fraccionaria. 2,3; 2,3); 2,32); 2,325); 2,32)

Las fracciones correspondientes son 2 1 3 0 ,2

9 1 ,2

9 3

9 0 ,2

9 3 9 0 0 2 ,2

9 0

0 9 .

Se reducen a común denominador:2 9 2 9 7 0 7 ,2

9 3 9 1 0 0 ,2

9 3 9 0 0 0 ,2

9 3 9 0 0 2 ,2

9 2 9 9 0 9 .

Se ordenan según sus numeradores. El orden correcto es 2,3 2,32)2,32)2,325)2,3).

Si al número 1,416) le corresponde la fracción irreducible 1 1 7 2

, escribe la fracción irreducible que corres-ponde a cada uno de los siguientes números.

a) 14,16) b) 141,6) c) 2,83)

a) Es el número multiplicado por 10, la fracción es 1 1 7

2 0 8₆5.

b) Es el número multiplicado por 100, la fracción es 17 1 0 2 0

42₃5.

c) Es el doble del número, la fracción es 1 1 7 2 2 1 6 7 .

Multiplica 0,1111… por 9 en forma decimal y en forma de fracción. ¿Qué observas? ¿Cómo escribirías los números 0,4999… , 12,999… y 2,049 99… ?

0,111… 9 0,999… 1

9 9 1 Se observa que 0,9

)

1

Por tanto, 0,4999… 0,5; 12,999… 13; 2,049 99… 2,05.

P A R A A P L I C A R

Indica cuál es la cifra decimal que ocupa el lugar 30 de cada uno de los siguientes números.

a) 1 9 6 9

b) 3

2 4

5 7

c) 2

7 2

d) 1,010 101…

a) 1 9 6

9 0,161616… La cifra 30.

a_{ocupa un lugar par, luego, será un 6.}

b) 3 2 4

5 7

13,88; como es un decimal exacto, la cifra 30.a_{vale 0.}

c) 2 7

2

3,142857142857… El período tiene seis cifras. La 30.a_{cifra del número es 7.} d) 1,010 101… La cifra 30.ª ocupa un lugar par, luego será un 1.

En la clase de Pedro aprueban Matemáticas el 0,777… de los alumnos, y en la clase de María suspen-den 5 de los 27 alumnos.

a) ¿En cuál de las dos clases es mayor el porcentaje de aprobados?

b) ¿Cuántos alumnos puede tener la clase de Pedro, si sabemos que son menos de 30?

a) Se escribe la fracción que representa el número de aprobados de cada clase.

Clase de Pedro: 0,777… 7 9

2 2 1 7

. Clase de María:2 2 2 7 .

El porcentaje de aprobados en la clase de María es mayor.

b) El número debe ser múltiplo del denominador de 7

(4)

Alicia, Carlos y Elena van a comprar un libro que cuesta 17 euros. a) ¿Podrán pagarlo a partes iguales?

b) El libro también va a ser para el hermano de Alicia, por lo que ella debe pagar por los dos. En este caso, ¿podrán pagarlo a partes iguales?

a) No, ya que 1 3

7

es periódico.

b) Ahora sí, 17 : 4 4,25. Cada parte son 4,25 euros, Alicia debe pagar 8,50 euros.

Un coche circula a 90 kilómetros por hora.

a) ¿Qué distancia recorre en 1 minuto? ¿Y en 1 segundo? ¿Qué tipo de números se obtienen?

b) Si recorre 40 kilómetros, ¿cuánto tiempo empleará? Expresa el resultado en forma de fracción, y pása-lo después a minutos y segundos.

a) En 1 minuto recorre 9 6 0

0 1,5 km. En 1 segundo recorre 1 6 , 0

5

0,025 km. Ambos números son decimales exactos.

b) Para recorrer 40 km empleará 4 9 0 0 h 4

9h 4

9 60

min 26 6

9min 26 min 6

9 60 s 26 min 40 s.

Andrés ha construido un número sumando 1 a cada cifra de (si el resultado es 10, escribe solo el 0). Su número empieza así: 4,2526… Y Ana ha restado 1 a cada cifra de (si el número es negativo, escri-be un 9). Su número empieza así: 2,0304…

a) ¿Cómo son esos números?

b) Construye números similares a partir de

2

y —1

7—, e indica de qué tipo son.

a) es irracional, luego ambos números son irracionales.

b) A partir de

2

(irracional) se obtienen números irracionales, 2,5253… y 0,3031… A partir de 1

7se obtienen números raciona-les periódicos puros, 0,253 968 253 968… y 0,031 746 031 746… ,1

6 6 3 y

6 2

3

, respectivamente.

Aproximación de errores

Copia y completa la tabla aproximando los números que aparecen en la columna de la izquierda.

Redondea los números que aparecen en la columna izquierda de la tabla.

1.18 1.17 1.16 1.15 1.14

Una cifra decimal Dos cifras decimales Tres cifras decimales Por

defecto

3,1 3,2 3,14 3,15 3,141 3,142

1,7 1,8 1,73 1,74 1,732 1,733

3

0,1 0,2 0,14 0,15 0,142 0,143 —1

7—

Por exceso

Por defecto

Por exceso

Por defecto

Por exceso

Una cifra decimal

3,1 3,14 3,142

1,7 1,73 1,732

3

0,1 0,14 0,143 —1

7—

Dos cifras decimales

(5)

Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear con dos decimales el número 1 7

0

.

1₇0 1,428571 se redondea a 1,43.

Error absoluto: 1,43 1 7

0

1₁4₀ 3₀ 1₇0 ₁1₀₀

Error relativo: 7

1 00:

1 7

0

₇₀7₀₀ 0,001 0,1%

Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear 0,8484… a las décimas, a las centésimas y a las milésimas.

0,8484… 8 9 4 9 2₃8₃

A las décimas: 0,8. Error absoluto:2 3 8

3 0,8 1 8

65. Error relativo: 3 2

5 5,71%

A las centésimas: 0,85. Error absoluto:

2 3 8

3 0,85

6 1

60. Error relativo: 5 1

60 0,17%

A las milésimas: 0,848. Error absoluto:2 3 8

3 0,848 41 2

25

. Error relativo:

17 1

50 0,057%

Calcula una cota del error cometido al aproximar por defecto con dos decimales el número

20

.

20

4,4721…

Aproximación por defecto: 4,47

El error cometido es 0,0021…, que es menor, por ejemplo, que 0,0022. Este número será una cota del error absoluto.

El error relativo es , que es menor que 0, 4

0 , 0 4 2 7 2

0,00049…, ya que se ha aumentado el numerador y disminuido el

deno-minador.

El error relativo es menor del 0,05%, y este valor es una cota del error relativo.

Halla una cota del error cometido al aproximar por defecto con su raíz entera el número

205

.

La raíz entera por defecto es 14.

El error absoluto es

205

14 < 1.

El error relativo es 1 4.

Calcula

3

con dos decimales aproximando ambos números por defecto, por exceso y redondeán-dolos. ¿En cuál de las sumas es menor el error absoluto?

Por defecto: 3,14 1,73 4,87 Por exceso: 3,15 1,74 4,89 Redondeando: 3,14 1,73 4,87

Con la ayuda de la calculadora se obtiene

3

4,8736… El peor resultado se obtiene aproximando por exceso.

1.23

205

14

205

1.22

0,0021…

20

1.21

₄₁2₂₅

2₃8₃ ₆1₆₀ 2₃8₃ ₁8₆₅ 2₃8₃ 1.20

(6)

Redondea con cuatro cifras decimales el número áureo, .

El valor pedido es 1,6180.

Cuando se cambió la unidad monetaria en España, se utilizó la equivalencia de la figura. Estima el error cometido en las aproximaciones.

Seis mil euros equivaldrían a 998 316 pesetas. Seis euros equivaldrían a 998,316 pesetas.

El error absoluto es de 1684 pesetas y 1,684 pesetas, respectivamente. El error relativo es el mismo en ambas aproximaciones.

₉₉16₈8₃4₁₆, aproximadamente un 0,17%.

Hemos aproximado tres números a las décimas, obteniendo a 2,3, b 5,2 y c 4,8. Halla una cota del error cometido al calcular:

a) a b c b) a b c

a) El valor aproximado es 27,26.

El número estará entre 2,2 5,1 4,7 26,17 y 2,4 5,3 4,9 28,37.

El error absoluto es menor o igual que el mayor de 27,26 26,17 1,09 y 28,37 27,26 1,11, es decir, 1,11. b) El valor aproximado es 57,408.

El número estará entre 2,2 5,1 4,7 52,734 y 2,4 5,3 4,9 62,328.

El error absoluto es menor o igual que el mayor de 57,408 52,734 4,674 y 62,328 57,408 4,92, es decir, 4,92.

Paula, Luis y Maite han cenado en un restaurante y deciden pagar la cuenta a partes iguales. Como el reparto no es exacto, redondean a cantidades en euros. Si en total han pagado 60 euros, ¿a cuánto po-día ascender la cuenta? ¿Cuál es el error máximo cometido?

Redondeando, cada uno ha puesto 20 euros. Eso quiere decir cada uno debía pagar más de 19 euros y menos de 20, con lo que cada uno habrá dejado menos de 1 euro de propina.

El diámetro de un círculo mide 20 centímetros.

a) Calcula una cota de los errores absoluto y relativo cometidos al aproximar su área por 314 centímetros cuadrados.

b) Juan afirma que la cuenta es más sencilla usando 3 como aproximación de . Así se obtiene un área de 300 centímetros cuadrados. ¿Es asumible el error?

a) El radio mide 10 cm, luego el área mide 100cm2_{. El error absoluto es}

100 3140,16 cm. El error relativo será menor que 0

3 , 1

1 4

6

, menor del 0,051%.

b) El error relativo es 10 1 0

4

0,04456…, más de un 4,45%. Es demasiado grande, sobre todo en comparación con el anterior.

Números reales. Representación y ordenación

Ordena de menor a mayor los siguientes números.

a) 5 1 1 6

b) c) 3,14 d)

10

Se utiliza la expresión decimal de cada número:

5 1 1

6 3,1875 3,14159… 3,14 3,14

10

3,16227766

El orden pedido es 3,14

10

5 1 1 6 1.29

1.28 1.27 1.26 1.25

1

5

—

2

1.24

6000 euros equivalen a un millón de pesetas

Para las cuentas diarias 6 euros 1000 pesetas

(7)

Calcula las siguientes operaciones.

a) _7_ 4 b) _7 _4_ c) _5_ _5_ _5_ d) _4_ _9_

a) 7 4 7 4 3 c) 5 5 5 5 5 5 20

b) 7 4 7 4 3 3 d) 4 9 4 9 5 5

Representa —1

1 4 5

— utilizando el teorema de Tales.

Como 1 5

4

2 4

5, se divide en cinco partes el segmento entre 2 y 3, utilizando el teorema indicado.

Representa los siguientes números racionales utilizando el teorema de Tales.

a) 5

8 b)

7

3 c)

3 7

d)

8 3

a) c)

b) d)

Representa en la recta real estos números irracionales.

a)

5

b)

10

c)

20

d)

26

a)

5

22₁2 _c)

₂₀

₄

2₂2

b)

10

3

2₁2

_d)

₂₆

₅

2₁2

1

5

O 26

26

X Y

1 1

2 3

O 10

10

X Y

2

4

O 20

20

X Y

5 1 1

2 3

O

1.33

0 –1

0 1 2

–3 –2 –1 0

0 5 1

8 1.32

14 ––– 5

3 2

1 0

–1 1.31

1.30

₃7

7₃

(8)

Representa en la recta real

3

.

No se puede escribir

3

como suma de cuadrados de dos números naturales, pero sí descomponer como:

3

2 1

(

2

)

2

12

Así, para representar

3

se tiene que dibujar primero

2

.

Representa en la recta real los siguientes números.

a)

6

b)

7

c)

11

a) 6 22₂₂2₍

₂

₎2

. Hay que dibujar primero

2

.

b) 7 4 3 22₍

₃

₎2

3

, como en el ejemplo resuelto.

c) 11 32₍

₂

₎2

2

.

Representa en la recta real 3

2

y 3

2

.

Representa en la misma recta real

8

y 2

2

. ¿Qué observas?

Coinciden

8

y 2

2

.

2

O 1 2

1 2

2 8

2 X

Y

1.37

1

–1

Y

X

• 2

–3 O

•

X Y

O

1

1 3 2

1.36

O 1 2

2 1

3 11 2

O 1 3 7 4

1

2

O 1 2 2 6

2 1

Y

X

1.35

2 3

0 1 2

(9)

Representa en la recta real . (Sugerencia: representa primero

13

y utiliza el teorema de Tales para dividir el segmento en tres partes iguales.)

Representa en la recta real los números y .

Se pueden escribir así:2 520

y

4

520

. Se dibuja el segmento que mide

20

y se divide en cinco partes iguales usando el teorema de Tales.

Tomás dice que ha encontrado dos números irracionales cuya suma es racional. ¿Es posible? Si lo es, bus-ca algunos ejemplos, y si no, justifibus-ca la razón.

Es posible. Ejemplos:y 1 ,

2

y 2

, etc.

Para construir una maqueta tenemos un panel cuadrado de 10 centímetros de lado. Queremos fabricar otro panel cuadrado cuya área sea el doble.

¿Cuánto deberán medir sus lados?

El área del panel debe ser de 200 cm2_. El lado debe medir

200

10

2cm.

Para luchar contra una terrible epidemia, la pitonisa de Delos recomendó duplicar un altar cúbico que había en el templo. Si el altar hubiera sido un cubo de 1 metro de arista, ¿cuánto debería medir la aris-ta del nuevo?

El cubo deberá tener un volumen de 2 m3_{, luego la arista medirá}

3₂

_m.

Hemos construido a escala el cubo inicial del ejercicio anterior, tomando como medida de la arista 10 cen-tímetros.

a) ¿Cuánto mide la diagonal máxima? b) ¿Qué tipo de número es?

c) Representa en la recta real esa diagonal.

a) Usando el teorema de Pitágoras, la diagonal de la base mide

10

2₁₀

2

₂₀₀

_{cm. La diagonal de la base, la altura y la} dia-gonal máxima forman otro triángulo rectángulo, en el que la hipotenusa, que es la diadia-gonal máxima, medirá

(

200

)

2

102

300

cm.

b) Es un número irracional.

c) La forma más práctica es la siguiente: como

300

3

100

3

100

10

3

, se representa este último número a partir de

3

, como se ha hecho anteriormente.

1.43 1.42 1.41 1.40

O

2

20 3

1 2 4

20 –2

5

20 –4

5

X Y

4

20

—

5 2

20

—

5

1.39

O

2

3 13

3

13 _X

Y

13

—

3

(10)

El Ayuntamiento de un municipio va a construir una rotonda circular que mida exactamente 100 metros cuadrados. El constructor decide utilizar como valor aproximado de la fracción —2

7 2

—. ¿Cuánto debe medir el radio? Dibújalo utilizando una escala adecuada.

El área es r2_{100. Con la aproximación de}_{, se tiene que}_r 1

00

7₂0₂0 5,64 m. La escala 1 : 100 pa- rece la más apropiada, redondeando ra 5,6 cm.

Intervalos sobre la recta real

Representa en la recta real los siguientes intervalos.

a) (2, 7) c) [4, 0)

b) (3, 2] d) [4, 9]

a)

b)

c)

d)

Representa en la recta real las siguientes semirrectas.

a) (, 7) c) (4, )

b) (, 2] d) [4, )

a)

b)

c)

d)

Decide si los siguientes conjuntos de números son intervalos o semirrectas, y escríbelos.

a)

b)

c)

d)

a) Intervalo (1, 4) c) Intervalo (1, 2]

b) Semirrecta (1, ) d) Semirrecta ( , 2]

0 2

0

–1 2

0 1

0 1 4

1.47

0 4

–4 0 1

–3 –2 –1 0 1

–1 0 1 7

1.46

–1 0 1 4 9

–4 –3 –2 –1 0 1

–3 –2 0 1

–2 0 7

1.45

(11)

Halla dos números racionales en cada uno de los siguientes intervalos.

a) (3, 4) b)

—1

2 1 4

—, —1

3 7 5

—

c)

—3

5—, — 4

5—

d)

—

4—, —

3—

Respuestas libres. Por ejemplo,

a) 1 3

0 ,1

3 1

b)

1 4

0 7

0 ,

1 4

0 8

0

c) 3

5 1 0 ,3

5 3 0

d)

1 9

0 , 1

Halla dos números irracionales en cada uno de estos intervalos.

a) (0, 1) b) (4, 5) c) (, 4) d) (

2

,

3

)

Respuesta abierta. Por ejemplo,

a)

0,1

,

0,2

b) 4,101 001… , 4,202 002… c) 1 3,

1

2 d)

2,1

,

2,2

Representa en la recta y escribe el intervalo o semirrecta correspondiente a cada desigualdad.

a) 2 x b) x 4 c) x 3 d) 1 x

a) (2, )

b) ( , 4]

c) [3, )

d) ( ,1)

Representa en la recta real _x 2_ 3.

La desigualdad puede escribirse así: 3 x 2 3

Si se suma 2 a cada término, resulta: 1x 5

El intervalo correspondiente es el (1, 5).

Representa en la recta real estos intervalos.

a) _x 4_7 b) _2x_ 6 c) _x 5_ 1 d) _2x 1_ 5

a) x 47 → 7 x 4 7 → 3 x 11 → [3, 11]

b) _2x_6 → 6 2x 6 → 3 x 3 → (3, 3)

c) x 51 → 1 x 5 1 → 6 x 4 → (6,4)

d) _2x 1_5 → 5 2x 1 5 → 4 2x 6 → 2 x 3 → [2, 3]

–2 –1 0 1 2 3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

–3 0 3

–3 –1 0 11

1.52 1.51

–1 0

–2

–1 0 1 2 3 4

–2 –1 0 –1

(12)

Representa en la recta real los intervalos en los que se cumple que _x 3_ 5.

x 35 →

La solución es: ( ,8) (2, ).

Representa los intervalos correspondientes a las siguientes expresiones.

a) _x 2_4 b) _x 2_ 1 c) _2x 1_5

a) _x 2_4 →

La solución es: ( ,2] [6, ).

b) x 21 →

La solución es: ( , 1) (3, ).

c) 2x 15 →

La solución es: ( ,2] [3, ).

Representa el intervalo correspondiente a esta expresión.

x —1

4—

— 3 2—

x 1

4

3 2 →

3 2 x

1 4

3

2 → 5 4 x

7

4 →

4 5 ,7

4

P A R A A P L I C A R P r o b l e m a r e s u e l t o

Se nos ha estropeado la tecla de la calculadora. ¿Cómo podremos hallar

29

con dos cifras decima-les?

Se siguen estos pasos:

→ 5

29

6

→ 5,3

29

5,4

→ 5,38

29

5,39

Así se tiene una aproximación por defecto y por exceso de

29

con dos cifras decimales. 5,382_28,9444

6,392_29,0521 5,32_28,09 5,42_29,16 52₂₅ 62₃₆

1.56 1.55

–3 –2 –1 0 1 2 3 4

2x 1 5 → 2x 6 → x 3 o

2x 1 5 → 2x 4 → x 2

–1 0 1 2 3 4

x 2 1 → x 3 o

x 2 1 → x 1

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x 2 4 → x 6 o

x 2 4 → x 2 1.54

0 –8

(–∞, –8) ∪ (2, +∞)

2

x 3 5 → x 2 o

x 3 5 → x 8 1.53

–2 –5–1 0 1 2 3

4

(13)

Aproxima por tanteo con una y con dos cifras decimales estas raíces.

a)

1000

b)

310

a)

_→

1000

(31, 32) b)

→

310

(2, 3)

→

1000

(31,6; 31,7)

→

310

(2,1; 2,2)

→

1000

(31,62; 31,63)

→

310

(2,15; 2,16)

En un locutorio telefónico nos cobran por una llamada de t segundos un precio de 30 0,5t céntimos, pero no podemos hablar más de 5 minutos seguidos.

Calcula lo que puede durar una llamada si disponemos de las siguientes cantidades de dinero.

a) 0,28 euros b) 1 euro c) 2 euros

a) No se puede llamar, el coste mínimo es de 30 céntimos.

b) 30 0,5t 100 → t 140. Como máximo se puede hablar durante 140 segundos (2 minutos y 20 segundos).t[0, 140]. c) 30 0,5t200 → t 340. Supera los 5 minutos.t[0, 300].

Al lanzar una pelota hacia arriba, su altura, en metros, viene dada por la función f (t) 12t t2_{, donde t}

indica el tiempo transcurrido en segundos.

a) ¿Qué intervalo de tiempo transcurre hasta que vuelve a caer al suelo (altura 0)? b) ¿En qué intervalo de tiempo la pelota está a más de 35 metros de altura?

Para resolver este problema, puede ser útil elaborar una tabla que relacione el tiempo transcurrido y la altura.

Dando valores a t, se construye la tabla.

a) 12 segundos. b) (5, 7)

M A T E M Á T I C A S A P L I C A D A S

Utiliza la calculadora o la hoja de cálculo Excel para realizar aproximaciones del número utilizando los algoritmos de Leibnitz y de Wallis.

Investiga en internet otros algoritmos para calcular las cifras decimales del número .

Respuesta abierta. 1.61

1.60 1.59 1.58

2,153_9,938375 2,163_10,077696 31,622_999,8244

31,632_1000,4569

2,13_9,261 2,23_10,648 31,62_998,56

31,72_1004,89

23₈ 33₂₇ 312₉₆₁

322₁₀₂₄ 1.57

Tiempo (s) Altura (m)

0 0

1 11

2 20

3 27

4 32

5 35

6 36

7 35

8 32

9 27

10 20

11 11

12 0

Algoritmo de Leibnitz Algoritmo de Wallis

3,33968… 3,41333…

2,97604… 2,92571…

3,28373… 3,343673…

Algoritmo de Leibnitz

Algoritmo de Wallis

₄ 1 1

3 … 1 9

₂ 2₁… 6 5

₄ 1 1

3 … 1 1

1

₂ 2₁… 6 7

₄ 1 1

3 … 1 1

3

₂ 2₁ … 8 7

(14)

A C T I V I D A D E S F I N A L E S

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

¿Es cierto que cualquier fracción con denominador 99 corresponde siempre a un decimal periódico puro?

No, si el numerador es múltiplo de 99. Por ejemplo,9 9 9 9 es 1.

Halla el número decimal que corresponde a cada fracción. a) —2

9 0 9

— b) —3

9 7 9

— c) —5

9 2 9

— d) —7

9 4 9

— e) —8

9 7 9

—

Escribe directamente la expresión decimal de —4

9 9 9

—.

a) 2 9 0

9 0,2020… b) 3 9 7

9 0,3737… c) 5 9 2

9 0,5252… d) 7 9 4

9 0,7474… e) 8 9 7

9 0,8787…

e) 4 9 9

9 0,4949…

Indica qué tipo de decimal corresponde a fracciones irreducibles con estos denominadores.

13 15 20 25 36

13: periódico puro; 15: periódico mixto; 20: decimal exacto; 25: decimal exacto; 36: periódico mixto.

Halla el menor número natural por el que debemos multiplicar 2,166v para obtener un número decimal exacto.

2,1666… 216 9

0

21

1₉9₀ 5 1₆3. Al multiplicar por 3, queda denominador 2, que da un decimal exacto.

Halla el menor número natural por el que debemos multiplicar 1,348) para obtener un número decimal periódico puro.

1,3484848… 134 9 8 9 0 13

1₉3₉3 ₀5 8₆9₆. Multiplicando por 2 queda un denominador 33, que da un resultado periódico puro.

Si —2

9— 0,222…, ¿cuánto vale ?

₁2₁

Aproxima por defecto y por exceso —1

7 6

— con dos cifras decimales. Calcula los errores absoluto y relativo cometidos en cada caso.

El valor real es 1 7

6

2,285714…

Por defecto: 2,28. El error absoluto es 1 7

6

2₁2₀ 8₀ ₁1₇₅. El error relativo es

5 1

50 0,001818…

Por exceso: 2,29. El error absoluto es 2 1

2 0 9 0

1₇6 ₇3₀₀. El error relativo es

22 3

00 0,0013636… ₇3₀₀

2₇2 ₁1₇₅ 2₇2 1.68

1

1₂1 1

1 9

2 1 ₁ 1 2₉ 1 1 0,22 1 2… 1 ——

1 —

(15)

Representa en la recta real la fracción —1

6 1

—.

40

. A continuación, representa

41

de dos formas distintas.

a) Descomponiendo: 41 52₄2 _{b) Descomponiendo: 41}

₍

40

)

212

Comprueba que se obtiene el mismo punto de la recta.

a)

b)

Representa estos intervalos o semirrectas.

a) [4, 5) b) (, 2] c) (7, ) d) [1, 0]

a) [4, 5)

b) ( ,2]

c) (7, )

d) [1,0]

Indica a qué intervalos o semirrectas corresponden las siguientes expresiones.

a) x 3 b) _2x 5_ 7 c) 2x 5 7 d) _3x 1_ 5

a) [3, )

b) 2x 57 → 7 2x 5 7 → 2 2x 12 → 1 x 6 → [1, 6]

c) 2x 5 7 → 2x 12 → x 6 → ( , 6]

d) _3x 1_5 →

,4

3

(2, )

Representa en la recta real los números

13

y

5

. Mide las unidades en centímetros. a) Razona cómo podrías representar 2

5

centímetros. ¿Y

13

5

centímetros?

b) Estima gráficamente 2

5

y

13

5

centímetros con un error absoluto menor de 1 milímetro.

a) Se usa el compás para transportar los segmentos dibujados sobre la recta. Para 2

5

se toma la medida de

5

y se coloca a continuación, con origen en el punto que señala

5

. Para la suma, llevamos un segmento a continuación del otro.

b) Se miden los dibujos obtenidos en el apartado anterior. Los resultados aproximados serán 4,5 cm y 5,8 cm.

O

1

1 X

Y

13 13 +5 5

O

1

1 X

Y

2 5 1.73

3x 1 5 → 3x 6 → x 2 o

3x 1 5 → 3x 4 → x 4 3 1.72

–1 0 1

–1 0 1 7 8

–3 –2 –1 0 1

–4 –1 0 1 5

1.71

X O

1

40 1

Y

41

O

2

41

2 X

Y

1.70

0 1 2

(16)

Hemos comprado el periódico para ver las estadísticas de un partido de baloncesto, pero hay una par-te de la tabla que no se ve bien. Faltan los datos que aparecen marcados con un cuadrado. Copia y com-pleta la tabla, teniendo en cuenta que los porcentajes se han redondeado.

En el primer caso, si 2 x

7

0,89 → x0,89 27 24,03. El entero más próximo es 24, que da un 88,888… % de acierto.

En el segundo, 30 : 0,64 46,875. El entero más próximo, 47, da un 63,83% de acierto. En el tercer caso, 15 : 29 0,51724…, que se redondea al 52%.

Sabiendo que la base y la altura de un triángulo miden, respectivamente, 3,48) y 0,45) metros, halla su área expresada en forma fraccionaria.

A 1 1 5 9 7 8 m2

El índice de masa corporal (IMC) de una persona se calcula dividiendo su peso en kilogramos entre el cuadrado de su estatura en metros.

Si el IMC de Carlos es, aproximadamente, de 22 kg/m2_{y mide 1,79 metros, ¿en qué intervalo se encuentra}

su peso, suponiendo que el error en el IMC es menor de una décima?

Las condiciones del problema se traducen en esta desigualdad:

1,7

P

92 22

0,1.

_1,7P₉2 22

0,1 → 0,1 _1,7

P

92 22 0,1 → 21,9 _1,7

P

92 22,1 → 70,16979 P70,81061

Dado que el peso se expresa habitualmente con un máximo de tres decimales (hasta los gramos), podemos decir que el peso de Carlos está entre 70,170 y 70,810 kg.

Dibuja un triángulo equilátero de 2 centímetros de lado. a) ¿Cuánto mide su altura?

b) Razona si puedes construir un triángulo isósceles cuya altura mida

5

centímetros.

a) h2₂2₁2 → _h

3

cm.

b) Basta expresar 5 como diferencia de cuadrados, 9 4. El lado desigual mide 4 cm y cada uno de los otros 3 cm.

En un banco aparece como tipo de cambio el siguiente:

1 euro 1,3807 dólares

Hemos cambiado una cantidad de euros y el banco nos ha dado 173 dólares y algunos centavos, por valor de menos de un dólar. Expresa en qué intervalo está la cantidad que hemos cambiado.

Sea xla cantidad en euros; 1,3807 xserá la cantidad en dólares. El problema se puede reformular así: 0 1,3807x173 1. De aquí se obtiene:

173 1,3807x174 → 1,

1 3 7

8 3

07 x 1, 1

3 7

8 4 07

→ 125,298… x126,023…

Hemos cambiado una cantidad entre 125,30 y 126,02 euros,x[125,30; 126,02]. 1.78

1.77 1.76

348₉₀ 34 4₉5₉

₂

3,4888… 0,4545…

₂

1.75 1.74

Tiros de 1 punto Tiros de 2 puntos

Tiros de 3 puntos

Canastas/Intentos Acierto (%)

24/27 89%

30/47 64%

15/29 52%

h

(17)

Para trabajar con potencias de base 2, Raúl usa la siguiente aproximación. 210₁₀₂₄₁₀₀₀

Así, para calcular 224_{, lo hace de la siguiente forma.}

224₂10₂10₂4₁₀₀₀₁₀₀₀₁₆_{16 000 000}

Calcula el error relativo cometido al aproximar de esta manera.

El error relativo es 2 24

1 2 6 2

0 4

00 000

₁₆77₇7₇₇21₂6₁₆ 0,04632…, aproximadamente un 4,6%.

Representa en la recta el número de oro, .

En primer lugar, se representa

5

usando el teorema de Pitágoras.

Después se toma con el compás la medida de ese segmento y se coloca a continuación del 1.

Finalmente, se divide el segmento obtenido en dos partes, usando el teorema de Tales o dibujando la mediatriz.

Dada la función y x2_{4x, realiza las siguientes operaciones.}

a) Busca los valores de x para los que y 0.

b) Con los valores del apartado anterior, la recta queda dividida en tres intervalos. Indica los intervalos o semirrectas donde y toma valores positivos.

a) x2₄_x_x₍_x₄₎₀ → _x_{0 ó} _x₄

b) Para x 0 o para x 4 se obtienen valores de ypositivos, ya que en esos intervalos los dos factores xy x 4tienen el mismo signo.

P A R A R E F O R Z A R

Escribe una fracción equivalente a cada una de las siguientes cuyo denominador sea una potencia de 10, y escribe después su expresión decimal directamente.

a) —1

5 6

— b) —7

4— c) —

1 2 6 5

— d) —2

1 5 6

— e) —1

8 1

—

Como todos los denominadores son potencias de 2 o de 5, solo hace falta multiplicar de forma que en cada denominador haya la misma potencia de 2 y de 5.

a) 1 5

6

1₅6 ₂2 3₁2₀ 3,2 b) 7 4 2

7 2 ₂72

5 5 2 2

1₁7₀5₀ 1,75 c) 1 2 6 5

₁6₀4₀ 0,64

d) 2 1 5 6

1₁5₀6₀2₀5₀ 1,5625 e) 1 8

1

1₁3₀7₀5₀ 1,375

Calcula en forma de fracción estas operaciones. Estima previamente el resultado en forma decimal.

a) 1,6666… 0,0202 b) 3,777… 5,222…

a) 1,6666… 0,0202… 16 9

1

₉2₉ 1₉5 ₉2₉ 1₉6₉3 b) 3,777… 5,222… 3 9

4

4₉7 8₉1 9 1.83

1.82 1.81

X Y

1 1

O X

Y

1 1

O X

Y

5 1 1

2

O

1

5

—

2

(18)

Indica a qué conjuntos pertenecen estos números.

Representa en la recta real —6

8— y —1 9

2

—.

Ambas fracciones equivalen a 3 4.

26

.

Se usa el teorema de Pitágoras. Los catetos deben ser 5 y 1.

Aproxima por defecto y por exceso con una, dos y tres cifras decimales el número

44

.

Por defecto: 6,6; 6,63; 6,633. Por exceso: 6,7; 6,64; 6,634.

Calcula

2

8

, redondeando a las milésimas.

2

8

1,414 2,828 4,242

Halla los errores absoluto y relativo cometidos al aproximar 0,333… 0,4646… por 0,3 0,5 0,8.

Valor real: 0,333… 0,464646… 1 3

4 9 6 9 7₉9₉

Error absoluto: 1 8

0

7₉9₉ ₄1₉₅

Error relativo:

3 1

95 0,00253…

Representa en la recta real los números que cumplen estas igualdades.

a) _x_ 3 b) _x 1_ 4 c) _x_ _1_ d) _x 1_ _1_

a) 3 y 3

b) 5 y 3

c) 1 y 1

d) 0 y 2 ₀ ₁ ₂

–1 0 1

–3 0 1 5

–3 0 3

1.90

₄1₉₅ 7₉9₉ 1.89

1.88 1.87

O

1

1 X

Y

26 1.86

0 1 2

–3 4 1.85

1.84

Números naturales

Números enteros

Números racionales

Números irracionales

X 2,555

X X

64

X 3,0111…

X

X 7₃

X X ₃18

(19)

Escribe tres números pertenecientes a cada uno de estos intervalos.

a) [2, 3) d) (e, )

b)

1

3; 0,3334

e)

1 1 3 5

, 1 1 4 5

c) (

2

, 1,4)] f) (3,14; )

Respuesta abierta. Algunas soluciones son las siguientes.

a) 2,1; 2,2; 2,3 d) 2,8; 2,9; 3

b) 0,33334; 0,33335; 0,33336 e) 1 1

3 5 1 0 ,1

1 3 5 2 0 ,1

1 3 5 3 0

c) 1,42; 1,43; 1,44 f) 3,141; 3,1415; 3,14159

Representa en la recta real los intervalos en los que se cumplen estas expresiones.

a) _x_3 d) _x 1_1

b) _x_4 e) _x 2_ _1_

c) _x_ 0,7222… f) _x 2_8

a) Intervalo (3,3)

b) x_4 →

c) _x_ 0,7222… → R

d) _x1_1 → 1 x1 1 → 0 x2 → [0, 2]

e) _x2_ _1_ → _x2_1 → 1 x 2 1 → 1 x 3 → (1, 3)

f) x28 →

P A R A A M P L I A R

Pon un ejemplo de cada uno de los siguientes casos.

a) Dos números racionales no enteros cuya suma sea un número entero. b) Dos números racionales no enteros cuyo producto sea entero.

c) Dos números irracionales cuya suma sea un número racional. d) Dos números irracionales cuyo cociente sea un número irracional.

a) Por ejemplo, 0,4 y 0,6.

b) Cualquier par de fracciones inversas, como 2 5y

5 2. c) Por ejemplo, 2 y 2 .

d) Por ejemplo,

2

y

3

. 1.93

–10 –1 0 1 6

x2 8 → x6 → (6, ) o

x2 8 → x 10 → ( ,10)

–1 0 1 2 3

–1 0 1 2

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

x4 → [4, ) o

x 4 → ( ,4]

–3 –2 –1 0 1 2 3

(20)

En una caja de 6 centímetros de ancho, 4 de largo y 3 de alto queremos colocar un tabique vertical que la divida en dos partes iguales de base triangular.

a) ¿Cuáles serán sus dimensiones? b) ¿Cuánto mide la diagonal máxima de esa caja?

a) La base de la caja tiene una diagonal de d

62₄

2

52

cm. El tabique debe tener ese ancho y el alto de la caja, 3 cm. b) Coincide con la diagonal del tabique,

(

52

)

2

32

61

cm.

Expresa mediante intervalos o semirrectas los conjuntos de los números reales que cumplen las siguientes condiciones.

a) Están a más de 3 unidades de distancia del 4. b) Están a una distancia del 2 igual o menor que 3.

a) Al restar x (4), el resultado debe ser mayor que 3 o menor que 3, según a qué lado de 4 se encuentre el punto. Así,

x (4)3 → x 43 → 3 x 4 3 → 7 x 1.

b) En este caso,x 2 debe estar entre 3 y 3, ambos inclusive.x 2 3 → 3 x 2 3 → 1 x 5

Determina el conjunto de los números reales x que cumplen que: x _x_2.

Si x 0, queda xx2 → 0 2. Todos los positivos cumplen la desigualdad. Es fácil ver que también se cumple en x0. Si x 0, queda x x2 → 2x2 → x1, que contradice que x0.

La solución es [0, ).

Para un número cualquiera a y un número r0, definimos el entorno de centro a y radio r como el inter-valo (ar, ar).

a) Escribe la relación que verifican los números pertenecientes a un entorno de centro 2 y radio 5. b) Halla un número r con dos decimales lo más pequeño posible, tal que el entorno centrado en y de

radio r contenga el número

10

.

a) Los puntos del intervalo (3, 7) cumplen la inecuación _x2_5.

b) Para que se cumpla esa condición hace falta que el radio sea mayor que

10

. El menor número rcon dos cifras deci-males que cumple esa condición es 0,03.

Hemos construido la figura a partir de un cuadrado de 16 metros de lado, formando cada uno de los cua-drados siguientes uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior.

a) Determina las medidas de los lados de cada cuadrado.

b) Expresa el cociente entre el lado de un cuadrado y el del siguiente. c) Determina las áreas de los cuadrados.

d) A la vista de lo anterior, ¿es posible encontrar dos números irracionales cuyo producto sea un número racional?

a) El lado del segundo cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden 8 metros. El lado mide l2

8

2₈

2

8

2

metros. El lado del tercer cuadrado es la mitad del lado del cuadrado inicial,l38 metros. Igualmente,l4

1

2l24

2

metros, y l54 metros. b) l

l

1 2 l_l2

3 l_l3

4 l_l4

5

2

c) A1l 2

1256 m 2_; _A

2

(

8

2

)

2

128 m2_; _A 38

2_{64 m}2_; _A

4

(

4

2

)

2

32 m2_; _A 54

2_{16 m}2 d) Sí, los lados de los cuadrados 2 y 4 son irracionales y su área es racional.

(21)

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

El logotipo

En la siguiente figura aparece el logotipo de la empresa El Cuerno de África, que organiza viajes por ese continente. Para poder reproducirlo, el diseñador ha indicado las siguien-tes medidas.

AE8 cm ED4 cm AF6 cm AH4 cm

a) Calcula, con un error menor de 0,01, las distancias IB y GC. b) Considerando que IGCB se aproxima a un trapecio, estima

el valor del área de la zona gris.

a) HI4 cm

Calculamos HBusando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BHF: HB62

22

32 5,65685… IB

32

41,66 cm FC6 cm

Calculamos FGusando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo HFG: FG

42

2

12

3,4641… GC6

12

2,53 cm

b) Área del trapecio (GC 2

IB)h

(1,66₂2,53)2 4,19 cm2

Problema del transporte

Se deben transportar 6100 kilogramos de naranjas desde dos puntos de origen situados en Valencia y Castellón hasta tres puntos de destino situados en Salamanca, Oviedo y Bilbao.

De Valencia deben salir 3500 kilogramos, y de Castellón, 2600.

Por otra parte, a Salamanca deben llegar 1300 kilogramos; a Oviedo, 2200, y a Bilbao, 2600.

Observa que el número de kilogramos de naranjas que deben salir coincide con el de naranjas que deben llegar.

La siguiente tabla muestra los precios, en céntimos de euro, que se deben pagar por el transporte de cada kilogramo de naranjas según el origen y el destino.

Establece un plan de distribución cuyo coste total no supere los 4050 euros.

Para calcular los kilos de naranjas que desde Valencia deben llegar a Salamanca, usamos la proporción con el coste por kilómetro:

₅₈58 ₄₅ ₁₃v₀₀ → v 58 10

1 3

300

732,04 kg

Por tanto de Castellón a Salamanca saldrán 1300 732,04 567,96 kg. De la misma manera los kilos de naranjas de Valencia a Oviedo:

₈₀80 ₇₀ ₁₃v₀₀ → v 80 15

2 0

200

1173,33 kg

Por tanto de Castellón a Oviedo saldrán 2200 1173,33 1026,67 kg.

Por último de Valencia a Bilbao saldrán: 70

7

0 60

₂₆v₀₀ → v 260 1

0 30

70

1400 kg

Por tanto de Castellón a Bilbao saldrán 2600 1400 1200 kg. De esta manera el coste total es:

732,04 0,58 567,96 0,45 1173,33 0,8 1026,67 0,7 1400 0,7 1200 0,6 4 037,5 € 1.100

1.99 A

H

F

E

D

I B

G _C

Salamanca Valencia

Castellón

Oviedo Bilbao

58 45

80 70

(22)

A U T O E V A L U A C I Ó N

Escribe en forma fraccionaria los siguientes números.

a) 12,4 b) 3,2727… c) 1,02121…

a) 12,4 1

1 0

24

₅62 b) 3,2727… 327 99

3

3₉2₉ 4 3₁6₁ c) 1,02121… 102 9 1

90 10

1₉0₉1 ₀1 3₃3₃7₀

Indica a qué conjuntos pertenecen estos números.

Ordena los siguientes números de menor a mayor.

10

3,1416

5 16

3,141414… 3

₅16 3 3,141414… 3,1416

10

Una clase mide 7,3 metros de ancho y 6,8 metros de largo. a) ¿Cuánto mide su superficie?

b) Calcula su superficie redondeando a metros el ancho y el largo, y estima los errores absoluto y relati-vo cometidos.

a) S7,3 · 6,8 49,64 m2 _b) _S

2 7 · 7 49 m 2

Eabs0,64 m 2

Erel ₄ 0

9 ,6

,6 4

4

= 0,0128…1,3%

Calcula escribiendo en forma de fracción.

a) 0,36)4,272727… b) 1,45)0,35): 0,25

a) 0,3666… 4,2727… 36 90

3

427₉₉ 4 3₉3₀ 4₉2 ₉3 ₉3₉8 ₀67 ₃1₃2₀89

b) 1,4555… 0,3555… : 0,25 145 9

0

14

35₉₀3 : 1

2 0

5 0

1₉3₀ 1 3₉2₀ 4 3

1 0

Copia y completa la siguiente tabla con las aproximaciones a las milésimas de estos números.

A1.6 A1.5 A1.4 A1.3 A1.2 A1.1

Naturales Entero Racional Irracional

2,555

2,666… X X

3

X

4 X X

9₇1 X X X

0,01

X

1,202 002… X

Por defecto Por exceso Por redondeo

—4 7— 3,52857

5

0,571

3,528

2,236

0,572

3,529

2,237

0,571

3,529

(23)

Halla el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 metros. ¿Qué tipo de número obtienes?

l2_l2₁₀2 ⇒ _l

50

;A 50 m2_{. Es un número natural.}

Representa en la recta real los siguientes números.

a) 1 4

9

b)

17

c)

18

a) 1 4

9

b)

17

42₁

2

c)

18

32₃

2

Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo los números que verifican estas relaciones.

a) 3 x7 c) x2

b) x4 d) 3 x 2

a) [3, 7]

b) (4, )

c) ( , 2]

d) (3,2]

Indica a qué intervalos o semirrectas equivalen las siguientes expresiones.

a) _x_100 c) _x6_4

b) _x3_10 d) _x7_11

a) (100, 100)

b) _x3_10 ⇒ 10 x3 10 ⇒ 13 x7 ⇒ [13, 7]

c) x64 ⇒ 4 x6 4 ⇒ 2 x10 ⇒ (2, 10)

d) _x7_11 ⇒

⇒ ( ,4) (18, ) x7 11 ⇒ x18

o

x7 11 ⇒ x 4 A1.10

–4 –3 –2 –1 0 1

–3 –2 –1 0 1 2 3

–5 –4 –3 –2 –1 0 1

–1 0 1 2 3 4 5 6 7

A1.9

1 1

O 18 X

Y

17

1 1

O 17 X

Y

1 2 3 4 5

(24)

E N T R E T E N I D O

L a s d o s j a r r a s

Al final, ¿qué hay más, zumo en la jarra de leche o leche en la jarra de zumo?

En las dos jarras hay la misma proporción de mezcla. Vamos a verlo. Para fijar ideas vamos a suponer que en una de las jarras hay 1 litro de leche y en la otra 1 litro de zumo. Y vamos a suponer que el contenido de c cada vaso es de 250 mL. El bloqueo de este problema surge al pensar que hay más leche en la del zumo que zumo en la de la leche, porque primero echamos el 100% de leche y luego no echamos el 100% de zumo. Para resolverlo vamos a hacer un dibujo. Cada cuadrado de la cuadrícula representa 50 mL.

Al comienzo:

1 litro de leche 1 litro de zumo

Pasamos 250 mL de leche a la de zumo:

750 mL de leche 1250 mL de mezcla

Pasamos 250 mL de mezcla (200 mL de zumo y 50 mL de leche) a la jarra de leche:

1 litro de mezcla 1 litro de mezcla

Al final, cada jarra tiene 800 mL del contenido que tenía al principio y 200 mL del contenido de la otra jarra.

Las dos jarras son iguales

y contienen igual cantidad

de líquido.

Voy a pasar un vaso de leche a la jarra de zumo y después un vaso de la mezcla resultante a la jarra